Topología algebraica

A torus, uno de los objetos más estudiados en topología algebraica

La topología algebraica es una rama de las matemáticas que utiliza herramientas del álgebra abstracta para estudiar espacios topológicos. El objetivo básico es encontrar invariantes algebraicas que clasifiquen espacios topológicos hasta el homeomorfismo, aunque normalmente la mayoría clasifica hasta la equivalencia homotópica.

Aunque la topología algebraica usa principalmente el álgebra para estudiar problemas topológicos, a veces también es posible usar la topología para resolver problemas algebraicos. La topología algebraica, por ejemplo, permite una prueba conveniente de que cualquier subgrupo de un grupo libre es nuevamente un grupo libre.

Principales ramas de la topología algebraica

A continuación se muestran algunas de las principales áreas estudiadas en topología algebraica:

Grupos de homotopía

En matemáticas, los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar espacios topológicos. El primer grupo de homotopía y el más simple es el grupo fundamental, que registra información sobre bucles en un espacio. Intuitivamente, los grupos de homotopía registran información sobre la forma básica, o agujeros, de un espacio topológico.

Homología

En topología algebraica y álgebra abstracta, homología (en parte del griego ὁμός homos "idéntico") es un cierto procedimiento general para asociar una secuencia de grupos o módulos abelianos con un objeto matemático dado, como un espacio topológico o un grupo.

Cohomología

En teoría de homología y topología algebraica, cohomología es un término general para una secuencia de grupos abelianos definidos a partir de un complejo cocadena. Es decir, la cohomología se define como el estudio abstracto de cocadenas, cociclos y cofronteras. La cohomología puede verse como un método para asignar invariantes algebraicas a un espacio topológico que tiene una estructura algebraica más refinada que la homología. La cohomología surge de la dualización algebraica de la construcción de la homología. En un lenguaje menos abstracto, las cocadenas en el sentido fundamental deberían asignar 'cantidades' a las cadenas de la teoría de la homología.

Colectores

Una variedad es un espacio topológico que cerca de cada punto se parece al espacio euclidiano. Los ejemplos incluyen el plano, la esfera y el toro, que se pueden realizar en tres dimensiones, pero también la botella de Klein y el plano proyectivo real que no se puede incrustar en tres dimensiones, pero sí en cuatro dimensiones. Por lo general, los resultados de la topología algebraica se centran en aspectos globales no diferenciables de las variedades; por ejemplo la dualidad de Poincaré.

Teoría de nudos

Knot theory es el estudio de nudos matemáticos. Mientras se inspira en nudos que aparecen en la vida cotidiana en cordones y cuerdas, el nudo de un matemático difiere en que los extremos se unen para que no pueda ser deshecho. En un lenguaje matemático preciso, un nudo es una incrustación de un círculo en el espacio euclidiano tridimensional, ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$. Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede ser transformado en el otro a través de una deformación de ${displaystyle mathbb {R} {} {}}}$ sobre sí mismo (conocido como una isotopía ambiente); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortar la cuerda o pasar la cuerda por sí misma.

Complejos

Un simplicial 3-complejo.

Un complejo simplicial es un espacio topológico de cierto tipo, construido "pegando entre sí" puntos, segmentos de línea, triángulos y sus contrapartes n-dimensionales (ver ilustración). Los complejos simpliciales no deben confundirse con la noción más abstracta de un conjunto simplicial que aparece en la teoría moderna de la homotopía simplicial. La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto.

Un complejo CW es un tipo de espacio topológico introducido por J. H. C. Whitehead para satisfacer las necesidades de la teoría de la homotopía. Esta clase de espacios es más amplia y tiene mejores propiedades categóricas que los complejos simpliciales, pero aún conserva una naturaleza combinatoria que permite el cálculo (a menudo con un complejo mucho más pequeño).

Método de las invariantes algebraicas

Un nombre más antiguo para el tema era topología combinatoria, lo que implicaba un énfasis en cómo se construía un espacio X a partir de otros más simples (la herramienta estándar moderna para tal construcción es el complejo CW). En las décadas de 1920 y 1930, hubo un énfasis creciente en investigar espacios topológicos encontrando correspondencias de ellos con grupos algebraicos, lo que llevó al cambio de nombre a topología algebraica. El nombre de topología combinatoria todavía se usa a veces para enfatizar un enfoque algorítmico basado en la descomposición de espacios.

En el enfoque algebraico, se encuentra una correspondencia entre espacios y grupos que respeta la relación de homeomorfismo (o más general homotopía) de los espacios. Esto permite reformular declaraciones sobre espacios topológicos en declaraciones sobre grupos, que tienen una gran cantidad de estructura manejable, lo que a menudo hace que estas declaraciones sean más fáciles de probar. Dos formas principales en las que esto se puede hacer son a través de grupos fundamentales, o más generalmente, la teoría de la homotopía, y a través de grupos de homología y cohomología. Los grupos fundamentales nos brindan información básica sobre la estructura de un espacio topológico, pero a menudo no son abelianos y puede ser difícil trabajar con ellos. El grupo fundamental de un complejo simplicial (finito) tiene una presentación finita.

Los grupos de homología y cohomología, por otro lado, son abelianos y, en muchos casos importantes, se generan finitamente. Los grupos abelianos generados finitamente están completamente clasificados y es particularmente fácil trabajar con ellos.

Configuración en la teoría de categorías

En general, todas las construcciones de topología algebraica son funcionales; aquí se originaron las nociones de categoría, funtor y transformación natural. Los grupos fundamentales y los grupos de homología y cohomología no solo son invariantes del espacio topológico subyacente, en el sentido de que dos espacios topológicos que son homeomorfos tienen los mismos grupos asociados, sino que sus morfismos asociados también se corresponden: un mapeo continuo de espacios induce un homomorfismo de grupo en los grupos asociados, y estos homomorfismos pueden usarse para mostrar la inexistencia (o, mucho más profundamente, la existencia) de aplicaciones.

Uno de los primeros matemáticos en trabajar con diferentes tipos de cohomología fue Georges de Rham. Se puede utilizar la estructura diferencial de las variedades suaves a través de la cohomología de Rham, o la cohomología de Čech o sheaf para investigar la capacidad de resolución de las ecuaciones diferenciales definidas en la variedad en cuestión. De Rham demostró que todos estos enfoques estaban interrelacionados y que, para una variedad cerrada y orientada, los números de Betti derivados de la homología simplicial eran los mismos números de Betti que los derivados de la cohomología de De Rham. Esto se amplió en la década de 1950, cuando Samuel Eilenberg y Norman Steenrod generalizaron este enfoque. Definieron la homología y la cohomología como funtores equipados con transformaciones naturales sujetas a ciertos axiomas (por ejemplo, una equivalencia débil de espacios pasa a un isomorfismo de grupos de homología), verificaron que todas las teorías de (co)homología existentes satisfacían estos axiomas, y luego probaron que tal una axiomatización caracterizó de manera única la teoría.

Aplicaciones de la topología algebraica

Las aplicaciones clásicas de la topología algebraica incluyen:

• El Teorema de punto fijo Brouwer: cada mapa continuo de la unidad n-disk a sí mismo tiene un punto fijo.
• El rango libre del ngrupo de homología de un complejo simplicial es el nt número Betti, que permite calcular la característica Euler-Poincaré.
• Se puede utilizar la estructura diferencial de los andamios suaves a través de la cohomología de Rham, o la cohomología de Čech o hoja para investigar la soledad de las ecuaciones diferenciales definidas en el múltiple en cuestión.
• Un manifold es orientable cuando el grupo de homología integral topdimensional es los enteros, y no es orientable cuando es 0.
• El n-sphere admite un campo de vectores de unidad continua en ninguna parte, si y sólo si n Es extraño. (Para) n= 2, esto se llama a veces el "teorema de bola de pelo".)
• The Borsuk–Ulam theorem: cualquier mapa continuo del n- Esfera a Euclidean n- el espacio identifica al menos un par de puntos antipodal.
• Cualquier subgrupo de un grupo libre es gratuito. Este resultado es bastante interesante, porque la declaración es puramente algebraica pero la prueba más simple conocida es topológica. Nombre, cualquier grupo libre G puede ser realizado como el grupo fundamental de un gráfico X. El teorema principal en los espacios de cobertura nos dice que cada subgrupo H de G es el grupo fundamental de algunos que cubren el espacio Y de X; pero todos tales Y es otra vez un gráfico. Por lo tanto, su grupo fundamental H es libre. Por otro lado, este tipo de aplicación también se maneja más sencillamente por el uso de morphisms cubrientes de groupoids, y esa técnica ha producido teoremas subgrupales que aún no han sido probados por métodos de topología algebraica; ver Higgins (1971).
• Combinatoria topológica.

Topólogos algebraicos notables

Teoremas importantes en topología algebraica