Topología abierta y compacta

En matemáticas, la topología compacta-abierta es una topología definida sobre el conjunto de mapas continuos entre dos espacios topológicos. La topología compacta-abierta es una de las topologías comúnmente utilizadas en espacios funcionales y se aplica en la teoría de la homotopía y el análisis funcional. Fue introducido por Ralph Fox en 1945.

Si el codominio de las funciones consideradas tiene una estructura uniforme o una estructura métrica, entonces la topología compacta-abierta es la "topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos". Es decir, una secuencia de funciones converge en la topología compacta-abierta precisamente cuando converge uniformemente en cada subconjunto compacto del dominio.

Definición

Vamos. X y Y ser dos espacios topológicos, y dejar C()X, Y) denota el conjunto de todos los mapas continuos entre X y Y. Dado un subconjunto compacto K de X y un subgrupo abierto U de Y, vamos V()K, U) denota el conjunto de todas las funciones f▪ C()X, Y) tales que f()K⊆ U. En otras palabras, ${displaystyle V(K,U)=C(K,U)times _{C(K,Y)}C(X,Y)}$. Entonces la colección de todo eso V()K, U) es una subbase para la topología compacta-abierto en C()X, Y). (Esta colección no siempre forma una base para una topología en C()X, Y))

Cuando se trabaja en la categoría de espacios generados de forma compacta, es común modificar esta definición restringiendo a la subbase formada a partir de esas K que son la imagen de un espacio compacto de Hausdorff. Por supuesto, si X se genera de forma compacta y Hausdorff, esta definición coincide con la anterior. Sin embargo, la definición modificada es crucial si se quiere que la categoría conveniente de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta sea cartesiana cerrada, entre otras propiedades útiles. La confusión entre esta definición y la anterior se debe al diferente uso de la palabra compacto.

Si X es localmente compacto, entonces ${displaystyle Xtimes -}$ de la categoría de espacios topológicos siempre tiene un derecho ${displaystyle Hom(X,-)}$. Este conjunto coincide con la topología compacta-abierta y puede utilizarse para definirla de forma única. La modificación de la definición de espacios generados compactamente puede considerarse como tomar la unión del producto en la categoría de espacios generados compactamente en lugar de la categoría de espacios topológicos, lo que garantiza que siempre existe la unión correcta.

Propiedades

• Si * es un espacio de un punto entonces uno puede identificar C(*, Y) con Y, y bajo esta identificación la topología compacta-abierta está de acuerdo con la topología en Y. Más generalmente, si X es un espacio discreto, entonces C()X, Y) se puede identificar con el producto cartesiano de SilencioXSilencio copias de Y y la topología compacta abierta está de acuerdo con la topología del producto.
• Si Y es T0, T1, Hausdorff, regular, o Tychonoff, entonces la topología compacta-abierto tiene el axioma de separación correspondiente.
• Si X es Hausdorff y S es una subbase Y, entonces la colección {}V()K,U) U ▪ S, K compacto es una subbase para la topología compacta-abierto en C()X, Y).
• Si Y es un espacio métrico (o más generalmente, un espacio uniforme), entonces la topología compacta-abierto es igual a la topología de la convergencia compacta. En otras palabras, si Y es un espacio métrico, luego una secuencia {}f_n} convergencias a f en la topología compacta-abierto si y sólo si para cada subconjunto compacto K de X, {}f_n} converge uniformemente a f on K. Si X es compacto y Y es un espacio uniforme, entonces la topología compacta-abierta es igual a la topología de la convergencia uniforme.
• Si X, Y y Z son espacios topológicos, con Y localmente compacto Hausdorff (o incluso sólo localmente compacto preregular), entonces el mapa de composición C()Y, Z) ×C()X, Y) → C()X, Z), dado por ()f, g↦f∘g, es continuo (aquí se dan todos los espacios de función la topología compacta-abierta y C()Y, Z) ×C()X, Y) se da la topología del producto).
• Si X es un espacio localmente compacto Hausdorff (o preregular) y luego el mapa de evaluación e: C()X, Y) × X → Y, definida por e()f, x)f()x), es continuo. Esto se puede ver como un caso especial de lo anterior X es un espacio de un punto.
• Si X es compacto, y Y es un espacio métrico con métrica d, entonces la topología compacta-abierto en C()X, Y) es metrisable, y una métrica para que sea dada por e()f, gSup{d()f()x), g()x): x dentro X} para f, g dentro C()X, Y).

Aplicaciones

La topología abierta compacta se puede utilizar para topología de los siguientes conjuntos:

• ${displaystyle Omega (X,x_{0}=f:Ito X:f(0)=f(1)=x_{0}}}$, el espacio del bucle ${displaystyle X}$ a ${displaystyle x_{0}$,
• ${displaystyle E(X,x_{0},x_{1}=f:Ito X:f(0)=x_{0}{text{ and }}f(1)=x_{1}}} {}}} {f}}}$,
• ${displaystyle E(X,x_{0}=f:Ito X:f(0)=x_{0}}$.

Además, hay una equivalencia de homotopy entre los espacios ${displaystyle C(Sigma X,Y)cong C(X,Omega Y)}$. Estos espacios topológicos, ${displaystyle C(X,Y)}$ son útiles en la teoría de la homotopy porque se puede utilizar para formar un espacio topológico y un modelo para el tipo de homotopy del set de las clases de homotopy de mapas

${displaystyle pi (X,Y)={[f]:Xto Y alivef{text{ is a homotopy class}}}}$

Esto es porque ${displaystyle pi (X,Y)}$ es el conjunto de componentes de la ruta en ${displaystyle C(X,Y)}$, es decir, hay un isomorfismo de conjuntos

${displaystyle pi (X,Y)to C(I,C(X,Y))/sim }$

Donde ${displaystyle sim }$ es la equivalencia homotopy.

Funciones diferenciables de Fréchet

Sean X y Y< /span> sean dos espacios de Banach definidos sobre el mismo campo y sean C^m(U, < i>Y) denota el conjunto de todas las funciones m-continuamente diferenciables por Fréchet desde el principio subconjunto U ⊆ X a Y. La topología compacta-abierta es la topología inicial inducida por las seminormas.

${displaystyle p_{K}(f)=sup left{left WordPressD^{j}f(x)derechaderechaderecha:in K,0leq jleq mderecha}$

donde D⁰ f (x) =   f (x), para cada subconjunto compacto K ⊆ U< /lapso>.