Velocidad terminal

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Velocidad más alta alcanzable por un objeto caída

La fuerza descendente de la gravedad (F_g) equivale a la fuerza de restricción de la arrastre (F_dAdemás de la flotabilidad. La fuerza neta en el objeto es cero, y el resultado es que la velocidad del objeto permanece constante.

Velocidad terminal es la velocidad máxima que puede alcanzar un objeto cuando cae a través de un fluido (el aire es el ejemplo más común). Ocurre cuando la suma de la fuerza de arrastre (F_d) y la flotabilidad es igual a la fuerza descendente de la gravedad (F_G) actuando sobre el objeto. Como la fuerza neta sobre el objeto es cero, el objeto tiene aceleración cero.

En dinámica de fluidos, un objeto se mueve a su velocidad terminal si su velocidad es constante debido a la fuerza de restricción ejercida por el fluido a través del cual se mueve.

A medida que aumenta la velocidad de un objeto, también lo hace la fuerza de arrastre que actúa sobre él, que también depende de la sustancia por la que pasa (por ejemplo, aire o agua). A cierta velocidad, el arrastre o fuerza de resistencia será igual al tirón gravitatorio sobre el objeto (la flotabilidad se considera a continuación). En este punto, el objeto deja de acelerar y continúa cayendo a una velocidad constante llamada velocidad terminal (también llamada velocidad de asentamiento). Un objeto que se mueve hacia abajo más rápido que la velocidad terminal (por ejemplo, porque fue lanzado hacia abajo, cayó desde una parte más delgada de la atmósfera o cambió de forma) se ralentizará hasta que alcance la velocidad terminal. El arrastre depende del área proyectada, aquí representada por la sección transversal o la silueta del objeto en un plano horizontal. Un objeto con un área proyectada grande en relación con su masa, como un paracaídas, tiene una velocidad terminal más baja que uno con un área proyectada pequeña en relación con su masa, como un dardo. En general, para la misma forma y material, la velocidad terminal de un objeto aumenta con el tamaño. Esto se debe a que la fuerza hacia abajo (peso) es proporcional al cubo de la dimensión lineal, pero la resistencia del aire es aproximadamente proporcional al área de la sección transversal que aumenta solo con el cuadrado de la dimensión lineal. Para objetos muy pequeños como el polvo y la niebla, la velocidad terminal es superada fácilmente por las corrientes de convección que pueden evitar que lleguen al suelo y, por lo tanto, pueden permanecer suspendidos en el aire por períodos indefinidos. La contaminación del aire y la niebla son ejemplos.

Ejemplos

Gráfico de velocidad versus tiempo de un skydiver alcanzando una velocidad terminal.

En función de la resistencia del aire, por ejemplo, la velocidad terminal de un paracaidista en una posición de caída libre de vientre a tierra (es decir, boca abajo) es de aproximadamente 55 m/s (180 pies/s). Esta velocidad es el valor límite asintótico de la velocidad, y las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se equilibran cada vez más a medida que se acerca a la velocidad terminal. En este ejemplo, se alcanza una velocidad del 50 % de la velocidad terminal después de solo unos 3 segundos, mientras que se necesitan 8 segundos para alcanzar el 90 %, 15 segundos para alcanzar el 99 % y así sucesivamente.

Se pueden alcanzar velocidades más altas si el paracaidista contrae las extremidades (ver también vuelo libre). En este caso, la velocidad terminal aumenta a unos 90 m/s (300 pies/s), que es casi la velocidad terminal del halcón peregrino que se lanza sobre su presa. Se alcanza la misma velocidad terminal para una bala típica.30-06 que cae hacia abajo, cuando regresa al suelo después de haber sido disparada hacia arriba o arrojada desde una torre, según un estudio de artillería del ejército de EE. UU. De 1920.

Velocidad de competencia paracaidistas vuelan cabeza abajo y puede alcanzar velocidades de 150 m/s (490 ft/s); el récord actual lo tiene Felix Baumgartner, quien saltó desde una altitud de 38 887 m (127 582 ft) y alcanzó los 380 m/ s (1200 ft/s), aunque logró esta velocidad a gran altura, donde la densidad del aire es mucho menor que en la superficie de la Tierra, lo que produce una fuerza de arrastre correspondientemente menor.

El biólogo J. B. S. Haldane escribió,

Para el ratón y cualquier animal más pequeño [gravedad] no presenta prácticamente ningún peligro. Usted puede bajar un ratón por un eje de mina de mil yardas; y, al llegar a la parte inferior, consigue un ligero shock y se aleja. Una rata es asesinada, un hombre está roto, un caballo pica. Para la resistencia presentada al movimiento por el aire es proporcional a la superficie del objeto en movimiento. Divide la longitud, la anchura y la altura de un animal cada diez; su peso se reduce a mil, pero su superficie sólo a cien. Así que la resistencia a caer en el caso del animal pequeño es relativamente diez veces mayor que la fuerza motriz.

Física

Usando términos matemáticos, la velocidad terminal, sin considerar los efectos de flotabilidad, viene dada por

{displaystyle V_{t}={sqrt {frac {2mg}{rho AC_{d}}}}}

$V_{t}$ representa la velocidad terminal,
$m$ es la masa del objeto que cae,
$g$ es la aceleración debido a la gravedad,
$C_{d}$ es el coeficiente de arrastre,
$rho$ es la densidad del fluido a través del cual el objeto está cayendo, y
$A$ es el área proyectada del objeto.

En realidad, un objeto se aproxima asintóticamente a su velocidad terminal.

Los efectos de buoyancy, debido a la fuerza ascendente sobre el objeto por el fluido circundante, se pueden tener en cuenta utilizando el principio de Arquímedes: la masa $m$ debe reducirse por la masa de fluidos desplazados $rho V$ , con $V$ el volumen del objeto. Así que en lugar de $m$ utilizar la masa reducida ${displaystyle m_{r}=m-rho V}$ en esto y fórmulas posteriores.

La velocidad terminal de un objeto cambia debido a las propiedades del fluido, la masa del objeto y su área de superficie transversal proyectada.

La densidad del aire aumenta con la disminución de la altitud, aproximadamente un 1 % por cada 80 metros (260 pies) (consulte la fórmula barométrica). Para objetos que caen a través de la atmósfera, por cada 160 metros (520 pies) de caída, la velocidad terminal disminuye un 1 %. Después de alcanzar la velocidad terminal local, mientras continúa la caída, la velocidad disminuye para cambiar con la velocidad terminal local.

Derivación de la velocidad terminal

Usando términos matemáticos, definiendo abajo como positivo, la fuerza neta que actúa sobre un objeto que cae cerca de la superficie de la Tierra es (según la ecuación de arrastre):

{displaystyle F_{text{net}}=ma=mg-{frac {1}{2}}rho v^{2}AC_{d},}

vtt

En el equilibrio, la fuerza neta es cero (F_net = 0) y la velocidad se convierte en la velocidad terminal $lim t \to\infty v (t) = V t$ :

{displaystyle mg-{1 over 2}rho V_{t}^{2}AC_{d}=0.}

Resolviendo para V_t se obtiene

{displaystyle V_{t}={sqrt {frac {2mg}{rho AC_{d}}}}.}

()5)

Derivación de la solución para la velocidad v como función del tiempo t

La ecuación de la arrastre es: ***, g y C_d ser constantes:

{displaystyle ma=m{frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} t}}=mg-{frac {1}{2}}rho v^{2}AC_{d}.}

Aunque esta es una ecuación Riccati que se puede resolver reduciendo a una ecuación diferencial lineal de segundo orden, es más fácil separar variables.

Una forma más práctica de esta ecuación se puede obtener haciendo la sustitución $α 2 = ρAC d / 2 mg$ .

Dividir ambos lados por m da

{displaystyle {frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} t}}=gleft(1-alpha ^{2}v^{2}right).}

La ecuación puede ser reorganizada en

{displaystyle mathrm {d} t={frac {mathrm {d} v}{g(1-alpha ^{2}v^{2})}}.}

Tomando la parte integral de ambas partes rendimientos

{displaystyle int _{0}^{t}{mathrm {d} t'}={1 over g}int _{0}^{v}{frac {mathrm {d} v'}{1-alpha ^{2}v^{prime 2}}}.}

Después de la integración, esto se convierte

{displaystyle t-0={1 over g}left[{ln(1+alpha v') over 2alpha }-{frac {ln(1-alpha v')}{2alpha }}+Cright]_{v'=0}^{v'=v}={1 over g}left[{ln {frac {1+alpha v'}{1-alpha v'}} over 2alpha }+Cright]_{v'=0}^{v'=v}}

o en forma más simple

{displaystyle t={1 over 2alpha g}ln {frac {1+alpha v}{1-alpha v}}={frac {mathrm {artanh} (alpha v)}{alpha g}},}

con artanh la función inversa hiperbólica tangente.

Alternativamente,

{displaystyle {frac {1}{alpha }}tanh(alpha gt)=v,}

con tanh la función hiperbólica tangente. Suponiendo que g es positivo (que se definió para ser), y sustitución α atrás, la velocidad v se convierte en

{displaystyle v={sqrt {frac {2mg}{rho AC_{d}}}}tanh left(t{sqrt {frac {grho AC_{d}}{2m}}}right).}

Usando la fórmula para la velocidad terminal

{displaystyle V_{t}={sqrt {frac {2mg}{rho AC_{d}}}}}

la ecuación puede ser reescrita como

{displaystyle v=V_{t}tanh left(t{frac {g}{V_{t}}}right).}

Como el tiempo tiende a infinito (t → ∞), el tangente hiperbólico tiende a 1, dando lugar a la velocidad terminal

{displaystyle V_{t}=lim _{tto infty }v(t)={sqrt {frac {2mg}{rho AC_{d}}}}.}

Velocidad terminal en un flujo progresivo

Flujo arrastrando por una esfera: aerodinámica, fuerza de arrastre F_d y fuerza por gravedad F_g

Para un movimiento muy lento del fluido, las fuerzas inercias del fluido son insignificantes (asunción del fluido sin masa) en comparación con otras fuerzas. Tales flujos se denominan arroyos o flujos de Stokes y la condición de estar satisfecho para que los flujos sean fluídos es el número Reynolds, $Rell 1$ . La ecuación del movimiento para fluir (ecuación simplificada Navier–Stokes) es dada por

{displaystyle {mathbf {nabla } }p=mu nabla ^{2}{mathbf {v} }}

$mathbf {v}$ es el campo vectorial de velocidad de fluido,
$p$ es el campo de presión del fluido,
$mu$ es la viscosidad líquido/fluida.

La solución analítica para el flujo de corriente alrededor de una esfera fue dada por Stokes en 1851. De la solución de Stokes, la fuerza de arrastre actuando en la esfera del diámetro $d$ se puede obtener como

{displaystyle D=3pi mu dVqquad {text{or}}qquad C_{d}={frac {24}{Re}}}

()6)

donde el número Reynolds, ${displaystyle Re={frac {rho d}{mu }}V}$ . La expresión de la fuerza de arrastre dada por la ecuación (6Se llama ley de Stokes.

Cuando el valor de $C_{d}$ se sustituye en la ecuación (5), obtenemos la expresión para la velocidad terminal de un objeto esférico que se mueve bajo condiciones de flujo escalofriante:

{displaystyle V_{t}={frac {gd^{2}}{18mu }}left(rho _{s}-rho right),}

rho_s

Aplicaciones

Los resultados del flujo progresivo se pueden aplicar para estudiar el asentamiento de sedimentos cerca del fondo del océano y la caída de las gotas de humedad en la atmósfera. El principio también se aplica en el viscosímetro de esfera descendente, un dispositivo experimental utilizado para medir la viscosidad de fluidos altamente viscosos, por ejemplo, aceite, parafina, alquitrán, etc.

Velocidad terminal en presencia de fuerza de flotación

Velocidad de ajuste W_s de un grano de arena (diámetro d, densidad 2650 kg/m³) en agua a 20 °C, computado con la fórmula de Soulsby (1997).

Cuando se tienen en cuenta los efectos de la flotabilidad, un objeto que cae a través de un fluido por su propio peso puede alcanzar una velocidad terminal (velocidad de asentamiento) si la fuerza neta que actúa sobre el objeto se vuelve cero. Cuando se alcanza la velocidad terminal, el peso del objeto se equilibra exactamente con la fuerza de flotación hacia arriba y la fuerza de arrastre. Eso es

{displaystyle W=F_{b}+D}

()1)

dónde

$W$ es el peso del objeto,
$F_{b}$ es la fuerza de flotación que actúa sobre el objeto, y
$D$ es la fuerza de arrastre que actúa sobre el objeto.

Si el objeto que cae tiene forma esférica, la expresión de las tres fuerzas se da a continuación:

{displaystyle W={frac {pi }{6}}d^{3}rho _{s}g,}

()2)

{displaystyle F_{b}={frac {pi }{6}}d^{3}rho g,}

()3)

{displaystyle D=C_{d}{frac {1}{2}}rho V^{2}A,}

()4)

dónde

$d$ es el diámetro del objeto esférico,
$g$ es la aceleración gravitacional,
$rho$ es la densidad del fluido,
$rho_s$ es la densidad del objeto,
$A={frac {1}{4}}pi d^{2}$ es el área proyectada de la esfera,
$C_{d}$ es el coeficiente de arrastre, y
$V$ es la velocidad característica (tomada como velocidad terminal, $V_{t}$ ).

Sustitución de ecuaciones (2–4) en la ecuación (1) y resolución para la velocidad terminal, $V_{t}$ para dar la siguiente expresión

{displaystyle V_{t}={sqrt {{frac {4gd}{3C_{d}}}left({frac {rho _{s}-rho }{rho }}right)}}.}

()5)

En la ecuación (1), se supone que el objeto es más denso que el fluido. De lo contrario, el signo de la fuerza de arrastre debe hacerse negativo ya que el objeto se moverá hacia arriba, en contra de la gravedad. Algunos ejemplos son las burbujas que se forman en el fondo de una copa de champán y los globos de helio. La velocidad terminal en tales casos tendrá un valor negativo, correspondiente a la tasa de ascenso.