Valor absoluto

x{displaystyle x}

Sí.{displaystyle y}

de z{displaystyle z}

denotado SilenciozSilencio{displaystyle Silenciosos

SilenciozSilencio=Re⁡ ⁡ ()z)2+Im⁡ ⁡ ()z)2=x2+Sí.2,{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft {Re} (z)^{2}+ nombre del operador {fnMicrosoft Sans Serif}}={sqrt {x^{2}+y^{2}}}}

x{displaystyle x}

Sí.{displaystyle y}

Re⁡ ⁡ ()z)=x{displaystyle operatorname {Re} (z)=x}

Im⁡ ⁡ ()z)=Sí.{displaystyle operatorname {Im} (z)=y}

de z{displaystyle z},

parte imaginaria Sí.{displaystyle y}

Número real x{displaystyle x}.

Cuando un número complejo z{displaystyle z} se expresa en su forma polar como z=reiSilencio Silencio ,{displaystyle z=re^{itheta},} su valor absoluto es SilenciozSilencio=r.{displaystyle Никованый.}

Desde el producto de cualquier número complejo z{displaystyle z} y su complejo conjugado z̄ ̄ =x− − iSí.{displaystyle {bar}=x-iy}, con el mismo valor absoluto, es siempre el número real no negativo ()x2+Sí.2){displaystyle left(x^{2}+y^{2}right)}, el valor absoluto de un número complejo z{displaystyle z} es la raíz cuadrada de z⋅ ⋅ z̄ ̄ ,{displaystyle zcdot {fnMicrosoft Sans Serif} que por lo tanto se llama la plaza absoluta o módulo cuadrado de z{displaystyle z}:

SilenciozSilencio=z⋅ ⋅ z̄ ̄ .{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}

SilencioxSilencio=x⋅ ⋅ x{cdot x}}.

El complejo valor absoluto comparte las cuatro propiedades fundamentales dadas anteriormente por el valor absoluto real. La identidad SilenciozSilencio2=Silencioz2Silencio################################################################################################################################################################################################################################################################ es un caso especial de multiplicación que a menudo es útil por sí mismo.

Función de valor absoluto

El gráfico de la función de valor absoluto para números reales

Composición de valor absoluto con función cúbica en diferentes órdenes

La función de valor absoluto real es continua en todas partes. Es diferenciable en todas partes excepto en x = 0. Es monótonamente decreciente en el intervalo (−∞, 0] y monótonamente creciente en el intervalo [0, +∞). Dado que un número real y su opuesto tienen el mismo valor absoluto, es una función par y, por lo tanto, no es invertible. La función de valor absoluto real es una función convexa lineal por partes.

Tanto para los números reales como para los complejos, la función de valor absoluto es idempotente (lo que significa que el valor absoluto de cualquier valor absoluto es él mismo).

Relación con la función de signo

La función de valor absoluto de un número real devuelve su valor independientemente de su signo, mientras que la función de signo (o signum) devuelve el signo de un número independientemente de su valor. Las siguientes ecuaciones muestran la relación entre estas dos funciones:

SilencioxSilencio=xSgn⁡ ⁡ ()x),{displaystyle Silencioso=xoperatorname {sgn}(x),}

o

SilencioxSilencioSgn⁡ ⁡ ()x)=x,{fnMicrosoft Sans Serif}

y para x ≠ 0,

Sgn⁡ ⁡ ()x)=SilencioxSilenciox=xSilencioxSilencio.{displaystyle operatorname {sgn}(x)={frac {Sobrevivirx}{x}={frac} {x} {fnK}}}}

Derivado

La función de valor absoluto real tiene una derivada para cada x ≠ 0, pero no es diferenciable en x = 0. Su derivada para x ≠ 0 viene dada por la función de paso:

<math alttext="{displaystyle {frac {dleft|xright|}{dx}}={frac {x}{|x|}}={begin{cases}-1&x0.end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">dSilencioxSilenciodx=xSilencioxSilencio={}− − 1x.01x■0.{displaystyle {frac {fnMicroc}{dx}={frac} {x}{Principios {cases}-1 implicax obtenidos01⁄43x}}}<img alt="{displaystyle {frac {dleft|xright|}{dx}}={frac {x}{|x|}}={begin{cases}-1&x0.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6c243fff473340f54b4202cfaafcf9d5691d45e" style="vertical-align: -2.671ex; width:28.744ex; height:6.509ex;"/>

La función de valor absoluto real es un ejemplo de una función continua que alcanza un mínimo global donde la derivada no existe.

El subdiferencial de |x| en x = 0 es el intervalo [−1, 1].

La función compleja de valor absoluto es continua en todas partes pero diferenciable compleja en ninguna parte porque viola las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

La segunda derivada de |x | con respecto a x es cero en todas partes excepto cero, donde no existe. Como función generalizada, la segunda derivada puede tomarse como dos veces la función delta de Dirac.

Antiderivada

La antiderivada (integral indefinida) de la función de valor absoluto real es

∫ ∫ SilencioxSilenciodx=xSilencioxSilencio2+C,{displaystyle int left sometidaxright sometidadx={frac {xleft sometidaxright sometida}{2}+C,}

donde C es una constante arbitraria de integración. Esta no es una antiderivada compleja porque las antiderivadas complejas solo pueden existir para funciones diferenciables complejas (holomórficas), que no es la función de valor absoluto complejo.

Distancia

El valor absoluto está estrechamente relacionado con la idea de distancia. Como se señaló anteriormente, el valor absoluto de un número real o complejo es la distancia desde ese número hasta el origen, a lo largo de la recta numérica real, para números reales, o en el plano complejo, para números complejos, y más generalmente, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales o complejos es la distancia entre ellos.

La distancia euclidiana estándar entre dos puntos

a=()a1,a2,...... ,an){displaystyle a=(a_{1},a_{2},dotsa_{n}}

y

b=()b1,b2,...... ,bn){displaystyle b=(b_{1},b_{2},dotsb_{n}}

en el espacio n euclidiano se define como:

.. i=1n()ai− − bi)2.{displaystyle {sqrt {textstyle sum ¿Qué?

Esto se puede ver como una generalización, ya que para a1{displaystyle A_{1} y b1{displaystyle B_{1} real, es decir, en un 1-espacio, según la definición alternativa del valor absoluto,

Silencioa1− − b1Silencio=()a1− − b1)2=.. i=11()ai− − bi)2,{displaystyle - ¿Por qué? ¿Qué?

y para a=a1+ia2{displaystyle a=a_{1}+ia_{2} y b=b1+ib2{displaystyle b=b_{1}+ib_{2} números complejos, es decir, en un 2-espacio,

Silencioa− − bSilencio{displaystyle Silencioa-b	=Silencio()a1+ia2)− − ()b1+ib2)Silencio{displaystyle = forever(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2}
	=Silencio()a1− − b1)+i()a2− − b2)Silencio{displaystyle = forever(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2}
	=()a1− − b1)2+()a2− − b2)2=.. i=12()ai− − bi)2.{displaystyle ={2}={2}}={sqrt {2}=sqstyle sum}={2}}={2}}={sqrt {sqrt {sqstyle sum ¿Por qué?

Lo anterior muestra que el "valor absoluto"-distancia, para números reales y complejos, concuerda con la distancia euclidiana estándar, la cual heredan como resultado de considerarlos como espacios euclidianos unidimensionales y bidimensionales, respectivamente.

Se puede ver que las propiedades del valor absoluto de la diferencia de dos números reales o complejos: no negatividad, identidad de indiscernibles, simetría y la desigualdad triangular dada anteriormente, motivan la noción más general de una función de distancia de la siguiente manera:

Una función de valor real d en un conjunto X × X se denomina métrica (o función de distancia) en X, si cumple los siguientes cuatro axiomas:

d()a,b)≥ ≥ 0{displaystyle d(a,b)geq 0}	No negativa
d()a,b)=0⟺ ⟺ a=b{displaystyle d(a,b)=0iff a=b}	Identidad de indiscernibles
d()a,b)=d()b,a){displaystyle d(a,b)=d(b,a)}	Simmetría
d()a,b)≤ ≤ d()a,c)+d()c,b){displaystyle d(a,b)leq d(a,c)+d(c,b)}	Inequidad del triángulo

Generalizaciones

Anillos pedidos

La definición de valor absoluto dada anteriormente para los números reales puede extenderse a cualquier anillo ordenado. Es decir, si a es un elemento de un anillo ordenado R, entonces el absoluto valor de a, indicado por |a|, se define como:

<math alttext="{displaystyle |a|=left{{begin{array}{rl}a,&{text{if }}ageq 0\-a,&{text{if }}aSilencioaSilencio={}a,sia≥ ≥ 0− − a,sia.0.{fnMicrosoft Sans Serif}A, Bueno...<img alt="{displaystyle |a|=left{{begin{array}{rl}a,&{text{if }}ageq 0\-a,&{text{if }}a

donde −a es el inverso aditivo de a , 0 es la identidad aditiva y < y ≥ tienen el significado habitual con respecto a la ordenación en el anillo.

Campos

Las cuatro propiedades fundamentales del valor absoluto de los números reales se pueden usar para generalizar la noción de valor absoluto a un campo arbitrario, de la siguiente manera.

Una función de valor real v en un campo F se llama un valor absoluto (también un módulo, magnitud, valor, o valoración) si cumple los siguientes cuatro axiomas:

v()a)≥ ≥ 0{displaystyle v(a)geq 0}	No negativa
v()a)=0⟺ ⟺ a=0{displaystyle v(a)=0iff a=mathbf {0}	Determinación positiva
v()ab)=v()a)v()b){displaystyle v(ab)=v(a)v(b)}	Multiplicatividad
v()a+b)≤ ≤ v()a)+v()b){displaystyle v(a+b)leq v(a)+v(b)}	Subadditividad o desigualdad del triángulo

Donde 0 denota la identidad aditiva de F. De la definición positiva y la multiplicatividad se deduce que v(1) = 1, donde 1 denota la identidad multiplicativa de F. Los valores absolutos reales y complejos definidos anteriormente son ejemplos de valores absolutos para un campo arbitrario.

Si v es un valor absoluto en F, luego la función d en F × F, definido por d(a, b) = v(a − b), es una métrica y las siguientes son equivalentes:

• d satisface la desigualdad ultramétrica d()x,Sí.)≤ ≤ max()d()x,z),d()Sí.,z)){displaystyle d(x,y)leq max(d(x,z),d(y,z)} para todos x, Sí., z dentroF.
• {}v().. k=1n1):n▪ ▪ N}{textstyle left{vleft _{k=1}mathbf {1} right):nin mathbb {N} right} está atadoR.
• v().. k=1n1)≤ ≤ 1{displaystyle vleft({textstyle sum _{k=1}mathbf {1} right)leq 1 } para todos n▪ ▪ N{displaystyle nin mathbb {N}.
• v()a)≤ ≤ 1⇒ ⇒ v()1+a)≤ ≤ 1{displaystyle v(a)leq 1Rightarrow v(1+a)leq 1 } para todos a▪ ▪ F{displaystyle ain F}.
• v()a+b)≤ ≤ max{}v()a),v()b)}{displaystyle v(a+b)leqmax{v(a),v(b)} } para todos a,b▪ ▪ F{displaystyle a,bin F}.

Se dice que un valor absoluto que satisface cualquiera (por lo tanto, todas) de las condiciones anteriores es no arquimediano; de lo contrario, se dice que es arquimediano.

Espacios vectoriales

Nuevamente, las propiedades fundamentales del valor absoluto de los números reales se pueden usar, con una ligera modificación, para generalizar la noción a un espacio vectorial arbitrario.

Una función de valor real en un espacio vectorial V sobre un campo F, representada como || · ||, se llama un valor absoluto, pero más generalmente una norma, si satisface los siguientes axiomas:

Para todos a en F y v, u en V,

.. v.. ≥ ≥ 0{displaystylefnMitbf {v}fngq 0}	No negativa
.. v.. =0⟺ ⟺ v=0{displaystylefnMitbf} "Principio" =0}	Determinación positiva
.. av.. =SilencioaSilencio.v.{displaystyle Toddamathbf {v} "Principio=izquierda" {v} rightfnso}	homogeneidad positiva o escalabilidad positiva
.. v+u.. ≤ ≤ .. v.. +.. u.. {displaystylefnMitbf} # Mathbf {u}leqfnMitbf {v} "Principio" "Perfecto".	Subadditividad o desigualdad del triángulo

La norma de un vector también se llama su longitud o magnitud.

En el caso del espacio euclidiano Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}, la función definida

.. ()x1,x2,...... ,xn).. =.. i=1nxi2{displaystylefn},x_{2},dotsx_{n}fn={sqrt {textstyle sum ¿Qué?

es una norma llamada la norma Euclideana. Cuando los números reales R{displaystyle mathbb {R} son considerados como el espacio vectorial único R1{displaystyle mathbb {R} } {} {}displaystyle mathbb {R} }, el valor absoluto es una norma, y es p-norm (ver espacio Lp) para cualquierp. De hecho el valor absoluto es la norma "sólo" en R1{displaystyle mathbb {R} } {} {}displaystyle mathbb {R} }, en el sentido de que, por cada norma Silencioso _ Silencio on R1{displaystyle mathbb {R} } {} {}displaystyle mathbb {R} }, SilencioxTENIDO ANTERIOR: Silencio1⋅ ⋅ ⋅xSilencio.

El complejo valor absoluto es un caso especial de la norma en un espacio interior de producto, que es idéntico a la norma euclidiana cuando el plano complejo se identifica como el plano euclidianoR2{displaystyle mathbb {R} {2}}.

Álgebras de composición

Toda álgebra de composición A tiene una involución x → x* llamada su conjugación. El producto en A de un elemento x y su conjugado x* se escribe N(x) = x x* y se llama la norma de x.

Los números reales R{displaystyle mathbb {R}, números complejos C{displaystyle mathbb {C}, y quaternions H{displaystyle mathbb {H} son todos álgebras de composición con normas dadas por formas cuadráticas definidas. El valor absoluto en estos álgebras de división es dado por la raíz cuadrada de la composición álgebra norma.

En general, la norma de un álgebra de composición puede ser una forma cuadrática que no es definida y tiene vectores nulos. Sin embargo, como en el caso de las álgebras de división, cuando un elemento x tiene una norma distinta de cero, entonces x tiene un inverso multiplicativo dado por x*/N(x).