Transformada de Fourier

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Transformación matemática que expresa una función del tiempo como función de frecuencia

Una aplicación de ejemplo de la transformación Fourier está determinando las parcelas constitutivas en forma de onda musical. Esta imagen es el resultado de aplicar una transformación Constant-Q (una transformación relacionada con Fourier) a la forma de onda de un acorde de piano C. Los tres primeros picos de la izquierda corresponden a las frecuencias de la frecuencia fundamental del acorde (C, E, G). Los picos más pequeños restantes son tonos de mayor frecuencia de los tonos fundamentales. Un algoritmo de detección de lanzamiento podría utilizar la intensidad relativa de estos picos para inferir que señala el pianista presionado.

Una transformada de Fourier (FT) es una transformada matemática que descompone funciones en componentes de frecuencia, que se representan mediante la salida de la transformada en función de la frecuencia. La mayoría de las funciones de tiempo o espacio se transforman, lo que generará una función dependiendo de la frecuencia temporal o la frecuencia espacial, respectivamente. Ese proceso también se llama análisis. Una aplicación de ejemplo sería descomponer la forma de onda de un acorde musical en términos de la intensidad de sus tonos constituyentes. El término Transformada de Fourier se refiere tanto a la representación en el dominio de la frecuencia como a la operación matemática que asocia la representación en el dominio de la frecuencia a una función del espacio o del tiempo.

La transformada de Fourier de una función es una función de valor complejo que representa las sinusoides complejas que componen la función original. Para cada frecuencia, la magnitud (valor absoluto) del valor complejo representa la amplitud de una sinusoide compleja constituyente con esa frecuencia, y el argumento del valor complejo representa el desplazamiento de fase de esa sinusoide compleja. Si una frecuencia no está presente, la transformada tiene un valor de 0 para esa frecuencia. La transformada de Fourier no se limita a funciones de tiempo, pero el dominio de la función original se conoce comúnmente como dominio de tiempo. El teorema de la inversión de Fourier proporciona un proceso de síntesis que recrea la función original a partir de su representación en el dominio de la frecuencia.

El sinusoide rojo se puede describir por la amplitud máxima (1), pico a pico (2), RMS (3), y longitud de onda (4). Los sinusoides rojo y azul tienen una diferencia de fase

Silencio

scriptstyle f(t)

scriptstyle {hat {f}}(omega)

scriptstyle g(t)

scriptstyle {hat {g}}(omega)

scriptstyle t

scriptstyle omega

scriptstyle t

scriptstyle omega

La fila superior muestra un pulso de unidad como función del tiempo (

f () t)

) y su Fourier transforman como una función de frecuencia (

f () \cdot)

). La fila inferior muestra un pulso de unidad retardado como función del tiempo (

g () t)

) y su Fourier transforman como una función de frecuencia (

Valoraciones () \cdot)

). La traducción (es decir, retraso) en el dominio del tiempo se interpreta como cambios de fase complejos en el dominio de frecuencia. El Fourier transforma descompone una función en eigenfunctions para el grupo de traducciones. La parte imaginaria de

Valoraciones () \cdot)

se niega porque se ha utilizado un exponente de signos negativos en la transformación Fourier, que es el predeterminado derivado de la serie Fourier, pero el signo no importa para una transformación que no va a ser revertida.

Las funciones que están localizadas en el dominio del tiempo tienen transformadas de Fourier que se distribuyen en el dominio de la frecuencia y viceversa, un fenómeno conocido como principio de incertidumbre. El caso crítico de este principio es la función gaussiana, de gran importancia en la teoría de la probabilidad y la estadística, así como en el estudio de los fenómenos físicos que muestran una distribución normal (por ejemplo, la difusión). La transformada de Fourier de una función gaussiana es otra función gaussiana. Joseph Fourier introdujo la transformada en su estudio de la transferencia de calor, donde las funciones gaussianas aparecen como soluciones de la ecuación del calor.

La transformada de Fourier se puede definir formalmente como una integral de Riemann impropia, lo que la convierte en una transformada integral, aunque esta definición no es adecuada para muchas aplicaciones que requieren una teoría de integración más sofisticada. Por ejemplo, muchas aplicaciones relativamente simples usan la función delta de Dirac, que puede tratarse formalmente como si fuera una función, pero la justificación requiere un punto de vista matemáticamente más sofisticado.

La transformada de Fourier también se puede generalizar a funciones de varias variables en el espacio euclidiano, enviando una función de 3-dimensional 'espacio de posición' a una función de momento 3-dimensional (o una función de espacio y tiempo a una función de 4-momentum). Esta idea hace que la transformada espacial de Fourier sea muy natural en el estudio de las ondas, así como en la mecánica cuántica, donde es importante poder representar las soluciones de las ondas como funciones de la posición o del momento y, a veces, de ambas. En general, las funciones a las que se aplican los métodos de Fourier son de valor complejo y posiblemente de valor vectorial. Es posible una generalización aún mayor a las funciones en grupos que, además de la transformada de Fourier original en $R$ o $R n$ (visto como grupos bajo suma), incluye notablemente la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT, grupo = $Z$ ), la transformada discreta de Fourier (DFT, grupo = Z mod N) y la serie de Fourier o transformada circular de Fourier (grupo = $S1$ , la unidad círculo ≈ intervalo finito cerrado con puntos finales identificados). Este último se emplea habitualmente para manejar funciones periódicas. La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular la DFT.

Definiciones

La fórmula de análisis

La transformación Fourier es una extensión de la serie Fourier, que en su forma más general introduce el uso de funciones exponenciales complejas. Por ejemplo, para una función $f(x)$ , la amplitud y fase de un componente de frecuencia a frecuencia ${displaystyle n/P,nin mathbb {Z} }$ , es dado por este número complejo:

{displaystyle c_{n}={tfrac {1}{P}}int _{P}f(x),e^{-i2pi {frac {n}{P}}x},dx.}

La extensión proporciona un continuo de frecuencia de componentes ${displaystyle left(xi in mathbb {R} right),}$ usando una integral infinita de integración:

Fourier transform integral

{displaystyle {hat {f}}(xi)=int _{-infty }^{infty }f(x) e^{-i2pi xi x},dx.}

()Eq.1)

Aquí, la transformación de la función $f(x)$ a frecuencia $xi$ es denotado por el número complejo ${hat {f}}(xi)$ , que es sólo una de varias convenciones comunes. Evaluación Eq.1 para todos los valores $xi$ produce los frecuencia-dominio función. Cuando la variable independiente ( $x$ ) representa tiempo (a menudo denotado por $t$ ), la variable de transformación ( $xi$ ) representa frecuencia (a menudo denotado por $f$ ). Por ejemplo, si el tiempo se mide en segundos, entonces la frecuencia está en hertz.

Una clave para interpretar Eq.1 es que el efecto de multiplicar $f(x)$ por ${displaystyle e^{-i2pi xi x}}$ es subcontratar $xi$ de cada componente de frecuencia de la función $f(x).$ (también ver frecuencia negativa) Así que el componente que estaba en $xi$ termina en cero hertz, y la integral produce su amplitud, porque todos los demás componentes son oscilatorios e integran a cero en un intervalo infinito.

Funciones $f$ y ${hat {f}}$ are often referred to as a Fourier transform pair. Una notación común para designar pares transformadores es:

{displaystyle f(x) {stackrel {mathcal {F}}{longleftrightarrow }} {hat {f}}(xi)quad {text{and therefore}}quad operatorname {rect} (x) {stackrel {mathcal {F}}{longleftrightarrow }} operatorname {sinc} (xi)}

La serie de Fourier no puede representar formas de onda no periódicas. Sin embargo, la transformada de Fourier también puede representar formas de onda no periódicas. Logra esto mediante la aplicación de un proceso de limitación para alargar el período de cualquier forma de onda hasta el infinito y luego tratarlo como una forma de onda periódica.

La fórmula de síntesis

La serie de Fourier real es una fórmula de síntesis:

{displaystyle f(x)=sum _{n=-infty }^{infty }c_{n},e^{i2pi {tfrac {n}{P}}x}.}

Y la extensión de la transformada de Fourier es:

Inversión Fourier integral

{displaystyle f(x)=int _{-infty }^{infty }{hat {f}}(xi) e^{i2pi xi x},dxiquad forall xin mathbb {R}}

()Eq.2)

El número complejo, ${hat {f}}(xi)$ , transmite la amplitud y la fase de frecuencia $xi$ . Así que... Eq.2 es una representación de $f(x)$ como una suma ponderada de funciones exponenciales complejas. Esto se conoce como el teorema de inversión Fourier, y fue introducido por primera vez en Fourier Teoría analítica de calor, aunque no se dio una prueba de estándares modernos hasta mucho más tarde.

Otras convenciones de notación

Para otras convenciones y notaciones comunes, incluido el uso de la frecuencia angular $ω$ en lugar de la frecuencia ordinaria $ξ$ , consulte Otras convenciones y Otras notaciones a continuación. La transformada de Fourier en el espacio euclidiano se trata por separado, en la que la variable $x$ a menudo representa la posición y $ξ$ impulso. Las convenciones elegidas en este artículo son las del análisis armónico y se caracterizan como convenciones únicas tales que la transformada de Fourier es unitaria en $L 2$ y un homomorfismo algebraico de $L 1$ a $L \infty$ , sin renormalizar la medida de Lebesgue.

Existen muchas otras caracterizaciones de la transformada de Fourier. Por ejemplo, se usa el teorema de Stone-von Neumann: la transformada de Fourier es el entrelazador unitario único para las representaciones simpléctica y euclidiana de Schrödinger del grupo de Heisenberg.

Antecedentes

Historia

En 1821, Fourier afirmó (ver Joseph Fourier § La teoría analítica del calor) que cualquier función, ya sea continua o discontinua, puede expandirse en una serie de senos. Ese importante trabajo fue corregido y ampliado por otros para sentar las bases de las diversas formas de la transformada de Fourier utilizadas desde entonces.

Sinusoides complejos

En general, los coeficientes ${hat {f}}(xi)$ son números complejos, que tienen dos formas equivalentes (ver la fórmula de Euler):

{displaystyle {hat {f}}(xi)=underbrace {Ae^{itheta }} _{text{polar coordinate form}}=underbrace {Acos(theta)+iAsin(theta)} _{text{rectangular coordinate form}}.}

El producto con ${displaystyle e^{i2pi xi x}}$ ()Eq.2) tiene estas formas:

{displaystyle {hat {f}}(xi)cdot e^{i2pi xi x}=Ae^{itheta }cdot e^{i2pi xi x}=underbrace {Ae^{i(2pi xi x+theta)}} _{text{polar coordinate form}}=underbrace {Acos(2pi xi x+theta)+iAsin(2pi xi x+theta)} _{text{rectangular coordinate form}}.}

Es de destacar la facilidad con la que se simplificó el producto utilizando la forma polar y la facilidad con la que se dedujo la forma rectangular mediante la aplicación de la fórmula de Euler.

Frecuencia negativa

Una frecuencia negativa está representada por un valor negativo $xi$ dentro Eq.1. El complejo sinusoide ${displaystyle e^{-i2pi 9x}}$ (por ejemplo) frecuencia negativa, porque su transformación no es sólo en ${displaystyle xi =-9.}$ Para las funciones de valor real, se puede evitar todo el tema de las frecuencias negativas, como lo hizo Joseph Fourier en su formulación original (ahora llamada se transforma sine y cosine). Pero los autores más modernos prefieren Eq.1 convención. A result of that, for real-valued $f(x),$ es una propiedad simetría: ${displaystyle {hat {f}}(-xi)={hat {f}}^{*}(xi),}$ significa que todos los componentes de frecuencia negativa son esencialmente redundantes. En otras palabras, cada sinusoide de valor real de frecuencia negativa es un alias de una frecuencia positiva sinusoide. Ejemplos: ${displaystyle cos(-2pi 9x+theta)=cos(2pi 9x-theta)}$ y ${displaystyle sin(-2pi 9x+theta)=-sin(2pi 9x-theta)}$ . Eq.1 no pueden distinguirlos, mientras que ${displaystyle e^{+i2pi xi x}}$ y ${displaystyle e^{-i2pi xi x}}$ son funciones distintas. Pero cuando se agregan juntos, se produce una cancelación de los componentes imaginarios, y un corolario de la identidad de Euler es:

{displaystyle e^{i2pi xi x}+e^{-i2pi xi x}=2cdot cos(2pi xi x),}

que a veces se ofrece para respaldar la noción de que las sinusoides reales son dos veces más complicadas que las sinusoides complejas. Y (quizás apoyando ese punto de vista) a menudo es matemáticamente conveniente representar una sinusoide de valor real en términos de exponenciales complejos.

Transformada de Fourier para funciones periódicas

El siguiente es un par de transformadas de Fourier (consulte la transformada de Fourier del delta de Dirac):

{displaystyle e^{i2pi xi _{0}x}mathrel {stackrel {mathcal {F}}{longleftrightarrow }} delta left(xi -xi _{0}right).}

De ello se desprende que $P$ - función periódica con convergente Serie Fourier:

{displaystyle f(x)=sum _{n=-infty }^{infty }c_{n}cdot e^{i2pi {tfrac {n}{P}}x}}

tiene la transformada de Fourier:

{displaystyle {begin{aligned}{hat {f}}(xi)&=sum _{n=-infty }^{infty }c_{n}cdot {mathcal {F}}left{e^{i2pi {tfrac {n}{P}}x}right}\&=sum _{n=-infty }^{infty }c_{n}cdot delta left(xi -{tfrac {n}{P}}right),end{aligned}}}

que es una función de peine de Dirac cuyos dientes están modulados por los coeficientes de la serie de Fourier.

Muestreo de la transformada de Fourier

La transformación Fourier de un $P$ - función periódica es no cero a sólo un conjunto discreto de frecuencias espaciadas a intervalos de ${displaystyle {tfrac {1}{P}}.}$ Además, la integral infinita, ${displaystyle int _{-infty }^{infty },}$ es reemplazado por la integración en sólo un ciclo, ${displaystyle int _{P}.}$ Del mismo modo, cuando la transformación Fourier de una función aperiódica se muestra a intervalos arbitrarios de ${displaystyle {tfrac {1}{P}},}$ la integral también se puede reducir a ${displaystyle int _{P},}$ como sigue:

{displaystyle {begin{aligned}{hat {f}}left({tfrac {k}{P}}right)&triangleq int _{-infty }^{infty }f(x)cdot e^{-i2pi {frac {k}{P}}x},dx,quad forall kin mathbb {Z} \&=sum _{n=-infty }^{infty }left(int _{x_{o}+nP}^{x_{o}+(n+1)P}f(x)cdot e^{-i2pi {frac {k}{P}}x},dxright), {text{for any}} x_{o}in mathbb {R} \&=sum _{n=-infty }^{infty }int _{x_{o}}^{x_{o}+P}f(x+nP)cdot underbrace {e^{-i2pi {frac {k}{P}}(x+nP)}} _{e^{-i2pi {frac {k}{P}}x}},dx,quad {text{periodicity invoked}}\&=int _{x_{o}}^{x_{o}+P}underbrace {left(sum _{n=-infty }^{infty }f(x+nP)right)} _{triangleq f_{P}(x)}cdot e^{-i2pi {frac {k}{P}}x},dx.end{aligned}}}

$f_{P}$ denota un resumen periódico, calculado sólo a lo largo del intervalo de integración, y podemos reconocer ${displaystyle {hat {f}}left({tfrac {k}{P}}right)}$ como el producto de $P$ y el $k^{{th}}$ coeficiente en la expansión de la serie Fourier ${displaystyle f_{P}(x),}$ que significa $f_{P}$ se puede recuperar de las muestras. Cuando $f(x)$ tiene soporte compacto, ${displaystyle f_{P}(x)}$ tiene un número finito de términos. Cuando $f(x)$ no tiene soporte compacto, evaluación numérica de ${displaystyle f_{P}(x)}$ requiere una aproximación, como cinta adhesiva $f(x)$ o truncando el número de términos.

Ejemplo

Las siguientes figuras proporcionan una ilustración visual de cómo la transformación Fourier mide si una frecuencia está presente en una función particular. La función representada $f () t . t) e π- t 2$ oscila a 3 Hz (si $t$ mide segundos) y tiende rápidamente a 0. (El segundo factor en esta ecuación es una función de sobre que forma el sinusoide continuo en un pulso corto. Su forma general es una función Gausiana). Esta función fue especialmente elegida para tener una verdadera transformación Fourier que se puede trazar fácilmente. La primera imagen contiene su gráfico. Para calcular ${displaystyle {hat {f}}(3)}$ debemos integrar $e - i 2π(3 t) f () t)$ . La segunda imagen muestra la trama de las partes reales e imaginarias de esta función. La parte real del cuerpo es casi siempre positiva, porque cuando $f () t)$ es negativo, la parte real de $e - i 2π(3 t)$ es negativo también. Porque oscilan a la misma velocidad, cuando $f () t)$ es positivo, así es la parte real de $e - i 2π(3 t)$ . El resultado es que cuando se integra la parte real del integrado se obtiene un número relativamente grande (en este caso 1/2). Por otro lado, cuando intenta medir una frecuencia que no está presente, como en el caso cuando miramos ${displaystyle {hat {f}}(5)}$ , usted ve que el componente real e imaginario de esta función varía rápidamente entre valores positivos y negativos, como se trama en la tercera imagen. Por lo tanto, en este caso, el integrado oscila lo suficientemente rápido para que la integral es muy pequeña y el valor para la transformación Fourier para esa frecuencia es casi cero.

La situación general puede ser un poco más complicada que esto, pero así es como la transformada de Fourier mide qué cantidad de una frecuencia individual está presente en una función $f (t)$ .

Función original mostrando oscilación 3 Hz.
partes reales e imaginarias de componentes para Fourier transformar a 3 Hz
partes reales e imaginarias de componentes para Fourier transformar a 5 Hz
Magnitud de Fourier transformado, con 3 y 5 Hz etiquetado.

Propiedades de la transformada de Fourier

Aquí asumimos $f (x)$ , $g (x)$ y $h (x)$ son funciones integrables: Lebesgue-medibles en la línea real que satisfacen:

<math alttext="{displaystyle int _{-infty }^{infty }|f(x)|,dx∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO Silenciof()x)Silenciodx.JUEGO JUEGO .{displaystyle int _{-infty}{infty } arrestf(x) sometimiento,dx significa 'infty.}<img alt="{displaystyle int _{-infty }^{infty }|f(x)|,dx

Denotamos las transformadas de Fourier de estas funciones como $f̂ (ξ)$ , <span class="texhtml" ĝ(ξ) y $ĥ (ξ)$ respectivamente.

Propiedades básicas

La transformada de Fourier tiene las siguientes propiedades básicas:

Linealidad

Para cualquier número complejo

a

b

, si

h () x) a f () x) + b () x)

, entonces

ĥ () .) a f () .) + b Valoraciones () .)

Traducción / cambio de tiempo

Animación mostrando la Transformación de Fourier de una señal cambiada de tiempo. [Top] la señal original (amarillo), se cambia continuamente el tiempo (azul). [Bottom] El resultado Fourier Transform de la señal de tiempo cambiada. Observe cómo los componentes de frecuencia superior giran en plano complejo más rápido que los componentes de frecuencia inferior.

Para cualquier número real

x 0

, si

h () x) f () x - x 0)

, entonces

ĥ () .) e - i 2π x 0 . f () .)

Modulación/cambio de frecuencia

Para cualquier número real

. 0

, si

h () x) e i 2π . 0 x f () x)

, entonces

ĥ () .) f () . - . 0)

Escala de tiempo

Para un número real no cero

a

, si

h () x) f () ax)

, entonces

{displaystyle {hat {h}}(xi)={frac {1}{|a|}}{hat {f}}left({frac {xi }{a}}right).}

El caso

a = 1 -

conduce a tiempo-reversal propiedad, que establece: si

h () x) f () - x)

, entonces

ĥ () .) f () - .)

Simetría

Cuando las partes real e imaginaria de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares, hay cuatro componentes, indicados a continuación con los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay un mapeo uno a uno entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja:

${displaystyle {begin{aligned}{mathsf {Time domain}}quad & fquad &=quad &f_{_{RE}}quad &+quad &f_{_{RO}}quad &+quad i &f_{_{IE}}quad &+quad &underbrace {i f_{_{IO}}} \&{Bigg Updownarrow }{mathcal {F}}&&{Bigg Updownarrow }{mathcal {F}}&& {Bigg Updownarrow }{mathcal {F}}&& {Bigg Updownarrow }{mathcal {F}}&& {Bigg Updownarrow }{mathcal {F}}\{mathsf {Frequency domain}}quad &{hat {f}}quad &=quad &{hat {f}}_{RE}quad &+quad &overbrace {i {hat {f}}_{IO}} quad &+quad i &{hat {f}}_{IE}quad &+quad &{hat {f}}_{RO}end{aligned}}}$

A partir de esto, varias relaciones son aparentes, por ejemplo:

La transformación de una función de valor real ( $f RE + f RO$ ) es la función simétrica incluso $f RE + i f IO$ . Por el contrario, una transformación incluso simétrica implica un dominio de tiempo real.
La transformación de una función de valor imaginario ( $i f IE + i f IO$ ) es la función simétrica extraña $f RO + i f IE$ , y el contrario es cierto.
La transformación de una función incluso simétrica ( $f RE + i f IO$ ) es la función de valor real $f RE + f RO$ , y el contrario es cierto.
La transformación de una función simétrica extraña ( $f RO + i f IE$ ) es la función de valor imaginario $i f IE + i f IO$ , y el contrario es cierto.

Conjugación

h () x) f () x)

, entonces

{displaystyle {hat {h}}(xi)={overline {{hat {f}}(-xi)}}.}

En particular, si

f

es real, entonces uno tiene el realidad

{displaystyle {hat {f}}(-xi)={overline {{hat {f}}(xi)}},}

es decir,

f

es una función de Hermitian. Y si

f

es puramente imaginario, entonces

{displaystyle {hat {f}}(-xi)=-{hat {f}}(xi).}

Parte real e imaginaria en el tiempo

Si ${displaystyle h(x)=Re {(f(x))}}$ , entonces ${displaystyle {hat {h}}(xi)={frac {1}{2}}left({hat {f}}(xi)+{overline {{hat {f}}(-xi)}}right)}$ .
Si ${displaystyle h(x)=Im {(f(x))}}$ , entonces ${displaystyle {hat {h}}(xi)={frac {1}{2i}}left({hat {f}}(xi)-{overline {{hat {f}}(-xi)}}right)}$ .

El componente de frecuencia cero

Sustitución

. = 0

en la definición, obtenemos

{displaystyle {hat {f}}(0)=int _{-infty }^{infty }f(x),dx.}

Eso es lo mismo que el integral de

f

sobre todo su dominio y también se conoce como el valor promedio o sesgo DC de la función.

Invertibilidad y periodicidad

Bajo condiciones adecuadas en la función $f$ , se puede recuperar de su Fourier transform ${hat {f}}$ . De hecho, denotando al operador de transformación Fourier ${mathcal {F}}$ Así que ${displaystyle {mathcal {F}}f:={hat {f}}}$ , entonces para funciones adecuadas, aplicando el Fourier transforma dos veces simplemente voltea la función: ${displaystyle ({mathcal {F}}^{2}f)(x)=f(-x)}$ , que se puede interpretar como "tiempo de inversión". Puesto que el tiempo de inversión es dos-periódico, aplicando este doble rendimiento ${displaystyle {mathcal {F}}^{4}(f)=f}$ , por lo que el operador de transformación Fourier es cuatro-periódico, y de forma similar el inverso Fourier transformado se puede obtener aplicando el transformado Fourier tres veces: ${displaystyle {mathcal {F}}^{3}({hat {f}})=f}$ . En particular, la transformación Fourier es invertible (en condiciones adecuadas).

Más precisamente, definir el operador de paridad ${mathcal {P}}$ tales que ${displaystyle ({mathcal {P}}f)(x)=f(-x)}$ , tenemos:

{displaystyle {begin{aligned}{mathcal {F}}^{0}&=mathrm {id}\{mathcal {F}}^{1}&={mathcal {F}},\{mathcal {F}}^{2}&={mathcal {P}},\{mathcal {F}}^{3}&={mathcal {F}}^{-1}={mathcal {P}}circ {mathcal {F}}={mathcal {F}}circ {mathcal {P}},\{mathcal {F}}^{4}&=mathrm {id} end{aligned}}}

Estas igualdades de operadores requieren una definición cuidadosa del espacio de funciones en cuestión, definiendo la igualdad de funciones (¿igualdad en cada punto? ¿igualdad en casi todas partes?) y definiendo la igualdad de operadores, es decir, definiendo la topología en el espacio de funciones y espacio del operador en cuestión. Estos no son verdaderos para todas las funciones, pero lo son bajo varias condiciones, que son el contenido de las diversas formas del teorema de inversión de Fourier.

Esta periodicidad cuádruple de la transformada de Fourier es similar a una rotación del plano de 90°, particularmente porque la iteración doble produce una inversión y, de hecho, esta analogía se puede precisar. Mientras que la transformada de Fourier puede interpretarse simplemente como un cambio en el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, mientras que la transformada de Fourier inversa los vuelve a cambiar, más geométricamente puede interpretarse como una rotación de 90° en el dominio del tiempo-frecuencia (considerando el tiempo como el $x$ -eje y frecuencia como $y$ -axis), y la transformada de Fourier se puede generalizar a la transformada fraccionaria de Fourier, que implica rotaciones por otros ángulos. Esto se puede generalizar aún más a transformaciones canónicas lineales, que se pueden visualizar como la acción del grupo lineal especial $SL2(R)$ en el plano de tiempo-frecuencia, con la forma simpléctica preservada correspondiente al principio de incertidumbre, a continuación. Este enfoque se estudia particularmente en el procesamiento de señales, bajo análisis de tiempo-frecuencia.

Unidades y dualidad

La variable de frecuencia debe tener unidades inversas a las unidades del dominio de la función original (normalmente denominada $t$ o $x$ ). Por ejemplo, si $t$ se mide en segundos, $ξ$ debe estar en ciclos por segundo. Si la escala de tiempo está en unidades de 2 $π$ segundos, entonces otra letra griega $ω$ normalmente se usa para representar la frecuencia angular (donde $ω = 2π ξ$ ) en unidades de radianes por segundo. Si usa $x$ para unidades de longitud, entonces $ξ$ debe estar en longitud inversa, por ejemplo, números de onda. Es decir, hay dos versiones de la línea real: una que es el rango de $t$ y se mide en unidades de t, y el otro que es el rango de $ξ$ y medido en unidades inversas a las unidades de $t$ . Estas dos versiones distintas de la línea real no pueden equipararse entre sí. Por lo tanto, la transformada de Fourier va de un espacio de funciones a un espacio de funciones diferente: funciones que tienen un dominio de definición diferente.

En general, $ξ$ siempre debe tomarse como una forma lineal en el espacio de su dominio, es decir que la segunda línea real es el espacio dual de la primera línea real. Consulte el artículo sobre álgebra lineal para obtener una explicación más formal y más detalles. Este punto de vista se vuelve esencial en las generalizaciones de la transformada de Fourier a grupos de simetría general, incluido el caso de las series de Fourier.

Que no hay una forma preferida (a menudo, uno dice "ninguna forma canónica") para comparar las dos versiones de la línea real que están involucradas en la transformada de Fourier; fijar las unidades en una línea no no forzar la escala de las unidades en la otra línea—es la razón de la plétora de convenciones rivales sobre la definición de la transformada de Fourier. Las diversas definiciones resultantes de diferentes elecciones de unidades difieren en varias constantes.

Vamos ${displaystyle {hat {f}}_{1}(xi)}$ ser la forma de la transformación Fourier en términos de frecuencia ordinaria $.$ .

Porque... ${displaystyle xi ={tfrac {omega }{2pi }}}$ , la forma alternativa ${displaystyle {hat {f}}_{3}(omega)}$ (que Fourier transforma § Otras convenciones llaman la forma no unitaria en frecuencia angular) no tiene ningún factor en su definición

{displaystyle {hat {f}}_{3}(omega)mathrel {stackrel {mathrm {def} }{=}} int _{-infty }^{infty }f(x),e^{-iomega x},dx={hat {f}}_{1}left({frac {omega }{2pi }}right)}

pero tiene un factor ${displaystyle {tfrac {1}{2pi }}}$ en su fórmula de inversión correspondiente

{displaystyle f(x)={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty }{hat {f}}_{3}(omega),e^{iomega ,x},domega.}

Forma alternativa ${displaystyle {hat {f}}_{2}(omega)}$ (que Fourier transforma § Otras convenciones llaman la forma unitaria en frecuencia angular) tiene un factor de ${displaystyle {tfrac {1}{sqrt {2pi }}}}$ en su definición

{displaystyle {hat {f}}_{2}(omega)mathrel {stackrel {mathrm {def} }{=}} {frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }f(x),e^{-iomega ,x},dx}

y también tiene ese mismo factor ${displaystyle {tfrac {1}{sqrt {2pi }}}}$ en su correspondiente fórmula de inversión, produciendo una relación simétrica

{displaystyle f(x)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }{hat {f}}_{2}(omega),e^{iomega ,x},domega.}

En otras convenciones, la transformación Fourier tiene $i$ en el exponente en lugar de $- i$ , y viceversa para la fórmula de inversión. Esta convención es común en la física moderna y es el predeterminado para Wolfram Alpha, y no significa que la frecuencia se ha vuelto negativa, ya que no hay una definición canónica de positividad para la frecuencia de una onda compleja. Simplemente significa que ${hat {f}}(xi)$ es la amplitud de la onda ${displaystyle e^{-i2pi xi x}}$ en lugar de la ola ${displaystyle e^{i2pi xi x}}$ (el primero, con su signo menos, se ve a menudo en el tiempo dependencia de las soluciones de onda plana sinusoidal de la ecuación de onda electromagnética, o en el tiempo dependencia de las funciones de onda cuántica). Muchas de las identidades que implican la transformación de Fourier siguen siendo válidas en esas convenciones, siempre que todos los términos que involucren explícitamente $i$ ha sido reemplazado por $- i$ . En ingeniería eléctrica la carta $j$ se utiliza típicamente para la unidad imaginaria en lugar de $i$ porque $i$ se utiliza para la corriente.

Al usar unidades adimensionales, es posible que los factores constantes ni siquiera estén escritos en la definición de transformación. Por ejemplo, en la teoría de la probabilidad, la función característica $Φ$ de la función de densidad de probabilidad $f$ de una variable aleatoria $X$ de tipo continuo se define sin signo negativo en el exponencial, y dado que las unidades de $x$ se ignoran, no hay 2 $π$ ya sea:

phi (lambda)=int _{-infty }^{infty }f(x)e^{ilambda x},dx.

(En la teoría de la probabilidad y en las estadísticas matemáticas, se prefiere el uso de la transformada de Fourier-Stieltjes, porque muchas variables aleatorias no son de tipo continuo y no poseen una función de densidad, y no se deben tratar funciones sino distribuciones, es decir, medidas que poseen "átomos".)

Desde el punto de vista superior de los caracteres de grupo, que es mucho más abstracto, todas estas elecciones arbitrarias desaparecen, como se explicará en la sección posterior de este artículo, que trata la noción de la transformada de Fourier de una función en un Grupo abeliano localmente compacto.

Continuidad uniforme y el lema de Riemann-Lebesgue

La función rectangular es Lebesgue integradoble.

La función sincical, que es la transformación Fourier de la función rectangular, está ligada y continua, pero no Lebesgue integradoble.

La transformada de Fourier se puede definir en algunos casos para funciones no integrables, pero las transformadas de Fourier de funciones integrables tienen varias propiedades sólidas.

La transformada de Fourier $f̂$ de cualquier función integrable $f$ es uniformemente continua y

{displaystyle left|{hat {f}}right|_{infty }leq left|fright|_{1}}

Por el lema de Riemann-Lebesgue,

{displaystyle {hat {f}}(xi)to 0{text{ as }}|xi |to infty.}

Sin embargo, ${hat {f}}$ no es necesario ser integrador. Por ejemplo, la transformación Fourier de la función rectangular, que es integradora, es la función sincónica, que no es Lebesgue integradoble, porque sus integradas inadecuadas se comportan analógicamente a la serie armónica alterna, en convergencia a una suma sin ser absolutamente convergente.

No es generalmente posible escribir el transformación inversa como una Lebesgue integral. Sin embargo, cuando ambos $f$ y ${hat {f}}$ son integradores, la igualdad inversa

{displaystyle f(x)=int _{-infty }^{infty }{hat {f}}(xi)e^{i2pi xxi },dxi }

se mantiene en casi todas partes. Es decir, la transformada de Fourier es inyectiva en $L1(R)$ . (Pero si $f$ es continua, entonces la igualdad es válida para cada $x$ .)

Teorema de Plancherel y teorema de Parseval

Sean $f (x)$ y $g (x)$ sea integrable, y sea $f̂ (ξ)$ y $ĝ (ξ)$ sean sus transformadas de Fourier. Si $f (x)$ y $g (x)$ también son integrables al cuadrado, entonces la fórmula de Parseval es la siguiente:

{displaystyle langle f,grangle _{L^{2}}=int _{-infty }^{infty }f(x){overline {g(x)}},dx=int _{-infty }^{infty }{hat {f}}(xi){overline {{hat {g}}(xi)}},dxi}

donde la barra indica conjugación compleja.

El teorema de Plancherel, que se deriva de lo anterior, establece que

{displaystyle |f|_{L^{2}}^{2}=int _{-infty }^{infty }left|f(x)right|^{2},dx=int _{-infty }^{infty }left|{hat {f}}(xi)right|^{2},dxi.}

El teorema de Plancherel hace posible extender la transformada de Fourier, mediante un argumento de continuidad, a un operador unitario en $L 2 (R)$ . En $L 1 (R) \cap L 2 (R)$ , esta extensión concuerda con la transformada de Fourier original definida en $L 1 (R)$ , ampliando así el dominio de la transformada de Fourier a $L 1 (R) + L 2 (R)$ (y en consecuencia a $L p (R)$ para $1 \leq p \leq 2$ ). El teorema de Plancherel tiene la interpretación en las ciencias de que la transformada de Fourier conserva la energía de la cantidad original. La terminología de estas fórmulas no está del todo estandarizada. El teorema de Parseval se demostró solo para series de Fourier y fue probado por primera vez por Lyapunov. Pero la fórmula de Parseval también tiene sentido para la transformada de Fourier, y aunque en el contexto de la transformada de Fourier fue probada por Plancherel, todavía se la conoce como fórmula de Parseval, o Parseval's. la relación de 39, o incluso el teorema de Parseval.

Ver Dualidad de Pontryagin para una formulación general de este concepto en el contexto de grupos abelianos localmente compactos.

Fórmula de suma de Poisson

La fórmula de suma de Poisson (PSF) es una ecuación que relaciona los coeficientes de la serie de Fourier de la suma periódica de una función con los valores de la transformada continua de Fourier de la función. La fórmula de suma de Poisson dice que para funciones suficientemente regulares $f$ ,

sum _{n}{hat {f}}(n)=sum _{n}f(n).

Tiene una variedad de formas útiles que se derivan de la básica mediante la aplicación de las propiedades de cambio de escala y tiempo de la transformada de Fourier. La fórmula tiene aplicaciones en ingeniería, física y teoría de números. El dual de dominio de frecuencia de la fórmula de suma de Poisson estándar también se denomina transformada de Fourier de tiempo discreto.

La suma de Poisson generalmente se asocia con la física de los medios periódicos, como la conducción de calor en un círculo. La solución fundamental de la ecuación del calor en un círculo se llama función theta. Se utiliza en la teoría de números para demostrar las propiedades de transformación de las funciones theta, que resultan ser un tipo de forma modular, y está conectado de forma más general con la teoría de las formas automórficas donde aparece en un lado de la fórmula de la traza de Selberg.

Diferenciación

Suponga que $f (x)$ es una función diferenciable absolutamente continua, y ambas <span class="texhtml" f y su derivado $f'$ son integrables. Entonces la transformada de Fourier de la derivada está dada por

{displaystyle {widehat {f',}}(xi)={mathcal {F}}left{{frac {d}{dx}}f(x)right}=i2pi xi {hat {f}}(xi).}

Más generalmente, la transformación de Fourier de la $n$ ésima derivada $f (n)$ viene dado por

{displaystyle {widehat {f^{(n)}}}(xi)={mathcal {F}}left{{frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)right}=(i2pi xi)^{n}{hat {f}}(xi).}

Analógicamente, ${displaystyle {mathcal {F}}left{x^{n}f(x)right}=left({frac {i}{2pi }}right)^{n}{frac {d^{n}}{dxi ^{n}}}{hat {f}}(xi).}$

Al aplicar la transformada de Fourier y usar estas fórmulas, algunas ecuaciones diferenciales ordinarias se pueden transformar en ecuaciones algebraicas, que son mucho más fáciles de resolver. Estas fórmulas también dan lugar a la regla general " $f (x)$ es suave si y solo si $f̂ (ξ)$ cae rápidamente a 0 para $| ξ | \to \infty$ ." Al usar las reglas análogas para la transformada inversa de Fourier, también se puede decir " $f (x)$ rápidamente cae a 0 para $| x | \to \infty$ si y solo si $f̂ (ξ)$ es suave."

Teorema de convolución

La transformada de Fourier traduce entre convolución y multiplicación de funciones. Si $f (x)$ y $g (x)$ son funciones integrables con transformadas de Fourier $f̂ (ξ)$ y $ĝ (ξ)$ respectivamente, entonces la transformada de Fourier de la convolución viene dada por el producto de las transformadas de Fourier $f̂ (ξ)$ y $ĝ (ξ)$ (bajo otras convenciones para la definición de la transformada de Fourier puede aparecer un factor constante).

Esto significa que si:

h(x)=(f*g)(x)=int _{-infty }^{infty }f(y)g(x-y),dy,

donde $*$ denota la operación de convolución, entonces:

{displaystyle {hat {h}}(xi)={hat {f}}(xi),{hat {g}}(xi).}

En la teoría de sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI), es común interpretar $g (x)$ como el respuesta de impulso de un sistema LTI con entrada $f (x)$ y salida $h (x)$ , ya que sustituyendo el impulso unitario por $f (x)$ produce $h (x) = g (x)$ . En este caso, $ĝ (ξ)$ representa la respuesta de frecuencia del sistema.

Por el contrario, si $f (x)$ se puede descomponer como el producto de dos funciones cuadradas integrables $p (x)$ y $q (x)$ , entonces la transformada de Fourier de $f (x)$ viene dada por la convolución de las respectivas transformadas de Fourier $p̂ (ξ)$ y $q̂ (ξ)$ .

Teorema de correlación cruzada

De manera análoga, se puede demostrar que si $h (x)$ es la correlación cruzada de $f (x)$ y $g (x)$ :

{displaystyle h(x)=(fstar g)(x)=int _{-infty }^{infty }{overline {f(y)}}g(x+y),dy}

entonces la transformada de Fourier de $h (x)$ es:

{displaystyle {hat {h}}(xi)={overline {{hat {f}}(xi)}},{hat {g}}(xi).}

Como caso especial, la autocorrelación de la función $f (x)$ es:

{displaystyle h(x)=(fstar f)(x)=int _{-infty }^{infty }{overline {f(y)}}f(x+y),dy}

para lo cual

{displaystyle {hat {h}}(xi)={overline {{hat {f}}(xi)}}{hat {f}}(xi)=left|{hat {f}}(xi)right|^{2}.}

Funciones propias

La transformación Fourier es una transformación lineal que tiene eigenfunctions obedeciendo ${displaystyle {mathcal {F}}[psi ]=lambda psi}$ con ${displaystyle lambda in mathbb {C}.}$

Se encuentra un conjunto de funciones propias al observar que la ecuación diferencial homogénea

{displaystyle left[Uleft({frac {1}{2pi }}{frac {d}{dx}}right)+U(x)right]psi (x)=0}

conduce a las funciones eigen $psi (x)$ de la transformación Fourier ${mathcal {F}}$ mientras la forma de la ecuación siga siendo invariable bajo la transformación de Fourier. En otras palabras, cada solución $psi (x)$ y su transformación Fourier ${displaystyle {hat {psi }}(xi)}$ obedece la misma ecuación. Suponiendo singularidad de las soluciones, cada solución $psi (x)$ por lo tanto debe ser una función eigena de la transformación Fourier. La forma de la ecuación permanece sin cambios bajo la transformación de Fourier si $U(x)$ se puede ampliar en una serie de potencia en la que por todos los términos el mismo factor de uno de los dos ${displaystyle pm 1,pm i}$ surge de los factores $i^{n}$ introducido por las reglas de diferenciación en Fourier transformando la ecuación diferencial homogénea porque este factor puede ser cancelado. El más simple permitido ${displaystyle U(x)=x}$ conduce a la distribución normal estándar.

De manera más general, también se encuentra un conjunto de funciones propias al observar que las reglas de diferenciación implican que la ecuación diferencial ordinaria

{displaystyle left[Wleft({frac {i}{2pi }}{frac {d}{dx}}right)+W(x)right]psi (x)=Cpsi (x)}

con $C$ constantes y constantes $W(x)$ ser una función no constante aún permanece invariante en forma al aplicar la transformación Fourier ${mathcal {F}}$ a ambos lados de la ecuación. El ejemplo más simple es proporcionado por ${displaystyle W(x)=x^{2}}$ que es equivalente a considerar la ecuación Schrödinger para el oscilador armónico cuántico. Las soluciones correspondientes proporcionan una importante elección de una base ortonormal para $L2(R)$ y son dadas por las funciones hermitas del físico. Equivalentemente se puede utilizar

{displaystyle psi _{n}(x)={frac {sqrt[{4}]{2}}{sqrt {n!}}}e^{-pi x^{2}}mathrm {He} _{n}left(2x{sqrt {pi }}right),}

donde $Él n (x)$ son los "probabilistas&# 39;s" Polinomios de Hermite, definidos como

{displaystyle mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{frac {1}{2}}x^{2}}left({frac {d}{dx}}right)^{n}e^{-{frac {1}{2}}x^{2}}.}

Bajo esta convención para la transformada de Fourier, tenemos que

{displaystyle {hat {psi }}_{n}(xi)=(-i)^{n}psi _{n}(xi).}

En otras palabras, las funciones Hermite forman un sistema ortonormal completo de funciones eigen para la transformación Fourier en $L 2 () R)$ . Sin embargo, esta elección de eigenfunctions no es única. Debido a ${displaystyle {mathcal {F}}^{4}=mathrm {id} }$ sólo hay cuatro eigenvalues diferentes de la transformación Fourier (las cuartas raíces de la unidad ±1 y ± $i$ ) y cualquier combinación lineal de eigenfunctions con el mismo eigenvalue da otra función eigen. Como consecuencia de ello, es posible descomponer $L 2 () R)$ como suma directa de cuatro espacios $H 0$ , $H 1$ , $H 2$ , y $H 3$ donde el Fourier transforma $Él k$ simplemente por multiplicación $i k$ .

Dado que el conjunto completo de funciones de Hermite $ψ n$ proporciona una resolución de la identidad, diagonalizan el operador de Fourier, es decir, la transformada de Fourier se puede representar mediante una suma de términos ponderada por los valores propios anteriores, y estas sumas se pueden sumar explícitamente:

{displaystyle {mathcal {F}}[f](xi)=int dxf(x)sum _{ngeq 0}(-i)^{n}psi _{n}(x)psi _{n}(xi)~.}

Este enfoque para definir la transformación Fourier fue propuesto por Norbert Wiener. Entre otras propiedades, las funciones Hermite disminuyen exponencialmente rápido en los dominios de frecuencia y tiempo, y se utilizan para definir una generalización de la transformación Fourier, a saber, la transformación fraccional Fourier utilizada en el análisis de frecuencias. En física, esta transformación fue introducida por Edward Condon. Este cambio de funciones de base se hace posible porque la transformación Fourier es una transformación unitaria al utilizar las convenciones adecuadas. En consecuencia, en las condiciones adecuadas se puede esperar que resulte de un generador autoadjunto $N$ via

{displaystyle {mathcal {F}}[psi ]=e^{-itN}psi.}

El operador $N$ es el operador número del oscilador armónico cuántico escrito como

{displaystyle Nequiv {frac {1}{2}}left(x-{frac {partial }{partial x}}right)left(x+{frac {partial }{partial x}}right)={frac {1}{2}}left(-{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+x^{2}-1right).}

Se puede interpretar como el generador de transformaciones de Fourier fraccional para valores arbitrarios $t$ , y de la transformación continua convencional Fourier ${mathcal {F}}$ para el valor particular ${displaystyle t=pi /2,}$ con el núcleo Mehler implementando la correspondiente transformación activa. Las funciones eigenas de $N$ son las funciones Hermite $psi _{n}(x)$ que son, por tanto, también eigenfunctions de ${mathcal {F}}.$

Al extender la transformada de Fourier a las distribuciones, el peine de Dirac también es una función propia de la transformada de Fourier.

Conexión con el grupo Heisenberg

El grupo de Heisenberg es un cierto grupo de operadores unitarios en el espacio de Hilbert $L 2 (R)$ de funciones valuadas complejas integrables cuadradas $f$ en la línea real, generada por las traducciones $(T y f)(x) = f (x + y)$ y multiplicación por $e i 2π ξx$ , $(M ξ f)(x) = e i 2π ξx f (x). Estos operadores no conmutan, ya que su conmutador (de grupo) es$

{displaystyle left(M_{xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{xi }T_{y}fright)(x)=e^{i2pi xi y}f(x)}

que es la multiplicación por la constante (independiente de $x$ ) $e i 2π ξy \in U (1)$ (el grupo circular de módulo unitario números complejos). Como grupo abstracto, el grupo de Heisenberg es el grupo de Lie tridimensional de triples $(x, ξ, z) \in R 2 \times U (1)$ , con la ley de grupo

{displaystyle left(x_{1},xi _{1},t_{1}right)cdot left(x_{2},xi _{2},t_{2}right)=left(x_{1}+x_{2},xi _{1}+xi _{2},t_{1}t_{2}e^{i2pi left(x_{1}xi _{1}+x_{2}xi _{2}+x_{1}xi _{2}right)}right).}

Denote el grupo de Heisenberg con $H 1$ . El procedimiento anterior describe no solo la estructura del grupo, sino también una representación unitaria estándar de $H 1$ en un espacio de Hilbert, que denotamos por $ρ : H 1 \to B (L 2 (R))$ . Defina el automorfismo lineal de $R 2$ por

{displaystyle J{begin{pmatrix}x\xi end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-xi \xend{pmatrix}}}

para que $J 2 = - yo$ . Esta $J$ se puede extender a un automorfismo único de $H 1$ :

{displaystyle jleft(x,xitright)=left(-xix,te^{-i2pi xi x}right).}

Según el teorema de Stone-von Neumann, las representaciones unitarias $ρ$ y $ρ \circ j$ son unitariamente equivalentes, por lo que hay un entrelazador único $W \in U (L 2 (R))$ tal que

{displaystyle rho circ j=Wrho W^{*}.}

Este operador $W$ es la transformada de Fourier.

Muchas de las propiedades estándar de la transformada de Fourier son consecuencias inmediatas de este marco más general. Por ejemplo, el cuadrado de la transformada de Fourier, $W 2$ , es un entrelazador asociado con $J 2 = - I$ , por lo que tenemos $(W 2 f)(x) = f (- x)$ es el reflejo de la función original $f$ .

Dominio complejo

La integral para la transformada de Fourier

{displaystyle {hat {f}}(xi)=int _{-infty }^{infty }e^{-i2pi xi t}f(t),dt}

puede estudiarse para valores complejos de su argumento $ξ$ . Dependiendo de las propiedades de $f$ , esto podría no converger fuera del eje real o podría converger en una función analítica compleja para todos los valores de $ξ = σ + iτ$ , o algo intermedio.

El teorema de Paley-Wiener dice que $f$ es uniforme (es decir, $n$ -veces diferenciable para todos los enteros positivos $n$ ) y compatible de forma compacta si y solo si $f̂ (σ + iτ)$ es una función holomorfa para la cual existe un constante $a > 0$ tal que para cualquier entero $n \geq 0$ ,

{displaystyle leftvert xi ^{n}{hat {f}}(xi)rightvert leq Ce^{avert tau vert }}

para alguna constante $C$ . (En este caso, $f$ es compatible con $[- a, a]$ .) Esto se puede expresar diciendo que $f̂$ es una función completa que es rápidamente disminuyendo en $σ$ (para fijos $τ$ ) y de crecimiento exponencial en $τ$ (uniformemente en $σ$ ).

(Si $f$ no es suave, pero solo $L 2$ , la sentencia sigue siendo válida siempre que $n = 0$ ). El espacio de tales funciones de un variable compleja se llama espacio de Paley-Wiener. Este teorema se ha generalizado a grupos de Lie semisimples.

Si $f$ es compatible con la media línea $t \geq 0$ , entonces $f$ se dice que es "causal" porque la función de respuesta de impulso de un filtro físicamente realizable debe tener esta propiedad, ya que ningún efecto puede preceder a su causa. Paley y Wiener demostraron que entonces $f̂$ se extiende a una función holomorfa en el semiplano inferior complejo $τ < 0$ que tiende a cero cuando $τ$ tiende a infinito. Lo contrario es falso y no se sabe cómo caracterizar la transformada de Fourier de una función causal.

Transformada de Laplace

La transformada de Fourier $f̂ (ξ)$ está relacionada con la transformada de Laplace $F (s)$ , que también se utiliza para la solución de ecuaciones diferenciales y el análisis de filtros.

Puede suceder que una función $f$ para la cual la integral de Fourier no converge en absoluto en el eje real, sin embargo tiene una transformada compleja de Fourier definida en alguna región del plano complejo.

Por ejemplo, si $f (t)$ es de crecimiento exponencial, es decir,

<math alttext="{displaystyle vert f(t)vert Silenciof()t)Silencio.CeaSilenciotSilencio{displaystyle vert f(t)vert <img alt="vert f(t)vert

para algunas constantes $C, a \geq 0$ , entonces

{displaystyle {hat {f}}(itau)=int _{-infty }^{infty }e^{2pi tau t}f(t),dt,}

convergente para todo $2π τ < - a$ , es la transformada de Laplace de dos colas de $f$ .

La versión más habitual ("unilateral") de la transformada de Laplace es

{displaystyle F(s)=int _{0}^{infty }f(t)e^{-st},dt.}

Si $f$ es también causal, y analítico, entonces: ${hat {f}}(itau)=F(-2pi tau).$ Por lo tanto, extender la transformación Fourier al dominio complejo significa que incluye la transformación Laplace como un caso especial en el caso de las funciones causales, pero con el cambio de variable $s = i 2π .$ .

Desde otro punto de vista, quizás más clásico, la transformada de Laplace por su forma implica un término regulador exponencial adicional que le permite converger fuera de la línea imaginaria donde se define la transformada de Fourier. Como tal, puede converger para integrales y series exponencialmente divergentes, mientras que la descomposición de Fourier original no puede, lo que permite el análisis de sistemas con elementos divergentes o críticos. Dos ejemplos particulares del procesamiento de señales lineales son la construcción de redes de filtros de paso total a partir de peines críticos y filtros de mitigación a través de la cancelación exacta de polos y ceros en el círculo unitario. Dichos diseños son comunes en el procesamiento de audio, donde se busca una respuesta de fase altamente no lineal, como en la reverberación.

Además, cuando se buscan respuestas de impulso extendidas similares a pulsos para el trabajo de procesamiento de señales, la forma más fácil de producirlas es tener un circuito que produzca una respuesta de tiempo divergente y luego cancelar su divergencia a través de una respuesta compensatoria opuesta retardada. Allí, solo el circuito de retardo intermedio admite una descripción clásica de Fourier, que es crítica. Los dos circuitos laterales son inestables y no admiten una descomposición de Fourier convergente. Sin embargo, sí admiten una descripción del dominio de Laplace, con semiplanos de convergencia idénticos en el plano complejo (o en el caso discreto, el plano Z), donde sus efectos se anulan.

En las matemáticas modernas, la transformada de Laplace se subsume convencionalmente bajo los métodos de Fourier aegis. Ambos están subsumidos por la idea mucho más general y más abstracta del análisis armónico.

Inversión

Si $f̂$ es un análisis complejo para $a \leq τ \leq b$ , entonces

{displaystyle int _{-infty }^{infty }{hat {f}}(sigma +ia)e^{i2pi xi t},dsigma =int _{-infty }^{infty }{hat {f}}(sigma +ib)e^{i2pi xi t},dsigma }

por el teorema integral de Cauchy. Por lo tanto, la fórmula de inversión de Fourier puede usar la integración a lo largo de diferentes líneas, paralelas al eje real.

Teorema: Si $f (t) = 0$ para $t < 0$ , y $| f (t) | < Ce a | t |$ para algunas constantes $C, a > 0$ , entonces

{displaystyle f(t)=int _{-infty }^{infty }{hat {f}}(sigma +itau)e^{i2pi xi t},dsigma}

para cualquier $τ < - a / 2π$ .

Este teorema implica la fórmula de inversión de Mellin para la transformación de Laplace,

{displaystyle f(t)={frac {1}{i2pi }}int _{b-iinfty }^{b+iinfty }F(s)e^{st},ds}

para cualquier $b > a$ , donde $F (s)$ es la transformada de Laplace de f(t).

Las hipótesis se pueden debilitar, como en los resultados de Carleman y Hunt, a $f (t) e - en$ siendo $L 1$ , siempre que $f$ tenga una variación acotada en una vecindad cerrada de $t$ (cf. Teorema de Dirichlet–Dini), el valor de $f$ en $t$ se toma como la media aritmética de los límites izquierdo y derecho, y siempre que las integrales se tomen en el sentido del principio de Cauchy valores.

Las versiones

$L 2$ de estas fórmulas de inversión también están disponibles.

Transformada de Fourier en el espacio euclidiano

La transformada de Fourier se puede definir en cualquier número arbitrario de dimensiones $n$ . Al igual que con el caso unidimensional, existen muchas convenciones. Para una función integrable $f (x)$ , este artículo toma la definición:

{displaystyle {hat {f}}({boldsymbol {xi }})={mathcal {F}}(f)({boldsymbol {xi }})=int _{mathbb {R} ^{n}}f(mathbf {x})e^{-i2pi {boldsymbol {xi }}cdot mathbf {x} },dmathbf {x} }

Donde $x$ y $.$ son $n$ - vectores dimensionales, y $x \cdot .$ es el producto de puntos de los vectores. Alternativamente, $.$ se puede ver como perteneciente al espacio vectorial dual ${displaystyle mathbb {R} ^{nstar }}$ , en cuyo caso el producto del punto se convierte en la contracción $x$ y $.$ , generalmente escrito como $. x, . .$ .

Todas las propiedades básicas enumeradas anteriormente son válidas para la transformada de Fourier $n$ -dimensional, al igual que las de Plancherel y Teorema de Parseval. Cuando la función es integrable, la transformada de Fourier sigue siendo uniformemente continua y se cumple el lema de Riemann-Lebesgue.

Principio de incertidumbre

En términos generales, cuanto más concentrada está $f (x)$ , más dispersa está su transformada de Fourier $f̂ (ξ)$ debe ser. En particular, la propiedad de escalado de la transformada de Fourier puede verse como diciendo: si comprimimos una función en $x$ , su transformada de Fourier se extiende en $ξ$ . No es posible concentrar arbitrariamente tanto una función como su transformada de Fourier.

La compensación entre la compactación de una función y su transformada de Fourier se puede formalizar en forma de un principio de incertidumbre considerando una función y su transformada de Fourier como variables conjugadas con respecto a la forma simpléctica en el dominio de tiempo-frecuencia: desde el punto de vista de la transformación canónica lineal, la transformada de Fourier es una rotación de 90° en el dominio tiempo-frecuencia y conserva la forma simpléctica.

Supongamos que $f (x)$ es una función integrable e integrable al cuadrado. Sin pérdida de generalidad, suponga que $f (x)$ está normalizado:

int _{-infty }^{infty }|f(x)|^{2},dx=1.

Se deduce del teorema de Plancherel que $f̂ (ξ)$ también está normalizado.

La dispersión alrededor de $x = 0$ puede medirse por la dispersión alrededor de cero definida por

D_{0}(f)=int _{-infty }^{infty }x^{2}|f(x)|^{2},dx.

En términos de probabilidad, este es el segundo momento de $| f (x) | 2$ sobre cero.

El principio de incertidumbre establece que, si $f (x)$ es absolutamente continua y las funciones $x \cdot f (x)$ y $f' (x)$ son integrables al cuadrado, entonces

{displaystyle D_{0}(f)D_{0}left({hat {f}}right)geq {frac {1}{16pi ^{2}}}}

La igualdad se alcanza sólo en el caso

{displaystyle {begin{aligned}f(x)&=C_{1},e^{-pi {frac {x^{2}}{sigma ^{2}}}}\therefore {hat {f}}(xi)&=sigma C_{1},e^{-pi sigma ^{2}xi ^{2}}end{aligned}}}

donde $σ > 0$ es arbitrario y $C 1 = 4 \sqrt 2 / \sqrt σ$ de modo que $f$ es $L 2$ -normalizado. En otras palabras, donde $f$ es una función gaussiana (normalizada) con varianza $σ 2 /2 π$ , centrado en cero, y su Fourier transform es una función gaussiana con varianza $σ -2 /2 π$ .

De hecho, esta desigualdad implica que:

{displaystyle left(int _{-infty }^{infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2},dxright)left(int _{-infty }^{infty }(xi -xi _{0})^{2}left|{hat {f}}(xi)right|^{2},dxi right)geq {frac {1}{16pi ^{2}}}}

para cualquier $x 0$ , $ξ 0 \in R$ .

En la mecánica cuántica, las funciones de onda de momento y posición son pares transformados de Fourier, dentro de un factor de la constante de Planck. Con esta constante debidamente tenida en cuenta, la desigualdad anterior se convierte en el enunciado del principio de incertidumbre de Heisenberg.

Un principio de incertidumbre más fuerte es el principio de incertidumbre de Hirschman, que se expresa como:

{displaystyle Hleft(left|fright|^{2}right)+Hleft(left|{hat {f}}right|^{2}right)geq log left({frac {e}{2}}right)}

donde $H (p)$ es la entropía diferencial de la función de densidad de probabilidad <span class="texhtml" p(x):

{displaystyle H(p)=-int _{-infty }^{infty }p(x)log {bigl (}p(x){bigr)},dx}

donde los logaritmos pueden estar en cualquier base que sea consistente. La igualdad se logra para una Gaussiana, como en el caso anterior.

Transformadas de seno y coseno

La formulación original de la transformada de Fourier no usaba números complejos, sino senos y cosenos. Los estadísticos y otros todavía usan este formulario. Una función absolutamente integrable $f$ para la cual se cumple la inversión de Fourier se puede expandir en términos de frecuencias genuinas (evitando frecuencias negativas, que a veces se consideran difícil de interpretar físicamente) $λ$ por

{displaystyle f(t)=int _{0}^{infty }{bigl (}a(lambda)cos(2pi lambda t)+b(lambda)sin(2pi lambda t){bigr)},dlambda.}

Esto se denomina expansión como integral trigonométrica o expansión integral de Fourier. Las funciones de coeficiente $a$ y $b$ se puede encontrar usando variantes de la transformada del coseno de Fourier y la transformada del seno de Fourier (las normalizaciones, de nuevo, no están estandarizadas):

{displaystyle a(lambda)=2int _{-infty }^{infty }f(t)cos(2pi lambda t),dt}

{displaystyle b(lambda)=2int _{-infty }^{infty }f(t)sin(2pi lambda t),dt.}

La literatura más antigua se refiere a las dos funciones de transformación, la transformada de coseno de Fourier, $a$ , y la transformada de seno de Fourier, $b$ .

La función $f$ se puede recuperar de la transformación de seno y coseno usando

{displaystyle f(t)=2int _{0}^{infty }int _{-infty }^{infty }f(tau)cos {bigl (}2pi lambda (tau -t){bigr)},dtau ,dlambda.}

junto con identidades trigonométricas. Esto se conoce como fórmula integral de Fourier.

Armónicos esféricos

Sea el conjunto de polinomios armónicos homogéneos de grado $k$ sobre $R n$ se indicará con $A k$ . El conjunto $A k$ consiste en los armónicos esféricos sólidos de grado $k$ . Los armónicos esféricos sólidos juegan un papel similar en dimensiones superiores a los polinomios de Hermite en la dimensión uno. Específicamente, si $f (x) = e -π| x | 2 P (x)$ para alguna $P (x)$ en $A k$ , luego $f̂ (ξ) = i - k f (ξ)$ . Sea el conjunto $H k$ el cierre en $L 2 (R n)$ de combinaciones lineales de funciones de la forma $f (| x |) P (x)$ donde $P (x)$ está en $A k$ . El espacio $L 2 (R n)$ es entonces una suma directa de los espacios $H k$ y el La transformada de Fourier asigna cada espacio $H k$ a sí mismo y es posible caracterizar la acción de la transformada de Fourier en cada espacio $H k$ .

Sea $f (x) = f 0 (| x |) P (x)$ (con $P (x)$ en $A k$ ), luego

{hat {f}}(xi)=F_{0}(|xi |)P(xi)

dónde

{displaystyle F_{0}(r)=2pi i^{-k}r^{-{frac {n+2k-2}{2}}}int _{0}^{infty }f_{0}(s)J_{frac {n+2k-2}{2}}(2pi rs)s^{frac {n+2k}{2}},ds.}

Aquí $J (n + 2 k - 2)/2$ denota la función de Bessel de primer tipo con orden $n + 2 k - 2 / 2 . Cuando k = 0 esto proporciona una fórmula útil para la transformada de Fourier de una función radial. Esta es esencialmente la transformada de Hankel. Además, existe una recursividad simple que relaciona los casos n + 2 y n que permite calcular, por ejemplo, la transformada tridimensional de Fourier de una función radial a partir de la unidimensional.$

Problemas de restricción

En dimensiones superiores se vuelve interesante estudiar problemas de restricción para la transformada de Fourier. La transformada de Fourier de una función integrable es continua y se define la restricción de esta función a cualquier conjunto. Pero para una función integrable al cuadrado, la transformada de Fourier podría ser una clase general de funciones integrables al cuadrado. Como tal, la restricción de la transformada de Fourier de un $L 2 (R n)$ no se puede definir en conjuntos de medida 0. Sigue siendo un área activa de estudio para comprender los problemas de restricción en $L p$ para $1 < p < 2$ . Sorprendentemente, en algunos casos es posible definir la restricción de una transformada de Fourier a un conjunto $S$ , siempre que $S$ tiene una curvatura distinta de cero. El caso cuando $S$ es la esfera unitaria en $R n$ es de particular interés. En este caso, el teorema de restricción de Tomas-Stein establece que la restricción de la transformada de Fourier a la esfera unitaria en $R n$ es un operador acotado en $L p$ proporcionó $1 \leq p \leq 2 n + 2 / n + 3$ .

Una diferencia notable entre la transformada de Fourier en 1 dimensión y las dimensiones superiores se refiere al operador de suma parcial. Considere una colección cada vez mayor de conjuntos medibles $E R$ indexados por $R \in (0,\infty)$ : como bolas de radio $R$ centrado en el origen, o cubos de lado $2 R$ . Para una función integrable dada $f$ , considere la función $f R$ definido por:

{displaystyle f_{R}(x)=int _{E_{R}}{hat {f}}(xi)e^{i2pi xcdot xi },dxiquad xin mathbb {R} ^{n}.}

Suponga además que $f \in L p (R n)$ . Para $n = 1$ y $1 < p < \infty$ , si se toma $E R = (- R, R)$ , entonces $f R$ converge a $f$ en $L p$ como $R$ tiende a infinito, por la acotación de la transformada de Hilbert. Ingenuamente, uno puede esperar que lo mismo sea válido para $n > 1$ . En el caso de que $E R$ se tome como un cubo con longitud de lado $R$ , entonces la convergencia aún se mantiene. Otro candidato natural es la bola euclidiana $E R = {ξ : | ξ | < R}$ . Para que este operador de suma parcial converja, es necesario que el multiplicador de la bola unitaria esté acotado en $L p (R n)$ . Para $n \geq 2$ es un célebre teorema de Charles Fefferman que el multiplicador de la bola unitaria nunca está acotado a menos que $p = 2$ . De hecho, cuando $p \neq 2$ , esto demuestra que no solo puede $f R$ no converge a $f$ en $L p$ , pero para algunas funciones $f \in L p (R n)$ , $f R$ ni siquiera es un elemento de $L p$ .

Transformada de Fourier en espacios de funciones

En espacios Lp

En L1

La definición de la transformada de Fourier por la fórmula integral

{displaystyle {hat {f}}(xi)=int _{mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2pi xi cdot x},dx}

es válido para las funciones integrables de Lebesgue $f$ ; es decir, $f \in L 1 (R n)$ .

La transformada de Fourier $F : L 1 (R n) \to L \infty (R n)$ es un operador acotado. Esto se sigue de la observación de que

{displaystyle leftvert {hat {f}}(xi)rightvert leq int _{mathbb {R} ^{n}}vert f(x)vert ,dx,}

lo que muestra que su norma de operador está limitada por 1. De hecho, es igual a 1, lo que se puede ver, por ejemplo, en la transformación de la función rect. La imagen de $L 1$ es un subconjunto del espacio $C 0 (R n)$ de funciones continuas que tienden a cero en el infinito (el lema de Riemann-Lebesgue), aunque no es todo el espacio. De hecho, no existe una caracterización simple de la imagen.

En L2

Dado que las funciones suaves compatibles de forma compacta son integrables y densas en $L 2 (R n)$ , el teorema de Plancherel nos permite extender la definición de la transformada de Fourier a funciones generales en $L 2 (R n)$ por argumentos de continuidad. La transformada de Fourier en $L 2 (R n)$ ya no está dada por una integral ordinaria de Lebesgue, aunque se puede calcular mediante una integral impropia, lo que aquí significa que para una $L 2$ función $f$ ,

{displaystyle {hat {f}}(xi)=lim _{Rto infty }int _{|x|leq R}f(x)e^{-i2pi xi cdot x},dx}

donde el límite se toma en el sentido $L 2$ . (De manera más general, puede tomar una secuencia de funciones que se encuentran en la intersección de $L 1$ y $L 2$ y que converge a $f$ en la norma $L 2$ , y defina la transformada de Fourier del estilo $f$ como $L 2$ -límite de Fourier transformadas de estas funciones).

Muchas de las propiedades de la transformada de Fourier en $L 1$ se trasladan a $L 2$ , mediante un argumento limitante adecuado.

Además, $F : L 2 (R n) \to L 2 (R n)$ es un operador unitario. Para que un operador sea unitario es suficiente demostrar que es biyectivo y conserva el producto interno, por lo que en este caso se derivan del teorema de inversión de Fourier combinado con el hecho de que para cualquier $f, g \in L 2 (R n)$ tenemos

{displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}}f(x){mathcal {F}}g(x),dx=int _{mathbb {R} ^{n}}{mathcal {F}}f(x)g(x),dx.}

En particular, la imagen de $L 2 (R n)$ está bajo la transformada de Fourier.

En otra Lp

(feminine)

La definición de la transformada de Fourier se puede extender a funciones en $L p (R n)$ para $1 \leq p \leq 2$ al descomponer dichas funciones en una parte de la cola gruesa en $L 2$ más una parte grasa del cuerpo en $L 1$ . En cada uno de estos espacios, la transformada de Fourier de una función en $L p (R n)$ está en <span class="texhtml" L^q(Rⁿ), donde $q = p / p - 1$ es el Hölder conjugado de $p$ (por la desigualdad de Hausdorff-Young). Sin embargo, a excepción de $p = 2$ , la imagen no se caracteriza fácilmente. Otras extensiones se vuelven más técnicas. La transformada de Fourier de funciones en $L p$ para el rango $2 < p < \infty$ requiere el estudio de las distribuciones. De hecho, se puede demostrar que hay funciones en $L p$ con $p > 2$ para que la transformada de Fourier no se defina como una función.

Distribuciones moderadas

Se podría considerar ampliar el dominio de la transformada de Fourier de $L 1 + L 2$ considerando funciones o distribuciones generalizadas. Una distribución en $R n$ es una funcional lineal continua en el espacio $C c (R n)$ de Funciones suaves soportadas de forma compacta, equipadas con una topología adecuada. La estrategia entonces es considerar la acción de la transformada de Fourier sobre $C c (R n)$ y pasar a distribuciones por dualidad. La obstrucción para hacer esto es que la transformada de Fourier no mapea $C c (R n)$ a $C c (R n)$ . De hecho, la transformada de Fourier de un elemento en $C c (R n)$ no puede desaparecer en un conjunto abierto; ver la discusión anterior sobre el principio de incertidumbre. El espacio correcto aquí es el espacio un poco más grande de las funciones de Schwartz. La transformada de Fourier es un automorfismo sobre el espacio de Schwartz, como espacio vectorial topológico, y por tanto induce un automorfismo sobre su dual, el espacio de distribuciones temperadas. Las distribuciones temperadas incluyen todas las funciones integrables mencionadas anteriormente, así como funciones de buen comportamiento de crecimiento polinomial y distribuciones de soporte compacto.

Para la definición de la transformada de Fourier de una distribución temperada, sea $f$ y $g$ sean funciones integrables, y sean $f̂$ y $ĝ$ sean sus transformadas de Fourier respectivamente. Entonces la transformada de Fourier obedece a la siguiente fórmula de multiplicación,

{displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}}{hat {f}}(x)g(x),dx=int _{mathbb {R} ^{n}}f(x){hat {g}}(x),dx.}

Cada función integrable $f$ define (induce) una distribución $T f$ por la relación

{displaystyle T_{f}(varphi)=int _{mathbb {R} ^{n}}f(x)varphi (x),dx}

para todas las funciones de Schwartz $φ$ . Entonces tiene sentido definir la transformada de Fourier $T̂ f$ de $T f$ por

{displaystyle {hat {T}}_{f}(varphi)=T_{f}left({hat {varphi }}right)}

para todas las funciones de Schwartz $φ$ . Extendiendo esto a todas las distribuciones temperadas $T$ da la definición general de la transformada de Fourier.

Las distribuciones se pueden diferenciar y la compatibilidad mencionada anteriormente de la transformada de Fourier con la diferenciación y la convolución sigue siendo válida para las distribuciones temperadas.

Generalizaciones

Transformada de Fourier-Stieltjes

La transformada de Fourier de una medida de Borel finita $μ$ en $R n$ viene dado por:

{displaystyle {hat {mu }}(xi)=int _{mathbb {R} ^{n}}e^{-i2pi xcdot xi },dmu.}

Esta transformada sigue disfrutando de muchas de las propiedades de la transformada de Fourier de funciones integrables. Una diferencia notable es que el lema de Riemann-Lebesgue falla para las medidas. En el caso de que $dμ = f (x) dx$ , entonces la fórmula anterior se reduce a la definición habitual de la transformada de Fourier de $f$ . En el caso de que $μ$ sea la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria $X$ , la transformada de Fourier-Stieltjes está estrechamente relacionada con la función característica, pero las convenciones típicas en la teoría de la probabilidad toman $e iξx$ en lugar de $e - i 2π ξx$ . En el caso de que la distribución tenga una función de densidad de probabilidad, esta definición se reduce a la transformada de Fourier aplicada a la función de densidad de probabilidad, nuevamente con una elección diferente de constantes.

La transformada de Fourier se puede utilizar para dar una caracterización de las medidas. El teorema de Bochner caracteriza qué funciones pueden surgir como la transformada de Fourier-Stieltjes de una medida positiva en el círculo.

Además, la función delta de Dirac, aunque no es una función, es una medida finita de Borel. Su transformada de Fourier es una función constante (cuyo valor específico depende de la forma de la transformada de Fourier utilizada).

Transformada de Kaniadakis κ-Fourier

La transformada κ-Fourier de Kaniadakis es una deformación κ de la transformada de Fourier, asociada con las estadísticas de Kaniadakis, que se define como:

{displaystyle {cal {F}}_{kappa }[f(x)](omega)={1 over {sqrt {2,pi }}}int limits _{-infty }limits ^{+infty }f(x),{exp(-i,x_{{kappa }},omega _{{kappa }}) over {sqrt {1+kappa ^{2},x^{2}}}},dx}

Donde ${displaystyle z_{{kappa }}={frac {1}{kappa }},{rm {arcsinh}},(kappa ,z)}$ es un número κ-number y $<math alttext="{displaystyle 0leq |kappa |0\leq \leq Silencioκ κ Silencio.1{displaystyle 0leq TENIDOkappa ANTERIOR1} <img alt="{displaystyle 0leq |kappa |$ es el índice entropico vinculado con la entropía Kaniadakis.

La transformación κ-Fourier se basa en la serie κ-Fourier, en la que la serie clásica Fourier y Fourier transforman son casos particulares en la ${displaystyle kappa rightarrow 0}$ Caso límite. Esta transformación impone un comportamiento asintotically log-periodic (o κ-deformed phase by deforminh $omega$ ) y un factor de amortiguación siguiendo un comportamiento como onda ( ${displaystyle {sqrt {1+kappa ^{2},x^{2}}}}$ ).

Grupos abelianos localmente compactos

La transformada de Fourier se puede generalizar a cualquier grupo abeliano localmente compacto. Un grupo abeliano localmente compacto es un grupo abeliano que es al mismo tiempo un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto de modo que la operación del grupo es continua. Si $G$ es un grupo abeliano localmente compacto, tiene una medida invariante de traducción $μ$ , llamada medida de Haar. Para un grupo abeliano localmente compacto $G$ , el conjunto de representaciones unitarias irreducibles, es decir, unidimensionales, se denominan sus caracteres. Con su estructura de grupo natural y la topología de convergencia puntual, el conjunto de caracteres $Ĝ$ es en sí mismo un grupo abeliano localmente compacto, denominado Pontryagin dual de $G$ . Para una función $f$ en $L 1 (G)$ , su transformada de Fourier está definida por

{displaystyle {hat {f}}(xi)=int _{G}xi (x)f(x),dmu quad {text{for any }}xi in {hat {G}}.}

El lema de Riemann-Lebesgue se cumple en este caso; $f̂ (ξ)$ es una función que desaparece en el infinito en $Ĝ$ .

El Fourier se transforma en $T$ R/Z es un ejemplo; aquí $T$ es un grupo abeliano localmente compacto, y la medida Haar $μ$ on $T$ puede ser pensado como la medida Lebesgue en [0,1). Considerar la representación de $T$ en el plano complejo $C$ que es un espacio vectorial complejo de 1 dimensión. Hay un grupo de representaciones (que son irreducibles desde entonces) $C$ es 1-dim) ${displaystyle {e_{k}:Trightarrow GL_{1}(C)=C^{*}mid kin Z}}$ Donde ${displaystyle e_{k}(x)=e^{i2pi kx}}$ para ${displaystyle xin T}$ .

El carácter de tal representación, es el rastro de ${displaystyle e_{k}(x)}$ para cada uno ${displaystyle xin T}$ y ${displaystyle kin Z}$ , es ${displaystyle e^{i2pi kx}}$ en sí mismo. En el caso de la representación del grupo finito, la tabla de caracteres del grupo $G$ son filas de vectores tales que cada fila es el carácter de una representación irreducible de $G$ , y estos vectores forman una base ortonormal del espacio de funciones de clase que mapa desde $G$ a $C$ por la lema de Schur. Ahora el grupo $T$ ya no es finito pero todavía compacto, y preserva la ortonormalidad de la tabla de caracteres. Cada fila de la tabla es la función ${displaystyle e_{k}(x)}$ de ${displaystyle xin T,}$ y el producto interior entre dos funciones de clase (todas las funciones de clase desde $T$ es abeliano) ${displaystyle f,gin L^{2}(T,dmu)}$ se define como ${textstyle langle f,grangle ={frac {1}{|T|}}int _{[0,1)}f(y){overline {g}}(y)dmu (y)}$ con el factor de normalización ${displaystyle |T|=1}$ . La secuencia ${displaystyle {e_{k}mid kin Z}}$ es una base ortonormal del espacio de las funciones de clase ${displaystyle L^{2}(T,dmu)}$ .

Para cualquier representación $V$ de un grupo finito $G$ , $chi _{{v}}$ se puede expresar como el lazo ${textstyle sum _{i}leftlangle chi _{v},chi _{v_{i}}rightrangle chi _{v_{i}}}$ () $V_{i}$ son los irreps de $G$ ), tal que ${textstyle leftlangle chi _{v},chi _{v_{i}}rightrangle ={frac {1}{|G|}}sum _{gin G}chi _{v}(g){overline {chi }}_{v_{i}}(g)}$ . Del mismo modo $G=T$ y ${displaystyle fin L^{2}(T,dmu)}$ , ${textstyle f(x)=sum _{kin Z}{hat {f}}(k)e_{k}}$ . El doble Pontriagin $hat{T}$ es ${displaystyle {e_{k}}(kin Z)}$ y para ${displaystyle fin L^{2}(T,dmu)}$ , ${textstyle {hat {f}}(k)={frac {1}{|T|}}int _{[0,1)}f(y)e^{-i2pi ky}dy}$ es su Fourier transform para ${displaystyle e_{k}in {hat {T}}}$ .

Transformada de Gelfand

La transformada de Fourier también es un caso especial de la transformada de Gelfand. En este contexto particular, está estrechamente relacionado con el mapa de dualidad de Pontryagin definido anteriormente.

Dado un grupo topológico de Hausdorff abeliano localmente compacto $G$ , como antes, consideramos el espacio $L 1 (G)$ , definido mediante una medida de Haar. Con convolución como multiplicación, $L 1 (G)$ es un álgebra de Banach abeliana. También tiene una involución * dada por

{displaystyle f^{*}(g)={overline {fleft(g^{-1}right)}}.}

Tomando la finalización con respecto a la norma $C *$ más grande posible da su envolvente $C *$ -algebra, llamado el grupo $C *$ -algebra $C *(G)$ de $G$ . (Cualquier norma $C *$ en $L 1 (G)$ está delimitado por la norma $L 1$ , por lo que su supremo existe.)

Dada cualquier $C *$ -álgebra abeliana $A$ , la transformada de Gelfand genera un isomorfismo entre $A$ y $C 0 (A^)$ , donde $A^$ es el funcionales lineales multiplicativos, es decir, representaciones unidimensionales, en $A$ con la topología débil-*. El mapa está simplemente dado por

{displaystyle amapsto {bigl (}varphi mapsto varphi (a){bigr)}}

Resulta que los funcionales lineales multiplicativos de $C *(G)$ , después de una identificación adecuada, son exactamente los caracteres de $G$ y la transformada de Gelfand, cuando se restringen al subconjunto denso $L 1 (G)$ es la transformada de Fourier-Pontryagin.

Grupos compactos no abelianos

La transformada de Fourier también se puede definir para funciones en un grupo no abeliano, siempre que el grupo sea compacto. Eliminando la suposición de que el grupo subyacente es abeliano, las representaciones unitarias irreducibles no tienen por qué ser siempre unidimensionales. Esto significa que la transformada de Fourier en un grupo no abeliano toma valores como operadores espaciales de Hilbert. La transformada de Fourier en grupos compactos es una herramienta importante en la teoría de la representación y el análisis armónico no conmutativo.

Sea $G$ un grupo topológico compacto de Hausdorff. Sea $Σ$ la colección de todas las clases de isomorfismos de representaciones unitarias irreducibles de dimensión finita, junto con una elección definida de representación $U (σ)$ en el espacio de Hilbert $H σ$ de dimensión finita $d σ$ para cada $σ \in Σ$ . Si $μ$ es una medida Borel finita en $G$ , entonces la transformada de Fourier-Stieltjes de $μ$ es el operador en $H σ$ definido por

{displaystyle leftlangle {hat {mu }}xieta rightrangle _{H_{sigma }}=int _{G}leftlangle {overline {U}}_{g}^{(sigma)}xieta rightrangle ,dmu (g)}

donde $U (σ)$ es la representación compleja conjugada de $U (σ)$ actuando sobre $H σ$ . Si $μ$ es absolutamente continuo con respecto a la medida de probabilidad invariante a la izquierda $λ$ en $G$ , representado como

dmu =f,dlambda

para algunos $f \in L1(λ)$ , se identifica la transformada de Fourier de $f$ con la transformada de Fourier-Stieltjes de $μ$ .

El mapeo

mu mapsto {hat {mu }}

define un isomorfismo entre el espacio de Banach $M (G)$ de medidas finitas de Borel (ver espacio rca) y un subespacio cerrado del espacio de Banach $C \infty (Σ)$ que consta de todas las secuencias $E = (E σ)$ indexado por $Σ$ de (acotado) operadores lineales $E σ : H σ \to H σ$ para los cuales la norma

{displaystyle |E|=sup _{sigma in Sigma }left|E_{sigma }right|}

es finito. El "teorema de convolución" afirma que, además, este isomorfismo de los espacios de Banach es de hecho un isomorfismo isométrico de C*-álgebras en un subespacio de $C \infty (Σ)$ . La multiplicación en $M (G)$ viene dada por la convolución de medidas y la involución * definida por

{displaystyle f^{*}(g)={overline {fleft(g^{-1}right)}},}

y $C \infty (Σ)$ tiene una $C natural *$ -estructura de álgebra como operadores espaciales de Hilbert.

El teorema de Peter-Weyl se cumple, y sigue una versión de la fórmula de inversión de Fourier (teorema de Plancherel): si $f \in L 2 (G)$ , luego

{displaystyle f(g)=sum _{sigma in Sigma }d_{sigma }operatorname {tr} left({hat {f}}(sigma)U_{g}^{(sigma)}right)}

donde la sumatoria se entiende como convergente en el sentido $L 2$ .

La generalización de la transformada de Fourier a la situación no conmutativa también ha contribuido en parte al desarrollo de la geometría no conmutativa. En este contexto, una generalización categórica de la transformada de Fourier a grupos no conmutativos es la dualidad Tannaka-Krein, que reemplaza el grupo de personajes por la categoría de representaciones. Sin embargo, esto pierde la conexión con las funciones armónicas.

Alternativas

En términos de procesamiento de señales, una función (de tiempo) es una representación de una señal con una resolución de tiempo perfecta, pero sin información de frecuencia, mientras que la transformada de Fourier tiene una resolución de frecuencia perfecta. i>, pero no hay información de tiempo: la magnitud de la transformada de Fourier en un punto es cuánto contenido de frecuencia hay, pero la ubicación solo se da por fase (argumento de la transformada de Fourier en un punto), y las ondas estacionarias no se localizan en tiempo: una onda sinusoidal continúa hasta el infinito, sin decaer. Esto limita la utilidad de la transformada de Fourier para analizar señales que están localizadas en el tiempo, especialmente transitorios, o cualquier señal de extensión finita.

Como alternativas a la transformada de Fourier, en el análisis de tiempo-frecuencia, se utilizan transformadas de tiempo-frecuencia o distribuciones de tiempo-frecuencia para representar señales en una forma que tenga alguna información de tiempo y alguna información de frecuencia; por el principio de incertidumbre, hay un intercambio entre estos. Estas pueden ser generalizaciones de la transformada de Fourier, como la transformada de Fourier de tiempo corto o la transformada fraccionaria de Fourier, u otras funciones para representar señales, como en transformadas wavelet y transformadas chirplet, siendo el análogo wavelet de la transformada de Fourier (continua) transformada wavelet continua.

Aplicaciones

Algunos problemas, como ciertas ecuaciones diferenciales, se vuelven más fáciles de resolver cuando se aplica la transformación Fourier. En ese caso la solución al problema original se recupera utilizando la inversa transformación Fourier.

Las operaciones lineales realizadas en un dominio (tiempo o frecuencia) tienen operaciones correspondientes en el otro dominio, que a veces son más fáciles de realizar. La operación de diferenciación en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación por la frecuencia, por lo que algunas ecuaciones diferenciales son más fáciles de analizar en el dominio de la frecuencia. Además, la convolución en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación ordinaria en el dominio de la frecuencia (ver Teorema de convolución). Después de realizar las operaciones deseadas, la transformación del resultado puede volver al dominio del tiempo. El análisis armónico es el estudio sistemático de la relación entre los dominios de la frecuencia y el tiempo, incluidos los tipos de funciones u operaciones que son "más simples" en uno u otro, y tiene profundas conexiones con muchas áreas de las matemáticas modernas.

Análisis de ecuaciones diferenciales

Quizás el uso más importante de la transformación de Fourier es resolver ecuaciones diferenciales parciales. Muchas de las ecuaciones de la física matemática del siglo XIX pueden tratarse de esta manera. Fourier estudió la ecuación del calor, que en una dimensión y en unidades adimensionales es

{displaystyle {frac {partial ^{2}y(x,t)}{partial ^{2}x}}={frac {partial y(x,t)}{partial t}}.}

El ejemplo que daremos, un poco más difícil, es la ecuación de onda en una dimensión,

{displaystyle {frac {partial ^{2}y(x,t)}{partial ^{2}x}}={frac {partial ^{2}y(x,t)}{partial ^{2}t}}.}

Como siempre, el problema no es encontrar una solución: hay infinitas. El problema es el del llamado "problema de contorno": encontrar una solución que satisfaga las "condiciones de contorno"

{displaystyle y(x,0)=f(x),qquad {frac {partial y(x,0)}{partial t}}=g(x).}

Aquí, $f$ y $g$ se les dan funciones. Para la ecuación del calor, solo se puede requerir una condición de contorno (generalmente la primera). Pero para la ecuación de onda, todavía hay infinitas soluciones $y$ que satisfacen la primera condición de contorno. Pero cuando se imponen ambas condiciones, sólo hay una solución posible.

Es más fácil encontrar la transformada de Fourier $ŷ$ de la solución que encontrar la solución directamente. Esto se debe a que la transformación de Fourier lleva la diferenciación a la multiplicación por la variable dual de Fourier, por lo que una ecuación diferencial parcial aplicada a la función original se transforma en la multiplicación por funciones polinómicas de las variables duales aplicadas a la función transformada. Después de determinar $ŷ$ , podemos aplicar la transformación inversa de Fourier para encontrar $y$ .

El método de Fourier es el siguiente. Primero, tenga en cuenta que cualquier función de las formas

{displaystyle cos {bigl (}2pi xi (xpm t){bigr)}{mbox{ or }}sin {bigl (}2pi xi (xpm t){bigr)}}

satisface la ecuación de onda. Estas se llaman soluciones elementales.

Segundo, tenga en cuenta que, por lo tanto, cualquier integral

{displaystyle {begin{aligned}y(x,t)=int _{0}^{infty }dxi {Bigl [}&a_{+}(xi)cos {bigl (}2pi xi (x+t){bigr)}+a_{-}(xi)cos {bigl (}2pi xi (x-t){bigr)}+{}\&b_{+}(xi)sin {bigl (}2pi xi (x+t){bigr)}+b_{-}(xi)sin left(2pi xi (x-t)right){Bigr ]}end{aligned}}}

satisface la ecuación de onda para $a +, a - arbitrarios, b +, b -$ . Esta integral puede interpretarse como una combinación lineal continua de soluciones para la ecuación lineal.

Ahora esto se parece a la fórmula de la síntesis de Fourier de una función. De hecho, esta es la transformada de Fourier inversa real de $a \pm$ y $b \pm$ en la variable $x$ .

El tercer paso es examinar cómo encontrar las funciones específicas de coeficientes desconocidos $a \pm$ y $b \pm$ que conducirá a $y$ satisfaciendo las condiciones de contorno. Estamos interesados en los valores de estas soluciones en $t = 0$ . Entonces estableceremos $t = 0$ . Suponiendo que se cumplen las condiciones necesarias para la inversión de Fourier, podemos encontrar las transformadas de seno y coseno de Fourier (en la variable $x$ ) de ambos lados y obtener

{displaystyle 2int _{-infty }^{infty }y(x,0)cos(2pi xi x),dx=a_{+}+a_{-}}

{displaystyle 2int _{-infty }^{infty }y(x,0)sin(2pi xi x),dx=b_{+}+b_{-}.}

Del mismo modo, tomando la derivada de $y$ con respecto a $t$ y luego aplicar las transformaciones de seno y coseno de Fourier produce

{displaystyle 2int _{-infty }^{infty }{frac {partial y(u,0)}{partial t}}sin(2pi xi x),dx=(2pi xi)left(-a_{+}+a_{-}right)}

{displaystyle 2int _{-infty }^{infty }{frac {partial y(u,0)}{partial t}}cos(2pi xi x),dx=(2pi xi)left(b_{+}-b_{-}right).}

Estas son cuatro ecuaciones lineales para las cuatro incógnitas $a \pm$ y $b \pm$ , en términos de las transformadas de seno y coseno de Fourier de las condiciones de contorno, que se resuelven fácilmente mediante álgebra elemental, siempre que se puedan encontrar estas transformadas.

En resumen, elegimos un conjunto de soluciones elementales, parametrizadas por $ξ$ , de las cuales la solución general sería una (continua) combinación lineal en forma de integral sobre el parámetro $ξ$ . Pero esta integral tenía la forma de una integral de Fourier. El siguiente paso fue expresar las condiciones de contorno en términos de estas integrales y establecerlas iguales a las funciones dadas $f$ y $g$ . Pero estas expresiones también tomaron la forma de una integral de Fourier debido a las propiedades de la transformada de Fourier de una derivada. El último paso fue explotar la inversión de Fourier aplicando la transformación de Fourier a ambos lados, obteniendo así expresiones para las funciones de coeficiente $a \pm$ y $b \pm$ en términos de las condiciones de contorno dadas $f$ y $g$ .

Desde un punto de vista superior, el procedimiento de Fourier se puede reformular de forma más conceptual. Como hay dos variables, usaremos la transformación de Fourier tanto en $x$ como en $t$ en lugar de operar como lo hizo Fourier, quien solo transformó las variables espaciales. Tenga en cuenta que $ŷ$ debe considerarse en el sentido de una distribución ya que $y (x, t)$ no va a ser $L 1$ : como onda, persistirá en el tiempo y, por lo tanto, no es un fenómeno transitorio. Pero estará acotado y, por lo tanto, su transformada de Fourier se puede definir como una distribución. Las propiedades operativas de la transformación de Fourier que son relevantes para esta ecuación son que lleva la diferenciación en $x$ a la multiplicación por $i 2π ξ$ y diferenciación con respecto a $t$ a la multiplicación por $i 2π f$ donde $f$ es la frecuencia. Luego, la ecuación de onda se convierte en una ecuación algebraica en $ŷ$ :

xi ^{2}{hat {y}}(xif)=f^{2}{hat {y}}(xif).

Esto es equivalente a requerir $ŷ (ξ, f) = 0$ a menos que $ξ = \pm f$ . De inmediato, esto explica por qué la elección de soluciones elementales que hicimos anteriormente funcionó tan bien: obviamente $f̂ = δ (ξ \pm f)$ serán soluciones. Aplicando la inversión de Fourier a estas funciones delta, obtenemos las soluciones elementales que elegimos anteriormente. Pero desde el punto de vista superior, uno no elige soluciones elementales, sino que considera el espacio de todas las distribuciones que se apoyan en la cónica (degenerada) $ξ 2 - f 2 = 0$ .

También podemos considerar las distribuciones soportadas en la cónica que están dadas por las distribuciones de una variable en la línea $ξ = f$ más distribuciones en la línea $ξ = - f$ de la siguiente manera: si $Φ$ es cualquier función de prueba,

{displaystyle iint {hat {y}}phi (xif),dxi ,df=int s_{+}phi (xixi),dxi +int s_{-}phi (xi-xi),dxi}

donde $s +$ , y $s -$ , son distribuciones de una variable.

Entonces la inversión de Fourier da, para las condiciones de contorno, algo muy similar a lo que teníamos más concretamente arriba (put $Φ (ξ, f) = e i 2π(xξ + tf)$ , que es claramente de crecimiento polinomial):

{displaystyle y(x,0)=int {bigl {}s_{+}(xi)+s_{-}(xi){bigr }}e^{i2pi xi x+0},dxi }

{displaystyle {frac {partial y(x,0)}{partial t}}=int {bigl {}s_{+}(xi)-s_{-}(xi){bigr }}i2pi xi e^{i2pi xi x+0},dxi.}

Ahora, como antes, aplicando la transformación de Fourier de una variable en la variable $x$ a estas funciones de $x$ produce dos ecuaciones en las dos distribuciones desconocidas $s \pm$ (que pueden tomarse como funciones ordinarias si las condiciones de contorno son $L 1$ o L²).

Desde el punto de vista del cálculo, el inconveniente, por supuesto, es que primero se deben calcular las transformadas de Fourier de las condiciones de contorno, luego ensamblar la solución a partir de ellas y luego calcular una transformada de Fourier inversa. Las fórmulas de forma cerrada son raras, excepto cuando hay cierta simetría geométrica que se puede explotar, y los cálculos numéricos son difíciles debido a la naturaleza oscilatoria de las integrales, lo que hace que la convergencia sea lenta y difícil de estimar. Para cálculos prácticos, a menudo se utilizan otros métodos.

El siglo XX ha visto la extensión de estos métodos a todas las ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes polinómicos, y al extender la noción de transformación de Fourier para incluir operadores integrales de Fourier, también algunas ecuaciones no lineales.

Espectroscopía de transformada de Fourier

La transformada de Fourier también se utiliza en resonancia magnética nuclear (RMN) y en otros tipos de espectroscopia, p. infrarrojo (FTIR). En RMN, una señal de decaimiento por inducción libre (FID) de forma exponencial se adquiere en el dominio del tiempo y se transforma por Fourier en una forma de línea lorentziana en el dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier también se utiliza en resonancia magnética nuclear (RMN) y espectrometría de masas.

Mecánica cuántica

La transformada de Fourier es útil en la mecánica cuántica al menos de dos maneras diferentes. Para empezar, la estructura conceptual básica de la mecánica cuántica postula la existencia de pares de variables complementarias, conectadas por el principio de incertidumbre de Heisenberg. Por ejemplo, en una dimensión, la variable espacial $q$ de, digamos, una partícula, solo puede medirse mediante la mecánica cuántica & #34;operador de posición" a costa de perder información sobre el momento $p$ de la partícula. Por lo tanto, el estado físico de la partícula puede describirse mediante una función, llamada "función de onda", de $q$ o por una función de $p$ pero no por una función de ambas variables. La variable $p$ se denomina variable conjugada de $q$ . En mecánica clásica, el estado físico de una partícula (que existe en una dimensión, para simplificar la exposición) se daría asignando valores definidos a ambos $p$ y $q$ simultáneamente. Por lo tanto, el conjunto de todos los estados físicos posibles es el espacio vectorial real bidimensional con un eje $p$ y un eje $q$ -eje llamado el espacio de fase.

Por el contrario, la mecánica cuántica elige una polarización de este espacio en el sentido de que elige un subespacio de la mitad de la dimensión, por ejemplo, el $q$ -eje solo, pero en lugar de considerar solo puntos, toma el conjunto de todas las "funciones de onda" en este eje. Sin embargo, elegir el eje $p$ es una polarización igualmente válida, que produce una representación diferente del conjunto de posibles estados físicos de la partícula que está relacionado con la primera representación por la transformación de Fourier

{displaystyle phi (p)=int psi (q)e^{i2pi {frac {pq}{h}}},dq.}

Los estados físicamente realizables son $L 2$ , y por el teorema de Plancherel, sus transformadas de Fourier también son $L 2$ . (Tenga en cuenta que dado que $q$ está en unidades de distancia y $p$ está en unidades de cantidad de movimiento, la presencia de la constante de Planck en el exponente hace que el exponente no tenga dimensiones, como debería ser).

Por lo tanto, la transformada de Fourier se puede utilizar para pasar de una forma de representar el estado de la partícula, mediante una función de onda de posición, a otra forma de representar el estado de la partícula: mediante una función de onda de momento. Son posibles infinitas polarizaciones diferentes, y todas son igualmente válidas. Ser capaz de transformar estados de una representación a otra mediante la transformada de Fourier no solo es conveniente sino también la razón subyacente del principio de incertidumbre de Heisenberg.

El otro uso de la transformada de Fourier tanto en la mecánica cuántica como en la teoría cuántica de campos es resolver la ecuación de onda aplicable. En mecánica cuántica no relativista, la ecuación de Schrödinger para una función de onda variable en el tiempo en una dimensión, no sujeta a fuerzas externas, es

{displaystyle -{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}psi (x,t)=i{frac {h}{2pi }}{frac {partial }{partial t}}psi (x,t).}

Es lo mismo que la ecuación del calor excepto por la presencia de la unidad imaginaria $i$ . Los métodos de Fourier se pueden utilizar para resolver esta ecuación.

En presencia de un potencial, dado por la función de energía potencial $V (x)$ , la ecuación se convierte en

{displaystyle -{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}psi (x,t)+V(x)psi (x,t)=i{frac {h}{2pi }}{frac {partial }{partial t}}psi (x,t).}

Las "soluciones elementales", como las denominamos anteriormente, son los llamados "estados estacionarios" de la partícula, y el algoritmo de Fourier, como se describe anteriormente, todavía se puede usar para resolver el problema del valor límite de la evolución futura de $ψ$ dados sus valores para $t = 0$ . Ninguno de estos enfoques es de mucha utilidad práctica en la mecánica cuántica. Los problemas de valores en la frontera y la evolución temporal de la función de onda no tienen mucho interés práctico: son los estados estacionarios los más importantes.

En la mecánica cuántica relativista, la ecuación de Schrödinger se convierte en una ecuación de onda como era habitual en la física clásica, excepto que se consideran ondas de valores complejos. Un ejemplo simple, en ausencia de interacciones con otras partículas o campos, es la ecuación libre unidimensional de Klein-Gordon-Schrödinger-Fock, esta vez en unidades adimensionales,

{displaystyle left({frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+1right)psi (x,t)={frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}psi (x,t).}

Esto es, desde el punto de vista matemático, lo mismo que la ecuación de onda de la física clásica resuelta anteriormente (pero con una onda de valor complejo, lo que no hace ninguna diferencia en los métodos). Esto es de gran utilidad en la teoría cuántica de campos: cada componente separado de Fourier de una onda puede tratarse como un oscilador armónico separado y luego cuantificarse, un procedimiento conocido como "segunda cuantificación". Los métodos de Fourier se han adaptado para tratar también interacciones no triviales.

Finalmente, el operador número del oscilador armónico cuántico se puede interpretar, por ejemplo a través del núcleo Mehler, como el generador de la transformación Fourier ${mathcal {F}}$ .

Procesamiento de señales

La transformada de Fourier se utiliza para el análisis espectral de series temporales. Sin embargo, el tema del procesamiento estadístico de señales no suele aplicar la transformación de Fourier a la señal en sí. Incluso si una señal real es transitoria, en la práctica se ha encontrado aconsejable modelar una señal mediante una función (o, alternativamente, un proceso estocástico) que es estacionaria en el sentido de que sus propiedades características son constantes a lo largo del tiempo. La transformada de Fourier de dicha función no existe en el sentido habitual, y se ha encontrado que es más útil para el análisis de señales tomar en su lugar la transformada de Fourier de su función de autocorrelación.

La función de autocorrelación $R$ de una función $f$ está definido por

{displaystyle R_{f}(tau)=lim _{Trightarrow infty }{frac {1}{2T}}int _{-T}^{T}f(t)f(t+tau),dt.}

Esta función es una función del lapso de tiempo $τ$ que transcurre entre los valores de $f$ para ser correlacionado.

Para la mayoría de las funciones $f$ que ocurren en la práctica, $R$ es una función par acotada del retardo de tiempo $τ$ y para señales ruidosas típicas se vuelve resulta ser uniformemente continuo con un máximo en $τ = 0$ .

La función de autocorrelación, más apropiadamente llamada función de autocovarianza a menos que esté normalizada de alguna forma apropiada, mide la fuerza de la correlación entre los valores de $f$ separados por un lapso de tiempo. Esta es una forma de buscar la correlación de $f$ con su propio pasado. Es útil incluso para otras tareas estadísticas además del análisis de señales. Por ejemplo, si $f (t)$ representa la temperatura en el momento $t$ , se espera una fuerte correlación con la temperatura con un retraso de 24 horas.

Posee una transformada de Fourier,

{displaystyle P_{f}(xi)=int _{-infty }^{infty }R_{f}(tau)e^{-i2pi xi tau },dtau.}

Esta transformada de Fourier se denomina función de densidad espectral de potencia de $f$ . (A menos que todos los componentes periódicos se filtren primero desde $f$ , esta integral divergirá, pero es fácil filtrar dichas periodicidades.)

El espectro de potencia, como lo indica esta función de densidad $P$ , mide la cantidad de variación que contribuye a los datos la frecuencia $ξ$ . En las señales eléctricas, la varianza es proporcional a la potencia media (energía por unidad de tiempo), por lo que el espectro de potencia describe cuánto contribuyen las diferentes frecuencias a la potencia media de la señal. Este proceso se denomina análisis espectral de series temporales y es análogo al análisis habitual de varianza de datos que no son series temporales (ANOVA).

Conocimiento de qué frecuencias son "importantes" en este sentido es crucial para el correcto diseño de filtros y para la adecuada evaluación de aparatos de medida. También puede ser útil para el análisis científico de los fenómenos responsables de la producción de los datos.

El espectro de potencia de una señal también se puede medir de manera aproximada directamente midiendo la potencia promedio que queda en una señal después de que se hayan filtrado todas las frecuencias fuera de una banda estrecha.

El análisis espectral también se lleva a cabo para señales visuales. El espectro de potencia ignora todas las relaciones de fase, lo cual es suficientemente bueno para muchos propósitos, pero para las señales de video también se deben emplear otros tipos de análisis espectral, aún usando la transformada de Fourier como herramienta.

Otras notaciones

Otras notaciones comunes para $f̂ (ξ)$ incluyen:

{displaystyle {tilde {f}}(xi), F(xi), {mathcal {F}}left(fright)(xi), left({mathcal {F}}fright)(xi), {mathcal {F}}(f), {mathcal {F}}{f}, {mathcal {F}}{bigl (}f(t){bigr)}, {mathcal {F}}{bigl {}f(t){bigr }}.}

Denotar la transformación de Fourier por una carta de capital correspondiente a la carta de función que se transforma (como $f () x)$ y $F () .)$ ) es especialmente común en las ciencias e ingeniería. En electrónica, omega ( $\cdot$ ) se utiliza a menudo en lugar de $.$ debido a su interpretación como frecuencia angular, a veces se escribe como $F () jω)$ , donde $j$ es la unidad imaginaria, para indicar su relación con la transformación de Laplace, y a veces se escribe informalmente como $F (2π f)$ para utilizar la frecuencia ordinaria. En algunos contextos como la física de partículas, el mismo símbolo $f$ puede ser utilizado tanto para una función como para transformar Fourier, con los dos únicos distinguidos por su argumento: ${displaystyle f(k_{1}+k_{2})}$ se referiría a la transformación Fourier debido al argumento del impulso, mientras ${displaystyle f(x_{0}+pi {vec {r}})}$ se referiría a la función original debido al argumento posicional. Aunque los tildos pueden ser utilizados como ${tilde {f}}$ para indicar las transformaciones de Fourier, los tildes también se pueden utilizar para indicar una modificación de una cantidad con una forma más invariable de Lorentz, como ${displaystyle {tilde {dk}}={frac {dk}{(2pi)^{3}2omega }}}$ Así que hay que cuidar. Análogamente, ${hat {f}}$ a menudo denota la transformación de Hilbert $f$ .

La interpretación de la función compleja $f̂ (ξ)$ se puede ayudar expresándola en forma de coordenadas polares

{hat {f}}(xi)=A(xi)e^{ivarphi (xi)}

en términos de las dos funciones reales $A (ξ)$ y $φ (ξ)$ donde:

{displaystyle A(xi)=left|{hat {f}}(xi)right|,}

es la amplitud y

{displaystyle varphi (xi)=arg left({hat {f}}(xi)right),}

es la fase (ver función arg).

Entonces la transformada inversa se puede escribir:

{displaystyle f(x)=int _{-infty }^{infty }A(xi) e^{i{bigl (}2pi xi x+varphi (xi){bigr)}},dxi}

que es una recombinación de todos los componentes de frecuencia de $f (x)$ . Cada componente es una sinusoide compleja de la forma $e 2π ixξ$ cuya amplitud es $A (ξ)$ y cuyo ángulo de fase inicial (en $x = 0$ ) es $φ (ξ)$ .

La transformada de Fourier se puede considerar como un mapeo en espacios de funciones. Este mapeo se denomina aquí F y $F (f)$ se usa para indicar la transformada de Fourier de la función $f$ . Este mapeo es lineal, lo que significa que F también puede verse como una transformación lineal en el espacio funcional e implica que la notación estándar en álgebra lineal de aplicar una transformación lineal a un vector (aquí la función $f$ ) puede usarse para escribir $F f$ en lugar de $F (f)$ . Dado que el resultado de aplicar la transformada de Fourier es nuevamente una función, podemos estar interesados en el valor de esta función evaluada en el valor $ξ$ para su variable, y esto se denota como $F f (ξ)$ o como $(F f)(ξ)$ . Tenga en cuenta que en el primer caso, se entiende implícitamente que F se aplica primero a $f$ y luego la función resultante se evalúa en $ξ$ , no de la otra manera.

En matemáticas y varias ciencias aplicadas, a menudo es necesario distinguir entre una función $f$ y el valor de $f$ cuando su variable es igual a $x$ , denotado $f (x)$ . Esto significa que una notación como $F (f (x))$ puede interpretarse formalmente como la transformada de Fourier de los valores de $f$ en $x$ . A pesar de este defecto, la notación anterior aparece con frecuencia, muchas veces cuando se quiere transformar una función en particular o una función de una variable en particular. Por ejemplo,

{displaystyle {mathcal {F}}{bigl (}operatorname {rect} (x){bigr)}=operatorname {sinc} (xi)}

a veces se usa para expresar que la transformada de Fourier de una función rectangular es una función sinc, o

{displaystyle {mathcal {F}}{bigl (}f(x+x_{0}){bigr)}={mathcal {F}}{bigl (}f(x){bigr)},e^{i2pi x_{0}xi }}

se utiliza para expresar la propiedad de desplazamiento de la transformada de Fourier.

Observe que el último ejemplo solo es correcto bajo la suposición de que la función transformada es una función de $x$ , no de $x 0$ .

Otras convenciones

La transformada de Fourier también se puede escribir en términos de frecuencia angular:

omega =2pi xi

cuyas unidades son radianes por segundo.

La sustitución $ξ = ω / 2π$ en las fórmulas anteriores produce esta convención:

{displaystyle {hat {f_{3}}}(omega)=int _{-infty }^{infty }f(x)cdot e^{-iomega ,x},dx={hat {f}}left({tfrac {omega }{2pi }}right).}

Bajo esta convención, la transformada inversa se convierte en:

{displaystyle f(x)={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty }{hat {f_{3}}}(omega)cdot e^{iomega ,x},domega.}

A diferencia de la convención seguida en este artículo, cuando la transformada de Fourier se define de esta manera, ya no es una transformación unitaria en $L 2 (R)$ . También hay menos simetría entre las fórmulas de la transformada de Fourier y su inversa.

Otra convención es dividir el factor de $2π$ en partes iguales entre la transformada de Fourier y su inversa, lo que conduce a definiciones:

{displaystyle {begin{aligned}{hat {f_{2}}}(omega)&={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }f(x)cdot e^{-iomega x},dx={frac {1}{sqrt {2pi }}}cdot {hat {f}}left({tfrac {omega }{2pi }}right),\f(x)&={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }{hat {f_{2}}}(omega)cdot e^{iomega x},domega.end{aligned}}}

Según esta convención, la transformada de Fourier es nuevamente una transformación unitaria en $L 2 (R)$ . También restaura la simetría entre la transformada de Fourier y su inversa.

Se pueden crear variaciones de las tres convenciones conjugando el kernel complejo-exponencial de las transformadas directa e inversa. Los signos deben ser opuestos. Aparte de eso, la elección es (nuevamente) una cuestión de convención.

Resumen de las formas populares de la transformación Fourier, una dimensión
frecuencia ordinaria $.$ (Hz)	unitario	${displaystyle {begin{aligned}{hat {f}}_{1}(xi) &{stackrel {mathrm {def} }{=}} int _{-infty }^{infty }f(x),e^{-i2pi xi x},dx={sqrt {2pi }},{hat {f}}_{2}(2pi xi)={hat {f}}_{3}(2pi xi)\f(x)&=int _{-infty }^{infty }{hat {f}}_{1}(xi),e^{i2pi xxi },dxi end{aligned}}}$
frecuencia angular $\cdot$ (rad/s)	unitario	${displaystyle {begin{aligned}{hat {f}}_{2}(omega) &{stackrel {mathrm {def} }{=}} {frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }f(x),e^{-iomega x},dx={frac {1}{sqrt {2pi }}},{hat {f}}_{1}!left({frac {omega }{2pi }}right)={frac {1}{sqrt {2pi }}},{hat {f}}_{3}(omega)\f(x)&={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }{hat {f}}_{2}(omega),e^{iomega x},domega end{aligned}}}$
frecuencia angular $\cdot$ (rad/s)	no unitario	${displaystyle {begin{aligned}{hat {f}}_{3}(omega) &{stackrel {mathrm {def} }{=}} int _{-infty }^{infty }f(x),e^{-iomega x},dx={hat {f}}_{1}left({frac {omega }{2pi }}right)={sqrt {2pi }},{hat {f}}_{2}(omega)\f(x)&={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty }{hat {f}}_{3}(omega),e^{iomega x},domega end{aligned}}}$

Generalización $n$ - Funciones dimensionales
frecuencia ordinaria $.$ (Hz)	unitario	${displaystyle {begin{aligned}{hat {f}}_{1}(xi) &{stackrel {mathrm {def} }{=}} int _{mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2pi xi cdot x},dx=(2pi)^{frac {n}{2}}{hat {f}}_{2}(2pi xi)={hat {f}}_{3}(2pi xi)\f(x)&=int _{mathbb {R} ^{n}}{hat {f}}_{1}(xi)e^{i2pi xi cdot x},dxi end{aligned}}}$
frecuencia angular $\cdot$ (rad/s)	unitario	${displaystyle {begin{aligned}{hat {f}}_{2}(omega) &{stackrel {mathrm {def} }{=}} {frac {1}{(2pi)^{frac {n}{2}}}}int _{mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-iomega cdot x},dx={frac {1}{(2pi)^{frac {n}{2}}}}{hat {f}}_{1}!left({frac {omega }{2pi }}right)={frac {1}{(2pi)^{frac {n}{2}}}}{hat {f}}_{3}(omega)\f(x)&={frac {1}{(2pi)^{frac {n}{2}}}}int _{mathbb {R} ^{n}}{hat {f}}_{2}(omega)e^{iomega cdot x},domega end{aligned}}}$
frecuencia angular $\cdot$ (rad/s)	no unitario	${displaystyle {begin{aligned}{hat {f}}_{3}(omega) &{stackrel {mathrm {def} }{=}} int _{mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-iomega cdot x},dx={hat {f}}_{1}left({frac {omega }{2pi }}right)=(2pi)^{frac {n}{2}}{hat {f}}_{2}(omega)\f(x)&={frac {1}{(2pi)^{n}}}int _{mathbb {R} ^{n}}{hat {f}}_{3}(omega)e^{iomega cdot x},domega end{aligned}}}$

Como se discutió anteriormente, la función característica de una variable aleatoria es la misma que la transformada de Fourier-Stieltjes de su medida de distribución, pero en este contexto es típico tomar una convención diferente para las constantes. La función característica típica se define

{displaystyle Eleft(e^{itcdot X}right)=int e^{itcdot x},dmu _{X}(x).}

Como en el caso de la "frecuencia angular no unitaria" En la convención anterior, el factor de 2 $π$ no aparece ni en la constante de normalización ni en el exponente. A diferencia de cualquiera de las convenciones que aparecen arriba, esta convención toma el signo opuesto en el exponente.

Métodos de cálculo

El método de cálculo adecuado depende en gran medida de cómo se represente la función matemática original y de la forma deseada de la función de salida.

Dado que la definición fundamental de una transformada de Fourier es una integral, las funciones que se pueden expresar como expresiones de forma cerrada se calculan comúnmente trabajando la integral analíticamente para producir una expresión de forma cerrada en la variable conjugada de la transformada de Fourier como resultado. Este es el método utilizado para generar tablas de transformadas de Fourier, incluidas las que se encuentran en la siguiente tabla (Transformada de Fourier#Tablas de transformadas de Fourier importantes).

Muchos sistemas de álgebra computacional como Matlab y Mathematica que son capaces de integración simbólica son capaces de calcular transformadas de Fourier analíticamente. Por ejemplo, para calcular la transformada de Fourier de $cos(6π t) e -π t 2$ uno podría ingresar el comando integrar cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) de -inf a inf en Wolfram Alpha.

Integración numérica de funciones de forma cerrada

Si la función de entrada está en forma cerrada y la función de salida deseada es una serie de pares ordenados (por ejemplo, una tabla de valores a partir de la cual se puede generar un gráfico) sobre un dominio específico, entonces se puede generar la transformada de Fourier. por integración numérica en cada valor de la variable conjugada de Fourier (frecuencia, por ejemplo) para el que se desea un valor de la variable de salida. Tenga en cuenta que este método requiere calcular una integración numérica separada para cada valor de frecuencia para el cual se desea un valor de la transformada de Fourier. El enfoque de integración numérica funciona en una clase de funciones mucho más amplia que el enfoque analítico, porque produce resultados para funciones que no tienen integrales transformadas de Fourier de forma cerrada.

Integración numérica de una serie de pares ordenados

Si la función de entrada es una serie de pares ordenados (por ejemplo, una serie temporal de medir una variable de salida repetidamente durante un intervalo de tiempo), la función de salida también debe ser una serie de pares ordenados (por ejemplo, un número complejo vs. frecuencia sobre un dominio específico de frecuencias), a menos que se hagan ciertas suposiciones y aproximaciones que permitan aproximar la función de salida mediante una expresión de forma cerrada. En el caso general en el que se supone que las series de entrada disponibles de pares ordenados son muestras que representan una función continua en un intervalo (amplitud frente a tiempo, por ejemplo), la serie de pares ordenados que representan la función de salida deseada se puede obtener mediante la integración numérica de los datos de entrada sobre el intervalo disponible en cada valor de la variable conjugada de Fourier (frecuencia, por ejemplo) para el cual se desea el valor de la transformada de Fourier.

La integración numérica explícita sobre los pares ordenados puede generar el valor de salida de la transformada de Fourier para cualquier valor deseado de la variable de transformada de Fourier conjugada (frecuencia, por ejemplo), de modo que se pueda producir un espectro en cualquier tamaño de paso deseado y sobre cualquier valor deseado. rango variable para la determinación precisa de amplitudes, frecuencias y fases correspondientes a picos aislados. A diferencia de las limitaciones de los métodos DFT y FFT, la integración numérica explícita puede tener cualquier tamaño de paso deseado y calcular la transformada de Fourier en cualquier rango deseado de la variable de transformada de Fourier conjugada (por ejemplo, frecuencia).

Transformadas discretas de Fourier y transformadas rápidas de Fourier

Si los pares ordenados que representan la función de entrada original están igualmente espaciados en su variable de entrada (por ejemplo, pasos de tiempo iguales), la transformada de Fourier se conoce como transformada de Fourier discreta (DFT), que se puede calcular mediante integración numérica, por evaluación explícita de la definición de DFT, o por métodos de transformada rápida de Fourier (FFT). En contraste con la integración explícita de los datos de entrada, el uso de los métodos DFT y FFT produce transformadas de Fourier descritas por pares ordenados de tamaño de paso igual al recíproco del intervalo de muestreo original. Por ejemplo, si los datos de entrada se muestrean cada 10 segundos, la salida de los métodos DFT y FFT tendrá un espaciado de frecuencia de 0,1 Hz.

Tablas de transformadas de Fourier importantes

Las siguientes tablas registran algunas transformadas de Fourier de forma cerrada. Para las funciones $f (x)$ y $g (x)$ indican sus transformadas de Fourier mediante $f̂$ y $ĝ$ . Solo se incluyen las tres convenciones más comunes. Puede ser útil notar que la entrada 105 proporciona una relación entre la transformada de Fourier de una función y la función original, que puede verse como una relación entre la transformada de Fourier y su inversa.

Relaciones funcionales, unidimensionales

Las transformadas de Fourier de esta tabla se pueden encontrar en Erdélyi (1954) o Kammler (2000, apéndice).

	Función	Transformación de Fourier frecuencia unitaria y ordinaria	Transformación de Fourier frecuencia angular unitaria	Transformación de Fourier frecuencia angular no unitaria	Observaciones
	${displaystyle f(x),}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f}}(xi)triangleq {hat {f}}_{1}(xi)\&=int _{-infty }^{infty }f(x)e^{-i2pi xi x},dxend{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f}}(omega)triangleq {hat {f}}_{2}(omega)\&={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }f(x)e^{-iomega x},dxend{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f}}(omega)triangleq {hat {f}}_{3}(omega)\&=int _{-infty }^{infty }f(x)e^{-iomega x},dxend{aligned}}}$	Definiciones
101	${displaystyle a,f(x)+b,g(x),}$	${displaystyle a,{hat {f}}(xi)+b,{hat {g}}(xi),}$	${displaystyle a,{hat {f}}(omega)+b,{hat {g}}(omega),}$	${displaystyle a,{hat {f}}(omega)+b,{hat {g}}(omega),}$	Linearity
102	${displaystyle f(x-a),}$	${displaystyle e^{-i2pi xi a}{hat {f}}(xi),}$	${displaystyle e^{-iaomega }{hat {f}}(omega),}$	${displaystyle e^{-iaomega }{hat {f}}(omega),}$	Cambio en el dominio del tiempo
103	${displaystyle f(x)e^{iax},}$	${displaystyle {hat {f}}left(xi -{frac {a}{2pi }}right),}$	${displaystyle {hat {f}}(omega -a),}$	${displaystyle {hat {f}}(omega -a),}$	Cambio en el dominio de frecuencia, doble de 102
104	${displaystyle f(ax),}$	${displaystyle {frac {1}{\|a\|}}{hat {f}}left({frac {xi }{a}}right),}$	${displaystyle {frac {1}{\|a\|}}{hat {f}}left({frac {omega }{a}}right),}$	${displaystyle {frac {1}{\|a\|}}{hat {f}}left({frac {omega }{a}}right),}$	Escalada en el dominio del tiempo. Si $Silencio a Silencio$ es grande, entonces $f () ax)$ se concentra alrededor de 0 y ${displaystyle {frac {1}{\|a\|}}{hat {f}}left({frac {omega }{a}}right),}$ se extiende y se aplana.
105	${displaystyle {hat {f_{n}}}(x),}$	${displaystyle {hat {f}}_{1}(x) {stackrel {{mathcal {F}}_{1}}{longleftrightarrow }} f(-xi),}$	${displaystyle {hat {f}}_{2}(x) {stackrel {{mathcal {F}}_{2}}{longleftrightarrow }} f(-omega),}$	${displaystyle {hat {f}}_{3}(x) {stackrel {{mathcal {F}}_{3}}{longleftrightarrow }} 2pi f(-omega),}$	La misma transformación se aplica dos veces, pero x reemplaza la variable de frecuencia (. o ⋅) después de la primera transformación.
106	${displaystyle {frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}},}$	${displaystyle (i2pi xi)^{n}{hat {f}}(xi),}$	${displaystyle (iomega)^{n}{hat {f}}(omega),}$	${displaystyle (iomega)^{n}{hat {f}}(omega),}$	como $f$ es una función de Schwartz
107	${displaystyle x^{n}f(x),}$	${displaystyle left({frac {i}{2pi }}right)^{n}{frac {d^{n}{hat {f}}(xi)}{dxi ^{n}}},}$	${displaystyle i^{n}{frac {d^{n}{hat {f}}(omega)}{domega ^{n}}}}$	${displaystyle i^{n}{frac {d^{n}{hat {f}}(omega)}{domega ^{n}}}}$	Este es el doble de 106
108	${displaystyle (f*g)(x),}$	${displaystyle {hat {f}}(xi){hat {g}}(xi),}$	${displaystyle {sqrt {2pi }}{hat {f}}(omega){hat {g}}(omega),}$	${displaystyle {hat {f}}(omega){hat {g}}(omega),}$	La notación $f Alternativa g$ denota la revolución $f$ y $g$ — esta regla es el teorema de la convolución
109	${displaystyle f(x)g(x),}$	${displaystyle left({hat {f}}*{hat {g}}right)(xi),}$	${displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}left({hat {f}}*{hat {g}}right)(omega),}$	${displaystyle {frac {1}{2pi }}left({hat {f}}*{hat {g}}right)(omega),}$	Este es el doble de 108
110	Para $f () x)$ puramente real	${displaystyle {hat {f}}(-xi)={overline {{hat {f}}(xi)}},}$	${displaystyle {hat {f}}(-omega)={overline {{hat {f}}(omega)}},}$	${displaystyle {hat {f}}(-omega)={overline {{hat {f}}(omega)}},}$	Simetría hermitiana. $z$ indica el complejo conjugado.
113	Para $f () x)$ puramente imaginario	${displaystyle {hat {f}}(-xi)=-{overline {{hat {f}}(xi)}},}$	${displaystyle {hat {f}}(-omega)=-{overline {{hat {f}}(omega)}},}$	${displaystyle {hat {f}}(-omega)=-{overline {{hat {f}}(omega)}},}$	$z$ indica el complejo conjugado.
114	${displaystyle {overline {f(x)}}}$	${displaystyle {overline {{hat {f}}(-xi)}}}$	${displaystyle {overline {{hat {f}}(-omega)}}}$	${displaystyle {overline {{hat {f}}(-omega)}}}$	Conjugación compleja, generalización de 110 y 113
115	${displaystyle f(x)cos(ax)}$	${displaystyle {frac {{hat {f}}left(xi -{frac {a}{2pi }}right)+{hat {f}}left(xi +{frac {a}{2pi }}right)}{2}}}$	${displaystyle {frac {{hat {f}}(omega -a)+{hat {f}}(omega +a)}{2}},}$	${displaystyle {frac {{hat {f}}(omega -a)+{hat {f}}(omega +a)}{2}}}$	Esto se deriva de las reglas 101 y 103 usando la fórmula de Euler: ${displaystyle cos(ax)={frac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}.}$
116	${displaystyle f(x)sin(ax)}$	${displaystyle {frac {{hat {f}}left(xi -{frac {a}{2pi }}right)-{hat {f}}left(xi +{frac {a}{2pi }}right)}{2i}}}$	${displaystyle {frac {{hat {f}}(omega -a)-{hat {f}}(omega +a)}{2i}}}$	${displaystyle {frac {{hat {f}}(omega -a)-{hat {f}}(omega +a)}{2i}}}$	Esto sigue de 101 y 103 usando la fórmula de Euler: ${displaystyle sin(ax)={frac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}.}$

Funciones cuadradas integrables, unidimensionales

Las transformadas de Fourier de esta tabla se pueden encontrar en Campbell & Foster (1948), Erdélyi (1954) o Kammler (2000, apéndice).

	Función	Transformación de Fourier frecuencia unitaria y ordinaria	Transformación de Fourier frecuencia angular unitaria	Transformación de Fourier frecuencia angular no unitaria	Observaciones
	${displaystyle f(x),}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f}}(xi)triangleq {hat {f}}_{1}(xi)\&=int _{-infty }^{infty }f(x)e^{-i2pi xi x},dxend{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f}}(omega)triangleq {hat {f}}_{2}(omega)\&={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }f(x)e^{-iomega x},dxend{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f}}(omega)triangleq {hat {f}}_{3}(omega)\&=int _{-infty }^{infty }f(x)e^{-iomega x},dxend{aligned}}}$	Definiciones
201	${displaystyle operatorname {rect} (ax),}$	${displaystyle {frac {1}{\|a\|}},operatorname {sinc} left({frac {xi }{a}}right)}$	${displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi a^{2}}}},operatorname {sinc} left({frac {omega }{2pi a}}right)}$	${displaystyle {frac {1}{\|a\|}},operatorname {sinc} left({frac {omega }{2pi a}}right)}$	El pulso rectangular y el normalizado función sinc, aquí definida como $sinc(x) pecado(π) x) / π x$
202	${displaystyle operatorname {sinc} (ax),}$	${displaystyle {frac {1}{\|a\|}},operatorname {rect} left({frac {xi }{a}}right),}$	${displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi a^{2}}}},operatorname {rect} left({frac {omega }{2pi a}}right)}$	${displaystyle {frac {1}{\|a\|}},operatorname {rect} left({frac {omega }{2pi a}}right)}$	Dual of rule 201. La función rectangular es un filtro de paso bajo ideal, y la función sincical es la respuesta de impulso no-causal de tal filtro. La función sinc se define aquí como $sinc(x) pecado(π) x) / π x$
203	${displaystyle operatorname {sinc} ^{2}(ax)}$	${displaystyle {frac {1}{\|a\|}},operatorname {tri} left({frac {xi }{a}}right)}$	${displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi a^{2}}}},operatorname {tri} left({frac {omega }{2pi a}}right)}$	${displaystyle {frac {1}{\|a\|}},operatorname {tri} left({frac {omega }{2pi a}}right)}$	La función $tri(x)$ es la función triangular
204	${displaystyle operatorname {tri} (ax)}$	${displaystyle {frac {1}{\|a\|}},operatorname {sinc} ^{2}left({frac {xi }{a}}right),}$	${displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi a^{2}}}},operatorname {sinc} ^{2}left({frac {omega }{2pi a}}right)}$	${displaystyle {frac {1}{\|a\|}},operatorname {sinc} ^{2}left({frac {omega }{2pi a}}right)}$	El doble de la regla 203.
205	${displaystyle e^{-ax}u(x),}$	${displaystyle {frac {1}{a+i2pi xi }}}$	${displaystyle {frac {1}{{sqrt {2pi }}(a+iomega)}}}$	${displaystyle {frac {1}{a+iomega }}}$	La función $u () x)$ es la función paso de la unidad Heaviside y $a ■ 0$ .
206	${displaystyle e^{-alpha x^{2}},}$	${displaystyle {sqrt {frac {pi }{alpha }}},e^{-{frac {(pi xi)^{2}}{alpha }}}}$	${displaystyle {frac {1}{sqrt {2alpha }}},e^{-{frac {omega ^{2}}{4alpha }}}}$	${displaystyle {sqrt {frac {pi }{alpha }}},e^{-{frac {omega ^{2}}{4alpha }}}}$	Esto muestra que, para la transformación unitaria de Fourier, la función Gausiana $e - αx 2$ es su propia transformación de Fourier para alguna elección $α$ . Para que esto sea integrador debemos tener $Re(α) 0$ .
207	${displaystyle e^{-ialpha x^{2}},}$	${displaystyle {sqrt {frac {pi }{alpha }}},e^{i({frac {(pi xi)^{2}}{alpha }}-{frac {pi }{4}})}}$	${displaystyle {frac {1}{sqrt {2alpha }}},e^{i({frac {omega ^{2}}{4alpha }}-{frac {pi }{4}})}}$	${displaystyle {sqrt {frac {pi }{alpha }}},e^{i({frac {omega ^{2}}{4alpha }}-{frac {pi }{4}})}}$	Esto se conoce como el complejo sinusoide de fase cuadrática, o la función "chirp".
208	${displaystyle e^{-a\|x\|},}$	${displaystyle {frac {2a}{a^{2}+4pi ^{2}xi ^{2}}}}$	${displaystyle {sqrt {frac {2}{pi }}},{frac {a}{a^{2}+omega ^{2}}}}$	${displaystyle {frac {2a}{a^{2}+omega ^{2}}}}$	Para $Re(a) 0$ . Es decir, la transformación Fourier de una función exponencial de desintegración de dos caras es una función Lorentziana.
209	${displaystyle operatorname {sech} (ax),}$	${displaystyle {frac {pi }{a}}operatorname {sech} left({frac {pi ^{2}}{a}}xi right)}$	${displaystyle {frac {1}{a}}{sqrt {frac {pi }{2}}}operatorname {sech} left({frac {pi }{2a}}omega right)}$	${displaystyle {frac {pi }{a}}operatorname {sech} left({frac {pi }{2a}}omega right)}$	Secant hiperbólico es su propia transformación Fourier
210	${displaystyle e^{-{frac {a^{2}x^{2}}{2}}}H_{n}(ax),}$	${displaystyle {frac {{sqrt {2pi }}(-i)^{n}}{a}}e^{-{frac {2pi ^{2}xi ^{2}}{a^{2}}}}H_{n}left({frac {2pi xi }{a}}right)}$	${displaystyle {frac {(-i)^{n}}{a}}e^{-{frac {omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}left({frac {omega }{a}}right)}$	${displaystyle {frac {(-i)^{n}{sqrt {2pi }}}{a}}e^{-{frac {omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}left({frac {omega }{a}}right)}$	$H n$ es $n$ polinomio Hermite. Si $a = 1$ entonces las funciones de Gauss–Hermite son funciones eigen del operador de transformación Fourier. Para una derivación, vea el polinomio Hermite. La fórmula reduce a 206 para $n = 0$ .

Distribuciones, unidimensionales

Las transformadas de Fourier de esta tabla se pueden encontrar en Erdélyi (1954) o Kammler (2000, apéndice).

	Función	Transformación de Fourier frecuencia unitaria y ordinaria	Transformación de Fourier frecuencia angular unitaria	Transformación de Fourier frecuencia angular no unitaria	Observaciones
	${displaystyle f(x),}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f}}(xi)triangleq {hat {f}}_{1}(xi)\&=int _{-infty }^{infty }f(x)e^{-i2pi xi x},dxend{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f}}(omega)triangleq {hat {f}}_{2}(omega)\&={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{infty }f(x)e^{-iomega x},dxend{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f}}(omega)triangleq {hat {f}}_{3}(omega)\&=int _{-infty }^{infty }f(x)e^{-iomega x},dxend{aligned}}}$	Definiciones
301	$1$	${displaystyle delta (xi)}$	${displaystyle {sqrt {2pi }},delta (omega)}$	${displaystyle 2pi delta (omega)}$	La distribución $δ () .)$ denota la función Dirac delta.
302	${displaystyle delta (x),}$	$1$	${displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}},}$	$1$	Dual of rule 301.
303	${displaystyle e^{iax}}$	${displaystyle delta left(xi -{frac {a}{2pi }}right)}$	${displaystyle {sqrt {2pi }},delta (omega -a)}$	${displaystyle 2pi delta (omega -a)}$	Esto se deriva de 103 y 301.
304	${displaystyle cos(ax)}$	${displaystyle {frac {delta left(xi -{frac {a}{2pi }}right)+delta left(xi +{frac {a}{2pi }}right)}{2}}}$	${displaystyle {sqrt {2pi }},{frac {delta (omega -a)+delta (omega +a)}{2}}}$	${displaystyle pi left(delta (omega -a)+delta (omega +a)right)}$	Esto se deriva de las reglas 101 y 303 usando la fórmula de Euler: ${displaystyle cos(ax)={frac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}.}$
305	${displaystyle sin(ax)}$	${displaystyle {frac {delta left(xi -{frac {a}{2pi }}right)-delta left(xi +{frac {a}{2pi }}right)}{2i}}}$	${displaystyle {sqrt {2pi }},{frac {delta (omega -a)-delta (omega +a)}{2i}}}$	${displaystyle -ipi {bigl (}delta (omega -a)-delta (omega +a){bigr)}}$	Esto se deriva de 101 y 303 ${displaystyle sin(ax)={frac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}.}$
306	${displaystyle cos left(ax^{2}right)}$	${displaystyle {sqrt {frac {pi }{a}}}cos left({frac {pi ^{2}xi ^{2}}{a}}-{frac {pi }{4}}right)}$	$frac{1}{sqrt{2 a}} cos left(frac{omega^2}{4 a} - frac{pi}{4} right)$	${displaystyle {sqrt {frac {pi }{a}}}cos left({frac {omega ^{2}}{4a}}-{frac {pi }{4}}right)}$	Esto sigue de 101 y 207 utilizando ${displaystyle cos(ax^{2})={frac {e^{iax^{2}}+e^{-iax^{2}}}{2}}.}$
307	${displaystyle sin left(ax^{2}right)}$	${displaystyle -{sqrt {frac {pi }{a}}}sin left({frac {pi ^{2}xi ^{2}}{a}}-{frac {pi }{4}}right)}$	$frac{-1}{sqrt{2 a}} sin left(frac{omega^2}{4 a} - frac{pi}{4} right)$	${displaystyle -{sqrt {frac {pi }{a}}}sin left({frac {omega ^{2}}{4a}}-{frac {pi }{4}}right)}$	Esto sigue de 101 y 207 utilizando ${displaystyle sin(ax^{2})={frac {e^{iax^{2}}-e^{-iax^{2}}}{2i}}.}$
308	${displaystyle x^{n},}$	${displaystyle left({frac {i}{2pi }}right)^{n}delta ^{(n)}(xi)}$	${displaystyle i^{n}{sqrt {2pi }}delta ^{(n)}(omega)}$	${displaystyle 2pi i^{n}delta ^{(n)}(omega)}$	Aquí, $n$ es un número natural y $δ () n) () .)$ es $n$ a distribución derivada de la función Dirac delta. Esta norma se ajusta a las reglas 107 y 301. Combinando esta regla con 101, podemos transformar todos los polinomios.
	${displaystyle delta ^{(n)}(x)}$	${displaystyle (i2pi xi)^{n}}$	${displaystyle {frac {(iomega)^{n}}{sqrt {2pi }}}}$	${displaystyle (iomega)^{n}}$	Doble de la regla 308. $δ () n) () .)$ es $n$ a distribución derivada de la función Dirac delta. Esta norma sigue de 106 y 302.
309	${displaystyle {frac {1}{x}}}$	${displaystyle -ipi operatorname {sgn}(xi)}$	${displaystyle -i{sqrt {frac {pi }{2}}}operatorname {sgn}(omega)}$	${displaystyle -ipi operatorname {sgn}(omega)}$	Aquí. $sgn(.)$ es la función de señal. Note que $1 / x$ no es una distribución. Es necesario utilizar el valor principal de Cauchy cuando se prueba contra las funciones de Schwartz. Esta regla es útil para estudiar la transformación de Hilbert.
310	${displaystyle {begin{aligned}&{frac {1}{x^{n}}}\&:={frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}log \|x\|end{aligned}}}$	${displaystyle -ipi {frac {(-i2pi xi)^{n-1}}{(n-1)!}}operatorname {sgn}(xi)}$	${displaystyle -i{sqrt {frac {pi }{2}}},{frac {(-iomega)^{n-1}}{(n-1)!}}operatorname {sgn}(omega)}$	${displaystyle -ipi {frac {(-iomega)^{n-1}}{(n-1)!}}operatorname {sgn}(omega)}$	$1 / x n$ es la distribución homogénea definida por el derivado distribucional ${displaystyle {frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}log \|x\|}$
311	${displaystyle \|x\|^{alpha }}$	${displaystyle -{frac {2sin left({frac {pi alpha }{2}}right)Gamma (alpha +1)}{\|2pi xi \|^{alpha +1}}}}$	${displaystyle {frac {-2}{sqrt {2pi }}},{frac {sin left({frac {pi alpha }{2}}right)Gamma (alpha +1)}{\|omega \|^{alpha +1}}}}$	${displaystyle -{frac {2sin left({frac {pi alpha }{2}}right)Gamma (alpha +1)}{\|omega \|^{alpha +1}}}}$	Esta fórmula es válida para $0 α ▪$ . Para $α ■ 0$ algunos términos singulares surgen en el origen que se puede encontrar diferenciando 318. Si $Re α ▪$ , entonces $Silencio x Silencio α$ es una función localmente integradora, y así una distribución templada. La función $α \mapsto Silencio x Silencio α$ es una función holomorfa desde el medio plano derecho al espacio de distribuciones templadas. Admite una extensión meromorfa única a una distribución templada, también denotada $Silencio x Silencio α$ para $α \sqrt\geq -1, -3,...$ (Ver distribución homogénea.)
	${displaystyle {frac {1}{sqrt {\|x\|}}}}$	${frac {1}{sqrt {\|xi \|}}}$	${frac {1}{sqrt {\|omega \|}}}$	${displaystyle {frac {sqrt {2pi }}{sqrt {\|omega \|}}}}$	Caso especial de 311.
312	${displaystyle operatorname {sgn}(x)}$	${displaystyle {frac {1}{ipi xi }}}$	${displaystyle {sqrt {frac {2}{pi }}}{frac {1}{iomega }}}$	${displaystyle {frac {2}{iomega }}}$	El doble de la regla 309. Esta vez el Fourier transforma necesita ser considerado como un valor principal Cauchy.
313	${displaystyle u(x)}$	${displaystyle {frac {1}{2}}left({frac {1}{ipi xi }}+delta (xi)right)}$	${displaystyle {sqrt {frac {pi }{2}}}left({frac {1}{ipi omega }}+delta (omega)right)}$	${displaystyle pi left({frac {1}{ipi omega }}+delta (omega)right)}$	La función $u () x)$ es la función de paso de la unidad Heaviside; esto se deriva de las reglas 101, 301, y 312.
314	${displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }delta (x-nT)}$	${displaystyle {frac {1}{T}}sum _{k=-infty }^{infty }delta left(xi -{frac {k}{T}}right)}$	${displaystyle {frac {sqrt {2pi }}{T}}sum _{k=-infty }^{infty }delta left(omega -{frac {2pi k}{T}}right)}$	${displaystyle {frac {2pi }{T}}sum _{k=-infty }^{infty }delta left(omega -{frac {2pi k}{T}}right)}$	Esta función se conoce como la función Comb Dirac. Este resultado puede derivarse de 302 y 102, junto con el hecho de que ${displaystyle {begin{aligned}&sum _{n=-infty }^{infty }e^{inx}\={}&2pi sum _{k=-infty }^{infty }delta (x+2pi k)end{aligned}}}$ como distribuciones.
315	${displaystyle J_{0}(x)}$	${displaystyle {frac {2,operatorname {rect} (pi xi)}{sqrt {1-4pi ^{2}xi ^{2}}}}}$	${displaystyle {sqrt {frac {2}{pi }}},{frac {operatorname {rect} left({frac {omega }{2}}right)}{sqrt {1-omega ^{2}}}}}$	${displaystyle {frac {2,operatorname {rect} left({frac {omega }{2}}right)}{sqrt {1-omega ^{2}}}}}$	La función $J 0 () x)$ es la función de orden cero Bessel de primer tipo.
316	${displaystyle J_{n}(x)}$	${displaystyle {frac {2(-i)^{n}T_{n}(2pi xi)operatorname {rect} (pi xi)}{sqrt {1-4pi ^{2}xi ^{2}}}}}$	${displaystyle {sqrt {frac {2}{pi }}}{frac {(-i)^{n}T_{n}(omega)operatorname {rect} left({frac {omega }{2}}right)}{sqrt {1-omega ^{2}}}}}$	${displaystyle {frac {2(-i)^{n}T_{n}(omega)operatorname {rect} left({frac {omega }{2}}right)}{sqrt {1-omega ^{2}}}}}$	Esta es una generalización de 315. La función $J n () x)$ es $n$ orden Bessel función de primer tipo. La función $T n () x)$ es el polinomio Chebyshev del primer tipo.
317	${displaystyle log left\|xright\|}$	${displaystyle -{frac {1}{2}}{frac {1}{left\|xi right\|}}-gamma delta left(xi right)}$	${displaystyle -{frac {sqrt {frac {pi }{2}}}{left\|omega right\|}}-{sqrt {2pi }}gamma delta left(omega right)}$	${displaystyle -{frac {pi }{left\|omega right\|}}-2pi gamma delta left(omega right)}$	$γ$ es la constante Euler-Mascheroni. Es necesario utilizar una parte finita integral cuando se prueba $1 / Silencio . Silencio$ o $1 / Silencio \cdot Silencio$ contra las funciones de Schwartz. Los detalles de esto podrían cambiar el coeficiente de la función delta.
318	${displaystyle left(mp ixright)^{-alpha }}$	${displaystyle {frac {left(2pi right)^{alpha }}{Gamma left(alpha right)}}uleft(pm xi right)left(pm xi right)^{alpha -1}}$	${displaystyle {frac {sqrt {2pi }}{Gamma left(alpha right)}}uleft(pm omega right)left(pm omega right)^{alpha -1}}$	${displaystyle {frac {2pi }{Gamma left(alpha right)}}uleft(pm omega right)left(pm omega right)^{alpha -1}}$	Esta fórmula es válida para $1 \pm α ■ 0$ . Use diferenciación para derivar fórmula para exponentes superiores. $u$ es la función Heaviside.

Funciones bidimensionales

	Función	Transformación de Fourier frecuencia unitaria y ordinaria	Transformación de Fourier frecuencia angular unitaria	Transformación de Fourier frecuencia angular no unitaria	Observaciones
400	${displaystyle f(x,y)}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f}}(xi _{x},xi _{y})triangleq \&iint f(x,y)e^{-i2pi (xi _{x}x+xi _{y}y)},dx,dyend{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f}}(omega _{x},omega _{y})triangleq \&{frac {1}{2pi }}iint f(x,y)e^{-i(omega _{x}x+omega _{y}y)},dx,dyend{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f}}(omega _{x},omega _{y})triangleq \&iint f(x,y)e^{-i(omega _{x}x+omega _{y}y)},dx,dyend{aligned}}}$	Las variables $. x$ , $. Sí.$ , $\cdot x$ , $\cdot Sí.$ son números reales. Las integrales son tomadas sobre todo el plano.
401	${displaystyle e^{-pi left(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}right)}}$	${displaystyle {frac {1}{\|ab\|}}e^{-pi left({frac {xi _{x}^{2}}{a^{2}}}+{frac {xi _{y}^{2}}{b^{2}}}right)}}$	${displaystyle {frac {1}{2pi ,\|ab\|}}e^{-{frac {1}{4pi }}left({frac {omega _{x}^{2}}{a^{2}}}+{frac {omega _{y}^{2}}{b^{2}}}right)}}$	${displaystyle {frac {1}{\|ab\|}}e^{-{frac {1}{4pi }}left({frac {omega _{x}^{2}}{a^{2}}}+{frac {omega _{y}^{2}}{b^{2}}}right)}}$	Ambas funciones son Gaussians, que puede no tener volumen de unidad.
402	${displaystyle operatorname {circ} left({sqrt {x^{2}+y^{2}}}right)}$	${displaystyle {frac {J_{1}left(2pi {sqrt {xi _{x}^{2}+xi _{y}^{2}}}right)}{sqrt {xi _{x}^{2}+xi _{y}^{2}}}}}$	${displaystyle {frac {J_{1}left({sqrt {omega _{x}^{2}+omega _{y}^{2}}}right)}{sqrt {omega _{x}^{2}+omega _{y}^{2}}}}}$	${displaystyle {frac {2pi J_{1}left({sqrt {omega _{x}^{2}+omega _{y}^{2}}}right)}{sqrt {omega _{x}^{2}+omega _{y}^{2}}}}}$	La función se define por $circo r) = 1$ para $0 \leq r \leq 1$ , y es 0 de lo contrario. El resultado es la distribución de amplitud del disco Airy, y se expresa utilizando $J 1$ (la función orden-1 Bessel del primer tipo).
403	${displaystyle {frac {1}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$	${displaystyle {frac {1}{sqrt {xi _{x}^{2}+xi _{y}^{2}}}}}$	${displaystyle {frac {1}{sqrt {omega _{x}^{2}+omega _{y}^{2}}}}}$	${displaystyle {frac {2pi }{sqrt {omega _{x}^{2}+omega _{y}^{2}}}}}$	Esta es la transformación de Hankel $r -1$ , un Fourier 2-D "autotransforme".
404	${displaystyle {frac {i}{x+iy}}}$	${displaystyle {frac {1}{xi _{x}+ixi _{y}}}}$	${displaystyle {frac {1}{omega _{x}+iomega _{y}}}}$	${displaystyle {frac {2pi }{omega _{x}+iomega _{y}}}}$

Fórmulas para funciones generales n-dimensionales

	Función	Transformación de Fourier frecuencia unitaria y ordinaria	Transformación de Fourier frecuencia angular unitaria	Transformación de Fourier frecuencia angular no unitaria	Observaciones
500	${displaystyle f(mathbf {x}),}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f_{1}}}({boldsymbol {xi }})triangleq \&int _{mathbb {R} ^{n}}f(mathbf {x})e^{-i2pi {boldsymbol {xi }}cdot mathbf {x} },dmathbf {x} end{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f_{2}}}({boldsymbol {omega }})triangleq \&{frac {1}{{(2pi)}^{frac {n}{2}}}}int _{mathbb {R} ^{n}}f(mathbf {x})e^{-i{boldsymbol {omega }}cdot mathbf {x} },dmathbf {x} end{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}&{hat {f_{3}}}({boldsymbol {omega }})triangleq \&int _{mathbb {R} ^{n}}f(mathbf {x})e^{-i{boldsymbol {omega }}cdot mathbf {x} },dmathbf {x} end{aligned}}}$
501	${displaystyle chi _{[0,1]}(\|mathbf {x} \|)left(1-\|mathbf {x} \|^{2}right)^{delta }}$	${displaystyle {frac {Gamma (delta +1)}{pi ^{delta },\|{boldsymbol {xi }}\|^{{frac {n}{2}}+delta }}}J_{{frac {n}{2}}+delta }(2pi \|{boldsymbol {xi }}\|)}$	${displaystyle 2^{delta },{frac {Gamma (delta +1)}{left\|{boldsymbol {omega }}right\|^{{frac {n}{2}}+delta }}}J_{{frac {n}{2}}+delta }(\|{boldsymbol {omega }}\|)}$	${displaystyle {frac {Gamma (delta +1)}{pi ^{delta }}}left\|{frac {boldsymbol {omega }}{2pi }}right\|^{-{frac {n}{2}}-delta }J_{{frac {n}{2}}+delta }(!\|{boldsymbol {omega }}\|!)}$	La función $χ [0, 1]$ es la función indicadora del intervalo $[0, 1]$ . La función $. x)$ es la función gamma. La función $J n / 2 + δ$ es una función Bessel del primer tipo, con el orden $n / 2 + δ$ . Tomando $n = 2$ y $δ = 0$ produce 402.
502	$<math alttext="{displaystyle \|mathbf {x} \|^{-alpha },quad 0<operatorname {Re} alpha SilencioxSilencio− − α α ,0.Re⁡ ⁡ α α .n.{fnMicrosoft Sans Serif} {Re} alpha se hizo.}<img alt="{displaystyle \|mathbf {x} \|^{-alpha },quad 0<operatorname {Re} alpha$	${displaystyle {frac {(2pi)^{alpha }}{c_{n,alpha }}}\|{boldsymbol {xi }}\|^{-(n-alpha)}}$	${displaystyle {frac {(2pi)^{frac {n}{2}}}{c_{n,alpha }}}\|{boldsymbol {omega }}\|^{-(n-alpha)}}$	${displaystyle {frac {(2pi)^{n}}{c_{n,alpha }}}\|{boldsymbol {omega }}\|^{-(n-alpha)}}$	Ver Riesz potencial donde la constante es dada por ${displaystyle c_{n,alpha }=pi ^{frac {n}{2}}2^{alpha }{frac {Gamma left({frac {alpha }{2}}right)}{Gamma left({frac {n-alpha }{2}}right)}}.}$ La fórmula también sostiene para todos $α ل n, n + 2,...$ por continuación analítica, pero luego la función y su Fourier transforma debe entenderse como distribuciones templadas debidamente regularizadas. Ver distribución homogénea.
503	${displaystyle {frac {1}{left\|{boldsymbol {sigma }}right\|left(2pi right)^{frac {n}{2}}}}e^{-{frac {1}{2}}mathbf {x} ^{mathrm {T} }{boldsymbol {sigma }}^{-mathrm {T} }{boldsymbol {sigma }}^{-1}mathbf {x} }}$	${displaystyle e^{-2pi ^{2}{boldsymbol {xi }}^{mathrm {T} }{boldsymbol {sigma }}{boldsymbol {sigma }}^{mathrm {T} }{boldsymbol {xi }}}}$	${displaystyle (2pi)^{-{frac {n}{2}}}e^{-{frac {1}{2}}{boldsymbol {omega }}^{mathrm {T} }{boldsymbol {sigma }}{boldsymbol {sigma }}^{mathrm {T} }{boldsymbol {omega }}}}$	${displaystyle e^{-{frac {1}{2}}{boldsymbol {omega }}^{mathrm {T} }{boldsymbol {sigma }}{boldsymbol {sigma }}^{mathrm {T} }{boldsymbol {omega }}}}$	Esta es la fórmula para una distribución normal multivariada normalizada a 1 con una media de 0. Las variables Bold son vectores o matrices. Siguiendo la notación de la página mencionada, $. = σ σ T$ y $. -1 = σ -T σ -1$
504	${displaystyle e^{-2pi alpha \|mathbf {x} \|}}$	${displaystyle {frac {c_{n}alpha }{left(alpha ^{2}+\|{boldsymbol {xi }}\|^{2}right)^{frac {n+1}{2}}}}}$	${displaystyle {frac {c_{n}(2pi)^{frac {n+2}{2}}alpha }{left(4pi ^{2}alpha ^{2}+\|{boldsymbol {omega }}\|^{2}right)^{frac {n+1}{2}}}}}$	${displaystyle {frac {c_{n}(2pi)^{n+1}alpha }{left(4pi ^{2}alpha ^{2}+\|{boldsymbol {omega }}\|^{2}right)^{frac {n+1}{2}}}}}$	Aquí. ${displaystyle c_{n}={frac {Gamma left({frac {n+1}{2}}right)}{pi ^{frac {n+1}{2}}}},}$ $Re(α) 0$

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