Teoría del haz de Euler-Bernoulli

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Método para cálculo de carga en construcción

Este rayo de vidrio vibratorio puede ser modelado como un haz de cañón con aceleración, densidad lineal variable, módulo de sección variable, algún tipo de disipación, carga final primaveral, y posiblemente una masa de punto en el extremo libre.

teoría de haces de Euler-Bernoulli (también conocida como teoría de haces de ingeniero o teoría de haces clásica) es una simplificación de la Teoría lineal de la elasticidad que proporciona un medio para calcular las características de carga y deflexión de las vigas. Cubre el caso correspondiente a pequeñas deflexiones de una viga que está sometida únicamente a cargas laterales. Al ignorar los efectos de la deformación por corte y la inercia rotatoria, se trata de un caso especial de la teoría de vigas de Timoshenko-Ehrenfest. Se enunció por primera vez alrededor de 1750, pero no se aplicó a gran escala hasta el desarrollo de la Torre Eiffel y la noria a finales del siglo XIX. Tras estas demostraciones exitosas, rápidamente se convirtió en una piedra angular de la ingeniería y en un facilitador de la Segunda Revolución Industrial.

Se han desarrollado modelos matemáticos adicionales, como la teoría de placas, pero la simplicidad de la teoría de vigas la convierte en una herramienta importante en las ciencias, especialmente en la ingeniería estructural y mecánica.

Historia

Prevailing consensus is that Galileo Galilei made the first attempts at developing a theory of rayos, but recent studies argue that Leonardo da Vinci was the first to make the crucial observations. Da Vinci carecía de la ley y el cálculo de Hooke para completar la teoría, mientras que Galileo fue retenido por una suposición incorrecta que él hizo.

El haz de Bernoulli es nombrado por Jacob Bernoulli, quien hizo los descubrimientos significativos. Leonhard Euler y Daniel Bernoulli fueron los primeros en armar una teoría útil alrededor de 1750.

Ecuación de viga estática

La ecuación de Euler-Bernoulli describe la relación entre la deflexión de la viga y la carga aplicada:

${displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} x^{2}}}left(EI{frac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}right)=q,}$

La curva ${displaystyle w(x)}$ describe la deflexión del haz en el ${displaystyle z}$ dirección en alguna posición ${displaystyle x}$ (reconozca que la viga es modelada como un objeto unidimensional). ${displaystyle q}$ es una carga distribuida, en otras palabras una fuerza por longitud de unidad (análoga a la presión ser una fuerza por área); puede ser una función de ${displaystyle x}$ , ${displaystyle w}$ , u otras variables. ${displaystyle E}$ es el módulo elástico y ${displaystyle I}$ es el segundo momento de área de la sección transversal del haz. ${displaystyle I}$ debe calcularse con respecto al eje perpendicular a la carga aplicada. Explícitamente, para un rayo cuyo eje está orientado a lo largo ${displaystyle x}$ con una carga ${displaystyle z}$ , la sección transversal de la viga está en ${displaystyle yz}$ plano, y el segundo momento relevante de área es

{displaystyle I=iint z^{2};dy;dz,}

donde se supone que el centroide de la sección de la cruz ocurre en ${displaystyle y=z=0}$ .

A menudo, el producto ${displaystyle EI}$ (conocido como la rigidez flexural) es una constante, de modo que

{displaystyle EI{frac {mathrm {d} ^{4}w}{mathrm {d} x^{4}}}=q(x).,}

Esta ecuación, describiendo la deflexión de un haz uniforme y estático, se utiliza ampliamente en la práctica de ingeniería. Expresiones tabuladas para la deflexión ${displaystyle w}$ para configuraciones de haz comunes se pueden encontrar en manuales de ingeniería. Para situaciones más complicadas, la deflexión puede determinarse resolviendo la ecuación Euler-Bernoulli usando técnicas como "intección directa", "método de área de movimiento", "método de haz conjugado", "el principio del trabajo virtual", "método de Castigo", "método de flexibilidad", "método de desflexión de pendiente", "método de distribución de memoria", o "método de rigidez directa".

Las convenciones de signos se definen aquí ya que se pueden encontrar diferentes convenciones en la literatura. En este artículo se utiliza un sistema de coordenadas con la mano derecha ${displaystyle x}$ eje a la derecha, el ${displaystyle z}$ eje apuntando hacia arriba, y el ${displaystyle y}$ eje apuntando a la figura. El signo del momento de flexión ${displaystyle M}$ se toma como positivo cuando el vector del par asociado con el momento de flexión en el lado derecho de la sección está en el positivo ${displaystyle y}$ dirección, es decir, un valor positivo ${displaystyle M}$ produce estrés compresivo en la superficie inferior. Con esta elección de convención de firma de momento de curvatura, para tener ${displaystyle dM=Qdx}$ , es necesario que la fuerza de corte ${displaystyle Q}$ actuar en el lado derecho de la sección ser positivo en el ${displaystyle z}$ dirección para lograr el equilibrio estático de los momentos. Si la intensidad de carga ${displaystyle q}$ se toma positiva en el positivo ${displaystyle z}$ dirección, entonces ${displaystyle dQ=-qdx}$ es necesario para el equilibrio de fuerza.

Derivados sucesivos de la deflexión ${displaystyle w}$ tienen significados físicos importantes: ${displaystyle dw/dx}$ es la pendiente de la viga, que es el ángulo anti-auricular de la rotación sobre el ${displaystyle y}$ -eje en el límite de pequeños desplazamientos;

{displaystyle M=-EI{frac {d^{2}w}{dx^{2}}}}

es el momento flector en la viga; y

{displaystyle Q=-{frac {d}{dx}}left(EI{frac {d^{2}w}{dx^{2}}}right)}

es la fuerza cortante en la viga.

Las tensiones en una viga se pueden calcular a partir de las expresiones anteriores después de que se haya determinado la deflexión debida a una carga determinada.

Derivación de la ecuación de flexión

Debido a la importancia fundamental de la ecuación de momento de curvatura en la ingeniería, proporcionaremos una derivación corta. Cambiaremos a coordenadas polares. La longitud del eje neutral en la figura es ${displaystyle rho dtheta.}$ La longitud de una fibra con una distancia radial ${displaystyle z}$ debajo del eje neutral ${displaystyle (rho +z)dtheta.}$ Por lo tanto, la cepa de esta fibra es

{displaystyle {frac {left(rho +z-rho right) dtheta }{rho dtheta }}={frac {z}{rho }}.}

El estrés de esta fibra es ${displaystyle E{dfrac {z}{rho }}}$ Donde ${displaystyle E}$ es el módulo elástico de acuerdo con la Ley de Hooke. El vector de fuerza diferencial, ${displaystyle dmathbf {F}}$ resultante de este estrés es dado por,

{displaystyle dmathbf {F} =E{frac {z}{rho }}dAmathbf {e_{x}}.}

Este es el vector de fuerza diferencial ejercido en el lado derecho de la sección mostrada en la figura. Sabemos que está en el ${displaystyle mathbf {e_{x}} }$ dirección ya que la figura muestra claramente que las fibras en la mitad inferior están en tensión. ${displaystyle dA}$ es el elemento diferencial del área en la ubicación de la fibra. El vector de momento de curvatura diferencial, ${displaystyle dmathbf {M} }$ asociado con ${displaystyle dmathbf {F} }$ es dado por

{displaystyle dmathbf {M} =-zmathbf {e_{z}} times dmathbf {F} =-mathbf {e_{y}} E{frac {z^{2}}{rho }}dA.}

Esta expresión es válida para las fibras de la mitad inferior del haz. La expresión de las fibras en la mitad superior del haz será similar excepto que el vector del brazo del momento estará en el positivo ${displaystyle z}$ dirección y el vector de fuerza estará en el ${displaystyle -x}$ dirección ya que las fibras superiores están en compresión. Pero el vector de momento de curvado resultante aún estará en el ${displaystyle -y}$ dirección desde ${displaystyle mathbf {e_{z}} times -mathbf {e_{x}} =-mathbf {e_{y}}.}$ Por lo tanto, nos integramos en toda la sección de la cruz del haz y conseguir para ${displaystyle mathbf {M} }$ el vector de momento de flexión ejercido en la sección de la cruz derecha del rayo la expresión

{displaystyle mathbf {M} =int dmathbf {M} =-mathbf {e_{y}} {frac {E}{rho }}int {z^{2}} dA=-mathbf {e_{y}} {frac {EI}{rho }},}

Donde ${displaystyle I}$ es el segundo momento de la zona. De cálculo, lo sabemos cuando ${displaystyle {dfrac {dw}{dx}}}$ es pequeño, ya que es para un haz Euler-Bernoulli, podemos hacer la aproximación ${displaystyle {dfrac {1}{rho }}simeq {dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}}$ , donde ${displaystyle rho }$ es el radio de curvatura. Por lo tanto,

{displaystyle mathbf {M} =-mathbf {e_{y}} EI{d^{2}w over dx^{2}}.}

Esta ecuación vectorial se puede separar en la definición de vectores de la unidad de flexión ${displaystyle M}$ está orientado como ${displaystyle mathbf {e_{y}} }$ ), y en la ecuación de flexión:

{displaystyle M=-EI{d^{2}w over dx^{2}}.}

Ecuación dinámica del haz

La ecuación del haz dinámico es la ecuación de Euler-Lagrange para la siguiente acción

{displaystyle S=int _{t_{1}}^{t_{2}}int _{0}^{L}left[{frac {1}{2}}mu left({frac {partial w}{partial t}}right)^{2}-{frac {1}{2}}EIleft({frac {partial ^{2}w}{partial x^{2}}}right)^{2}+q(x)w(x,t)right]dxdt.}

El primer término representa la energía cinética donde ${displaystyle mu }$ es la masa por unidad longitud, el segundo término representa la energía potencial debido a las fuerzas internas (cuando se considera con un signo negativo), y el tercer término representa la energía potencial debido a la carga externa ${displaystyle q(x)}$ . La ecuación Euler-Lagrange se utiliza para determinar la función que minimiza el funcionamiento ${displaystyle S}$ . Para un haz dinámico Euler–Bernoulli, la ecuación Euler–Lagrange es

${displaystyle {cfrac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}left(EI{cfrac {partial ^{2}w}{partial x^{2}}}right)=-mu {cfrac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}+q(x).}$

Derivación de la ecuación Euler-Lagrange para vigas

Desde la Grangia

{displaystyle {mathcal {L}}:={tfrac {1}{2}}mu left({frac {partial w}{partial t}}right)^{2}-{tfrac {1}{2}}EIleft({frac {partial ^{2}w}{partial x^{2}}}right)^{2}+q(x)w(x,t)={tfrac {mu }{2}}{dot {w}}^{2}-{tfrac {EI}{2}}w_{xx}^{2}+qwequiv {mathcal {L}}(x,t,w,{dot {w}},w_{xx})}

la ecuación correspondiente Euler-Lagrange es

{displaystyle {cfrac {partial {mathcal {L}}}{partial w}}-{frac {partial }{partial t}}left({frac {partial {mathcal {L}}}{partial {dot {w}}}}right)+{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}left({frac {partial {mathcal {L}}}{partial w_{xx}}}right)=0}

Ahora,

{displaystyle {cfrac {partial {mathcal {L}}}{partial w}}=q~;~~{frac {partial {mathcal {L}}}{partial {dot {w}}}}=mu {dot {w}}~;~~{frac {partial {mathcal {L}}}{partial w_{xx}}}=-EIw_{xx}~.}

Enchufar la ecuación Euler-Lagrange da

{displaystyle q-mu {ddot {w}}-(EIw_{xx})_{xx}=0}

{displaystyle {cfrac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}left(EI{cfrac {partial ^{2}w}{partial x^{2}}}right)=-mu {cfrac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}+q}

que es la ecuación rectora de la dinámica de un haz Euler–Bernoulli.

Cuando el haz es homogéneo, ${displaystyle E}$ y ${displaystyle I}$ son independientes de ${displaystyle x}$ , y la ecuación del haz es más simple:

{displaystyle EI{cfrac {partial ^{4}w}{partial x^{4}}}=-mu {cfrac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}+q,.}

Vibración libre

En ausencia de una carga transversal, ${displaystyle q}$ , tenemos el vibración libre ecuación. Esta ecuación se puede resolver utilizando una descomposición Fourier del desplazamiento en la suma de vibraciones armónicas de la forma

{displaystyle w(x,t)={text{Re}}[{hat {w}}(x)~e^{-iomega t}]}

Donde ${displaystyle omega }$ es la frecuencia de la vibración. Entonces, por cada valor de frecuencia, podemos resolver una ecuación diferencial ordinaria

{displaystyle EI~{cfrac {mathrm {d} ^{4}{hat {w}}}{mathrm {d} x^{4}}}-mu omega ^{2}{hat {w}}=0,.}

La solución general de la ecuación anterior es

{displaystyle {hat {w}}=A_{1}cosh(beta x)+A_{2}sinh(beta x)+A_{3}cos(beta x)+A_{4}sin(beta x)quad {text{with}}quad beta:=left({frac {mu omega ^{2}}{EI}}right)^{1/4}}

Donde ${displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$ son constantes. Estas constantes son únicas para un determinado conjunto de condiciones de límites. Sin embargo, la solución para el desplazamiento no es única y depende de la frecuencia. Estas soluciones se escriben típicamente

{displaystyle {hat {w}}_{n}=A_{1}cosh(beta _{n}x)+A_{2}sinh(beta _{n}x)+A_{3}cos(beta _{n}x)+A_{4}sin(beta _{n}x)quad {text{with}}quad beta _{n}:=left({frac {mu omega _{n}^{2}}{EI}}right)^{1/4},.}

Las cantidades ${displaystyle omega _{n}}$ son llamados frecuencias naturales de la viga. Cada una de las soluciones de desplazamiento se llama modo, y la forma de la curva de desplazamiento se llama un Modo de forma.

Ejemplo: viga en voladizo

Formas de modo para los primeros cuatro modos de un haz vibrador de dosel.

Las condiciones de los límites para un haz de longitud voluminoso ${displaystyle L}$ (Fixed at ${displaystyle x=0}$ )

{displaystyle {begin{aligned}&{hat {w}}_{n}=0~,~~{frac {d{hat {w}}_{n}}{dx}}=0quad {text{at}}~~x=0\&{frac {d^{2}{hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{frac {d^{3}{hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0quad {text{at}}~~x=L,.end{aligned}}}

Si aplicamos estas condiciones, se encuentran soluciones no-triviales solamente si ${displaystyle cosh(beta _{n}L),cos(beta _{n}L)+1=0,.}$ Esta ecuación no lineal se puede resolver numéricamente. Las primeras cuatro raíces son ${displaystyle beta _{1}L=0.596864pi }$ , ${displaystyle beta _{2}L=1.49418pi }$ , ${displaystyle beta _{3}L=2.50025pi }$ , y ${displaystyle beta _{4}L=3.49999pi }$ .

Las frecuencias naturales correspondientes de vibración son

{displaystyle omega _{1}=beta _{1}^{2}{sqrt {frac {EI}{mu }}}={frac {3.5160}{L^{2}}}{sqrt {frac {EI}{mu }}}~,~~dots }

Las condiciones de contorno también se pueden utilizar para determinar las formas modales a partir de la solución para el desplazamiento:

{displaystyle {hat {w}}_{n}=A_{1}left[(cosh beta _{n}x-cos beta _{n}x)+{frac {cos beta _{n}L+cosh beta _{n}L}{sin beta _{n}L+sinh beta _{n}L}}(sin beta _{n}x-sinh beta _{n}x)right]}

La constante desconocida (realmente constantes como hay uno para cada uno ${displaystyle n}$ ), ${displaystyle A_{1}}$ , que en general es complejo, se determina por las condiciones iniciales en ${displaystyle t=0}$ sobre la velocidad y desplazamientos del rayo. Típicamente un valor ${displaystyle A_{1}=1}$ se utiliza cuando formas de modo de trama. Las soluciones al problema forzado sin trabas tienen desplazamientos sin límites cuando la frecuencia de conducción coincide con una frecuencia natural ${displaystyle omega _{n}}$ , es decir, el rayo puede resonate. Por lo tanto, las frecuencias naturales de un rayo corresponden a las frecuencias en las que resonancia puede ocurrir.

Ejemplo: viga libre-libre (sin apoyo)

Los primeros cuatro modos de un haz Euler-Bernoulli libre de vibración.

Un haz libre es un haz sin soportes. Las condiciones de los límites para un rayo de longitud libre ${displaystyle L}$ desde ${displaystyle x=0}$ a ${displaystyle x=L}$ son dados por:

{displaystyle {frac {d^{2}{hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{frac {d^{3}{hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0quad {text{at}}~~x=0,{text{and}},x=L,.}

Si aplicamos estas condiciones, se encontrará que existen soluciones no triviales sólo si

${displaystyle cosh(beta _{n}L),cos(beta _{n}L)-1=0,.}$

Esta ecuación no lineal se puede resolver numéricamente. Las primeras cuatro raíces son ${displaystyle beta _{1}L=1.50562pi }$ , ${displaystyle beta _{2}L=2.49975pi }$ , ${displaystyle beta _{3}L=3.50001pi }$ , y ${displaystyle beta _{4}L=4.50000pi }$ .

Las correspondientes frecuencias naturales de vibración son:

{displaystyle omega _{1}=beta _{1}^{2}{sqrt {frac {EI}{mu }}}={frac {22.3733}{L^{2}}}{sqrt {frac {EI}{mu }}}~,~~dots }

Las condiciones de contorno también se pueden utilizar para determinar las formas modales a partir de la solución para el desplazamiento:

{displaystyle {hat {w}}_{n}=A_{1}{Bigl [}(cos beta _{n}x+cosh beta _{n}x)-{frac {cos beta _{n}L-cosh beta _{n}L}{sin beta _{n}L-sinh beta _{n}L}}(sin beta _{n}x+sinh beta _{n}x){Bigr ]}}

Al igual que con el haz acantilado, las constantes desconocidas se determinan por las condiciones iniciales en ${displaystyle t=0}$ sobre la velocidad y desplazamientos del rayo. Además, las soluciones al problema forzado sin humedad tienen desplazamientos sin límites cuando la frecuencia de conducción coincide con una frecuencia natural ${displaystyle omega _{n}}$ .

Estrés

Además de la deflexión, la ecuación de la viga describe fuerzas y momentos y, por lo tanto, puede usarse para describir tensiones. Por esta razón, la ecuación de vigas de Euler-Bernoulli se usa ampliamente en ingeniería, especialmente civil y mecánica, para determinar la resistencia (así como la deflexión) de vigas sometidas a flexión.

Tanto el momento flector como la fuerza cortante provocan tensiones en la viga. El esfuerzo debido a la fuerza cortante es máximo a lo largo del eje neutro de la viga (cuando el ancho de la viga, t, es constante a lo largo de la sección transversal de la viga; de lo contrario, se obtiene una integral que involucra el primer momento y el ancho de la viga). debe evaluarse para la sección transversal particular), y el esfuerzo de tracción máximo se encuentra en la superficie superior o inferior. Por tanto, el esfuerzo principal máximo en la viga puede no estar ni en la superficie ni en el centro, sino en algún área general. Sin embargo, las tensiones de fuerza cortante son insignificantes en comparación con las tensiones de momento flector en todas las vigas excepto en las más robustas, además del hecho de que las concentraciones de tensión comúnmente ocurren en las superficies, lo que significa que es probable que la tensión máxima en una viga esté en la superficie.

Doblado simple o simétrico

Elemento de un haz doblado: las fibras forman arcos concéntricos, las fibras superiores son comprimidos y las fibras inferiores estiradas.

Para secciones transversales de vigas que son simétricas con respecto a un plano perpendicular al plano neutro, se puede demostrar que el esfuerzo de tracción experimentado por la viga se puede expresar como:

{displaystyle sigma ={frac {Mz}{I}}=-zE~{frac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}.,}

Aquí, ${displaystyle z}$ es la distancia del eje neutral a un punto de interés; y ${displaystyle M}$ es el momento de doblar. Tenga en cuenta que esta ecuación implica que la flexión pura (de signo positivo) causará cero estrés en el eje neutro, el estrés positivo (tensilios) en la parte superior del haz, y el estrés negativo (compresivo) en la parte inferior del haz; y también implica que el máximo estrés estará en la superficie superior y el mínimo en la parte inferior. Este estrés de flexión puede superponerse con tensiones aplicadas axialmente, lo que causará un cambio en el eje neutral (estres cero).

Esfuerzos máximos en una sección transversal

Cuantidades utilizadas en la definición del módulo de sección de un haz.

El máximo estrés de la tracción en una sección transversal está en la ubicación ${displaystyle z=c_{1}}$ y el máximo estrés compresivo está en la ubicación ${displaystyle z=-c_{2}}$ donde la altura de la sección transversal es ${displaystyle h=c_{1}+c_{2}}$ . Estas tensiones son

{displaystyle sigma _{1}={cfrac {Mc_{1}}{I}}={cfrac {M}{S_{1}}}~;~~sigma _{2}=-{cfrac {Mc_{2}}{I}}=-{cfrac {M}{S_{2}}}}

Las cantidades ${displaystyle S_{1},S_{2}}$ son la sección moduli y se definen como

{displaystyle S_{1}={cfrac {I}{c_{1}}}~;~~S_{2}={cfrac {I}{c_{2}}}}

El módulo de sección combina toda la información geométrica importante sobre la sección de un haz en una cantidad. Para el caso en que un rayo es doblemente simétrico, ${displaystyle c_{1}=c_{2}}$ y tenemos un módulo de sección ${displaystyle S=I/c}$ .

Deformación en una viga de Euler-Bernoulli

Necesitamos una expresión para la tensión en términos de la deflexión de la superficie neutral para relacionar las tensiones en un haz Euler-Bernoulli con la deflexión. Para obtener esa expresión usamos la suposición de que las normales a la superficie neutra permanecen normales durante la deformación y que las deflecciones son pequeñas. Estas suposiciones implican que el haz se dobla en un arco de un círculo de radio ${displaystyle rho }$ (ver Figura 1) y que la superficie neutral no cambia de longitud durante la deformación.

Vamos. ${displaystyle mathrm {d} x}$ ser la longitud de un elemento de la superficie neutral en el estado no deformado. Para pequeñas deflecciones, el elemento no cambia su longitud después de doblarse sino deforma en un arco de un círculo de radio ${displaystyle rho }$ . Si ${displaystyle mathrm {d} theta }$ es el ángulo subtended por este arco, entonces ${displaystyle mathrm {d} x=rho ~mathrm {d} theta }$ .

Consideremos ahora otro segmento del elemento a distancia ${displaystyle z}$ sobre la superficie neutral. La longitud inicial de este elemento es ${displaystyle mathrm {d} x}$ . Sin embargo, después de doblar, la longitud del elemento se convierte ${displaystyle mathrm {d} x'=(rho -z)~mathrm {d} theta =mathrm {d} x-z~mathrm {d} theta }$ . La cepa en ese segmento del haz es dada por

{displaystyle varepsilon _{x}={cfrac {mathrm {d} x'-mathrm {d} x}{mathrm {d} x}}=-{cfrac {z}{rho }}=-kappa ~z}

Donde ${displaystyle kappa }$ es la curvatura de la viga. Esto nos da la tensión axial en el haz como una función de distancia de la superficie neutral. Sin embargo, todavía necesitamos encontrar una relación entre el radio de curvatura y la deflexión del haz ${displaystyle w}$ .

Relación entre curvatura y deflexión del haz

Dejar P ser un punto en la superficie neutral del haz a una distancia ${displaystyle x}$ del origen del ${displaystyle (x,z)}$ sistema de coordenadas. La pendiente de la viga es aproximadamente igual al ángulo hecho por la superficie neutral con la ${displaystyle x}$ -eje para los pequeños ángulos encontrados en la teoría del haz. Por lo tanto, con esta aproximación,

{displaystyle theta (x)={cfrac {mathrm {d} w}{mathrm {d} x}}}

Por lo tanto, para un elemento infinitesimal ${displaystyle mathrm {d} x}$ , la relación ${displaystyle mathrm {d} x=rho ~mathrm {d} theta }$ puede ser escrito como

{displaystyle {cfrac {1}{rho }}={cfrac {mathrm {d} theta }{mathrm {d} x}}={cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}=kappa }

Por lo tanto, la deformación en la viga se puede expresar como

{displaystyle varepsilon _{x}=-zkappa }

Relaciones estrés-tensión

Para un material elástico lineal isotrópico homogéneo, el estrés está relacionado con la tensión por ${displaystyle sigma =Evarepsilon }$ , donde ${displaystyle E}$ es el módulo de Young. Por lo tanto, el estrés en un haz Euler-Bernoulli es dado por

{displaystyle sigma _{x}=-zE{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}}

Tenga en cuenta que la relación anterior, en comparación con la relación entre el esfuerzo axial y el momento flector, conduce a

{displaystyle M=-EI{cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}}

Puesto que la fuerza de la cizaña es dada por ${displaystyle Q=mathrm {d} M/mathrm {d} x}$ , también tenemos

{displaystyle Q=-EI{cfrac {mathrm {d} ^{3}w}{mathrm {d} x^{3}}}}

Consideraciones de límites

La ecuación del haz contiene un derivado de cuarto orden en ${displaystyle x}$ . Para encontrar una solución única ${displaystyle w(x,t)}$ Necesitamos cuatro condiciones límite. Las condiciones de frontera suelen modelar soportes, pero también pueden modelar cargas de puntos, cargas distribuidas y momentos. El Apoyo o las condiciones límite de desplazamiento se utilizan para fijar valores de desplazamiento ( ${displaystyle w}$ ) y rotaciones ( ${displaystyle mathrm {d} w/mathrm {d} x}$ ) en el límite. Tales condiciones de frontera también se llaman condiciones de límites Dirichlet. Las condiciones de carga y límite de momento implican derivados superiores de ${displaystyle w}$ y representan el flujo de impulso. Las condiciones de límites de flujo también se llaman condiciones de límites de Neumann.

Como ejemplo, considere una viga en voladizo que está incorporada en un extremo y libre en el otro, como se muestra en la figura adyacente. En el extremo incorporado de la viga no puede haber ningún desplazamiento o rotación de la viga. Esto significa que en el extremo izquierdo tanto la deflexión como la pendiente son cero. Como no se aplica ningún momento flector externo en el extremo libre de la viga, el momento flector en ese lugar es cero. Además, si no se aplica ninguna fuerza externa a la viga, la fuerza cortante en el extremo libre también es cero.

Tomando el ${displaystyle x}$ coordinación del extremo izquierdo como ${displaystyle 0}$ y el final derecho como ${displaystyle L}$ (la longitud de la viga), estas declaraciones se traducen en el siguiente conjunto de condiciones de límite (asumen ${displaystyle EI}$ es una constante:

{displaystyle w|_{x=0}=0quad;quad {frac {partial w}{partial x}}{bigg |}_{x=0}=0qquad {mbox{(fixed end)}},}

{displaystyle {frac {partial ^{2}w}{partial x^{2}}}{bigg |}_{x=L}=0quad;quad {frac {partial ^{3}w}{partial x^{3}}}{bigg |}_{x=L}=0qquad {mbox{(free end)}},}

Un soporte simple (pin o rodillo) es equivalente a una fuerza de punto en la viga que se ajusta de tal manera que fijar la posición de la viga en ese punto. Un soporte fijo o pinza, es equivalente a la combinación de una fuerza de punto y un par de puntos que se ajusta de tal manera que fijar tanto la posición como la pendiente de la viga en ese punto. Las fuerzas y torques de puntos, ya sea desde soportes o directamente aplicados, dividirán un haz en un conjunto de segmentos, entre los cuales la ecuación de haz producirá una solución continua, dadas cuatro condiciones de límite, dos en cada extremo del segmento. Suponiendo que el producto EI es una constante, y definir ${displaystyle lambda =F/EI}$ Donde F es la magnitud de una fuerza de punto, y ${displaystyle tau =M/EI}$ Donde M es la magnitud de un par de puntos, las condiciones de límite apropiadas para algunos casos comunes se dan en el cuadro siguiente. El cambio en un derivado particular de w a través de la frontera x los aumentos se denotan ${displaystyle Delta }$ seguido por ese derivado. Por ejemplo, ${displaystyle Delta w''=w''(x+)-w''(x-)}$ Donde ${displaystyle w''(x+)}$ es el valor de ${displaystyle w''}$ en el límite inferior del segmento superior, mientras ${displaystyle w''(x-)}$ es el valor de ${displaystyle w''}$ en el límite superior del segmento inferior. Cuando los valores del derivado particular no sólo son continuos a través del límite, sino también fijos, la condición de límite se escribe por ejemplo, ${displaystyle Delta w''=0^{*}}$ que en realidad constituye dos ecuaciones separadas (por ejemplo, ${displaystyle w''(x-)=w''(x+)}$ = fijo).

Boundary	${displaystyle w'''}$	${displaystyle w''}$	${displaystyle w'}$	${displaystyle w}$
Clamp			${displaystyle Delta w'=0^{*}}$	${displaystyle Delta w=0^{*}}$
Apoyo sencillo		${displaystyle Delta w''=0}$	${displaystyle Delta w'=0}$	${displaystyle Delta w=0^{*}}$
Fuerza de punta	${displaystyle Delta w'''=lambda }$	${displaystyle Delta w''=0}$	${displaystyle Delta w'=0}$	${displaystyle Delta w=0}$
Punto torque	${displaystyle Delta w'''=0}$	${displaystyle Delta w''=tau }$	${displaystyle Delta w'=0}$	${displaystyle Delta w=0}$
Final libre	${displaystyle w'''=0}$	${displaystyle w''=0}$
Abrazadera al final			${displaystyle w'}$ fijo	${displaystyle w}$ fijo
Acabado simplemente apoyado		${displaystyle w''=0}$		${displaystyle w}$ fijo
Fuerza de punta al final	${displaystyle w'''=pm lambda }$	${displaystyle w''=0}$
Punto de par al final	${displaystyle w'''=0}$	${displaystyle w''=pm tau }$

Observe que en los primeros casos, en los que las fuerzas puntuales y los momentos de torsión se ubican entre dos segmentos, existen cuatro condiciones de contorno, dos para el segmento inferior y dos para el superior. Cuando se aplican fuerzas y momentos de torsión a un extremo de la viga, se dan dos condiciones de contorno que se aplican en ese extremo. El signo de las fuerzas puntuales y los momentos de torsión en un extremo será positivo para el extremo inferior y negativo para el extremo superior.

Consideraciones de carga

Las cargas aplicadas pueden ser representadas a través de condiciones de límites o a través de la función ${displaystyle q(x,t)}$ que representa una carga externa distribuida. Usar carga distribuida es a menudo favorable para la simplicidad. Sin embargo, las condiciones monetarias se utilizan a menudo para modelar cargas dependiendo del contexto; esta práctica es especialmente común en el análisis de vibraciones.

Por naturaleza, la carga distribuida es muy a menudo representada de una manera manual, ya que en la práctica una carga no suele ser una función continua. Las cargas de puntos se pueden modelar con ayuda de la función Dirac delta. Por ejemplo, considere un haz de la longitud del cantilver uniforme estático ${displaystyle L}$ con una carga de punto ascendente ${displaystyle F}$ aplicado en el extremo libre. Utilizando condiciones de límites, esto puede ser modelado de dos maneras. En el primer enfoque, la carga de punto aplicada se aproxima por una fuerza de corte aplicada en el extremo libre. En ese caso, las condiciones de ecuación y límite de gobierno son:

{displaystyle {begin{aligned}&EI{frac {mathrm {d} ^{4}w}{mathrm {d} x^{4}}}=0\&w|_{x=0}=0quad;quad {frac {mathrm {d} w}{mathrm {d} x}}{bigg |}_{x=0}=0quad;quad {frac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}{bigg |}_{x=L}=0quad;quad -EI{frac {mathrm {d} ^{3}w}{mathrm {d} x^{3}}}{bigg |}_{x=L}=F,end{aligned}}}

Alternativamente, podemos representar la carga puntual como una distribución usando la función de Dirac. En ese caso la ecuación y las condiciones de contorno son

{displaystyle {begin{aligned}&EI{frac {mathrm {d} ^{4}w}{mathrm {d} x^{4}}}=Fdelta (x-L)\&w|_{x=0}=0quad;quad {frac {mathrm {d} w}{mathrm {d} x}}{bigg |}_{x=0}=0quad;quad {frac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}{bigg |}_{x=L}=0,end{aligned}}}

Tenga en cuenta que se elimina la condición de frontera de la fuerza cortante (tercera derivada); de lo contrario, habría una contradicción. Estos son problemas de valores en la frontera equivalentes y ambos producen la solución.

{displaystyle w={frac {F}{6EI}}(3Lx^{2}-x^{3}),~.}

La aplicación de varias cargas de puntos en diferentes ubicaciones conducirá a ${displaystyle w(x)}$ ser una función simple. El uso de la función Dirac simplifica grandemente tales situaciones; de lo contrario el haz tendría que dividirse en secciones, cada una con cuatro condiciones de límite resueltos por separado. Una familia bien organizada de funciones llamadas funciones de Singularidad se utilizan a menudo como un cortocircuito para la función Dirac, su derivativo, y sus antiderivados.

Los fenómenos dinámicos también se pueden modelar utilizando la ecuación de viga estática eligiendo formas apropiadas de distribución de carga. Como ejemplo, la vibración libre de una viga se puede explicar utilizando la función de carga:

{displaystyle q(x,t)=mu {frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}},}

Donde ${displaystyle mu }$ es la densidad de masa lineal de la viga, no necesariamente una constante. Con esta carga dependiente del tiempo, la ecuación del haz será una ecuación diferencial parcial:

{displaystyle {frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}left(EI{frac {partial ^{2}w}{partial x^{2}}}right)=-mu {frac {partial ^{2}w}{partial t^{2}}}.}

Otro ejemplo interesante describe la deflexión de un rayo girando con una frecuencia angular constante ${displaystyle omega }$ :

{displaystyle q(x)=mu omega ^{2}w(x),}

Esta es una distribución de la fuerza centrípeta. Tenga en cuenta que en este caso, ${displaystyle q}$ es una función del desplazamiento (la variable dependiente), y la ecuación del haz será una ecuación diferencial ordinaria autónoma.

Ejemplos

Doblado en tres puntos

La prueba de doblez de tres puntos es un experimento clásico en la mecánica. Representa el caso de una viga que descansa en dos soportes de rodillos y sujeta a una carga concentrada aplicada en el centro de la viga. El cobertizo es constante en valor absoluto: es la mitad de la carga central, P / 2. Cambia el signo en el medio del haz. El momento de flexión varía linealmente de un extremo, donde es 0, y el centro donde su valor absoluto es PL / 4, es donde el riesgo de ruptura es el más importante. La deformación de la viga es descrita por un polinomio de tercer grado sobre una viga media (la otra mitad simétrica). Los momentos de flexión ( ${displaystyle M}$ ), fuerzas de derrame ( ${displaystyle Q}$ ), y deflexiones ( ${displaystyle w}$ ) para una viga sujeta a una carga de punto central y una carga de punto asimétrico se dan en la tabla de abajo.

Distribución	Valor máximo.
Viga sencillamente soportada con carga central
$<math alttext="{displaystyle M(x)={begin{cases}{frac {Px}{2}},&{mbox{for }}0leq xleq {tfrac {L}{2}}\{frac {P(L-x)}{2}},&{mbox{for }}{tfrac {L}{2}}M()x)={}Px2,para 0≤ ≤ x≤ ≤ L2P()L− − x)2,para L2c)x≤ ≤ L{displaystyle M(x)={begin{cases}{frac {Px}{2}}, ventaja{mbox{for }0leq xleq {tfrac} {L}{2}\\\\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicroc} {fnMicroc}} {fnMicroc}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}} {m}}} {cccc}}}}} {ccccccccccccccccccccccccccccH00ccH00ccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}cccH00cccH00}}}}}}}} {L}{2} Seguido Lend{cases}}<img alt="{displaystyle M(x)={begin{cases}{frac {Px}{2}},&{mbox{for }}0leq xleq {tfrac {L}{2}}\{frac {P(L-x)}{2}},&{mbox{for }}{tfrac {L}{2}}$	${displaystyle M_{L/2}={tfrac {PL}{4}}}$
$<math alttext="{displaystyle Q(x)={begin{cases}{frac {P}{2}},&{mbox{for }}0leq xleq {tfrac {L}{2}}\{frac {-P}{2}},&{mbox{for }}{tfrac {L}{2}}Q()x)={}P2,para 0≤ ≤ x≤ ≤ L2− − P2,para L2c)x≤ ≤ L{displaystyle Q(x)={begin{cases}{frac {P}{2}}, limit {mbox{for }0leq xleq {tfrac {L}{2}\\\fnMicroc {-P} {2}}, {mbox{for }{tfrac} {cH00}}} {L}{2} Seguido Lend{cases}}<img alt="{displaystyle Q(x)={begin{cases}{frac {P}{2}},&{mbox{for }}0leq xleq {tfrac {L}{2}}\{frac {-P}{2}},&{mbox{for }}{tfrac {L}{2}}$	${displaystyle \|Q_{0}\|=\|Q_{L}\|={tfrac {P}{2}}}$
$<math alttext="{displaystyle w(x)={begin{cases}-{frac {Px(4x^{2}-3L^{2})}{48EI}},&{mbox{for }}0leq xleq {tfrac {L}{2}}\{frac {P(x-L)(L^{2}-8Lx+4x^{2})}{48EI}},&{mbox{for }}{tfrac {L}{2}}w()x)={}− − Px()4x2− − 3L2)48EI,para 0≤ ≤ x≤ ≤ L2P()x− − L)()L2− − 8Lx+4x2)48EI,para L2c)x≤ ≤ L{displaystyle w(x)={begin{cases}-{frac {Px(4x^{2}-3L^{2})}{48EI}}, limit{mbox{for }0leq xleq {tfrac {L}{2}\\fnMicroc {P(x-L)(L^{2}-8Lx+4x^{2}}{48EI}}}}} {mbox{for }{tfrac}{tfrac}}}} {ccH00}}} {cH00}}}}} {ccH00}}}}}}}}}}}} {cccccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}ccccccccccccccccccH00ccH00cH00cH00ccH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cccH00cH00cH00}}}}}}c {L}{2} Seguido Lend{cases}}<img alt="{displaystyle w(x)={begin{cases}-{frac {Px(4x^{2}-3L^{2})}{48EI}},&{mbox{for }}0leq xleq {tfrac {L}{2}}\{frac {P(x-L)(L^{2}-8Lx+4x^{2})}{48EI}},&{mbox{for }}{tfrac {L}{2}}$	${displaystyle w_{L/2}={tfrac {PL^{3}}{48EI}}}$
Viga simplemente soportada con carga asimétrica
$<math alttext="{displaystyle M(x)={begin{cases}{tfrac {Pbx}{L}},&{mbox{for }}0leq xleq a\{tfrac {Pbx}{L}}-P(x-a)={tfrac {Pa(L-x)}{L}},&{mbox{for }}aM()x)={}PbxL,para 0≤ ≤ x≤ ≤ aPbxL− − P()x− − a)=Pa()L− − x)L,para ac)x≤ ≤ L{displaystyle M(x)={begin{cases}{tfrac {Pbx}{mbox{for }0leq xleq a{tfrac {Pbx} {L}}-P(x-a)={tfrac {Pa(L-x)}{L}}}} {mbox{for }}]a seccionxleq Lend{cases}}<img alt="{displaystyle M(x)={begin{cases}{tfrac {Pbx}{L}},&{mbox{for }}0leq xleq a\{tfrac {Pbx}{L}}-P(x-a)={tfrac {Pa(L-x)}{L}},&{mbox{for }}a$	${displaystyle M_{B}={tfrac {Pab}{L}}}$
$<math alttext="{displaystyle Q(x)={begin{cases}{tfrac {Pb}{L}},&{mbox{for }}0leq xleq a\{tfrac {Pb}{L}}-P,&{mbox{for }}aQ()x)={}PbL,para 0≤ ≤ x≤ ≤ aPbL− − P,para ac)x≤ ≤ L{displaystyle Q(x)={begin{cases}{tfrac {fnMicrosoft Sans Serif}0leq xleq a\\\\\cH00cH00} {fnMicrosoft Sans Serif}un hechoxleq Lend{cases}}<img alt="{displaystyle Q(x)={begin{cases}{tfrac {Pb}{L}},&{mbox{for }}0leq xleq a\{tfrac {Pb}{L}}-P,&{mbox{for }}a$	${displaystyle Q_{A}={tfrac {Pb}{L}}}$ ${displaystyle Q_{C}={tfrac {Pa}{L}}}$
$<math alttext="{displaystyle w(x)={begin{cases}{tfrac {Pbx(L^{2}-b^{2}-x^{2})}{6LEI}},&0leq xleq a\{tfrac {Pbx(L^{2}-b^{2}-x^{2})}{6LEI}}+{tfrac {P(x-a)^{3}}{6EI}},&aw()x)={}Pbx()L2− − b2− − x2)6LEI,0≤ ≤ x≤ ≤ aPbx()L2− − b2− − x2)6LEI+P()x− − a)36EI,ac)x≤ ≤ L{displaystyle w(x)={begin{cases}{tfrac [Pbx(L^{2}-b^{2}-x^{2}}{6LEI}} {0leq xleq a\{tfrac} {Pbx}+{2}-b^{2}-x^{2}}{6LEI}+{tfrac {P(x-a)^{3}{6EI}}, limitadaa traicionaxleq Lend{cases}}<img alt="{displaystyle w(x)={begin{cases}{tfrac {Pbx(L^{2}-b^{2}-x^{2})}{6LEI}},&0leq xleq a\{tfrac {Pbx(L^{2}-b^{2}-x^{2})}{6LEI}}+{tfrac {P(x-a)^{3}}{6EI}},&a$	${displaystyle w_{mathrm {max} }={tfrac {{sqrt {3}}Pb(L^{2}-b^{2})^{frac {3}{2}}}{27LEI}}}$ a ${displaystyle x={sqrt {tfrac {L^{2}-b^{2}}{3}}}}$

Vigas en voladizo

Otra clase importante de problemas implica vigas de cañón. Los momentos de flexión ( ${displaystyle M}$ ), fuerzas de derrame ( ${displaystyle Q}$ ), y deflexiones ( ${displaystyle w}$ ) para un haz de cañón sujeto a una carga de punto en el extremo libre y una carga distribuida uniformemente se dan en la tabla de abajo.

Distribución	Valor máximo.
Viga de cañón con carga final
${displaystyle M(x)=P(L-x)}$	${displaystyle M_{A}=PL}$
${displaystyle Q(x)=P}$	${displaystyle Q_{mathrm {max} }=P}$
${displaystyle w(x)={tfrac {Px^{2}(3L-x)}{6EI}}}$	${displaystyle w_{C}={tfrac {PL^{3}}{3EI}}}$
Viga de cañón con carga distribuida uniformemente
${displaystyle M(x)=-{tfrac {q(L^{2}-2Lx+x^{2})}{2}}}$	${displaystyle M_{A}={tfrac {qL^{2}}{2}}}$
${displaystyle Q(x)=q(L-x),}$	${displaystyle Q_{A}=qL}$
${displaystyle w(x)={tfrac {qx^{2}(6L^{2}-4Lx+x^{2})}{24EI}}}$	${displaystyle w_{C}={tfrac {qL^{4}}{8EI}}}$

Las soluciones para varias otras configuraciones comunes están disponibles en libros de texto sobre mecánica de materiales y manuales de ingeniería.

Vigas estáticamente indeterminadas

Los momentos flectores y las fuerzas cortantes en vigas Euler-Bernoulli a menudo se pueden determinar directamente utilizando el equilibrio estático de fuerzas y momentos. Sin embargo, para ciertas condiciones de contorno, el número de reacciones puede exceder el número de ecuaciones de equilibrio independientes. Estas vigas se denominan estáticamente indeterminadas.

Las vigas incorporadas que se muestran en la siguiente figura son estáticamente indeterminadas. Para determinar las tensiones y deflexiones de dichas vigas, el método más directo es resolver la ecuación de la viga de Euler-Bernoulli con condiciones de contorno apropiadas. Pero las soluciones analíticas directas de la ecuación del haz sólo son posibles en los casos más simples. Por lo tanto, a menudo se utilizan técnicas adicionales como la superposición lineal para resolver problemas de vigas estáticamente indeterminadas.

El método de superposición implica sumar las soluciones de una serie de problemas estáticamente determinados que se eligen de manera que las condiciones de contorno para la suma de los problemas individuales sumen las del problema original.

a) Carga distribuida de forma uniforme q.	b) Carga distribuida linealmente con máximo q₀
${displaystyle M_{mathrm {max} }={cfrac {qL^{2}}{12}}~;~~w_{mathrm {max} }={cfrac {qL^{4}}{384EI}}}$	${displaystyle M_{mathrm {max} }={cfrac {qL^{2}}{300}}[3{sqrt {30}}-10]~;~~w_{mathrm {max} }={cfrac {qL^{4}}{2500EI}}[75-7{sqrt {105}}]}$
c) Carga concentrada P	d) Momento M₀

Otro problema de vigas estáticamente indeterminadas que se encuentra comúnmente es la viga en voladizo con el extremo libre apoyado sobre un rodillo. Los momentos flectores, fuerzas cortantes y deflexiones de dicha viga se enumeran a continuación:

Distribución	Valor máximo.
${displaystyle M(x)=-{tfrac {q}{8}}(L^{2}-5Lx+4x^{2})}$	${displaystyle {begin{aligned}M_{B}&=-{tfrac {9qL^{2}}{128}}{mbox{ at }}x={tfrac {5L}{8}}\M_{A}&={tfrac {qL^{2}}{8}}end{aligned}}}$
${displaystyle Q(x)=-{tfrac {q}{8}}(8x-5L)}$	${displaystyle Q_{A}=-{tfrac {5qL}{8}}}$
${displaystyle w(x)={tfrac {qx^{2}}{48EI}}(3L^{2}-5Lx+2x^{2})}$	${displaystyle w_{mathrm {max} }={tfrac {(39+55{sqrt {33}})}{65,536}}{tfrac {qL^{4}}{EI}}{mbox{ at }}x={tfrac {15-{sqrt {33}}}{16}}L}$

Extensiones

Los supuestos cinemáticos en los que se basa la teoría del haz de Euler-Bernoulli permiten ampliarla a análisis más avanzados. La superposición simple permite una carga transversal tridimensional. El uso de ecuaciones constitutivas alternativas puede permitir la deformación de la viga viscoelástica o plástica. La teoría de vigas de Euler-Bernoulli también se puede ampliar al análisis de vigas curvas, pandeo de vigas, vigas compuestas y deflexión de vigas geométricamente no lineal.

La teoría del haz de Euler-Bernoulli no tiene en cuenta los efectos de la deformación por corte transversal. Como resultado, subestima las desviaciones y sobreestima las frecuencias naturales. Para vigas delgadas (relaciones entre longitud y espesor de la viga del orden de 20 o más), estos efectos son de menor importancia. Sin embargo, en el caso de vigas gruesas, estos efectos pueden ser significativos. Se han desarrollado teorías de haces más avanzadas, como la teoría del haz de Timoshenko (desarrollada por el científico de origen ruso Stephen Timoshenko), para explicar estos efectos.

Grandes desviaciones

La teoría original de Euler-Bernoulli es válida sólo para deformaciones infinitesimales y rotaciones pequeñas. La teoría se puede extender de manera sencilla a problemas que involucran rotaciones moderadamente grandes siempre que la deformación permanezca pequeña utilizando las deformaciones de von Kármán.

La hipótesis de Euler-Bernoulli de que las secciones planas permanecen planas y normales al eje de la viga conducen a desplazamientos de la forma

{displaystyle u_{1}=u_{0}(x)-z{cfrac {mathrm {d} w_{0}}{mathrm {d} x}}~;~~u_{2}=0~;~~u_{3}=w_{0}(x)}

Usando la definición de la cepa Lagrangian Green de la teoría de la cepa finita, podemos encontrar las cepas von Kármán para el haz que son válidas para grandes rotaciones pero pequeñas cepas descartando todos los términos de orden superior (que contienen más de dos campos) excepto ${displaystyle {frac {partial {w}}{partial {x^{i}}}}{frac {partial {w}}{partial {x^{j}}}}.}$ Las cepas resultantes toman el formulario:

{displaystyle {begin{aligned}varepsilon _{11}&={cfrac {mathrm {d} {u_{0}}}{mathrm {d} {x}}}-z{cfrac {mathrm {d} ^{2}{w_{0}}}{mathrm {d} {x^{2}}}}+{frac {1}{2}}left[left({cfrac {mathrm {d} u_{0}}{mathrm {d} x}}-z{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{0}}{mathrm {d} x^{2}}}right)^{2}+left({cfrac {mathrm {d} w_{0}}{mathrm {d} x}}right)^{2}right]approx {cfrac {mathrm {d} {u_{0}}}{mathrm {d} {x}}}-z{cfrac {mathrm {d} ^{2}{w_{0}}}{mathrm {d} {x^{2}}}}+{frac {1}{2}}left({frac {mathrm {d} {w_{0}}}{mathrm {d} {x}}}right)^{2}\[0.25em]varepsilon _{22}&=0\[0.25em]varepsilon _{33}&={frac {1}{2}}left({frac {mathrm {d} {w_{0}}}{mathrm {d} {x}}}right)^{2}\[0.25em]varepsilon _{23}&=0\[0.25em]varepsilon _{31}&=-{frac {1}{2}}left[left({cfrac {mathrm {d} u_{0}}{mathrm {d} x}}-z{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{0}}{mathrm {d} x^{2}}}right)left({cfrac {mathrm {d} w_{0}}{mathrm {d} x}}right)right]approx 0\[0.25em]varepsilon _{12}&=0.end{aligned}}}

Desde el principio del trabajo virtual, el equilibrio de fuerzas y momentos en las vigas nos da las ecuaciones de equilibrio

{displaystyle {begin{aligned}{cfrac {mathrm {d} N_{xx}}{mathrm {d} x}}+f(x)&=0\{cfrac {mathrm {d} ^{2}M_{xx}}{mathrm {d} x^{2}}}+q(x)+{cfrac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}left(N_{xx}{cfrac {mathrm {d} w_{0}}{mathrm {d} x}}right)&=0end{aligned}}}

Donde ${displaystyle f(x)}$ es la carga axial, ${displaystyle q(x)}$ es la carga transversal, y

{displaystyle N_{xx}=int _{A}sigma _{xx}~mathrm {d} A~;~~M_{xx}=int _{A}zsigma _{xx}~mathrm {d} A}

Para cerrar el sistema de ecuaciones necesitamos las ecuaciones constitutivas que relacionan las tensiones con las deformaciones (y, por tanto, las tensiones con los desplazamientos). Para rotaciones grandes y deformaciones pequeñas, estas relaciones son

{displaystyle {begin{aligned}N_{xx}&=A_{xx}left[{cfrac {mathrm {d} u_{0}}{mathrm {d} x}}+{frac {1}{2}}left({cfrac {mathrm {d} w_{0}}{mathrm {d} x}}right)^{2}right]-B_{xx}{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{0}}{mathrm {d} x^{2}}}\M_{xx}&=B_{xx}left[{cfrac {mathrm {d} u_{0}}{mathrm {d} x}}+{frac {1}{2}}left({cfrac {mathrm {d} w_{0}}{mathrm {d} x}}right)^{2}right]-D_{xx}{cfrac {mathrm {d} ^{2}w_{0}}{mathrm {d} x^{2}}}end{aligned}}}

dónde

{displaystyle A_{xx}=int _{A}E~mathrm {d} A~;~~B_{xx}=int _{A}zE~mathrm {d} A~;~~D_{xx}=int _{A}z^{2}E~mathrm {d} A~.}

La cantidad ${displaystyle A_{xx}}$ es rigidez extensiva, ${displaystyle B_{xx}}$ es la pareja rigidez de inclinación, y ${displaystyle D_{xx}}$ es flexión.

Para la situación en que la viga tiene una sección transversal uniforme y ninguna carga axial, la ecuación de gobernación para una viga Euler-Bernoulli grande es

{displaystyle EI~{cfrac {mathrm {d} ^{4}w}{mathrm {d} x^{4}}}-{frac {3}{2}}~EA~left({cfrac {mathrm {d} w}{mathrm {d} x}}right)^{2}left({cfrac {mathrm {d} ^{2}w}{mathrm {d} x^{2}}}right)=q(x)}

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