Verdad vacía

En matemáticas y lógica, una verdad vacía es una declaración condicional o universal (una declaración universal que se puede convertir en una declaración condicional) que es verdadera porque el antecedente no se puede satisfacer. Por ejemplo, la declaración "ella no tiene un teléfono celular" implicará que la declaración "todos sus teléfonos celulares están apagados" se le asignará un valor de verdad. Además, la declaración "todos sus teléfonos celulares están encendidos" también sería vagamente cierto, al igual que la conjunción de los dos: "todos sus teléfonos celulares están encendidos y apagados", lo que de otro modo sería incoherente y falso. Por esa razón, a veces se dice que una declaración es vagamente verdadera porque no tiene sentido.

Más formalmente, un uso relativamente bien definido se refiere a una declaración condicional (o una declaración condicional universal) con un antecedente falso. Un ejemplo de tal afirmación es "si Tokio está en Francia, entonces la Torre Eiffel está en Bolivia".

Tales enunciados se consideran verdades vacías, porque el hecho de que el antecedente sea falso impide usar el enunciado para inferir algo sobre el valor de verdad del consecuente. En esencia, un enunciado condicional, que se basa en el condicional material, es verdadero cuando el antecedente ("Tokio está en Francia" en el ejemplo) es falso independientemente de si la conclusión o el consecuente (" la Torre Eiffel está en Bolivia" en el ejemplo) es verdadero o falso porque el condicional material se define de esa manera.

Ejemplos comunes al habla cotidiana incluyen frases condicionales utilizadas como modismos de improbabilidad como "cuando el infierno se congela..." y "cuando los cerdos pueden volar...", indicando que no antes de que se cumpla la condición dada (imposible) el hablante aceptará alguna proposición respectiva (típicamente falsa o absurda).

En matemáticas puras, los enunciados vacuamente verdaderos generalmente no son de interés por sí mismos, pero con frecuencia surgen como el caso base de las demostraciones por inducción matemática. Esta noción tiene relevancia en las matemáticas puras, así como en cualquier otro campo que utilice la lógica clásica.

Fuera de las matemáticas, las afirmaciones que se pueden caracterizar informalmente como vagamente verdaderas pueden ser engañosas. Tales declaraciones hacen afirmaciones razonables sobre objetos calificados que en realidad no existen. Por ejemplo, un niño podría decir sinceramente a sus padres 'Comí todas las verduras de mi plato', cuando para empezar no había verduras en el plato del niño. En este caso, el padre puede creer que el niño realmente ha comido algunas verduras, aunque eso no sea cierto. Además, una verdad vacía a menudo se usa coloquialmente con afirmaciones absurdas, ya sea para afirmar algo con confianza (por ejemplo, 'el perro era rojo, o soy el tío de un mono' para afirmar con firmeza que el dog was red), o para expresar duda, sarcasmo, incredulidad, incredulidad o indignación (por ejemplo, "sí, y yo'soy el rey de Inglaterra" para estar en desacuerdo con una declaración hecha anteriormente).

Alcance del concepto

Una declaración ${displaystyle S.$ es "vacuously true" si se asemeja a una declaración condicional material ${displaystyle PRightarrow Q}$, donde el antecedente ${displaystyle P}$ se sabe que es falso.

Las declaraciones vacías de verdad que se pueden reducir (con las transformaciones adecuadas) a esta forma básica (condicional material) incluyen las siguientes declaraciones universalmente cuantificadas:

• ${displaystyle forall x:P(x)Rightarrow Q(x)}$, donde es el caso que ${displaystyle forall x:neg P(x)}$.
• ${displaystyle forall xin A:Q(x)}$, donde el conjunto ${displaystyle A}$ está vacío.
  • Esta forma lógica ${displaystyle forall xin A:Q(x)}$ se puede convertir a la forma condicional material para identificar fácilmente el antecedente. Para el ejemplo anterior ${displaystyle S.$ "todos los teléfonos celulares en la habitación están apagados", puede ser formalmente escrito como ${displaystyle forall xin A:Q(x)}$ Donde ${displaystyle A}$ es el conjunto de todos los teléfonos celulares en la habitación y ${displaystyle Q(x)}$ es "${displaystyle x}$ está apagado". Esto se puede escribir a una declaración condicional material ${displaystyle forall xin B:P(x)Rightarrow Q(x)}$ Donde ${displaystyle B}$ es el conjunto de todas las cosas en la habitación (incluyendo los teléfonos celulares si existen en la habitación), el antecedente ${displaystyle P(x)}$ es "${displaystyle x}$ es un teléfono celular", y el consiguiente ${displaystyle Q(x)}$ es "${displaystyle x}$ está apagado".
• ${displaystyle forall xi:Q(xi)}$, donde el símbolo ${displaystyle xi }$ se limita a un tipo que no tiene representantes.

Las verdades abundantes aparecen más comúnmente en la lógica clásica con dos valores de verdad. Sin embargo, las verdades vacuosas también pueden aparecer en, por ejemplo, la lógica intuitionista, en las mismas situaciones que se han dado anteriormente. De hecho, si ${displaystyle P}$ es falso, entonces ${displaystyle PRightarrow Q}$ producirá una verdad vacua en cualquier lógica que use el condicional material; si ${displaystyle P}$ es una falsedad necesaria, entonces también dará una verdad vacua bajo el estricto condicional.

Otras lógicas no clásicas, como la lógica de la relevancia, pueden intentar evitar verdades vacías mediante el uso de condicionales alternativos (como el caso del condicional contrafáctico).

En programación de computadoras

Muchos entornos de programación tienen un mecanismo para consultar si cada elemento de una colección de elementos satisface algún predicado. Es común que una consulta de este tipo siempre se evalúe como verdadera para una colección vacía. Por ejemplo:

• En JavaScript, el método array every ejecuta una función de callback proporcionada una vez para cada elemento presente en el array, sólo parar (si y cuándo) encuentra un elemento donde la función callback devuelve falso. Notablemente, llamando al every método en un array vacío volverá verdadero para cualquier condición.
• En Python, el all función devuelve True si todos los elementos de la iterable dada son True. La función también devuelve True cuando se le da una iterable de cero longitud.
• En Rust, el Iterator::all función acepta un iterador y un predicado y devuelve true sólo cuando el predicado regrese true para todos los elementos producidos por el iterador, o si el iterador no produce elementos.

Ejemplos

Estos ejemplos, uno de las matemáticas y otro del lenguaje natural, ilustran el concepto de verdades vacías:

• "Para cualquier entero x, si x > 5 entonces x > 3." – Esta declaración es verdadera no vacualmente (ya que algunos enteros son más grandes que 5), pero algunas de sus implicaciones son sólo vacuosamente verdaderas: por ejemplo, cuando x es el entero 2, la declaración implica la verdad vacua que "si 2 Conf 5 entonces 2 ").
• "Todos mis hijos son cabras" es una verdad vacua, cuando se habla por alguien sin hijos. Análogamente, "Ninguno de mis hijos son cabras" también sería una verdad vacuna, cuando se habla por alguien sin hijos (posiblemente la misma persona).