Hermann Weyl

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Matemático alemán (1885-1955)

Hermann Klaus Hugo Weyl, ForMemRS ( Alemán: [vaɪl]; 9 de noviembre de 1885 - 8 de diciembre 1955) fue un matemático, físico teórico y filósofo alemán. Aunque gran parte de su vida laboral la pasó en Zúrich, Suiza, y luego en Princeton, Nueva Jersey, está asociado con la tradición matemática de la Universidad de Göttingen, representada por Carl Friedrich Gauss, David Hilbert y Hermann Minkowski.

Su investigación ha tenido una gran importancia para la física teórica, así como para disciplinas puramente matemáticas como la teoría de números. Fue uno de los matemáticos más influyentes del siglo XX y un miembro importante del Instituto de Estudios Avanzados durante sus primeros años.

Weyl contribuyó a una gama excepcionalmente amplia de campos matemáticos, incluidos trabajos sobre el espacio, el tiempo, la materia, la filosofía, la lógica, la simetría y la historia de las matemáticas. Fue uno de los primeros en concebir combinar la relatividad general con las leyes del electromagnetismo. Freeman Dyson escribió que solo Weyl podía compararse con los "últimos grandes matemáticos universales del siglo XIX", Poincaré e Hilbert. Michael Atiyah, en particular, ha comentado que cada vez que examinaba un tema matemático, encontraba que Weyl lo había precedido.

Biografía

Hermann Weyl nació en Elmshorn, un pequeño pueblo cerca de Hamburgo, en Alemania, y asistió al Gymnasium Christianeum en Altona. Su padre, Ludwig Weyl, era banquero; mientras que su madre, Anna Weyl (de soltera Dieck), provenía de una familia adinerada.

De 1904 a 1908, estudió matemáticas y física tanto en Göttingen como en Múnich. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Göttingen bajo la supervisión de David Hilbert, a quien admiraba mucho.

En septiembre de 1913, en Göttingen, Weyl se casó con Friederike Bertha Helene Joseph (30 de marzo de 1893 - 5 de septiembre de 1948), que se hacía llamar Helene (apodo "Hella"). Helene era hija del Dr. Bruno Joseph (13 de diciembre de 1861 - 10 de junio de 1934), un médico que ocupaba el cargo de Sanitätsrat en Ribnitz-Damgarten, Alemania. Helene fue filósofa (fue discípula del fenomenólogo Edmund Husserl) y traductora de literatura española al alemán y al inglés (especialmente de las obras del filósofo español José Ortega y Gasset). Fue a través de la estrecha conexión de Helene con Husserl que Hermann se familiarizó con el pensamiento de Husserl (e influenció en gran medida por él). Hermann y Helene tuvieron dos hijos, Fritz Joachim Weyl (19 de febrero de 1915 - 20 de julio de 1977) y Michael Weyl (15 de septiembre de 1917 - 19 de marzo de 2011), ambos nacidos en Zúrich, Suiza. Helene murió en Princeton, Nueva Jersey el 5 de septiembre de 1948. El 9 de septiembre de 1948 se llevó a cabo un servicio conmemorativo en su honor en Princeton. Los oradores en su servicio conmemorativo incluyeron a su hijo Fritz Joachim Weyl y los matemáticos Oswald Veblen y Richard Courant. En 1950, Hermann se casó con la escultora Ellen Bär (de soltera Lohnstein) (17 de abril de 1902 - 14 de julio de 1988), viuda del profesor Richard Josef Bär (11 de septiembre de 1892 - 15 de diciembre de 1940) de Zúrich.

Después de ocupar un cargo docente durante algunos años, Weyl dejó Göttingen en 1913 y se fue a Zúrich para ocupar la cátedra de matemáticas en la ETH Zúrich, donde era colega de Albert Einstein, quien estaba trabajando en los detalles de la teoría de la relatividad general. Einstein tuvo una influencia duradera en Weyl, quien quedó fascinado por la física matemática. En 1921, Weyl conoció a Erwin Schrödinger, un físico teórico que en ese momento era profesor en la Universidad de Zürich. Se convertirían en amigos cercanos con el tiempo. Weyl tuvo una especie de relación amorosa sin hijos con la esposa de Schrödinger, Annemarie (Anny) Schrödinger (de soltera Bertel), mientras que al mismo tiempo Anny estaba ayudando a criar a una hija ilegítima de Erwin llamada Ruth Georgie Erica March, quien Nació en 1934 en Oxford, Inglaterra.

Weyl fue orador plenario del Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) en 1928 en Bolonia y orador invitado del ICM en 1936 en Oslo. Fue elegido miembro de la Sociedad Estadounidense de Física en 1928 y miembro de la Academia Nacional de Ciencias en 1940. Durante el año académico 1928-1929, fue profesor invitado en la Universidad de Princeton, donde escribió un artículo, "Sobre un problema en la teoría de grupos que surge en los fundamentos de la geometría infinitesimal," con Howard P. Robertson.

Weyl dejó Zürich en 1930 para convertirse en el sucesor de Hilbert en Göttingen, y se fue cuando los nazis asumieron el poder en 1933, especialmente porque su esposa era judía. Le habían ofrecido uno de los primeros puestos docentes en el nuevo Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, Nueva Jersey, pero lo rechazó porque no deseaba dejar su tierra natal. A medida que la situación política en Alemania empeoró, cambió de opinión y aceptó cuando se le ofreció el puesto nuevamente. Permaneció allí hasta su jubilación en 1951. Junto con su segunda esposa, Ellen, pasó su tiempo en Princeton y Zúrich, y murió de un infarto el 8 de diciembre de 1955, mientras vivía en Zúrich.

Weyl fue incinerado en Zúrich el 12 de diciembre de 1955. Sus cenizas permanecieron en manos privadas hasta 1999, momento en el que fueron enterradas en una bóveda de columbario al aire libre en el cementerio de Princeton. Los restos del hijo de Hermann, Michael Weyl (1917–2011), están enterrados justo al lado de las cenizas de Hermann en la misma bóveda del columbario.

Weyl era panteísta.

Contribuciones

Hermann Weyl (izquierda) y Ernst Peschl (derecha).

Distribución de valores propios

En 1911, Weyl publicó Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte (Sobre la distribución asintótica de valores propios) en el que demostró que los valores propios del laplaciano en el dominio compacto son distribuidos de acuerdo con la llamada ley de Weyl. En 1912 sugirió una nueva prueba, basada en principios variacionales. Weyl volvió a este tema varias veces, consideró el sistema de elasticidad y formuló la conjetura de Weyl. Estos trabajos iniciaron un dominio importante, la distribución asintótica de valores propios, del análisis moderno.

Fundamentos geométricos de variedades y física

En 1913, Weyl publicó Die Idee der Riemannschen Fläche (El concepto de una superficie de Riemann), que proporcionaba un tratamiento unificado de las superficies de Riemann. En él, Weyl utilizó la topología de conjunto de puntos, para hacer que la teoría de superficies de Riemann fuera más rigurosa, un modelo seguido en trabajos posteriores sobre variedades. Absorbió los primeros trabajos de L. E. J. Brouwer sobre topología para este propósito.

Weyl, como una figura importante en la escuela de Göttingen, estuvo plenamente informado del trabajo de Einstein desde sus primeros días. Siguió el desarrollo de la física de la relatividad en su Raum, Zeit, Materie (Space, Time, Matter) de 1918, llegando a una cuarta edición en 1922. En 1918, introdujo la noción de calibre, y dio el primer ejemplo de lo que ahora se conoce como teoría de calibre. La teoría de calibre de Weyl fue un intento fallido de modelar el campo electromagnético y el campo gravitacional como propiedades geométricas del espacio-tiempo. El tensor de Weyl en la geometría de Riemann es de gran importancia para comprender la naturaleza de la geometría conforme. En 1929, Weyl introdujo el concepto de vierbein en la relatividad general.

Su enfoque general de la física se basó en la filosofía fenomenológica de Edmund Husserl, específicamente en la Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie de Husserl de 1913. Erstes Buch: Allgemeine Einführung in die reine Phänomenologie (Ideas de una fenomenología pura y una filosofía fenomenológica. Libro primero: Introducción general). Husserl había reaccionado enérgicamente a las críticas de Gottlob Frege a su primer trabajo sobre la filosofía de la aritmética y estaba investigando el sentido de las estructuras matemáticas y de otro tipo, que Frege había distinguido de la referencia empírica.

Grupos topológicos, grupos de Lie y teoría de la representación

De 1923 a 1938, Weyl desarrolló la teoría de los grupos compactos, en términos de representaciones matriciales. En el caso compacto del grupo de Lie demostró una fórmula de carácter fundamental.

Estos resultados son fundamentales para comprender la estructura de simetría de la mecánica cuántica, que puso sobre una base de teoría de grupos. Esto incluía a los espinores. Junto con la formulación matemática de la mecánica cuántica, en gran medida debido a John von Neumann, esto dio el tratamiento familiar desde alrededor de 1930. Los grupos no compactos y sus representaciones, en particular el grupo de Heisenberg, también se racionalizaron en ese contexto específico, en su 1927 Cuantización de Weyl, el mejor puente existente entre física clásica y cuántica hasta la actualidad. A partir de este momento, y ciertamente muy ayudados por las exposiciones de Weyl, los grupos de Lie y las álgebras de Lie se convirtieron en una parte fundamental tanto de las matemáticas puras como de la física teórica.

Su libro Los grupos clásicos reconsideró la teoría invariante. Cubrió grupos simétricos, grupos lineales generales, grupos ortogonales y grupos simplécticos y resultados sobre sus invariantes y representaciones.

Análisis armónico y teoría analítica de números

Weyl también mostró cómo usar sumas exponenciales en la aproximación diofántica, con su criterio para la distribución uniforme mod 1, que fue un paso fundamental en la teoría analítica de números. Este trabajo se aplicó a la función zeta de Riemann, así como a la teoría de números aditivos. Fue desarrollado por muchos otros.

Fundamentos de las matemáticas

En The Continuum, Weyl desarrolló la lógica del análisis predicativo utilizando los niveles inferiores de la teoría ramificada de tipos de Bertrand Russell. Pudo desarrollar la mayor parte del cálculo clásico, sin usar ni el axioma de elección ni la prueba por contradicción, y evitando los conjuntos infinitos de Georg Cantor. Weyl apeló en este período al constructivismo radical del idealista subjetivo romántico alemán Fichte.

Poco después de publicar The Continuum, Weyl cambió brevemente su posición completamente hacia el intuicionismo de Brouwer. En The Continuum, los puntos construibles existen como entidades discretas. Weyl quería un continuo que no fuera un agregado de puntos. Escribió un controvertido artículo proclamando, para él y para L. E. J. Brouwer, una "revolución". Este artículo fue mucho más influyente en la propagación de puntos de vista intuicionistas que los trabajos originales del propio Brouwer.

George Pólya y Weyl, durante una reunión de matemáticos reunida en Zürich (9 de febrero de 1918), hizo una apuesta sobre la dirección futura de las matemáticas. Weyl predijo que en los siguientes 20 años, los matemáticos se darían cuenta de la vaguedad total de nociones tales como números reales, conjuntos y contabilidad y, además, que preguntar sobre la verdad o falsedad de la propiedad del límite superior mínimo de los números reales era tan significativo como preguntarse por la verdad de las afirmaciones básicas de Hegel sobre la filosofía de la naturaleza. Cualquier respuesta a tal pregunta sería inverificable, no relacionada con la experiencia y, por lo tanto, sin sentido.

Sin embargo, al cabo de unos años, Weyl decidió que el intuicionismo de Brouwer imponía demasiadas restricciones a las matemáticas, como siempre habían dicho los críticos. La 'Crisis' El artículo había perturbado al maestro formalista de Weyl, Hilbert, pero más tarde, en la década de 1920, Weyl reconcilió parcialmente su posición con la de Hilbert.

Después de alrededor de 1928, Weyl aparentemente había decidido que el intuicionismo matemático no era compatible con su entusiasmo por la filosofía fenomenológica de Husserl, como aparentemente había pensado antes. En las últimas décadas de su vida, Weyl enfatizó las matemáticas como "construcción simbólica" y se movió a una posición más cercana no solo a Hilbert sino también a la de Ernst Cassirer. Sin embargo, Weyl rara vez se refiere a Cassirer y solo escribió breves artículos y pasajes que articulan esta posición.

En 1949, Weyl estaba completamente desilusionado con el valor último del intuicionismo y escribió: "Las matemáticas con Brouwer obtienen su máxima claridad intuitiva. Logra desarrollar los principios del análisis de manera natural, conservando todo el tiempo el contacto con la intuición mucho más estrechamente que antes. No se puede negar, sin embargo, que al avanzar hacia teorías superiores y más generales, la inaplicabilidad de las leyes simples de la lógica clásica finalmente resulta en una incomodidad casi insoportable. Y el matemático observa con dolor cómo la mayor parte de su imponente edificio que creía construido con bloques de hormigón se disuelve en niebla ante sus ojos." Como dice John L Bell: "Me parece una gran lástima que Weyl no viviera para ver el surgimiento en la década de 1970 del análisis infinitesimal suave, un marco matemático dentro del cual su visión de un verdadero continuo, no "sintetizado". ” a partir de elementos discretos, se realiza. Aunque la lógica subyacente del análisis infinitesimal suave es intuicionista (la ley del medio excluido no es generalmente afirmable), las matemáticas desarrolladas dentro evitan la "torpeza insoportable" a la que Weyl se refiere arriba."

Ecuación de Weyl

En 1929, Weyl propuso una ecuación, conocida como ecuación de Weyl, para usar en reemplazo de la ecuación de Dirac. Esta ecuación describe fermiones sin masa. Un fermión de Dirac normal podría dividirse en dos fermiones de Weyl o formarse a partir de dos fermiones de Weyl. Alguna vez se pensó que los neutrinos eran fermiones de Weyl, pero ahora se sabe que tienen masa. Los fermiones de Weyl son buscados para aplicaciones electrónicas. Las cuasipartículas que se comportan como fermiones de Weyl se descubrieron en 2015, en una forma de cristales conocidos como semimetales de Weyl, un tipo de material topológico.

Cotizaciones

  • La cuestión de los cimientos finales y el significado final de las matemáticas sigue abierta; no sabemos en qué dirección encontrará su solución final ni siquiera si se puede esperar una respuesta objetiva final. "Matematizar" bien puede ser una actividad creativa del hombre, como el lenguaje o la música, de la originalidad primaria, cuyas decisiones históricas desafían la racionalización objetiva completa.
Gesammelte Abhandlungencomo se cita Libro de Año – La Sociedad Filosófica Americana, 1943, pág. 392
  • En estos días el ángel de la topología y el diablo de álgebra abstracta lucha por el alma de cada dominio matemático individual. Weyl (1939b, p. 500)
  • Cada vez que usted tiene que ver con una entidad dotada de estructura S tratar de determinar su grupo de automorfismos, el grupo de esas transformaciones basadas en elementos que dejan sin perturbar todas las relaciones estructurales. Usted puede esperar obtener una visión profunda de la constitución de S de esta manera.
Simmetría Princeton Univ. Press, p144; 1952

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