Teoría de la deformación finita

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Modelo matemático para describir la deformación del material bajo estrés

En mecánica continua, la teoría de las deformaciones finitas, también llamada teoría de las grandes deformaciones o teoría de las grandes deformaciones, se ocupa de las deformaciones en las que las deformaciones y/o las rotaciones son lo suficientemente grandes como para invalidar los supuestos inherentes a la teoría de la deformación infinitesimal. En este caso, las configuraciones no deformadas y deformadas del continuo son significativamente diferentes, lo que requiere una distinción clara entre ellas. Este suele ser el caso de los elastómeros, materiales que se deforman plásticamente y otros fluidos y tejidos blandos biológicos.

Campo de desplazamiento

El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento de cuerpo rígido y una deformación.

Un desplazamiento de cuerpo rígido consiste en una traducción simultánea y rotación del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño.
La deformación implica el cambio en forma y/o tamaño del cuerpo de una configuración inicial o no deformada ${displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}})}$ a una configuración actual o deformada ${displaystyle kappa _{t}({mathcal {B}})}$ (Figura 1).

Un campo de desplazamiento puede describir un cambio en la configuración de un cuerpo continuo. A sobre el terreno es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento para todas las partículas del cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. La distancia entre dos partículas cambia si se ha producido una deformación. Si el desplazamiento ocurre sin deformación, entonces es un desplazamiento de cuerpo rígido.

Tensor de gradiente de deformación

Gráfico 2. Deformación de un cuerpo continuo.

El deformación gradiente tensor ${displaystyle mathbf {F} (mathbf {X}t)=F_{jK}mathbf {e} _{j}otimes mathbf {I} _{K}}$ se relaciona tanto con la configuración de referencia como con la configuración actual, como lo ve el vector de unidad ${displaystyle mathbf {e} _{j}}$ y ${displaystyle mathbf {I} _{K},!}$ , por lo tanto es un tensor de dos puntos. Se pueden definir dos tipos de tensor gradiente de deformación.

Debido al supuesto de continuidad ${displaystyle chi (mathbf {X}t),!}$ , ${displaystyle mathbf {F} }$ tiene el inverso ${displaystyle mathbf {H} =mathbf {F} ^{-1},!}$ , donde ${displaystyle mathbf {H} }$ es deformación espacial gradiente tensor. Entonces, por el teorema de la función implícita, el determinante Jacobiano ${displaystyle J(mathbf {X}t)}$ debe ser no lineal, es decir. ${displaystyle J(mathbf {X}t)=det mathbf {F} (mathbf {X}t)neq 0}$

El material deformación gradiente tensor ${displaystyle mathbf {F} (mathbf {X}t)=F_{jK}mathbf {e} _{j}otimes mathbf {I} _{K}}$ es un tensor de segundo orden que representa el gradiente de la función de mapeo o relación funcional ${displaystyle chi (mathbf {X}t),!}$ , que describe el movimiento de un continuum. El tensor gradiente de deformación material caracteriza la deformación local en un punto material con vector de posición ${displaystyle mathbf {X} ,!}$ , es decir, la deformación en los puntos vecinos, transformando (transformación lineal) un elemento de línea material que emana desde ese punto de la configuración de referencia a la configuración actual o deformada, asumiendo continuidad en la función de mapeo ${displaystyle chi (mathbf {X}t),!}$ , es decir, función diferenciable de ${displaystyle mathbf {X} }$ y tiempo ${displaystyle t,!}$ , lo que implica que las grietas y los vacíos no se abren o cierran durante la deformación. Así tenemos,

{displaystyle {begin{aligned}dmathbf {x} &={frac {partial mathbf {x} }{partial mathbf {X} }},dmathbf {X} qquad &{text{or}}&qquad dx_{j}={frac {partial x_{j}}{partial X_{K}}},dX_{K}\&=nabla chi (mathbf {X}t),dmathbf {X} qquad &{text{or}}&qquad dx_{j}=F_{jK},dX_{K},.\&=mathbf {F} (mathbf {X}t),dmathbf {X} end{aligned}}}

Vector de desplazamiento relativo

Considerar una partícula o punto material ${displaystyle P}$ con vector de posición ${displaystyle mathbf {X} =X_{I}mathbf {I} _{I}}$ en la configuración no deformada (Figura 2). Después de un desplazamiento del cuerpo, la nueva posición de la partícula indicada por ${displaystyle p}$ en la nueva configuración se da por la posición vectorial ${displaystyle mathbf {x} =x_{i}mathbf {e} _{i},!}$ . Los sistemas de coordenadas para la configuración no deformada y deformada pueden ser superpuestos para comodidad.

Considere ahora un punto material ${displaystyle Q}$ vecino ${displaystyle P,!}$ , con vector de posición ${displaystyle mathbf {X} +Delta mathbf {X} =(X_{I}+Delta X_{I})mathbf {I} _{I},!}$ . En la configuración deformada esta partícula tiene una nueva posición ${displaystyle q}$ dado por el vector de posición ${displaystyle mathbf {x} +Delta mathbf {x} ,!}$ . Suponiendo que los segmentos de línea ${displaystyle Delta X}$ y ${displaystyle Delta mathbf {x} }$ unir las partículas ${displaystyle P}$ y ${displaystyle Q}$ en la configuración no deformada y deformada, respectivamente, para ser muy pequeña, entonces podemos expresarlos como ${displaystyle dmathbf {X} }$ y ${displaystyle dmathbf {x} ,!}$ . Así de la Figura 2 tenemos

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {x} +dmathbf {x} &=mathbf {X} +dmathbf {X} +mathbf {u} (mathbf {X} +dmathbf {X})\dmathbf {x} &=mathbf {X} -mathbf {x} +dmathbf {X} +mathbf {u} (mathbf {X} +dmathbf {X})\&=dmathbf {X} +mathbf {u} (mathbf {X} +dmathbf {X})-mathbf {u} (mathbf {X})\&=dmathbf {X} +dmathbf {u} \end{aligned}}}

Donde ${displaystyle mathbf {du} }$ es relativa desplazamiento vectorial, que representa el desplazamiento relativo ${displaystyle Q}$ con respecto a ${displaystyle P}$ en la configuración deformada.

Aproximación de Taylor

Para un elemento infinitesimal ${displaystyle dmathbf {X} ,!}$ , y asumiendo continuidad en el campo de desplazamiento, es posible utilizar una expansión de la serie Taylor alrededor del punto ${displaystyle P,!}$ , descuidando términos de orden superior, para aproximar los componentes del vector de desplazamiento relativo para la partícula vecina ${displaystyle Q}$ como

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {u} (mathbf {X} +dmathbf {X})&=mathbf {u} (mathbf {X})+dmathbf {u} quad &{text{or}}&quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\&approx mathbf {u} (mathbf {X})+nabla _{mathbf {X} }mathbf {u} cdot dmathbf {X} quad &{text{or}}&quad u_{i}^{*}approx u_{i}+{frac {partial u_{i}}{partial X_{J}}}dX_{J},.end{aligned}}}

{displaystyle dmathbf {x} =dmathbf {X} +dmathbf {u} }

{displaystyle {begin{aligned}dmathbf {x} &=dmathbf {X} +dmathbf {u} \&=dmathbf {X} +nabla _{mathbf {X} }mathbf {u} cdot dmathbf {X} \&=left(mathbf {I} +nabla _{mathbf {X} }mathbf {u} right)dmathbf {X} \&=mathbf {F} dmathbf {X} end{aligned}}}

Derivada temporal del gradiente de deformación

Los cálculos que implican la deformación de un cuerpo dependiente del tiempo a menudo requieren que se calcule una derivada temporal del gradiente de deformación. Una definición geométricamente consistente de dicha derivada requiere una incursión en la geometría diferencial, pero evitamos esos problemas en este artículo.

El derivado del tiempo ${displaystyle mathbf {F} }$ es

{displaystyle {dot {mathbf {F} }}={frac {partial mathbf {F} }{partial t}}={frac {partial }{partial t}}left[{frac {partial mathbf {x} (mathbf {X}t)}{partial mathbf {X} }}right]={frac {partial }{partial mathbf {X} }}left[{frac {partial mathbf {x} (mathbf {X}t)}{partial t}}right]={frac {partial }{partial mathbf {X} }}left[mathbf {V} (mathbf {X}t)right]}

{displaystyle mathbf {V} }

de velocidad de material gradiente

{displaystyle {dot {mathbf {F} }}={frac {partial }{partial mathbf {X} }}left[mathbf {V} (mathbf {X}t)right]={frac {partial }{partial mathbf {X} }}left[mathbf {v} (mathbf {x} (mathbf {X}t),t)right]=left.{frac {partial }{partial mathbf {x} }}left[mathbf {v} (mathbf {x}t)right]right|_{mathbf {x} =mathbf {x} (mathbf {X}t)}cdot {frac {partial mathbf {x} (mathbf {X}t)}{partial mathbf {X} }}={boldsymbol {l}}cdot mathbf {F} }

{displaystyle {boldsymbol {l}}=(nabla _{mathbf {x} }mathbf {v})^{T}}

gradiente de velocidad espacial

{displaystyle mathbf {v} (mathbf {x}t)=mathbf {V} (mathbf {X}t)}

{displaystyle mathbf {x} =mathbf {x} (mathbf {X}t)}

{displaystyle mathbf {F} =e^{{boldsymbol {l}},t}}

{displaystyle mathbf {F} =mathbf {1} }

{displaystyle t=0}

Las cantidades relacionadas que se utilizan a menudo en la mecánica continua son el tensor de velocidad de deformación y el tensor de giro definidos, respectivamente, como:

{displaystyle {boldsymbol {d}}={tfrac {1}{2}}left({boldsymbol {l}}+{boldsymbol {l}}^{T}right),,~~{boldsymbol {w}}={tfrac {1}{2}}left({boldsymbol {l}}-{boldsymbol {l}}^{T}right),.}

La derivada material-tiempo de la inversa del gradiente de deformación (manteniendo fija la configuración de referencia) a menudo se requiere en análisis que involucran deformaciones finitas. Esta derivada es

{displaystyle {frac {partial }{partial t}}left(mathbf {F} ^{-1}right)=-mathbf {F} ^{-1}cdot {dot {mathbf {F} }}cdot mathbf {F} ^{-1},.}

{displaystyle mathbf {F} ^{-1}cdot dmathbf {x} =dmathbf {X} }

{displaystyle {dot {mathbf {X} }}=0}

Descomposición polar del tensor de gradiente de deformación

El gradiente de deformación ${displaystyle mathbf {F} ,!}$ , como cualquier tensor de segundo orden invertible, se puede descomponer, utilizando el teorema de descomposición polar, en un producto de dos tensores de segundo orden (Truesdell y Noll, 1965): un tensor ortogonal y un tensor simétrico definitivo positivo, es decir,

{displaystyle mathbf {F} =mathbf {R} mathbf {U} =mathbf {V} mathbf {R} }

{displaystyle mathbf {R} }

{displaystyle mathbf {R} ^{-1}=mathbf {R} ^{T}}

{displaystyle det mathbf {R} =+1,!}

{displaystyle mathbf {U} }

tensor de estiramiento derecho

{displaystyle mathbf {V} }

tensor izquierdoderechoizquierda

{displaystyle mathbf {R} ,!}

{displaystyle mathbf {U} }

{displaystyle mathbf {V} }

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x⋅ ⋅ U⋅ ⋅ x■0{displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {U} cdot mathbf {x} }0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee96ec8f0d7470cfa72d24926df4182e6b972426" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.498ex; height:2.176ex;"/>

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x⋅ ⋅ V⋅ ⋅ x■0{displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {V} cdot mathbf {x} }0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07183c06243cfa3d03ab3dd9e0e03da6beca9414" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.461ex; height:2.176ex;"/>

{displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} ^{3}}

{displaystyle mathbf {U} =mathbf {U} ^{T}}

{displaystyle mathbf {V} =mathbf {V} ^{T},!}

Esta descomposición implica que la deformación de un elemento de línea ${displaystyle dmathbf {X} }$ en la configuración no deformada ${displaystyle dmathbf {x} }$ en la configuración deformada, es decir, ${displaystyle dmathbf {x} =mathbf {F} ,dmathbf {X} ,!}$ , puede obtenerse ya sea al estirar primero el elemento por ${displaystyle mathbf {U} ,!}$ , es decir. ${displaystyle dmathbf {x} '=mathbf {U} ,dmathbf {X} ,!}$ , seguido de una rotación ${displaystyle mathbf {R} ,!}$ , es decir, ${displaystyle dmathbf {x} '=mathbf {R} ,dmathbf {x} ,!}$ ; o equivalentemente, aplicando una rotación rígida ${displaystyle mathbf {R} }$ primero, es decir, ${displaystyle dmathbf {x} '=mathbf {R} ,dmathbf {X} ,!}$ , seguido más tarde por un estiramiento ${displaystyle mathbf {V} ,!}$ , es decir, ${displaystyle dmathbf {x} '=mathbf {V} ,dmathbf {x} }$ (Ver Figura 3).

Debido a la ortogonalidad de ${displaystyle mathbf {R} }$

{displaystyle mathbf {V} =mathbf {R} cdot mathbf {U} cdot mathbf {R} ^{T}}

{displaystyle mathbf {U} }

{displaystyle mathbf {V} }

estiramientos principalesdirecciones principales

{displaystyle mathbf {N} _{i}}

{displaystyle mathbf {n} _{i},!}

{displaystyle mathbf {n} _{i}=mathbf {R} mathbf {N} _{i}.}

Esta descomposición polar, única ${displaystyle mathbf {F} }$ es invertible con un determinante positivo, es un corolario de la descomposición de valor singular.

Transformación de un elemento de superficie y volumen

Para transformar cantidades que se definen con respecto a áreas en una configuración deformada a aquellas relativas a áreas en una configuración de referencia, y viceversa, utilizamos La relación de Nanson, expresado como

{displaystyle da~mathbf {n} =J~dA~mathbf {F} ^{-T}cdot mathbf {N} }

{displaystyle da}

{displaystyle dA}

{displaystyle mathbf {n} }

{displaystyle mathbf {N} }

{displaystyle mathbf {F} }

{displaystyle J=det mathbf {F} ,!}

La fórmula correspondiente para la transformación del elemento de volumen es

{displaystyle dv=J~dV}

Derivación de la relación de Nanson (ver también)

Para ver cómo se deriva esta fórmula, empezamos con los elementos de área orientados en las configuraciones de referencia y de actualidad:

{displaystyle dmathbf {A} =dA~mathbf {N} ~;~~dmathbf {a} =da~mathbf {n} }

Los volúmenes de referencia y corriente de un elemento son

{displaystyle dV=dmathbf {A} ^{T}cdot dmathbf {L} ~;~~dv=dmathbf {a} ^{T}cdot dmathbf {l} }

Donde

{displaystyle dmathbf {l} =mathbf {F} cdot dmathbf {L} ,!}

Por lo tanto,

{displaystyle dmathbf {a} ^{T}cdot dmathbf {l} =dv=J~dV=J~dmathbf {A} ^{T}cdot dmathbf {L} }

{displaystyle dmathbf {a} ^{T}cdot mathbf {F} cdot dmathbf {L} =dv=J~dV=J~dmathbf {A} ^{T}cdot dmathbf {L} }

Así que...

{displaystyle dmathbf {a} ^{T}cdot mathbf {F} =J~dmathbf {A} ^{T}}

Así que...

{displaystyle dmathbf {a} =J~mathbf {F} ^{-T}cdot dmathbf {A} }

{displaystyle da~mathbf {n} =J~dA~mathbf {F} ^{-T}cdot mathbf {N} }

Q.E.D.

Tensores de deformación fundamentales

La IUPAC define un tensor de deformación como:

"Un tensor simétrico que resulta cuando un tensor gradiente de deformación se factoriza en un tensor de rotación seguido o precedido por un tensor simétrico".

Dado que una rotación pura no debe inducir ninguna cepa en un cuerpo deformable, a menudo es conveniente utilizar medidas de rotación-independientes de deformación en la mecánica continua. Como una rotación seguida por su rotación inversa no conduce a ningún cambio ( ${displaystyle mathbf {R} mathbf {R} ^{T}=mathbf {R} ^{T}mathbf {R} =mathbf {I} ,!}$ ) podemos excluir la rotación multiplicando el tensor gradiente de deformación ${displaystyle mathbf {F} }$ por su transposición.

En mecánica se utilizan varios tensores de gradiente de deformación independientes de la rotación (o "tensores de deformación", para abreviar). En mecánica de sólidos, los más populares son los tensores de deformación de Cauchy-Green derecho e izquierdo.

Tensor de deformación de Cauchy (tensor de deformación de Cauchy-Green derecho)

En 1839, George Green introdujo un tensor de deformación conocido como tensor de deformación derecho de Cauchy-Green o tensor de deformación de Green (la IUPAC recomienda que este tensor denominarse tensor de deformación de Cauchy), definido como:

{displaystyle mathbf {C} =mathbf {F} ^{T}mathbf {F} =mathbf {U} ^{2}qquad {text{or}}qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={frac {partial x_{k}}{partial X_{I}}}{frac {partial x_{k}}{partial X_{J}}}.}

Físicamente, el tensor Cauchy-Green nos da la plaza del cambio local en las distancias debido a la deformación, es decir. ${displaystyle dmathbf {x} ^{2}=dmathbf {X} cdot mathbf {C} cdot dmathbf {X} }$

Invariantes de ${displaystyle mathbf {C} }$ a menudo se utilizan en las expresiones para las funciones de densidad de energía de tensión. Los invariantes más utilizados son

{displaystyle {begin{aligned}I_{1}^{C}&:={text{tr}}(mathbf {C})=C_{II}=lambda _{1}^{2}+lambda _{2}^{2}+lambda _{3}^{2}\I_{2}^{C}&:={tfrac {1}{2}}left[({text{tr}}~mathbf {C})^{2}-{text{tr}}(mathbf {C} ^{2})right]={tfrac {1}{2}}left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}right]=lambda _{1}^{2}lambda _{2}^{2}+lambda _{2}^{2}lambda _{3}^{2}+lambda _{3}^{2}lambda _{1}^{2}\I_{3}^{C}&:=det(mathbf {C})=J^{2}=lambda _{1}^{2}lambda _{2}^{2}lambda _{3}^{2}.end{aligned}}}

{displaystyle J:=det mathbf {F} }

{displaystyle mathbf {F} }

{displaystyle lambda _{i}}

Tensor de tensión del dedo

El IUPAC recomienda que el inverso del tensor adecuado de la deformación Cauchy-Green (llamado tensor de cepa Cauchy en ese documento), es decir, ${displaystyle mathbf {C} ^{-1}}$ , ser llamado el Tensor de cepa fino. Sin embargo, esa nomenclatura no es universalmente aceptada en la mecánica aplicada.

{displaystyle mathbf {f} =mathbf {C} ^{-1}=mathbf {F} ^{-1}mathbf {F} ^{-T}qquad {text{or}}qquad f_{IJ}={frac {partial X_{I}}{partial x_{k}}}{frac {partial X_{J}}{partial x_{k}}}}

Tensor de cepa verde (izquierda Cauchy – tensor de deformación verde)

Invertir el orden de multiplicación en la fórmula para el tensor de deformación de Green-Cauchy derecho conduce al tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo que se define como:

{displaystyle mathbf {B} =mathbf {F} mathbf {F} ^{T}=mathbf {V} ^{2}qquad {text{or}}qquad B_{ij}={frac {partial x_{i}}{partial X_{K}}}{frac {partial x_{j}}{partial X_{K}}}}

El tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo a menudo se denomina tensor de deformación de dedo, en honor a Josef Finger (1894).

La IUPAC recomienda que este tensor se llame tensor de deformación verde.

Invariantes de ${displaystyle mathbf {B} }$ también se utilizan en las expresiones para las funciones de densidad de energía de tensión. Los invariantes convencionales se definen como

{displaystyle {begin{aligned}I_{1}&:={text{tr}}(mathbf {B})=B_{ii}=lambda _{1}^{2}+lambda _{2}^{2}+lambda _{3}^{2}\I_{2}&:={tfrac {1}{2}}left[({text{tr}}~mathbf {B})^{2}-{text{tr}}(mathbf {B} ^{2})right]={tfrac {1}{2}}left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}right)=lambda _{1}^{2}lambda _{2}^{2}+lambda _{2}^{2}lambda _{3}^{2}+lambda _{3}^{2}lambda _{1}^{2}\I_{3}&:=det mathbf {B} =J^{2}=lambda _{1}^{2}lambda _{2}^{2}lambda _{3}^{2}end{aligned}}}

{displaystyle J:=det mathbf {F} }

Para materiales comprimibles, se utiliza un conjunto de invariantes ligeramente diferente:

{displaystyle ({bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~Jneq 1)~.}

Tensor de deformación de Piola (tensor de deformación de Cauchy)

Anteriormente en 1828, Augustin-Louis Cauchy introdujo un tensor de deformación definido como el inverso del tensor de la deformación izquierda Cauchy-Green, ${displaystyle mathbf {B} ^{-1},!}$ . Este tensor también ha sido llamado Piola tensor de tensión por el IUPAC y el Finger tensor en la reología y la literatura dinámica de fluidos.

{displaystyle mathbf {c} =mathbf {B} ^{-1}=mathbf {F} ^{-T}mathbf {F} ^{-1}qquad {text{or}}qquad c_{ij}={frac {partial X_{K}}{partial x_{i}}}{frac {partial X_{K}}{partial x_{j}}}}

Representación espectral

Si hay tres tramos principales distintos ${displaystyle lambda _{i},!}$ , las descomposiciones espectrales de ${displaystyle mathbf {C} }$ y ${displaystyle mathbf {B} }$ es dado por

{displaystyle mathbf {C} =sum _{i=1}^{3}lambda _{i}^{2}mathbf {N} _{i}otimes mathbf {N} _{i}qquad {text{and}}qquad mathbf {B} =sum _{i=1}^{3}lambda _{i}^{2}mathbf {n} _{i}otimes mathbf {n} _{i}}

Además,

{displaystyle mathbf {U} =sum _{i=1}^{3}lambda _{i}mathbf {N} _{i}otimes mathbf {N} _{i}~;~~mathbf {V} =sum _{i=1}^{3}lambda _{i}mathbf {n} _{i}otimes mathbf {n} _{i}}

{displaystyle mathbf {R} =sum _{i=1}^{3}mathbf {n} _{i}otimes mathbf {N} _{i}~;~~mathbf {F} =sum _{i=1}^{3}lambda _{i}mathbf {n} _{i}otimes mathbf {N} _{i}}

Observa que

{displaystyle mathbf {V} =mathbf {R} ~mathbf {U} ~mathbf {R} ^{T}=sum _{i=1}^{3}lambda _{i}~mathbf {R} ~(mathbf {N} _{i}otimes mathbf {N} _{i})~mathbf {R} ^{T}=sum _{i=1}^{3}lambda _{i}~(mathbf {R} ~mathbf {N} _{i})otimes (mathbf {R} ~mathbf {N} _{i})}

{displaystyle mathbf {n} _{i}=mathbf {R} ~mathbf {N} _{i},!}

{displaystyle mathbf {V} ,!}

tensor espacial

{displaystyle mathbf {U} ,!}

material tensor

El efecto de ${displaystyle mathbf {F} }$ Actuando ${displaystyle mathbf {N} _{i}}$ es estirar el vector por ${displaystyle lambda _{i}}$ y rotarla a la nueva orientación ${displaystyle mathbf {n} _{i},!}$ , es decir,

{displaystyle mathbf {F} ~mathbf {N} _{i}=lambda _{i}~(mathbf {R} ~mathbf {N} _{i})=lambda _{i}~mathbf {n} _{i}}

{displaystyle mathbf {F} ^{-T}~mathbf {N} _{i}={cfrac {1}{lambda _{i}}}~mathbf {n} _{i}~;~~mathbf {F} ^{T}~mathbf {n} _{i}=lambda _{i}~mathbf {N} _{i}~;~~mathbf {F} ^{-1}~mathbf {n} _{i}={cfrac {1}{lambda _{i}}}~mathbf {N} _{i}~.}

Ejemplos

Extensión unilateral de un material incompresible: Este es el caso en que un espécimen se extiende en 1 dirección con una relación de estiramiento ${displaystyle mathbf {alpha =alpha _{1}} ,!}$ . Si el volumen permanece constante, la contracción en las otras dos direcciones es tal que ${displaystyle mathbf {alpha _{1}alpha _{2}alpha _{3}=1} }$ o ${displaystyle mathbf {alpha _{2}=alpha _{3}=alpha ^{-0.5}} ,!}$ . Entonces: ${displaystyle mathbf {F} ={begin{bmatrix}alpha &0&0\0&alpha ^{-0.5}&0\0&0&alpha ^{-0.5}end{bmatrix}}}$ ${displaystyle mathbf {B} =mathbf {C} ={begin{bmatrix}alpha ^{2}&0&0\0&alpha ^{-1}&0\0&0&alpha ^{-1}end{bmatrix}}}$
Shear simple: ${displaystyle mathbf {F} ={begin{bmatrix}1&gamma &0\0&1&0\0&0&1end{bmatrix}}}$ ${displaystyle mathbf {B} ={begin{bmatrix}1+gamma ^{2}&gamma &0\gamma &1&0\0&0&1end{bmatrix}}}$ ${displaystyle mathbf {C} ={begin{bmatrix}1&gamma &0\gamma &1+gamma ^{2}&0\0&0&1end{bmatrix}}}$
Rotación corporal rígida: ${displaystyle mathbf {F} ={begin{bmatrix}cos theta &sin theta &0\-sin theta &cos theta &0\0&0&1end{bmatrix}}}$ ${displaystyle mathbf {B} =mathbf {C} ={begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{bmatrix}}=mathbf {1} }$

Derivadas del estiramiento

Las derivadas del estiramiento con respecto al tensor de deformación de Cauchy-Green derecho se utilizan para derivar las relaciones tensión-deformación de muchos sólidos, particularmente materiales hiperelásticos. Estos derivados son

{displaystyle {cfrac {partial lambda _{i}}{partial mathbf {C} }}={cfrac {1}{2lambda _{i}}}~mathbf {N} _{i}otimes mathbf {N} _{i}={cfrac {1}{2lambda _{i}}}~mathbf {R} ^{T}~(mathbf {n} _{i}otimes mathbf {n} _{i})~mathbf {R} ~;~~i=1,2,3}

{displaystyle mathbf {C}:(mathbf {N} _{i}otimes mathbf {N} _{i})=lambda _{i}^{2}~;~~~~{cfrac {partial mathbf {C} }{partial mathbf {C} }}={mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{mathsf {I}}^{(s)}:(mathbf {N} _{i}otimes mathbf {N} _{i})=mathbf {N} _{i}otimes mathbf {N} _{i}.}

Interpretación física de los tensores de deformación

Vamos. ${displaystyle mathbf {X} =X^{i}~{boldsymbol {E}}_{i}}$ ser un sistema de coordenadas cartesiano definido en el cuerpo no deformado y dejar ${displaystyle mathbf {x} =x^{i}~{boldsymbol {E}}_{i}}$ ser otro sistema definido en el cuerpo deformado. Dejar una curva ${displaystyle mathbf {X} (s)}$ en el cuerpo no deformado se parametriza utilizando ${displaystyle sin [0,1]}$ . Su imagen en el cuerpo deformado es ${displaystyle mathbf {x} (mathbf {X} (s))}$ .

La longitud no deformada de la curva está dada por

{displaystyle l_{X}=int _{0}^{1}left|{cfrac {dmathbf {X} }{ds}}right|~ds=int _{0}^{1}{sqrt {{cfrac {dmathbf {X} }{ds}}cdot {cfrac {dmathbf {X} }{ds}}}}~ds=int _{0}^{1}{sqrt {{cfrac {dmathbf {X} }{ds}}cdot {boldsymbol {I}}cdot {cfrac {dmathbf {X} }{ds}}}}~ds}

{displaystyle {begin{aligned}l_{x}&=int _{0}^{1}left|{cfrac {dmathbf {x} }{ds}}right|~ds=int _{0}^{1}{sqrt {{cfrac {dmathbf {x} }{ds}}cdot {cfrac {dmathbf {x} }{ds}}}}~ds=int _{0}^{1}{sqrt {left({cfrac {dmathbf {x} }{dmathbf {X} }}cdot {cfrac {dmathbf {X} }{ds}}right)cdot left({cfrac {dmathbf {x} }{dmathbf {X} }}cdot {cfrac {dmathbf {X} }{ds}}right)}}~ds\&=int _{0}^{1}{sqrt {{cfrac {dmathbf {X} }{ds}}cdot left[left({cfrac {dmathbf {x} }{dmathbf {X} }}right)^{T}cdot {cfrac {dmathbf {x} }{dmathbf {X} }}right]cdot {cfrac {dmathbf {X} }{ds}}}}~dsend{aligned}}}

{displaystyle {boldsymbol {C}}:={boldsymbol {F}}^{T}cdot {boldsymbol {F}}=left({cfrac {dmathbf {x} }{dmathbf {X} }}right)^{T}cdot {cfrac {dmathbf {x} }{dmathbf {X} }}}

{displaystyle l_{x}=int _{0}^{1}{sqrt {{cfrac {dmathbf {X} }{ds}}cdot {boldsymbol {C}}cdot {cfrac {dmathbf {X} }{ds}}}}~ds}

{displaystyle {boldsymbol {C}}}

Tensores de deformación finita

El concepto tensión se utiliza para evaluar cuánto un desplazamiento dado difiere localmente de un desplazamiento del cuerpo rígido. Una de tales cepas para grandes deformaciones es la Lagrangian finite tensor, también llamado el Tensor de cepa verde-lagrangia o Tensor de cepa verde-est-venant, definido como

{displaystyle mathbf {E} ={frac {1}{2}}(mathbf {C} -mathbf {I})qquad {text{or}}qquad E_{KL}={frac {1}{2}}left({frac {partial x_{j}}{partial X_{K}}}{frac {partial x_{j}}{partial X_{L}}}-delta _{KL}right)}

o en función del tensor de gradiente de desplazamiento

{displaystyle mathbf {E} ={frac {1}{2}}left[(nabla _{mathbf {X} }mathbf {u})^{T}+nabla _{mathbf {X} }mathbf {u} +(nabla _{mathbf {X} }mathbf {u})^{T}cdot nabla _{mathbf {X} }mathbf {u} right]}

{displaystyle E_{KL}={frac {1}{2}}left({frac {partial u_{K}}{partial X_{L}}}+{frac {partial u_{L}}{partial X_{K}}}+{frac {partial u_{M}}{partial X_{K}}}{frac {partial u_{M}}{partial X_{L}}}right)}

El tensor de cepa verde-lagrangia es una medida de cuánto ${displaystyle mathbf {C} }$ difiere de ${displaystyle mathbf {I} ,!}$ .

El tensor de deformación finita de Euler, o tensor de deformación finita de Euler-Almansi, referenciado a la configuración deformada (es decir, descripción euleriana) se define como

{displaystyle mathbf {e} ={frac {1}{2}}(mathbf {I} -mathbf {c})={frac {1}{2}}(mathbf {I} -mathbf {B} ^{-1})qquad {text{or}}qquad e_{rs}={frac {1}{2}}left(delta _{rs}-{frac {partial X_{M}}{partial x_{r}}}{frac {partial X_{M}}{partial x_{s}}}right)}

o en función de los gradientes de desplazamiento tenemos

{displaystyle e_{ij}={frac {1}{2}}left({frac {partial u_{i}}{partial x_{j}}}+{frac {partial u_{j}}{partial x_{i}}}-{frac {partial u_{k}}{partial x_{i}}}{frac {partial u_{k}}{partial x_{j}}}right)}

Derivación de los tensores de cepa finita de Lagrangia y Euleria

Una medida de deformación es la diferencia entre los cuadrados del elemento de línea diferencial ${displaystyle dmathbf {X} ,!}$ , en la configuración no deformada, y ${displaystyle dmathbf {x} ,!}$ , en la configuración deformada (Figura 2). La deformación ha ocurrido si la diferencia no es cero, de lo contrario se ha producido un desplazamiento de cuerpo rígido. Así tenemos,

{displaystyle dmathbf {x} ^{2}-dmathbf {X} ^{2}=dmathbf {x} cdot dmathbf {x} -dmathbf {X} cdot dmathbf {X} qquad {text{or}}qquad (dx)^{2}-(dX)^{2}=dx_{j}dx_{j}-dX_{M},dX_{M}}

En la descripción lagrangiana, utilizando las coordenadas materiales como marco de referencia, la transformación lineal entre las líneas diferenciales es

{displaystyle dmathbf {x} ={frac {partial mathbf {x} }{partial mathbf {X} }},dmathbf {X} =mathbf {F} ,dmathbf {X} qquad {text{or}}qquad dx_{j}={frac {partial x_{j}}{partial X_{M}}},dX_{M}}

Entonces tenemos,

{displaystyle {begin{aligned}dmathbf {x} ^{2}&=dmathbf {x} cdot dmathbf {x} \&=mathbf {F} cdot dmathbf {X} cdot mathbf {F} cdot dmathbf {X} \&=dmathbf {X} cdot mathbf {F} ^{T}mathbf {F} cdot dmathbf {X} \&=dmathbf {X} cdot mathbf {C} cdot dmathbf {X} end{aligned}}qquad {text{or}}qquad {begin{aligned}(dx)^{2}&=dx_{j},dx_{j}\&={frac {partial x_{j}}{partial X_{K}}}{frac {partial x_{j}}{partial X_{L}}},dX_{K},dX_{L}\&=C_{KL},dX_{K},dX_{L}\end{aligned}}}

Donde ${displaystyle C_{KL}}$ son los componentes de los derecha Cauchy – Gran deformación tensor, ${displaystyle mathbf {C} =mathbf {F} ^{T}mathbf {F} ,!}$ . Entonces, reemplazando esta ecuación en la primera ecuación que tenemos,

{displaystyle {begin{aligned}dmathbf {x} ^{2}-dmathbf {X} ^{2}&=dmathbf {X} cdot mathbf {C} cdot dmathbf {X} -dmathbf {X} cdot dmathbf {X} \&=dmathbf {X} cdot (mathbf {C} -mathbf {I})cdot dmathbf {X} \&=dmathbf {X} cdot 2mathbf {E} cdot dmathbf {X} \end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&={frac {partial x_{j}}{partial X_{K}}}{frac {partial x_{j}}{partial X_{L}}},dX_{K},dX_{L}-dX_{M},dX_{M}\&=left({frac {partial x_{j}}{partial X_{K}}}{frac {partial x_{j}}{partial X_{L}}}-delta _{KL}right),dX_{K},dX_{L}\&=2E_{KL},dX_{K},dX_{L}end{aligned}}}

Donde

{displaystyle E_{KL},!}

, son los componentes de un tensor de segundo orden llamado el Green – Tensor de tensión de St-Venant o el Lagrangian finite tensor,

{displaystyle mathbf {E} ={frac {1}{2}}(mathbf {C} -mathbf {I})qquad {text{or}}qquad E_{KL}={frac {1}{2}}left({frac {partial x_{j}}{partial X_{K}}}{frac {partial x_{j}}{partial X_{L}}}-delta _{KL}right)}

En la descripción euleria, utilizando las coordenadas espaciales como marco de referencia, la transformación lineal entre las líneas diferenciales es

{displaystyle dmathbf {X} ={frac {partial mathbf {X} }{partial mathbf {x} }}dmathbf {x} =mathbf {F} ^{-1},dmathbf {x} =mathbf {H} ,dmathbf {x} qquad {text{or}}qquad dX_{M}={frac {partial X_{M}}{partial x_{n}}},dx_{n}}

Donde

{displaystyle {frac {partial X_{M}}{partial x_{n}}}}

son los componentes de los deformación espacial gradiente tensor,

{displaystyle mathbf {H} ,!}

. Así tenemos

{displaystyle {begin{aligned}dmathbf {X} ^{2}&=dmathbf {X} cdot dmathbf {X} \&=mathbf {F} ^{-1}cdot dmathbf {x} cdot mathbf {F} ^{-1}cdot dmathbf {x} \&=dmathbf {x} cdot mathbf {F} ^{-T}mathbf {F} ^{-1}cdot dmathbf {x} \&=dmathbf {x} cdot mathbf {c} cdot dmathbf {x} end{aligned}}qquad {text{or}}qquad {begin{aligned}(dX)^{2}&=dX_{M},dX_{M}\&={frac {partial X_{M}}{partial x_{r}}}{frac {partial X_{M}}{partial x_{s}}},dx_{r},dx_{s}\&=c_{rs},dx_{r},dx_{s}\end{aligned}}}

donde el segundo orden tensor

{displaystyle c_{rs}}

se llama Tensor de deformación de Cauchy,

{displaystyle mathbf {c} =mathbf {F} ^{-T}mathbf {F} ^{-1},!}

. Entonces tenemos,

{displaystyle {begin{aligned}dmathbf {x} ^{2}-dmathbf {X} ^{2}&=dmathbf {x} cdot dmathbf {x} -dmathbf {x} cdot mathbf {c} cdot dmathbf {x} \&=dmathbf {x} cdot (mathbf {I} -mathbf {c})cdot dmathbf {x} \&=dmathbf {x} cdot 2mathbf {e} cdot dmathbf {x} \end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&=dx_{j},dx_{j}-{frac {partial X_{M}}{partial x_{r}}}{frac {partial X_{M}}{partial x_{s}}},dx_{r},dx_{s}\&=left(delta _{rs}-{frac {partial X_{M}}{partial x_{r}}}{frac {partial X_{M}}{partial x_{s}}}right),dx_{r},dx_{s}\&=2e_{rs},dx_{r},dx_{s}end{aligned}}}

Donde ${displaystyle e_{rs},!}$ , son los componentes de un tensor de segundo orden llamado el Tensor de cepa finita Eulerian-Almansi,

{displaystyle mathbf {e} ={frac {1}{2}}(mathbf {I} -mathbf {c})qquad {text{or}}qquad e_{rs}={frac {1}{2}}left(delta _{rs}-{frac {partial X_{M}}{partial x_{r}}}{frac {partial X_{M}}{partial x_{s}}}right)}

Tanto los tensores de cepa finita de Lagrangian como Eulerian pueden expresarse convenientemente en términos de la desplazamiento gradiente tensor. Para el tensor de cepa lagrangiana, primero diferenciamos el vector de desplazamiento ${displaystyle mathbf {u} (mathbf {X}t)}$ con respecto a las coordenadas materiales ${displaystyle X_{M}}$ para obtener desplazamiento de material gradiente tensor, ${displaystyle nabla _{mathbf {X} }mathbf {u} }$

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {u} (mathbf {X}t)&=mathbf {x} (mathbf {X}t)-mathbf {X} \nabla _{mathbf {X} }mathbf {u} &=mathbf {F} -mathbf {I} \mathbf {F} &=nabla _{mathbf {X} }mathbf {u} +mathbf {I} \end{aligned}}qquad {text{or}}qquad {begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-delta _{iJ}X_{J}\delta _{iJ}U_{J}&=x_{i}-delta _{iJ}X_{J}\x_{i}&=delta _{iJ}left(U_{J}+X_{J}right)\{frac {partial x_{i}}{partial X_{K}}}&=delta _{iJ}left({frac {partial U_{J}}{partial X_{K}}}+delta _{JK}right)\&={frac {partial u_{i}}{partial X_{K}}}+delta _{iK}end{aligned}}}

Replacing esta ecuación en la expresión para el tensor de cepa finita lagrangiano que tenemos

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {E} &={frac {1}{2}}left(mathbf {F} ^{T}mathbf {F} -mathbf {I} right)\&={frac {1}{2}}left[left{(nabla _{mathbf {X} }mathbf {u})^{T}+mathbf {I} right}left(nabla _{mathbf {X} }mathbf {u} +mathbf {I} right)-mathbf {I} right]\&={frac {1}{2}}left[(nabla _{mathbf {X} }mathbf {u})^{T}+nabla _{mathbf {X} }mathbf {u} +(nabla _{mathbf {X} }mathbf {u})^{T}cdot nabla _{mathbf {X} }mathbf {u} right]\end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}E_{KL}&={frac {1}{2}}left({frac {partial x_{j}}{partial X_{K}}}{frac {partial x_{j}}{partial X_{L}}}-delta _{KL}right)\&={frac {1}{2}}left[delta _{jM}left({frac {partial U_{M}}{partial X_{K}}}+delta _{MK}right)delta _{jN}left({frac {partial U_{N}}{partial X_{L}}}+delta _{NL}right)-delta _{KL}right]\&={frac {1}{2}}left[delta _{MN}left({frac {partial U_{M}}{partial X_{K}}}+delta _{MK}right)left({frac {partial U_{N}}{partial X_{L}}}+delta _{NL}right)-delta _{KL}right]\&={frac {1}{2}}left[left({frac {partial U_{M}}{partial X_{K}}}+delta _{MK}right)left({frac {partial U_{M}}{partial X_{L}}}+delta _{ML}right)-delta _{KL}right]\&={frac {1}{2}}left({frac {partial U_{K}}{partial X_{L}}}+{frac {partial U_{L}}{partial X_{K}}}+{frac {partial U_{M}}{partial X_{K}}}{frac {partial U_{M}}{partial X_{L}}}right)end{aligned}}}

Del mismo modo, el tensor finito Eulerian-Almansi puede expresarse como

{displaystyle e_{ij}={frac {1}{2}}left({frac {partial u_{i}}{partial x_{j}}}+{frac {partial u_{j}}{partial x_{i}}}-{frac {partial u_{k}}{partial x_{i}}}{frac {partial u_{k}}{partial x_{j}}}right)}

Familia Seth-Hill de tensores de cepa generalizado

B. R. Seth del Instituto Indio de Tecnología de Kharagpur fue el primero en demostrar que los tensores de deformación de Green y Almansi son casos especiales de una medida de deformación más general. Rodney Hill amplió aún más la idea en 1968. La familia de medidas de deformación de Seth-Hill (también llamadas tensores de Doyle-Ericksen) se puede expresar como

{displaystyle mathbf {E} _{(m)}={frac {1}{2m}}(mathbf {U} ^{2m}-mathbf {I})={frac {1}{2m}}left[mathbf {C} ^{m}-mathbf {I} right]}

Para diferentes valores ${displaystyle m}$ tenemos:

Tensor de cepa verde-lagrangia ${displaystyle mathbf {E} _{(1)}={frac {1}{2}}(mathbf {U} ^{2}-mathbf {I})={frac {1}{2}}(mathbf {C} -mathbf {I})}$
Tensor de cepa de bioto ${displaystyle mathbf {E} _{(1/2)}=(mathbf {U} -mathbf {I})=mathbf {C} ^{1/2}-mathbf {I} }$
cepa logarítmica, cepa natural, cepa verdadera o cepa hencky ${displaystyle mathbf {E} _{(0)}=ln mathbf {U} ={frac {1}{2}},ln mathbf {C} }$
Carga Almansi ${displaystyle mathbf {E} _{(-1)}={frac {1}{2}}left[mathbf {I} -mathbf {U} ^{-2}right]}$

La aproximación de segundo orden de estos tensores es

{displaystyle mathbf {E} _{(m)}={boldsymbol {varepsilon }}+{tfrac {1}{2}}(nabla mathbf {u})^{T}cdot nabla mathbf {u} -(1-m){boldsymbol {varepsilon }}^{T}cdot {boldsymbol {varepsilon }}}

{displaystyle {boldsymbol {varepsilon }}}

Muchas otras definiciones diferentes de tensores ${displaystyle mathbf {E} }$ son admisibles, siempre que satisfagan todas las condiciones que:

${displaystyle mathbf {E} }$ desaparece para todos los movimientos del cuerpo rígido
la dependencia de ${displaystyle mathbf {E} }$ en el tensor gradiente de desplazamiento ${displaystyle nabla mathbf {u} }$ es continuo, continuamente diferenciable y monotónico
también se desea que ${displaystyle mathbf {E} }$ reduce al tensor de cepa infinitesimal ${displaystyle {boldsymbol {varepsilon }}}$ como norma ${displaystyle |nabla mathbf {u} |to 0}$

Un ejemplo es el conjunto de tensores

{displaystyle mathbf {E} ^{(n)}=left({mathbf {U} }^{n}-{mathbf {U} }^{-n}right)/2n}

{displaystyle m=0}

{displaystyle n}

Interpretación física del tensor de deformación finita

Los componentes diagonales ${displaystyle E_{KL}}$ del tensor de cepa finita lagrangiano están relacionados con la cepa normal, por ejemplo.

{displaystyle E_{11}=e_{(mathbf {I} _{1})}+{frac {1}{2}}e_{(mathbf {I} _{1})}^{2}}

Donde ${displaystyle e_{(mathbf {I} _{1})}}$ es la cepa normal o la cepa de ingeniería en la dirección ${displaystyle mathbf {I} _{1},!}$ .

Los componentes off-diagonal ${displaystyle E_{KL}}$ del tensor de cepa finita lagrangiano están relacionados con la cepa de esquila, por ejemplo.

{displaystyle E_{12}={frac {1}{2}}{sqrt {2E_{11}+1}}{sqrt {2E_{22}+1}}sin phi _{12}}

Donde ${displaystyle phi _{12}}$ es el cambio en el ángulo entre dos elementos de línea que fueron originalmente perpendicular con direcciones ${displaystyle mathbf {I} _{1}}$ y ${displaystyle mathbf {I} _{2},!}$ , respectivamente.

Bajo ciertas circunstancias, es decir, pequeños desplazamientos y tasas de desplazamiento pequeñas, los componentes del tensor de deformación finito de Lagrang pueden aproximarse mediante los componentes del tensor de deformación infinitesimal.

Derivación de la interpretación física de los tensores de cepa finita de Lagrangia y Eulerian

La relación de estiramiento para el elemento diferencial ${displaystyle dmathbf {X} =dXmathbf {N} }$ (Figura) en la dirección del vector unitario ${displaystyle mathbf {N} }$ en el punto material ${displaystyle P,!}$ , en la configuración no deformada, se define como

{displaystyle Lambda _{(mathbf {N})}={frac {dx}{dX}}}

Donde ${displaystyle dx}$ es la magnitud deformada del elemento diferencial ${displaystyle dmathbf {X} ,!}$ .

Del mismo modo, la proporción de tramos para el elemento diferencial ${displaystyle dmathbf {x} =dxmathbf {n} }$ (Figura), en la dirección del vector unitario ${displaystyle mathbf {n} }$ en el punto material ${displaystyle p,!}$ , en la configuración deformada, se define como

{displaystyle {frac {1}{Lambda _{(mathbf {n})}}}={frac {dX}{dx}}}

El cuadrado de la relación de estiramiento se define como

{displaystyle Lambda _{(mathbf {N})}^{2}=left({frac {dx}{dX}}right)^{2}}

Saber que

{displaystyle (dx)^{2}=C_{KL}dX_{K}dX_{L}}

tenemos

{displaystyle Lambda _{(mathbf {N})}^{2}=C_{KL}N_{K}N_{L}}

Donde

{displaystyle N_{K}}

{displaystyle N_{L}}

son vectores de unidad.

La cepa normal o la cepa de ingeniería ${displaystyle e_{mathbf {N} }}$ en cualquier dirección ${displaystyle mathbf {N} }$ se puede expresar como una función de la relación de estiramiento,

{displaystyle e_{(mathbf {N})}={frac {dx-dX}{dX}}=Lambda _{(mathbf {N})}-1}

Así, la tensión normal en la dirección ${displaystyle mathbf {I} _{1}}$ en el punto material ${displaystyle P}$ se puede expresar en términos de la relación de estiramiento como

{displaystyle {begin{aligned}e_{(mathbf {I} _{1})}={frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}&=Lambda _{(mathbf {I} _{1})}-1\&={sqrt {C_{11}}}-1={sqrt {delta _{11}+2E_{11}}}-1\&={sqrt {1+2E_{11}}}-1end{aligned}}}

solución ${displaystyle E_{11}}$ tenemos

{displaystyle {begin{aligned}2E_{11}&={frac {(dx_{1})^{2}-(dX_{1})^{2}}{(dX_{1})^{2}}}\E_{11}&=left({frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}right)+{frac {1}{2}}left({frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}right)^{2}\&=e_{(mathbf {I} _{1})}+{frac {1}{2}}e_{(mathbf {I} _{1})}^{2}end{aligned}}}

El jerargas, o cambiar en ángulo entre dos elementos de línea ${displaystyle dmathbf {X} _{1}}$ y ${displaystyle dmathbf {X} _{2}}$ inicialmente perpendicular, y orientado en las direcciones principales ${displaystyle mathbf {I} _{1}}$ y ${displaystyle mathbf {I} _{2},!}$ , respectivamente, también se puede expresar como una función de la relación de estiramiento. Del producto punto entre las líneas deformadas ${displaystyle dmathbf {x} _{1}}$ y ${displaystyle dmathbf {x} _{2}}$ tenemos

{displaystyle {begin{aligned}dmathbf {x} _{1}cdot dmathbf {x} _{2}&=dx_{1}dx_{2}cos theta _{12}\mathbf {F} cdot dmathbf {X} _{1}cdot mathbf {F} cdot dmathbf {X} _{2}&={sqrt {dmathbf {X} _{1}cdot mathbf {F} ^{T}cdot mathbf {F} cdot dmathbf {X} _{1}}}cdot {sqrt {dmathbf {X} _{2}cdot mathbf {F} ^{T}cdot mathbf {F} cdot dmathbf {X} _{2}}}cos theta _{12}\{frac {dmathbf {X} _{1}cdot mathbf {F} ^{T}cdot mathbf {F} cdot dmathbf {X} _{2}}{dX_{1}dX_{2}}}&={frac {{sqrt {dmathbf {X} _{1}cdot mathbf {F} ^{T}cdot mathbf {F} cdot dmathbf {X} _{1}}}cdot {sqrt {dmathbf {X} _{2}cdot mathbf {F} ^{T}cdot mathbf {F} cdot dmathbf {X} _{2}}}}{dX_{1}dX_{2}}}cos theta _{12}\mathbf {I} _{1}cdot mathbf {C} cdot mathbf {I} _{2}&=Lambda _{mathbf {I} _{1}}Lambda _{mathbf {I} _{2}}cos theta _{12}end{aligned}}}

Donde ${displaystyle theta _{12}}$ es el ángulo entre las líneas ${displaystyle dmathbf {x} _{1}}$ y ${displaystyle dmathbf {x} _{2}}$ en la configuración deformada. Definición ${displaystyle phi _{12}}$ como la cepa o reducción del ángulo entre dos elementos de línea que fueron originalmente perpendiculares, tenemos

{displaystyle phi _{12}={frac {pi }{2}}-theta _{12}}

así,

{displaystyle cos theta _{12}=sin phi _{12}}

entonces

{displaystyle mathbf {I} _{1}cdot mathbf {C} cdot mathbf {I} _{2}=Lambda _{mathbf {I} _{1}}Lambda _{mathbf {I} _{2}}sin phi _{12}}

{displaystyle {begin{aligned}C_{12}&={sqrt {C_{11}}}{sqrt {C_{22}}}sin phi _{12}\2E_{12}+delta _{12}&={sqrt {2E_{11}+1}}{sqrt {2E_{22}+1}}sin phi _{12}\E_{12}&={frac {1}{2}}{sqrt {2E_{11}+1}}{sqrt {2E_{22}+1}}sin phi _{12}end{aligned}}}

Condiciones de compatibilidad

El problema de la compatibilidad en la mecánica continua implica la determinación de campos continuos de un solo valor permisibles en los cuerpos. Estas condiciones permitidas dejan el cuerpo sin espacios ni superposiciones no físicas después de una deformación. La mayoría de estas condiciones se aplican a cuerpos simplemente conectados. Se requieren condiciones adicionales para los límites internos de cuerpos conectados múltiples.

Compatibilidad del gradiente de deformación

Las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una ${displaystyle {boldsymbol {F}}}$ campo sobre un cuerpo simplemente conectado

{displaystyle {boldsymbol {nabla }}times {boldsymbol {F}}={boldsymbol {0}}}

Compatibilidad del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho

Las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de una ${displaystyle {boldsymbol {C}}}$ campo sobre un cuerpo simplemente conectado

{displaystyle R_{alpha beta rho }^{gamma }:={frac {partial }{partial X^{rho }}}[,_{(X)}Gamma _{alpha beta }^{gamma }]-{frac {partial }{partial X^{beta }}}[,_{(X)}Gamma _{alpha rho }^{gamma }]+,_{(X)}Gamma _{mu rho }^{gamma },_{(X)}Gamma _{alpha beta }^{mu }-,_{(X)}Gamma _{mu beta }^{gamma },_{(X)}Gamma _{alpha rho }^{mu }=0}

{displaystyle {boldsymbol {C}}}

Compatibilidad del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo

Las condiciones generales de suficiencia para el tensor izquierdo de la deformación Cauchy–Green en tres-dimensiones fueron derivadas por Amit Acharya. Condiciones de compatibilidad para dos dimensiones ${displaystyle {boldsymbol {B}}}$ campos fueron encontrados por Janet Blume.

Contenido relacionado

Más resultados...