Variedad (matemáticas)

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En matemáticas, una variedad es un espacio topológico que localmente se parece al espacio euclidiano cerca de cada punto. Más precisamente, una variedad n -dimensional, o n - variedad para abreviar, es un espacio topológico con la propiedad de que cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto del espacio euclidiano n -dimensional.

Las variedades unidimensionales incluyen líneas y círculos, pero no ochos. Las variedades bidimensionales también se denominan superficies. Los ejemplos incluyen el plano, la esfera y el toro, y también la botella de Klein y el plano proyectivo real.

El concepto de variedad es fundamental para muchas partes de la geometría y la física matemática moderna porque permite describir estructuras complicadas en términos de propiedades topológicas bien entendidas de espacios más simples. Las variedades surgen naturalmente como conjuntos solución de sistemas de ecuaciones y como gráficas de funciones. El concepto tiene aplicaciones en gráficos por computadora dada la necesidad de asociar imágenes con coordenadas (por ejemplo, tomografías computarizadas).

Los colectores se pueden equipar con una estructura adicional. Una clase importante de variedades son las variedades diferenciables; su estructura diferenciable permite realizar cálculos. Una métrica riemanniana en una variedad permite medir distancias y ángulos. Las variedades simplécticas sirven como espacios de fase en el formalismo hamiltoniano de la mecánica clásica, mientras que las variedades lorentzianas de cuatro dimensiones modelan el espacio-tiempo en la relatividad general.

El estudio de las variedades requiere conocimientos prácticos de cálculo y topología.

Ejemplos motivadores

Círculo

Después de una línea, un círculo es el ejemplo más simple de una variedad topológica. La topología ignora la flexión, por lo que una pequeña parte de un círculo se trata igual que una pequeña parte de una línea. Considerando, por ejemplo, la parte superior del círculo unitario, x + y = 1, donde la coordenada y es positiva (indicada por el arco amarillo en la Figura 1). Cualquier punto de este arco se puede describir únicamente por su coordenada x. Entonces, la proyección sobre la primera coordenada es un mapeo continuo e invertible desde el arco superior hasta el intervalo abierto (−1, 1):

{displaystyle chi _{mathrm {arriba} }(x,y)=x.,}

Estas funciones, junto con las regiones abiertas que mapean, se denominan gráficos. Del mismo modo, hay gráficos para las partes inferior (roja), izquierda (azul) y derecha (verde) del círculo:

{displaystyle {begin{alineado}chi_{mathrm {abajo} }(x,y)&=x\chi_{mathrm {izquierda} }(x,y)&=y\ chi _{mathrm {derecha} }(x,y)&=y.end{alineado}}}

Juntas, estas partes cubren todo el círculo y los cuatro gráficos forman un atlas para el círculo.

Los gráficos superior y derecho, ${displaystyle chi _{mathrm {arriba} }}$ y ${ estilo de visualización chi _ { mathrm {derecha}}}$ respectivamente, se superponen en su dominio: su intersección se encuentra en el cuarto del círculo donde ambas coordenadas $X$ y $y$ son positivas. Ambos asignan esta parte al intervalo $(0,1)$ , aunque de manera diferente. Por lo tanto, se puede construir una función ${displaystyle T:(0,1)rightarrow (0,1)=chi_{mathrm {derecha}}circ chi_{mathrm {arriba}}^{-1}}$ que toma valores del codominio de ${displaystyle chi _{mathrm {arriba} }}$ back to the circle usando el inverso, seguido de ${ estilo de visualización chi _ { mathrm {derecha}}}$ back to the interval. Para cualquier número a en $(0,1)$ , entonces:

{displaystyle {begin{alineado}T(a)&=chi_{mathrm {derecha}}left(chi_{mathrm {arriba}}^{-1}left[aright] right)\&=chi _{mathrm {right} }left(a,{sqrt {1-a^{2}}}right)\&={sqrt {1-a^ {2}}}end{alineado}}}

Tal función se llama mapa de transición.

Los gráficos superior, inferior, izquierdo y derecho no forman el único atlas posible. Los gráficos no necesitan ser proyecciones geométricas, y el número de gráficos es una cuestión de elección. Considere los gráficos

{displaystyle chi _{mathrm {menos} }(x,y)=s={frac {y}{1+x}}}

{displaystyle chi _{mathrm {más} }(x,y)=t={frac {y}{1-x}}}

Aquí s es la pendiente de la línea que pasa por el punto en las coordenadas (x, y) y el punto de pivote fijo (−1, 0); de manera similar, t es el opuesto de la pendiente de la línea que pasa por los puntos en las coordenadas (x, y) y (+1, 0). La aplicación inversa de s a (x, y) viene dada por

{displaystyle {begin{alineado}x&={frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}\[5pt]y&={frac {2s}{1+s ^{2}}}end{alineado}}}

Se puede confirmar que x + y = 1 para todos los valores de s y t. Estos dos gráficos proporcionan un segundo atlas para el círculo, con el mapa de transición

(es decir, uno tiene esta relación entre s y t para cada punto donde s y t son ambos distintos de cero).

Cada gráfico omite un solo punto, ya sea (−1, 0) para s o (+1, 0) para t, por lo que ninguno de los gráficos por sí solo es suficiente para cubrir todo el círculo. Se puede demostrar que no es posible cubrir el círculo completo con un solo gráfico. Por ejemplo, aunque es posible construir un círculo a partir de un intervalo de una sola línea superponiendo y "pegando" los extremos, esto no produce un gráfico; una parte del círculo se asignará a ambos extremos a la vez, perdiendo la invertibilidad.

Esfera

La esfera es un ejemplo de superficie. La esfera unitaria de la ecuación implícitax + y + z – 1 = 0

puede ser cubierto por un atlas de seis cartas: el plano z = 0 divide la esfera en dos semiesferas (z > 0 y z < 0), las cuales pueden ser mapeadas en el disco x + y < 1 por la proyección en el plano de coordenadas xy. Esto proporciona dos gráficos; las otras cuatro cartas son proporcionadas por una construcción similar con los otros dos planos de coordenadas.

En cuanto al círculo, se puede definir un gráfico que cubra toda la esfera excluyendo un punto. Así dos cartas son suficientes, pero la esfera no puede ser cubierta por una sola carta.

Este ejemplo es históricamente significativo, ya que ha motivado la terminología; se hizo evidente que toda la superficie de la Tierra no puede tener una representación plana que consista en un solo mapa (también llamado "carta", ver carta náutica), y por lo tanto uno necesita atlas para cubrir toda la superficie de la Tierra.

Otras curvas

No es necesario conectar los colectores (todos en "una sola pieza"); un ejemplo es un par de círculos separados.

No es necesario cerrar los colectores; por lo tanto, un segmento de línea sin sus puntos finales es una variedad. Nunca son contables, a menos que la dimensión de la variedad sea 0. Juntando estas libertades, otros ejemplos de variedades son una parábola, una hipérbola y el lugar geométrico de los puntos en una curva cúbica y = x − x (una pieza de bucle cerrado y una pieza abierta, infinita).

Sin embargo, se excluyen ejemplos como dos círculos que se tocan y que comparten un punto para formar una figura 8; en el punto compartido, no se puede crear un gráfico satisfactorio. Incluso con la flexión permitida por la topología, la vecindad del punto compartido parece un "+", no una línea. Un "+" no es homeomorfo a un segmento de línea, ya que al eliminar el punto central del "+" se obtiene un espacio con cuatro componentes (es decir, piezas), mientras que al eliminar un punto de un segmento de línea se obtiene un espacio con dos piezas como máximo; Las operaciones topológicas siempre conservan el número de piezas.

Definición matemática

De manera informal, una variedad es un espacio que está "modelado en" el espacio euclidiano.

Hay muchos tipos diferentes de colectores. En geometría y topología, todas las variedades son variedades topológicas, posiblemente con estructura adicional. Se puede construir una variedad proporcionando una colección de gráficos de coordenadas, es decir, una cobertura de conjuntos abiertos con homeomorfismos en un espacio euclidiano y funciones de parcheo.: homeomorfismos de una región del espacio euclidiano a otra región si corresponden a la misma parte de la variedad en dos tablas de coordenadas diferentes. Se puede dar una estructura adicional a una variedad si las funciones de parcheo satisfacen axiomas más allá de la continuidad. Por ejemplo, las variedades diferenciables tienen homeomorfismos en vecindades superpuestas que son difeomorfas entre sí, de modo que la variedad tiene un conjunto bien definido de funciones que son diferenciables en cada vecindad y, por lo tanto, diferenciables en la variedad como un todo.

Formalmente, una variedad (topológica) es un segundo espacio de Hausdorff numerable que es localmente homeomorfo al espacio euclidiano.

El segundo contable y Hausdorff son condiciones de conjunto de puntos; el segundo contable excluye espacios que en cierto sentido son 'demasiado grandes' como la línea larga, mientras que Hausdorff excluye espacios como "la línea con dos orígenes" (estas generalizaciones de variedades se discuten en variedades que no son de Hausdorff).

Localmente homeomorfo al espacio euclidiano significa que cada punto tiene un vecindario homeomorfo a una n -bola euclidiana abierta,

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050d0ea2206b03740a41f5b46f4d856e7a0886ab" alt="{displaystyle mathbf {B} ^{n}=left{(x_{1},x_{2},dots,x_{n})in mathbb {R} ^{n}mid x_ {1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{n}^{2}

Más precisamente, localmente homeomorfo aquí significa que cada punto m en la variedad M tiene un vecindario abierto homeomorfo a un vecindario abierto en el espacio euclidiano. Sin embargo, dado tal homeomorfismo, la imagen previa de una $epsilon$ bola da un homeomorfismo entre la bola unitaria y una vecindad más pequeña de m, por lo que no se pierde la generalidad. Para variedades topológicas o diferenciables, también se puede pedir que cada punto tenga una vecindad homeomorfa a todo el espacio euclidiano (ya que esto es difeomorfo a la bola unitaria), pero esto no se puede hacer para variedades complejas, ya que la bola unitaria compleja no es holomorfa. al espacio complejo.

En general, se considera que las variedades tienen una dimensión fija (el espacio debe ser localmente homeomorfo a una n-bola fija ), y tal espacio se llama n -variedad; sin embargo, algunos autores admiten variedades donde diferentes puntos pueden tener diferentes dimensiones. Si una variedad tiene una dimensión fija, se llama variedad pura. Por ejemplo, la (superficie de una) esfera tiene una dimensión constante de 2 y, por lo tanto, es una variedad pura, mientras que la unión disjunta de una esfera y una línea en el espacio tridimensional no lo es.una variedad pura. Dado que la dimensión es una invariante local (es decir, el mapa que envía cada punto a la dimensión de su vecindad sobre la que se define un gráfico es localmente constante), cada componente conectado tiene una dimensión fija.

En teoría esquemática, una variedad es un espacio localmente anillado, cuyo haz de estructura es localmente isomorfo al haz de funciones continuas (o diferenciables, o analíticas complejas, etc.) en el espacio euclidiano. Esta definición se usa principalmente cuando se discuten variedades analíticas en geometría algebraica.

Gráficos, atlas y mapas de transición

La Tierra esférica se navega utilizando mapas planos o cartas, recogidos en un atlas. De manera similar, una variedad diferenciable se puede describir utilizando mapas matemáticos, llamados gráficos de coordenadas, recopilados en un atlas matemático. Por lo general, no es posible describir una variedad con un solo gráfico, porque la estructura global de la variedad es diferente de la estructura simple de las cartas. Por ejemplo, ningún mapa plano único puede representar toda la Tierra sin la separación de entidades adyacentes a través de los límites del mapa o la duplicación de la cobertura. Cuando una variedad se construye a partir de múltiples gráficos superpuestos, las regiones donde se superponen contienen información esencial para comprender la estructura global.

Gráficos

Un mapa de coordenadas, un gráfico de coordenadas o simplemente un gráfico de una variedad es un mapa invertible entre un subconjunto de la variedad y un espacio simple, de modo que tanto el mapa como su inversa conservan la estructura deseada. Para una variedad topológica, el espacio simple es un subconjunto de algún espacio euclidiano $mathbb{R} ^{n}$ y el interés se centra en la estructura topológica. Esta estructura se conserva mediante homeomorfismos, aplicaciones invertibles que son continuas en ambas direcciones.

En el caso de una variedad diferenciable, un conjunto de gráficos llamado atlas nos permite hacer cálculos sobre variedades. Las coordenadas polares, por ejemplo, forman un gráfico para el plano $R^2$ menos el eje x positivo y el origen. Otro ejemplo de gráfico es el mapa χ _top mencionado anteriormente, un gráfico para el círculo.

Atlas

La descripción de la mayoría de las variedades requiere más de un gráfico. Una colección específica de cartas que cubre una variedad se llama atlas. Un atlas no es único, ya que todos los múltiples se pueden cubrir de múltiples maneras usando diferentes combinaciones de gráficos. Se dice que dos atlas son equivalentes si su unión es también un atlas.

El atlas que contiene todas las cartas posibles consistentes con un atlas dado se llama atlas máximo (es decir, una clase de equivalencia que contiene ese atlas dado). A diferencia de un atlas ordinario, el atlas máximo de una variedad determinada es único. Aunque es útil para las definiciones, es un objeto abstracto y no se usa directamente (por ejemplo, en los cálculos).

Mapas de transición

Los gráficos de un atlas pueden superponerse y un único punto de una variedad puede estar representado en varios gráficos. Si dos cartas se superponen, partes de ellas representan la misma región de la variedad, del mismo modo que un mapa de Europa y un mapa de Rusia pueden contener a Moscú. Dados dos gráficos superpuestos, se puede definir una función de transición $mathbb{R} ^{n}$ que va desde una bola abierta en el colector y luego de vuelta a otra (o quizás la misma) bola abierta en $mathbb{R} ^{n}$ . El mapa resultante, como el mapa T en el ejemplo circular anterior, se denomina cambio de coordenadas, transformación de coordenadas, función de transición o mapa de transición.

Estructura adicional

También se puede utilizar un atlas para definir una estructura adicional en la variedad. La estructura se define primero en cada gráfico por separado. Si todos los mapas de transición son compatibles con esta estructura, la estructura se transfiere a la variedad.

Esta es la forma estándar en que se definen las variedades diferenciables. Si las funciones de transición de un atlas para una variedad topológica conservan la estructura diferencial natural de $mathbb{R} ^{n}$ (es decir, si son difeomorfismos), la estructura diferencial se transfiere a la variedad y la convierte en una variedad diferenciable. Las variedades complejas se introducen de manera análoga al requerir que las funciones de transición de un atlas sean funciones holomorfas. Para variedades simplécticas, las funciones de transición deben ser simplectomorfismos.

La estructura de la variedad depende del atlas, pero a veces se puede decir que diferentes atlas dan lugar a la misma estructura. Estos atlas se denominan compatibles.

Estas nociones se precisan en general mediante el uso de pseudogrupos.

Colector con límite

Una variedad con contorno es una variedad con una arista. Por ejemplo, una hoja de papel es una variedad bidimensional con un límite unidimensional. El límite de una n -variedad con límite es una (n −1) -variedad. Un disco (círculo más interior) es una variedad de 2 con límite. Su límite es un círculo, un 1-variedad. Un cuadrado con interior es también una variedad de 2 con límite. Una bola (esfera más interior) es una variedad de 3 con límite. Su límite es una esfera, una variedad de 2. (Véase también Límite (topología)).

En lenguaje técnico, una variedad con límite es un espacio que contiene tanto puntos interiores como puntos límite. Todo punto interior tiene una vecindad homeomorfa a la n -bola abierta {(x ₁, x ₂,..., x _n) | Σ x _i < 1}. Cada punto límite tiene un vecindario homeomorfo a la "media" n -bola {(x ₁, x ₂,..., x _n) | Σ x _i < 1 y x ₁ ≥ 0}. El homeomorfismo debe enviar cada punto límite a un punto con x ₁ = 0.

Límite e interior

Sea M una variedad con frontera. El interior de M, denotado Int M, es el conjunto de puntos en M que tienen vecindarios homeomorfos a un subconjunto abierto de $mathbb{R} ^{n}$ . El límite de M, denotado ∂ M, es el complemento de Int M en M. Los puntos límite se pueden caracterizar como aquellos puntos que aterrizan en el hiperplano límite (x _n = 0) de debajo de algún gráfico de coordenadas. ${ estilo de visualización mathbb {R} _ {+}^ {n}}$

Si M es una variedad con límite de dimensión n, entonces Int M es una variedad (sin límite) de dimensión n y ∂ M es una variedad (sin límite) de dimensión n − 1.

Construcción

Una sola variedad se puede construir de diferentes maneras, cada una de las cuales enfatiza un aspecto diferente de la variedad, lo que lleva a un punto de vista ligeramente diferente.

Gráficos

Quizás la forma más sencilla de construir una variedad es la que se usa en el ejemplo anterior del círculo. Primero, $R^2$ se identifica un subconjunto de y luego se construye un atlas que cubre este subconjunto. El concepto de variedad creció históricamente a partir de construcciones como esta. Aquí hay otro ejemplo, aplicando este método a la construcción de una esfera:

Esfera con gráficos

Una esfera puede tratarse casi de la misma manera que un círculo. En matemáticas, una esfera es solo la superficie (no el interior sólido), que se puede definir como un subconjunto de $mathbb{R} ^{3}$ :

{displaystyle S=left{(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1right }.}

La esfera es bidimensional, por lo que cada gráfico asignará parte de la esfera a un subconjunto abierto de $R^2$ . Considere el hemisferio norte, que es la parte con coordenada z positiva (de color rojo en la imagen de la derecha). La función χ definida por

{ estilo de visualización chi (x, y, z) = (x, y), }

mapea el hemisferio norte al disco unitario abierto proyectándolo en el plano (x, y). Existe un gráfico similar para el hemisferio sur. Junto con dos cartas que se proyectan en el plano (x, z) y dos cartas que se proyectan en el plano (y, z), se obtiene un atlas de seis cartas que cubre toda la esfera.

Esto se puede generalizar fácilmente a esferas de dimensiones superiores.

Labor de retazos

Se puede construir una variedad pegando piezas juntas de manera consistente, convirtiéndolas en gráficos superpuestos. Esta construcción es posible para cualquier variedad y, por lo tanto, a menudo se usa como una caracterización, especialmente para variedades diferenciables y de Riemann. Se enfoca en un atlas, ya que los parches proporcionan gráficos de forma natural, y dado que no hay un espacio exterior involucrado, conduce a una visión intrínseca de la variedad.

La variedad se construye especificando un atlas, que a su vez está definido por mapas de transición. Por lo tanto, un punto de la variedad es una clase de equivalencia de puntos que se asignan entre sí mediante aplicaciones de transición. Los gráficos asignan clases de equivalencia a puntos de un solo parche. Por lo general, hay fuertes demandas sobre la consistencia de los mapas de transición. Para variedades topológicas se requiere que sean homeomorfismos; si también son difeomorfismos, la variedad resultante es una variedad diferenciable.

Esto se puede ilustrar con el mapa de transición t = ⁄ _s de la segunda mitad del ejemplo del círculo. Comience con dos copias de la línea. Usa la coordenada s para la primera copia y la t para la segunda copia. Ahora, pegue ambas copias identificando el punto t en la segunda copia con el punto s = ⁄ _t en la primera copia (los puntos t = 0 y s = 0 no se identifican con ningún punto en la primera y segunda copia, respectivamente).). Esto da un círculo.

Visión intrínseca y extrínseca

La primera construcción y esta construcción son muy similares, pero representan puntos de vista bastante diferentes. En la primera construcción, la variedad se ve incrustada en algún espacio euclidiano. Esta es la visión extrínseca. Cuando se ve una variedad de esta manera, es fácil usar la intuición de los espacios euclidianos para definir una estructura adicional. Por ejemplo, en un espacio euclidiano, siempre está claro si un vector en algún punto es tangencial o normal a alguna superficie que pasa por ese punto.

La construcción de mosaico no utiliza ninguna incrustación, sino que simplemente ve la variedad como un espacio topológico en sí mismo. Este punto de vista abstracto se llama punto de vista intrínseco. Puede hacer que sea más difícil imaginar lo que podría ser un vector tangente, y no existe una noción intrínseca de un paquete normal, sino que hay un paquete normal intrínsecamente estable.

n -Esfera como mosaico

La n - esfera S es una generalización de la idea de círculo (1-esfera) y esfera (2-esfera) a dimensiones superiores. Se puede construir una n -esfera S pegando dos copias de $mathbb{R} ^{n}$ . El mapa de transición entre ellos es la inversión en una esfera, definida como

{displaystyle mathbb {R} ^{n}setminus {0}to mathbb {R} ^{n}setminus {0}:xmapsto x/|x|^{ 2}.}

Esta función es su propia inversa y, por lo tanto, se puede utilizar en ambas direcciones. Como el mapa de transición es una función suave, este atlas define una variedad suave. En el caso de que n = 1, el ejemplo se simplifica al ejemplo del círculo dado anteriormente.

Identificación de puntos de una variedad

Es posible definir diferentes puntos de una variedad para que sean iguales. Esto se puede visualizar como unir estos puntos en un solo punto, formando un espacio cociente. Sin embargo, no hay razón para esperar que tales espacios de cocientes sean variedades. Entre los posibles espacios de cocientes que no son necesariamente variedades, se considera que los complejos orbifold y CW se comportan relativamente bien. Un ejemplo de espacio cociente de una variedad que también es una variedad es el espacio proyectivo real, identificado como espacio cociente de la esfera correspondiente.

Un método para identificar puntos (pegarlos juntos) es a través de una acción derecha (o izquierda) de un grupo, que actúa sobre la variedad. Se identifican dos puntos si algún elemento del grupo mueve uno sobre el otro. Si M es la variedad y G es el grupo, el espacio de cociente resultante se denota por M / G (o G M).

Las variedades que se pueden construir identificando puntos incluyen toros y espacios proyectivos reales (comenzando con un plano y una esfera, respectivamente).

Pegado a lo largo de los límites

Dos variedades con límites se pueden unir a lo largo de un límite. Si esto se hace de la manera correcta, el resultado también es múltiple. De manera similar, se pueden unir dos límites de una sola variedad.

Formalmente, el encolado se define por una biyección entre los dos límites. Se identifican dos puntos cuando se asignan uno al otro. Para una variedad topológica, esta biyección debe ser un homeomorfismo, de lo contrario, el resultado no será una variedad topológica. De manera similar, para una variedad diferenciable, tiene que ser un difeomorfismo. Para otras variedades, se deben preservar otras estructuras.

Un cilindro finito se puede construir como una variedad comenzando con una tira [0,1] × [0,1] y pegando un par de aristas opuestas en el límite mediante un difeomorfismo adecuado. Se puede obtener un plano proyectivo pegando una esfera con un agujero a una tira de Möbius a lo largo de sus respectivos límites circulares.

Productos cartesianos

El producto cartesiano de variedades también es una variedad.

La dimensión de la variedad del producto es la suma de las dimensiones de sus factores. Su topología es la topología del producto, y un producto cartesiano de gráficos es un gráfico para la variedad de productos. Por lo tanto, se puede construir un atlas para la variedad de productos usando atlas para sus factores. Si estos atlas definen una estructura diferencial sobre los factores, el atlas correspondiente define una estructura diferencial sobre la variedad de productos. Lo mismo es cierto para cualquier otra estructura definida en los factores. Si uno de los factores tiene un límite, la variedad del producto también tiene un límite. Los productos cartesianos se pueden utilizar para construir toros y cilindros finitos, por ejemplo, como S × S y S × [0,1], respectivamente.

Historia

El estudio de las variedades combina muchas áreas importantes de las matemáticas: generaliza conceptos como curvas y superficies, así como ideas del álgebra lineal y la topología.

Desarrollo temprano

Antes del concepto moderno de multiplicidad hubo varios resultados importantes.

La geometría no euclidiana considera espacios donde falla el postulado de las paralelas de Euclides. Saccheri estudió por primera vez tales geometrías en 1733, pero solo buscó refutarlas. Gauss, Bolyai y Lobachevsky los descubrieron de forma independiente 100 años después. Su investigación descubrió dos tipos de espacios cuyas estructuras geométricas difieren del espacio euclidiano clásico; estos dieron lugar a la geometría hiperbólica y la geometría elíptica. En la teoría moderna de variedades, estas nociones corresponden a variedades de Riemann con curvatura negativa y positiva constantes, respectivamente.

Carl Friedrich Gauss puede haber sido el primero en considerar los espacios abstractos como objetos matemáticos por derecho propio. Su teorema egregium proporciona un método para calcular la curvatura de una superficie sin considerar el espacio ambiental en el que se encuentra la superficie. Tal superficie, en la terminología moderna, se llamaría variedad; y en términos modernos, el teorema demostró que la curvatura de la superficie es una propiedad intrínseca. La teoría múltiple ha llegado a centrarse exclusivamente en estas propiedades intrínsecas (o invariantes), ignorando en gran medida las propiedades extrínsecas del espacio ambiental.

Otro ejemplo más topológico de una propiedad intrínseca de una variedad es su característica de Euler. Leonhard Euler demostró que para un politopo convexo en el espacio euclidiano tridimensional con vértices V (o esquinas), aristas E y caras F,

La misma fórmula se mantendrá si proyectamos los vértices y las aristas del politopo en una esfera, creando un mapa topológico con vértices V, aristas E y caras F y, de hecho, seguirá siendo válido para cualquier mapa esférico, incluso si lo hace. no surgen de ningún politopo convexo. Así 2 es un invariante topológico de la esfera, llamado su característica de Euler. Por otro lado, un toroide puede ser cortado por sus círculos 'paralelos' y 'meridianos', creando un mapa con V = 1 vértice, E = 2 aristas y F = 1 cara. Por lo tanto, la característica de Euler del toro es 1 − 2 + 1 = 0. La característica de Euler de otras superficies es una invariante topológica útil, que se puede extender a dimensiones más altas utilizando números de Betti. A mediados del siglo XIX, el teorema de Gauss-Bonnet relacionó la característica de Euler con la curvatura de Gauss.

Síntesis

Las investigaciones de Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi sobre la inversión de integrales elípticas en la primera mitad del siglo XIX los llevaron a considerar tipos especiales de variedades complejas, ahora conocidas como jacobianas. Bernhard Riemann contribuyó aún más a su teoría, aclarando el significado geométrico del proceso de continuación analítica de funciones de variables complejas.

Otra fuente importante de variedades en las matemáticas del siglo XIX fue la mecánica analítica, desarrollada por Siméon Poisson, Jacobi y William Rowan Hamilton. Se piensa que los posibles estados de un sistema mecánico son puntos de un espacio abstracto, espacio de fase en los formalismos lagrangianos y hamiltonianos de la mecánica clásica. Este espacio es, de hecho, una variedad de alta dimensión, cuya dimensión corresponde a los grados de libertad del sistema y donde los puntos están especificados por sus coordenadas generalizadas. Para un movimiento sin restricciones de partículas libres, la variedad es equivalente al espacio euclidiano, pero varias leyes de conservación lo restringen a formaciones más complicadas, por ejemplo, toros de Liouville. La teoría de un cuerpo sólido giratorio, desarrollada en el siglo XVIII por Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange, da otro ejemplo donde la variedad no es trivial. Henri Poincaré, uno de los fundadores de la topología, enfatizó los aspectos geométricos y topológicos de la mecánica clásica.

Riemann fue el primero en hacer un extenso trabajo generalizando la idea de una superficie a dimensiones más altas. El nombre múltiple proviene del término alemán original de Riemann, Mannigfaltigkeit, que William Kingdon Clifford tradujo como "multiplicidad". En su conferencia inaugural de Göttingen, Riemann describió el conjunto de todos los valores posibles de una variable con ciertas restricciones como Mannigfaltigkeit, porque la variable puede tener muchos valores. Distingue entre stetige Mannigfaltigkeit y diskrete Mannigfaltigkeit (multiplicidad continua y multiplicidad discontinua).), dependiendo de si el valor cambia continuamente o no. Como ejemplos continuos, Riemann se refiere no solo a los colores y las ubicaciones de los objetos en el espacio, sino también a las posibles formas de una figura espacial. Usando inducción, Riemann construye una n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit (variedad n veces extendida o variedad n-dimensional) como una pila continua de (n−1) variedades dimensionales. La noción intuitiva de Riemann de Mannigfaltigkeit evolucionó hasta convertirse en lo que hoy se formaliza como una variedad. Las variedades de Riemann y las superficies de Riemann llevan el nombre de Riemann.

La definición de Poincaré

En su muy influyente artículo, Analysis Situs, Henri Poincaré dio una definición de variedad diferenciable (variété) que sirvió como precursor del concepto moderno de variedad.

En la primera sección de Análisis situs, Poincaré define una variedad como el conjunto de niveles de una función continuamente diferenciable entre espacios euclidianos que satisface la hipótesis de no degeneración del teorema de la función implícita. En la tercera sección, comienza señalando que la gráfica de una función continuamente diferenciable es una variedad en el último sentido. Luego propone una definición nueva, más general, de variedad basada en una 'cadena de variedades' (une chaîne des variétés).

La noción de Poincaré de una cadena de variedades es un precursor de la noción moderna de atlas. En particular, considera dos variedades definidas respectivamente como gráficas de funciones $theta (y)$ y ${ estilo de visualización theta ' izquierda (y' derecha)}$ . Si estas variedades se superponen (a une partie commune), entonces requiere que las coordenadas $y$ dependan de manera continua y diferenciable de las coordenadas $tu$ y viceversa (' ...les sont fonctions analytiques des et inversement '). De esta forma introduce un precursor de la noción de carta y de mapa de transición.

Por ejemplo, el círculo unitario en el plano se puede considerar como la gráfica de la función ${textstyle y={sqrt {1-x^{2}}}}$ o bien como la función ${textstyle y=-{sqrt {1-x^{2}}}}$ en una vecindad de cada punto excepto los puntos (1, 0) y (−1, 0); y en una vecindad de esos puntos, se puede considerar como la gráfica de, respectivamente, ${textstyle x={sqrt {1-y^{2}}}}$ y ${textstyle x=-{sqrt {1-y^{2}}}}$ . El círculo se puede representar mediante un gráfico en la vecindad de cada punto porque el lado izquierdo de la ecuación que lo define ${ estilo de visualización x^{2}+y^{2}-1=0}$ tiene un gradiente distinto de cero en cada punto del círculo. Por el teorema de la función implícita, cada subvariedad del espacio euclidiano es localmente la gráfica de una función.

Hermann Weyl dio una definición intrínseca de variedades diferenciables en su curso de conferencias sobre superficies de Riemann en 1911-1912, abriendo el camino al concepto general de un espacio topológico que siguió poco después. Durante la década de 1930, Hassler Whitney y otros aclararon los aspectos fundamentales del tema y, por lo tanto, las intuiciones que datan de la segunda mitad del siglo XIX se volvieron precisas y se desarrollaron a través de la geometría diferencial y la teoría de grupos de Lie. En particular, el teorema de incrustación de Whitney mostró que la definición intrínseca en términos de gráficos era equivalente a la definición de Poincaré en términos de subconjuntos del espacio euclidiano.

Topología de variedades: puntos destacados

Variedades bidimensionales, también conocidas como superficies 2Dincrustados en nuestro espacio 3D común, fueron considerados por Riemann bajo la apariencia de superficies de Riemann y clasificados rigurosamente a principios del siglo XX por Poul Heegaard y Max Dehn. Poincaré fue pionero en el estudio de las variedades tridimensionales y planteó una pregunta fundamental sobre ellas, hoy conocida como la conjetura de Poincaré. Después de casi un siglo, Grigori Perelman demostró la conjetura de Poincaré (ver Solución de la conjetura de Poincaré). El programa de geometrización de William Thurston, formulado en la década de 1970, proporcionó una extensión de gran alcance de la conjetura de Poincaré a las variedades tridimensionales generales. Las variedades tetradimensionales fueron puestas al frente de la investigación matemática en la década de 1980 por Michael Freedman y, en un escenario diferente, por Simon Donaldson, quien fue motivado por el progreso entonces reciente en la física teórica (teoría de Yang-Mills), donde sirven como sustituto del espacio-tiempo 'plano' ordinario. Andrey Markov Jr. demostró en 1960 que no existe ningún algoritmo para clasificar variedades de cuatro dimensiones. René Thom, John Milnor, Stephen Smale y Sergei Novikov habían realizado un trabajo importante sobre variedades de dimensiones superiores, incluidos los análogos de la conjetura de Poincaré. Una técnica muy generalizada y flexible que subyace en gran parte del trabajo sobre la topología de las variedades es la teoría de Morse. había sido realizado anteriormente por René Thom, John Milnor, Stephen Smale y Sergei Novikov. Una técnica muy generalizada y flexible que subyace en gran parte del trabajo sobre la topología de las variedades es la teoría de Morse. había sido realizado anteriormente por René Thom, John Milnor, Stephen Smale y Sergei Novikov. Una técnica muy generalizada y flexible que subyace en gran parte del trabajo sobre la topología de las variedades es la teoría de Morse.

Estructura adicional

Variedades topológicas

El tipo de variedad más simple de definir es la variedad topológica, que se parece localmente a un espacio euclidiano "ordinario" $mathbb{R} ^{n}$ . Por definición, todas las variedades son variedades topológicas, por lo que la frase "variedad topológica" generalmente se usa para enfatizar que una variedad carece de estructura adicional, o que solo se están considerando sus propiedades topológicas. Formalmente, una variedad topológica es un espacio topológico localmente homeomorfo a un espacio euclidiano. Esto significa que cada punto tiene una vecindad para la cual existe un homeomorfismo (una función biyectiva continua cuyo inverso también es continuo) mapeando esa vecindad a $mathbb{R} ^{n}$ . Estos homeomorfismos son los gráficos de la variedad.

Una variedad topológica se parece localmente a un espacio euclidiano de una manera bastante débil: mientras que para cada gráfico individual es posible distinguir funciones diferenciables o medir distancias y ángulos, simplemente en virtud de ser una variedad topológica, un espacio no tiene ninguna característica particular y consistente. elección de tales conceptos. Para discutir tales propiedades para una variedad, es necesario especificar una estructura adicional y considerar las variedades diferenciables y las variedades de Riemann que se analizan a continuación. En particular, la misma variedad topológica subyacente puede tener varias clases de funciones diferenciables mutuamente incompatibles y un número infinito de formas de especificar distancias y ángulos.

Por lo general, se hacen suposiciones técnicas adicionales sobre el espacio topológico para excluir casos patológicos. Se acostumbra exigir que el espacio sea Hausdorff y segundo contable.

La dimensión de la variedad en un punto determinado es la dimensión del espacio euclidiano al que se asignan los gráficos en ese punto (número n en la definición). Todos los puntos de una variedad conexa tienen la misma dimensión. Algunos autores requieren que todos los gráficos de una variedad topológica correspondan a espacios euclidianos de la misma dimensión. En ese caso, toda variedad topológica tiene una invariante topológica, su dimensión.

Variedades diferenciables

Para la mayoría de las aplicaciones, se utiliza un tipo especial de variedad topológica, a saber, una variedad diferenciable. Si los gráficos locales en una variedad son compatibles en cierto sentido, se pueden definir direcciones, espacios tangentes y funciones diferenciables en esa variedad. En particular, es posible utilizar el cálculo en una variedad diferenciable. Cada punto de una variedad diferenciable de n dimensiones tiene un espacio tangente. Este es un espacio euclidiano de n dimensiones que consta de los vectores tangentes de las curvas que pasan por el punto.

Dos clases importantes de variedades diferenciables son las variedades suaves y analíticas. Para variedades suaves, los mapas de transición son suaves, es decir, infinitamente diferenciables. Las variedades analíticas son variedades suaves con la condición adicional de que los mapas de transición sean analíticos (se pueden expresar como series de potencias). A la esfera se le puede dar una estructura analítica, al igual que la mayoría de las curvas y superficies familiares.

Un conjunto rectificable generaliza la idea de una curva suave o rectificable por partes a dimensiones más altas; sin embargo, los conjuntos rectificables no son en general variedades.

Variedades de Riemann

Para medir distancias y ángulos en variedades, la variedad debe ser riemanniana. Una variedad de Riemann es una variedad diferenciable en la que cada espacio tangente está equipado con un producto interno ⟨⋅, ⋅⟩ de una manera que varía suavemente de un punto a otro. Dados dos vectores tangentes u y v, el producto interno ⟨ u, v ⟩ da un número real. El producto punto (o escalar) es un ejemplo típico de un producto interno. Esto permite definir varias nociones como longitud, ángulos, áreas (o volúmenes), curvatura y divergencia de campos vectoriales.

A todas las variedades diferenciables (de dimensión constante) se les puede dar la estructura de una variedad de Riemann. El propio espacio euclidiano lleva una estructura natural de variedad riemanniana (los espacios tangentes se identifican naturalmente con el propio espacio euclidiano y llevan el producto escalar estándar del espacio). Muchas curvas y superficies familiares, incluidas, por ejemplo, todas las n -esferas, se especifican como subespacios de un espacio euclidiano y heredan una métrica de su incrustación en él.

Colectores de Finsler

Una variedad de Finsler permite la definición de distancia pero no requiere el concepto de ángulo; es una variedad analítica en la que cada espacio tangente está dotado de una norma, ||·||, de manera que varía suavemente de un punto a otro. Esta norma se puede extender a una métrica, definiendo la longitud de una curva; pero en general no puede usarse para definir un producto interno.

Cualquier variedad de Riemann es una variedad de Finsler.

Grupos de mentiras

Los grupos de Lie, llamados así por Sophus Lie, son variedades diferenciables que también tienen la estructura de un grupo tal que las operaciones del grupo están definidas por mapas suaves.

Un espacio vectorial euclidiano con la operación de grupo de suma de vectores es un ejemplo de un grupo de Lie no compacto. Un ejemplo simple de un grupo de Lie compacto es el círculo: la operación del grupo es simplemente la rotación. Este grupo, conocido como U(1), también se puede caracterizar como el grupo de números complejos de módulo 1 con la multiplicación como operación de grupo.

Otros ejemplos de grupos de Lie incluyen grupos especiales de matrices, que son todos subgrupos del grupo lineal general, el grupo de matrices n por n con determinante distinto de cero. Si las entradas de la matriz son números reales, será una variedad desconectada de n dimensiones. Los grupos ortogonales, los grupos de simetría de la esfera y las hiperesferas, son variedades n (n −1)/2 dimensionales, donde n −1 es la dimensión de la esfera. Se pueden encontrar más ejemplos en la tabla de grupos de Lie.

Otros tipos de colectores

Una variedad compleja es una variedad cuyos gráficos toman valores ${ estilo de visualización mathbb {C} ^ {n}}$ y cuyas funciones de transición son holomorfas en las superposiciones. Estas variedades son los objetos básicos de estudio en geometría compleja. Una variedad de una dimensión compleja se llama superficie de Riemann. Una variedad compleja n -dimensional tiene dimensión 2 n como una variedad diferenciable real.
Una variedad CR es una variedad modelada en los límites de los dominios en ${ estilo de visualización mathbb {C} ^ {n}}$ .
'Variedades de dimensión infinita': para permitir dimensiones infinitas, se pueden considerar variedades de Banach que son localmente homeomorfas a los espacios de Banach. De manera similar, las variedades de Fréchet son localmente homeomorfas a los espacios de Fréchet.
Una variedad simpléctica es un tipo de variedad que se utiliza para representar los espacios de fase en la mecánica clásica. Están dotados de una forma de 2 que define el soporte de Poisson. Un tipo de colector estrechamente relacionado es un colector de contacto.
Una variedad combinatoria es un tipo de variedad que es la discretización de una variedad. Por lo general, significa una variedad lineal por partes formada por complejos simpliciales.
Una variedad digital es un tipo especial de variedad combinatoria que se define en el espacio digital. Ver topología digital

Clasificación e invariantes

Diferentes nociones de variedades tienen diferentes nociones de clasificación e invariante; en esta sección nos enfocamos en variedades cerradas suaves.

La clasificación de las variedades cerradas lisas se entiende bien en principio, excepto en la dimensión 4: en las dimensiones bajas (2 y 3) es geométrica, mediante el teorema de uniformización y la solución de la conjetura de Poincaré, y en las dimensiones altas (5 y más) es algebraico, a través de la teoría de la cirugía. Esta es una clasificación en principio: la cuestión general de si dos variedades suaves son difeomorfas no es computable en general. Además, los cálculos específicos siguen siendo difíciles y hay muchas preguntas abiertas.

Las superficies orientables se pueden visualizar y enumerar sus clases de difeomorfismo, por género. Dadas dos superficies orientables, se puede determinar si son difeomorfas calculando sus respectivos géneros y comparando: son difeomorfas si y solo si los géneros son iguales, por lo que el género forma un conjunto completo de invariantes.

Esto es mucho más difícil en dimensiones superiores: las variedades de dimensiones superiores no se pueden visualizar directamente (aunque la intuición visual es útil para comprenderlas), ni se pueden enumerar sus clases de difeomorfismo, ni se puede determinar en general si dos descripciones diferentes de una dimensión superior. múltiples se refieren al mismo objeto.

Sin embargo, se puede determinar si dos variedades son diferentes si existe alguna característica intrínseca que las diferencie. Dichos criterios se conocen comúnmente como invariantes porque, si bien pueden definirse en términos de alguna presentación (como el género en términos de una triangulación), son los mismos en relación con todas las descripciones posibles de una variedad particular: son invariantes bajo diferentes descripciones.

Ingenuamente, uno podría esperar desarrollar un arsenal de criterios invariantes que clasificarían definitivamente todas las variedades hasta el isomorfismo. Desafortunadamente, se sabe que para variedades de dimensión 4 y superiores, no existe ningún programa que pueda decidir si dos variedades son difeomorfas.

Las variedades suaves tienen un rico conjunto de invariantes, provenientes de la topología de conjuntos de puntos, la topología algebraica clásica y la topología geométrica. Los invariantes más familiares, que son visibles para las superficies, son la orientabilidad (un invariante normal, también detectado por homología) y el género (un invariante homológico).

Las variedades cerradas suaves no tienen invariantes locales (aparte de la dimensión), aunque las variedades geométricas tienen invariantes locales, en particular la curvatura de una variedad de Riemann y la torsión de una variedad equipada con una conexión afín. Esta distinción entre invariantes locales y sin invariantes locales es una forma común de distinguir entre geometría y topología. Todos los invariantes de una variedad cerrada suave son, por lo tanto, globales.

La topología algebraica es una fuente de una serie de propiedades invariantes globales importantes. Algunos criterios clave incluyen la propiedad simplemente conectada y la orientabilidad (ver más abajo). De hecho, varias ramas de las matemáticas, como la teoría de la homología y la homotopía, y la teoría de las clases características se fundaron para estudiar las propiedades invariantes de las variedades.

Superficies

Orientabilidad

En las dimensiones dos y superiores, un criterio invariante simple pero importante es la cuestión de si una variedad admite una orientación significativa. Considere una variedad topológica con gráficos que se asignan a $mathbb{R} ^{n}$ . Dada una base ordenada para $mathbb{R} ^{n}$ , un gráfico hace que su parte de la variedad adquiera un sentido de ordenación, que en 3 dimensiones puede verse como diestro o zurdo. No se requiere que los gráficos superpuestos coincidan en su sentido de ordenación, lo que otorga a las variedades una libertad importante. Para algunas variedades, como la esfera, se pueden elegir gráficos de modo que las regiones superpuestas coincidan en su "orientación"; estos son orientablescolectores. Para otros, esto es imposible. La última posibilidad es fácil de pasar por alto, porque cualquier superficie cerrada incrustada (sin auto-intersección) en el espacio tridimensional es orientable.

Algunos ejemplos ilustrativos de variedades no orientables incluyen: (1) la tira de Möbius, que es una variedad con límite, (2) la botella de Klein, que debe intersecarse a sí misma en su representación de 3 espacios, y (3) el plano proyectivo real, que surge naturalmente en la geometría.

Cinta de Moebius

Comience con un cilindro circular infinito en posición vertical, una variedad sin límite. Córtalo por arriba y por abajo para producir dos límites circulares y la franja cilíndrica entre ellos. Esta es una variedad orientable con límite, sobre la cual se realizará la "cirugía". Corta la tira para abrirla, de modo que pueda desenrollarse y convertirse en un rectángulo, pero sujeta los extremos cortados. Gira un extremo 180°, haciendo que la superficie interior quede hacia afuera, y pega los extremos de nuevo sin costuras. Esto da como resultado una tira con un medio giro permanente: la tira de Möbius. Su límite ya no es un par de círculos, sino (topológicamente) un solo círculo; y lo que una vez fue su "adentro" se ha fusionado con su "afuera", de modo que ahora tiene solo unalado. De manera similar a la botella de Klein a continuación, esta superficie bidimensional necesitaría intersecarse a sí misma en dos dimensiones, pero se puede construir fácilmente en tres o más dimensiones.

Botella de klein

Tome dos tiras de Möbius; cada uno tiene un solo bucle como límite. Enderece esos bucles en círculos y deje que las tiras se distorsionen en tapas cruzadas. Pegar los círculos producirá una nueva variedad cerrada sin límites, la botella de Klein. Cerrar la superficie no hace nada para mejorar la falta de orientabilidad, simplemente elimina el límite. Así, la botella de Klein es una superficie cerrada sin distinción entre interior y exterior. En el espacio tridimensional, la superficie de una botella de Klein debe atravesarse a sí misma. Construir una botella de Klein que no se corte a sí misma requiere cuatro o más dimensiones de espacio.

Plano proyectivo real

Comience con una esfera centrada en el origen. Cada línea que pasa por el origen atraviesa la esfera en dos puntos opuestos llamados antípodas. Aunque no hay forma de hacerlo físicamente, es posible (considerando un espacio cociente) fusionar matemáticamente cada par de antípodas en un solo punto. La superficie cerrada así producida es el plano proyectivo real, otra superficie no orientable. Tiene una serie de descripciones y construcciones equivalentes, pero esta ruta explica su nombre: todos los puntos en cualquier línea dada a través del proyecto de origen al mismo "punto" en este "plano".

Género y la característica de Euler

Para las variedades bidimensionales, una propiedad invariante clave es el género o "número de asas" presentes en una superficie. Un toro es una esfera con un asa, un doble toro es una esfera con dos asas, y así sucesivamente. De hecho, es posible caracterizar completamente variedades bidimensionales compactas sobre la base del género y la orientabilidad. En variedades de dimensiones superiores, el género se reemplaza por la noción de característica de Euler y, de manera más general, los números de Betti y la homología y la cohomología.

Mapas de variedades

Así como hay varios tipos de variedades, hay varios tipos de mapas de variedades. Además de las funciones continuas y las funciones suaves en general, existen mapas con propiedades especiales. En topología geométrica, un tipo básico son las incrustaciones, de las cuales la teoría de nudos es un ejemplo central, y generalizaciones como inmersiones, sumersiones, espacios de cobertura y espacios de cobertura ramificados. Los resultados básicos incluyen el teorema de incrustación de Whitney y el teorema de inmersión de Whitney.

En geometría riemanniana, uno puede solicitar mapas para preservar la métrica riemanniana, lo que lleva a nociones de incrustaciones isométricas, inmersiones isométricas y sumersiones riemannianas; un resultado básico es el teorema de incrustación de Nash.

Funciones con valores escalares

Un ejemplo básico de aplicaciones entre variedades son las funciones con valores escalares en una variedad,

{displaystyle fdos puntos Mto mathbb {R} }

{displaystyle fdos puntos Mto mathbb {C},}

a veces llamadas funciones regulares o funcionales, por analogía con la geometría algebraica o el álgebra lineal. Estos son de interés tanto por derecho propio como para estudiar la variedad subyacente.

En la topología geométrica, las más comúnmente estudiadas son las funciones de Morse, que producen descomposiciones del cuerpo del mango, mientras que en el análisis matemático, a menudo se estudia la solución de las ecuaciones diferenciales parciales, un ejemplo importante de las cuales es el análisis armónico, donde se estudian las funciones armónicas: el núcleo de Laplace. operador. Esto conduce a funciones como los armónicos esféricos y a métodos de núcleo de calor para estudiar variedades, como escuchar la forma de un tambor y algunas pruebas del teorema del índice de Atiyah-Singer.

Generalizaciones de variedades

Variedades de dimensión infinitaLa definición de una variedad se puede generalizar eliminando el requisito de dimensionalidad finita. Así, una variedad de dimensión infinita es un espacio topológico localmente homeomorfo a un espacio vectorial topológico sobre los reales. Esto omite los axiomas de conjunto de puntos, lo que permite cardinalidades más altas y variedades que no son de Hausdorff; y omite la dimensión finita, lo que permite modelar estructuras como las variedades de Hilbert en espacios de Hilbert, las variedades de Banach en espacios de Banach y las variedades de Fréchet en espacios de Fréchet. Por lo general, uno relaja una u otra condición: las variedades con los axiomas de conjunto de puntos se estudian en topología general, mientras que las variedades de dimensión infinita se estudian en análisis funcional.plegablesUn orbifold es una generalización de variedad que permite ciertos tipos de "singularidades" en la topología. En términos generales, es un espacio que localmente se parece a los cocientes de un espacio simple (por ejemplo, el espacio euclidiano) por las acciones de varios grupos finitos. Las singularidades corresponden a puntos fijos de las acciones del grupo, y las acciones deben ser compatibles en cierto sentido.Variedades y esquemas algebraicos.Las variedades algebraicas no singulares sobre los números reales o complejos son variedades. Uno generaliza esto primero al permitir singularidades, segundo al permitir diferentes campos, y tercero al emular la construcción de parches de variedades: así como una variedad se une a partir de subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, una variedad algebraica se une a partir de variedades algebraicas afines, que son conjuntos cero de polinomios sobre campos algebraicamente cerrados. Los esquemas también se unen a partir de esquemas afines, que son una generalización de variedades algebraicas. Ambos están relacionados con variedades, pero se construyen algebraicamente usando haces en lugar de atlas.Debido a los puntos singulares, una variedad en general no es una variedad, aunque lingüísticamente la variété francesa, la Mannigfaltigkeit alemana y la variedad inglesa son en gran parte sinónimos. En francés, una variedad algebraica se llama une variété algébrique (una variedad algebraica), mientras que una variedad suave se llama une variété différentielle (una variedad diferencial).Espacio estratificadoUn "espacio estratificado" es un espacio que se puede dividir en partes ("estratos"), con cada estrato como una variedad, con los estratos encajando entre sí de formas prescritas (formalmente, una filtración por subconjuntos cerrados). Existen varias definiciones técnicas, en particular, un espacio estratificado de Whitney (consulte las condiciones de Whitney) para variedades suaves y un espacio estratificado topológicamente para variedades topológicas. Los ejemplos básicos incluyen variedades con límite (variedad dimensional superior y límite de codimensión 1) y variedades con esquinas (variedad dimensional superior, límite de codimensión 1, esquinas de codimensión 2). Los espacios estratificados de Whitney son una amplia clase de espacios, que incluyen variedades algebraicas, variedades analíticas, conjuntos semialgebraicos y conjuntos subanalíticos.CW-complejosUn complejo CW es un espacio topológico formado por el pegado de discos de diferente dimensionalidad. En general, el espacio resultante es singular, por lo tanto, no es una variedad. Sin embargo, son de interés central en la topología algebraica, especialmente en la teoría de la homotopía.Colectores de homologíaUna variedad de homología es un espacio que se comporta como una variedad desde el punto de vista de la teoría de la homología. Estos no son todos los múltiples, pero (en gran dimensión) pueden ser analizados por la teoría de la cirugía de manera similar a los múltiples, y el hecho de no ser un múltiple es una obstrucción local, como en la teoría de la cirugía.Espacios diferencialesSea $METRO$ un conjunto no vacío. Supongamos que $METRO$ se eligió alguna familia de funciones reales on. Denotarlo por $Csubseteq mathbb {R} ^{M}$ . Es un álgebra con respecto a la suma y multiplicación puntuales. Sea $METRO$ equipado con la topología inducida por $C$ . Supongamos también que se cumplen las siguientes condiciones. Primero: para cada ${displaystyle Hin C^{infty}left(mathbb {R} ^{n}right)}$ , donde $nen mathbb {N}$ , y arbitrario $f_{1},puntos,f_{n}en C$ , la composición ${displaystyle Hcirc left(f_{1},dots,f_{n}right)in C}$ . Segundo: toda función, que en todo punto de $METRO$ localmente coincide con alguna función de $C$ , también pertenece a $C$ . Un par ${ estilo de visualización (M, C)}$ para el que se cumplen las condiciones anteriores se denomina espacio diferencial de Sikorski.