Versina

El versine o seno versado es una función trigonométrica que se encuentra en algunos de los primeros (sánscrito Aryabhatia, Sección I) Tablas trigonométricas. El verseno de un ángulo es 1 menos su coseno.

Hay varias funciones relacionadas, sobre todo coversine y haversine. Este último, medio versino, es de particular importancia en la fórmula de navegación haversine.

Descripción general

El versine o seno versado es una función trigonométrica que ya aparece en algunas de las primeras tablas trigonométricas. Se simboliza en fórmulas utilizando las abreviaturas versin, sinver, vers, ver o siv. En latín, se conoce como sinus versus (seno invertido), versinus, versus o sagitta (flecha).

Expresado en términos de funciones trigonométricas comunes seno, coseno y tangente, el verseno es igual a

$${displaystyle operatorname {versin} theta =1-cos theta =2sin ^{2}{frac {theta }{2}=sin theta ,tan {frac {theta } {2}}$$

Hay varias funciones relacionadas correspondientes al versine:

• El Cosine versado, o vercosina, abreviado vercosina, vercos, o vcs.
• El cubre el pecado o coverine (en latín, cosinus versus o coverinus), abreviado coverin, cubiertas, cosiv, o cvs
• El cubiertos cosine o covercosina, abreviado covercosin, covercos, o cvc

En total analogía con las cuatro funciones mencionadas anteriormente, otro conjunto de cuatro funciones de "medio valor" funciones también existen:

• El se ha ido o haversine (Latin) semiversus), abreviado haversin, semiversin, semiversinus, Havers, Hav, hvs, sem, o hv, más famoso de la fórmula de la Haversine utilizado históricamente en la navegación
• El han tenido cosine o havercosine, abreviado havercosin, havercos, hac o hvc
• El hacoversed sine, hacoversine, o cohaversine, abreviado hacoversin, semicoversin, hacovers, hacov o hcv
• El hacoversed cosine, hacovercosine, o cohavercosine, abreviado hacovercosin, hacovercos o hcc

Historia y aplicaciones

Versine y coversine

La función seno ordinaria (ver nota sobre etimología) a veces fue llamada históricamente sinus rectus ("seno recto"), para contrastarla con el seno versado (sinus versus). El significado de estos términos es evidente si uno mira las funciones en el contexto original para su definición, un círculo unitario:

Para una cuerda vertical AB del círculo unitario, el seno del ángulo θ (que representa la mitad del ángulo subtendido Δ) es la distancia AC (la mitad de la cuerda). Por otro lado, el seno versado de θ es la distancia CD desde el centro de la cuerda hasta el centro del arco. Por lo tanto, la suma de cos(θ) (igual a la longitud de la línea OC) y versin(θ) (igual a la longitud de línea CD) es el radio OD (con longitud 1). Ilustrado de esta manera, el seno es vertical (rectus, literalmente "recto") mientras que el versino es horizontal (versus, literalmente "girado contra, fuera de lugar"); ambas son distancias de C al círculo.

Esta figura también ilustra la razón por la cual el versículo a veces se llamaba sagitta, flecha en latín, del uso árabe sahem del mismo significado. Esto en sí proviene de la palabra india 'sara' (flecha) que se usaba comúnmente para referirse a "utkrama-jya". Si el arco ADB del doble ángulo Δ = 2θ se considera un "arco" y el acorde AB como su "cuerda", entonces la estrofa CD es claramente el "eje de la flecha".

De acuerdo con la interpretación del seno como "vertical" y el seno versado como "horizontal", sagita es también un sinónimo obsoleto de abscisa (el eje horizontal de una gráfica).

En 1821, Cauchy utilizó los términos sinus versus (siv) para el versine y cosinus versus (cosiv) para la cubierta.

Históricamente, el seno versado se consideraba una de las funciones trigonométricas más importantes.

Como θ tiende a cero, versin(θ) es la diferencia entre dos cantidades casi iguales, por lo que un usuario de una tabla trigonométrica solo para el coseno necesitaría una precisión muy alta para obtener el versine con el fin de evitar una cancelación catastrófica, lo que hace conveniente tablas separadas para este último. Incluso con una calculadora o una computadora, los errores de redondeo hacen que sea aconsejable utilizar la fórmula sin² para θ pequeños.

Otra ventaja histórica del versino es que siempre es no negativo, por lo que su logaritmo se define en todas partes excepto en el ángulo único (θ = 0, 2π, …) donde es cero; por lo tanto, se podrían usar tablas logarítmicas para multiplicaciones en fórmulas que involucran versinos.

De hecho, la tabla más antigua que se conserva de valores de senos (medias cuerdas) (a diferencia de las cuerdas tabuladas por Ptolomeo y otros autores griegos), calculada a partir del Surya Siddhantha de la India que data del siglo III a.C., era una tabla de valores para el seno y el seno inverso (en incrementos de 3,75° de 0 a 90°).

El versino aparece como un paso intermedio en la aplicación de la fórmula del medio ángulo sin²(θ/2) = 1/2versin(θ), derivado de Ptolomeo, que se utilizó para construir tales tablas.

Haversine

El haversine, en particular, era importante en la navegación porque aparece en la fórmula haversine, que se utiliza para calcular distancias con razonable precisión en un esferoide astronómico (consulte las cuestiones con el radio de la Tierra frente a la esfera) dado el ángulo posiciones (por ejemplo, longitud y latitud). También se podría usar sin²(θ/2) directamente, pero tener una tabla de haversine eliminó la necesidad de calcular cuadrados y raíces cuadradas.

En 1801 se documenta una temprana utilización por parte de José de Mendoza y Ríos de lo que luego se llamaría haversines.

El primer equivalente inglés conocido a una tabla de haversines fue publicado por James Andrew en 1805, bajo el nombre "Squares of Natural Semi-Chords".

En 1835, el término haversine (anotado naturalmente como hav. o logarítmicamente en base 10 como log. haversine o log. havers.) fue acuñada por James Inman en la tercera edición de su obra Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen para simplificar el cálculo de distancias entre dos puntos de la superficie. de la Tierra utilizando trigonometría esférica para aplicaciones en navegación. Inman también utilizó los términos nat. versine y nat. vers. para versines.

Otras tablas de haversines de gran prestigio fueron las de Richard Farley en 1856 y John Caulfield Hannyngton en 1876.

La haversine sigue utilizándose en navegación y ha encontrado nuevas aplicaciones en las últimas décadas, como en el método de Bruce D. Stark para despejar distancias lunares utilizando logaritmos gaussianos desde 1995 o en un método más compacto para reducir la visión desde 1995. 2014.

Usos modernos

Si bien el uso de versine, coversine y haversine, así como sus funciones inversas, se remonta a siglos atrás, los nombres de las otras cinco cofunciones parecen tener un origen mucho más reciente.

Un período (0 < θ < 2π) de una forma de onda versina o, más comúnmente, una forma de onda haversina (o havercosina) también se usa comúnmente en señales. teoría de procesamiento y control como la forma de un pulso o una función de ventana (incluidas las ventanas de Hann, Hann-Poisson y Tukey), porque suavemente (continua en valor y pendiente) "enciende" de cero a uno (para haversine) y de regreso a cero. En estas aplicaciones, se denomina función de Hann o filtro de coseno elevado. Asimismo, el havercoseno se utiliza en distribuciones de coseno elevado en teoría de probabilidad y estadística.

En la forma de sin²(θ), el haversine del doble ángulo Δ describe la relación entre extensiones y ángulos en términos racionales. trigonometría, una reformulación propuesta de geometrías métricas planas y sólidas por Norman John Wildberger desde 2005.

Identidades matemáticas

Definiciones

${displaystyle {textrm {versin}}(theta):=2sin ^{2}!left({frac {theta }{2}}right)=1-cos(theta),}$
${displaystyle {textrm {coversin}}(theta):={textrm {versin}}!left({frac {pi }{2}}-theta right)=1-sin(theta),}$
${displaystyle {textrm {vercosin}}(theta):=2cos ^{2}!left({frac {theta }{2}}right)=1+cos(theta),}$
${displaystyle {textrm {covercosin}}(theta):={textrm {vercosin}}!left({frac {pi }{2}}-theta right)=1+sin(theta),}$
${displaystyle {textrm {haversin}}(theta):={frac {{textrm {versin}}(theta)}{2}}=sin ^{2}!left({frac {theta }{2}}right)={frac {1-cos(theta)}{2}},}$
${displaystyle {textrm {hacoversin}}(theta):={frac {{textrm {coversin}}(theta)}{2}}={frac {1-sin(theta)}{2}},}$
${displaystyle {textrm {havercosin}}(theta):={frac {{textrm {vercosin}}(theta)}{2}}=cos ^{2}!left({frac {theta }{2}}right)={frac {1+cos(theta)}{2}},}$
${displaystyle {textrm {hacovercosin}}(theta):={frac {{textrm {covercosin}}(theta)}{2}}={frac {1+sin(theta)}{2}},}$

Rotaciones circulares

Las funciones son rotaciones circulares entre sí.

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$

Derivadas e integrales

${displaystyle {frac {mathrm}{mathrm {d}mathrm {versin} (x)=sin {x}$	${displaystyle int mathrm {versin} (x),mathrm {d} x=x-sin {x}+C}$
${displaystyle {frac {mathrm {d}{mathrm {d}mathrm {vercosin} (x)=-sin {x}$	${displaystyle int mathrm {vercosin} (x),mathrm {d} x=x+sin {x}+C}$
${displaystyle {frac {mathrm}{mathrm {d}mathrm {coversin} (x)=-cos {x}$	${displaystyle int mathrm {coversin} (x),mathrm {d} x=x+cos {x}+C}$
${displaystyle {frac {mathrm}{mathrm {d}mathrm {covercosin} (x)=cos {x}$	${displaystyle int mathrm {covercosin} (x),mathrm {d} x=x-cos {x}+C}$
${displaystyle {frac {mathrm}{mathrm {d}mathrm {fnhm {haversin} (x)={frac {sin} {x}{2}}}}$	${displaystyle int mathrm {haversin} (x),mathrm {d} x={frac {x-sin {x}{2}}+C}$
${displaystyle {frac {mathrm}{mathrm {d}mathrm {} {m} {m} {m} {cH00} {cH00FF} {cH00FF} {cH00FF}}m} {cH00FF}cH00}cH00} {cH00}cH00}}}}}}}cH00}cH00}}}}cH00}}cH00}}cH00}cH00}}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}}}cH00}}}}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}}}cH00}}}cH00} {x}{2}}}}$	${displaystyle int mathrm {havercosin} (x),mathrm {d} x={frac {x+sin {x}{2}}+C}$
${displaystyle {frac {mathrm}{mathrm {d}mathrm {hacoversin} (x)={frac {-cos {x}{2}}}}$	${displaystyle int mathrm {hacoversin} (x),mathrm {d} x={frac {x+cos {x}{2}}+C}$
${displaystyle {frac {mathrm}{mathrm {d}mathrm {} {hacovercosin} (x)={frac {cos {cos}}}m} {fnMicrosoft} {fnMicros} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrox} {fnMicrosoft}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}fnKf}fnKf}f}f}}fnunf}f}f}fnMicrom}fnKfnMicrom}}fnKf}fnun}f}}fnMi {x}{2}}}}$	${displaystyle int mathrm {hacovercosin} (x),mathrm {d} x={frac {x-cos {x}{2}}+C}$

Funciones inversas

Funciones inversas como arcversine (arcversin, arcvers, avers, aver), arcvercosine (arcvercosin, arcvercos, avercos, avcs), arccoversine (arccoversin, arccovers, acovers, acvs), arccovercosine (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc), archaversine (archaversin, archav, haversin⁻¹, invhav, ahav, ahvs, ahv, hav⁻¹), archavercosina (archavercosina, archavercos, ahvc), archacoversina (archacoversina, ahcv) o archacovercosine (archacovercosin, archacovercos, ahcc) también existen:

${displaystyle operatorname {arcversin} (y)=arccos left(1-yright),}$

${displaystyle operatorname {arcvercos} (y)=arccos left(y-1right),}$

${displaystyle operatorname {arccoversin} (y)=arcsin left(1-yright),}$

${displaystyle operatorname {arccovercos} (y)=arcsin left(y-1right),}$

${displaystyle operatorname {archaversin} (y)=2arcsin left({sqrt {y}right)=arccos left(1-2yright),}$

${displaystyle operatorname {archavercos} (y)=2arccos left({sqrt {y}right)=arccos left(2y-1right)}$

${displaystyle operatorname {archacoversin} (y)=arcsin left(1-2yright),}$

${displaystyle operatorname {archacovercos} (y)=arcsin left(2y-1right),}$

Otras propiedades

Estas funciones se pueden extender al plano complejo.

Serie Maclaurin:

${displaystyle {begin{aligned}operatorname {versin} (z) {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}\\\\\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f}} {f}}} {f}}}}} {fnMicrob}} {f} {f}}fnMicrob} {f}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}fnun} {fnun}} {fnun}}}fnun}fnun}f}fnun} {fnun} {fnun} {fnun}}f}fnun} {f}fn$

${displaystyle lim _{theta to 0}{frac {operatorname {versin} {theta)}{theta }=0}$

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$

Aproximaciones

Cuando el versino v es pequeño en comparación con el radio r, se puede aproximar a partir de la longitud de la media cuerda L (la distancia AC mostrada arriba) por la fórmula

$${displaystyle vapprox {frac {L^{2} {2r}}}$$

Alternativamente, si el versino es pequeño y se conocen el versino, el radio y la longitud de la media cuerda, se pueden usar para estimar la longitud del arco s (AD en la figura anterior) por la fórmula

$${displaystyle sapprox L+{frac {v^{2}{r}}} {f}}}$$

Una aproximación más precisa utilizada en ingeniería es

$${displaystyle vapprox {fnMicroc} {3}{2}L^{frac} {1} {2}} {8r}}} {}} {}}} {}}}} {}}} {}}} {}}}} {}}}}}} {}}}}} {}} {}}} {}}}}} {}}}} {}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {} {}}}}}}}} {}}}}} {}}}}} {}}}}} {}}}}} {} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {} {} {} {} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Curvas y acordes arbitrarios

El término versine también se utiliza a veces para describir desviaciones de la rectitud en una curva plana arbitraria, de la cual el círculo anterior es un caso especial. Dada una cuerda entre dos puntos en una curva, la distancia perpendicular v desde la cuerda a la curva (generalmente en el punto medio de la cuerda) se llama medida versina. Para una línea recta, el verseno de cualquier cuerda es cero, por lo que esta medida caracteriza la rectitud de la curva. En el límite, cuando la longitud de la cuerda L llega a cero, la relación 8v/L²< /span> va a la curvatura instantánea. Este uso es especialmente común en el transporte ferroviario, donde describe mediciones de la rectitud de las vías del tren y es la base del método Hallade para la topografía ferroviaria.

El término sagita (a menudo abreviado sag) se utiliza de manera similar en óptica para describir las superficies de lentes y espejos.