Unión de conjuntos

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En la teoría de conjuntos, la unión (denotada por ∪) de una colección de conjuntos es el conjunto de todos los elementos de la colección. Es una de las operaciones fundamentales mediante las cuales se pueden combinar y relacionar conjuntos entre sí. Aunión nula se refiere a una unión de cero ( ${\ estilo de visualización 0}$ ) conjuntos y es por definición igual al conjunto vacío.

Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos.

Unión de dos conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos que están en A , en B , o en ambos A y B . en símbolos, $A \cup B = \{ x: x \in A \text{ o } x \in B\}$ .

Por ejemplo, si A = {1, 3, 5, 7} y B = {1, 2, 4, 6, 7} entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un ejemplo más elaborado (que involucra dos conjuntos infinitos) es:A = { x es un entero par mayor que 1}B = { x es un entero impar mayor que 1} $A \taza B = \{2,3,4,5,6, \puntos\}$

Como otro ejemplo, el número 9 no está contenido en la unión del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, 10 , ...}, porque 9 no es ni primo ni par.

Los conjuntos no pueden tener elementos duplicados, por lo que la unión de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {1, 2, 3, 4}. Múltiples ocurrencias de elementos idénticos no tienen efecto sobre la cardinalidad de un conjunto o su contenido.

Propiedades algebraicas

La unión binaria es una operación asociativa; es decir, para cualquier conjunto $A,B,{\text{ y }}C,$

$A\taza (B\taza C)=(A\taza B)\taza C.$

Por lo tanto, los paréntesis se pueden omitir sin ambigüedad: cualquiera de los anteriores se puede escribir como $A\taza B\taza C.$ Además, la unión es conmutativa, por lo que los conjuntos se pueden escribir en cualquier orden. El conjunto vacío es un elemento de identidad para la operación de unión. Es decir, $A\taza \varnada =A,$ para cualquier conjunto $A.$ Además, la operación de unión es idempotente: $A\taza A=A.$ Todas estas propiedades se derivan de hechos análogos sobre la disyunción lógica.

La intersección distribuye sobre la unión

$A\tapa (B\taza C)=(A\tapa B)\taza (A\tapa C)$ y la unión distribuye sobre la intersección

$A\taza (B\tapa C)=(A\taza B)\tapa (A\taza C).$

El conjunto potencia de un conjunto. ${\ estilo de visualización U,}$ junto con las operaciones dadas por unión, intersección y complementación, es un álgebra booleana. En esta álgebra booleana, la unión se puede expresar en términos de intersección y complementación mediante la fórmula

Uniones finitas

Se puede tomar la unión de varios conjuntos simultáneamente. Por ejemplo, la unión de tres conjuntos A , B y C contiene todos los elementos de A , todos los elementos de B y todos los elementos de C , y nada más. Por lo tanto, x es un elemento de A ∪ B ∪ C si y solo si x está en al menos uno de A , B y C .

Una unión finita es la unión de un número finito de conjuntos; la frase no implica que el conjunto unión sea un conjunto finito.

Unión de los conjuntos A y B, representada como A U B

Uniones arbitrarias

La noción más general es la unión de una colección arbitraria de conjuntos, a veces llamada unión infinita . Si M es un conjunto o clase cuyos elementos son conjuntos, entonces x es un elemento de la unión de M si y solo si hay al menos un elemento A de M tal que x es un elemento de A. En símbolos: $x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.$

Esta idea subsume las secciones anteriores; por ejemplo, A ∪ B ∪ C es la unión de la colección { A , B , C }. Además, si M es la colección vacía, entonces la unión de M es el conjunto vacío.

Notaciones

La notación del concepto general puede variar considerablemente. Para una unión finita de conjuntos $S_{1},S_{2},S_{3},\puntos,S_{n}$ uno escribe a menudo $S_1 \taza S_2 \taza S_3 \taza \puntos \taza S_n$ o $\bigcup_i=1}^{n}S_{i}$ . Varias notaciones comunes para uniones arbitrarias incluyen $\bigcup \mathbf{M}$ , $\bigcup_{A\in\mathbf{M}} A$ , y $\bigcup_{i\en I} A_{i}$ . La última de estas notaciones se refiere a la unión de la colección. $\left\{A_i : yo \in I\right\}$ , donde I es un conjunto índice y $Ai}$ es un conjunto para cada $yo en yo$ . En el caso de que el conjunto índice I sea el conjunto de los números naturales, se utiliza la notación $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}$ , que es análoga a la de las sumas infinitas en serie.

Cuando el símbolo "∪" se coloca antes de otros símbolos (en lugar de entre ellos), generalmente se representa con un tamaño más grande.

Codificación de notación

En Unicode, la unión está representada por el carácter U+222A ∪ UNION . en Texas, $\taza$ se representa a partir de \cup.

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