Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es la rama de la lógica matemática que estudia conjuntos, que pueden describirse informalmente como colecciones de objetos. Aunque los objetos de cualquier tipo se pueden reunir en un conjunto, la teoría de conjuntos, como rama de las matemáticas, se ocupa principalmente de aquellos que son relevantes para las matemáticas en su conjunto.

El estudio moderno de la teoría de conjuntos fue iniciado por los matemáticos alemanes Richard Dedekind y Georg Cantor en la década de 1870. En particular, se suele considerar a Georg Cantor como el fundador de la teoría de conjuntos. Los sistemas no formalizados investigados durante esta primera etapa reciben el nombre de teoría ingenua de conjuntos. Después del descubrimiento de paradojas dentro de la teoría de conjuntos ingenua (como la paradoja de Russell, la paradoja de Cantor y la paradoja de Burali-Forti) se propusieron varios sistemas axiomáticos a principios del siglo XX, de los cuales la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (con o sin el axioma de elección) sigue siendo el más conocido y estudiado.

La teoría de conjuntos se emplea comúnmente como un sistema fundamental para la totalidad de las matemáticas, particularmente en la forma de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección. Además de su papel fundamental, la teoría de conjuntos también proporciona el marco para desarrollar una teoría matemática del infinito y tiene varias aplicaciones en informática (como en la teoría del álgebra relacional), filosofía y semántica formal. Su atractivo fundacional, junto con sus paradojas, sus implicaciones para el concepto de infinito y sus múltiples aplicaciones, han hecho de la teoría de conjuntos un área de gran interés para lógicos y filósofos de las matemáticas. La investigación contemporánea sobre la teoría de conjuntos cubre una amplia gama de temas, que van desde la estructura de la recta numérica real hasta el estudio de la consistencia de los grandes cardinales.

Historia

Los temas matemáticos suelen surgir y evolucionar a través de interacciones entre muchos investigadores. La teoría de conjuntos, sin embargo, fue fundada por un solo artículo en 1874 por Georg Cantor: "Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales".

Desde el siglo V a. C., comenzando con el matemático griego Zenón de Elea en Occidente y los primeros matemáticos indios en Oriente, los matemáticos han luchado con el concepto de infinito. Destaca especialmente la obra de Bernard Bolzano en la primera mitad del siglo XIX. La comprensión moderna del infinito comenzó en 1870-1874 y fue motivada por el trabajo de análisis real de Cantor. Una reunión de 1872 entre Cantor y Richard Dedekind influyó en el pensamiento de Cantor y culminó en el artículo de Cantor de 1874.

El trabajo de Cantor inicialmente polarizó a los matemáticos de su época. Mientras que Karl Weierstrass y Dedekind apoyaron a Cantor, Leopold Kronecker, ahora visto como uno de los fundadores del constructivismo matemático, no lo hizo. La teoría de conjuntos cantoriana finalmente se generalizó, debido a la utilidad de los conceptos cantorianos, como la correspondencia uno a uno entre conjuntos, su prueba de que hay más números reales que enteros y el "infinito de infinitos" ("El paraíso de Cantor") como resultado de la operación de ajuste de potencia. Esta utilidad de la teoría de conjuntos condujo al artículo "Mengenlehre", aportado en 1898 por Arthur Schoenflies a la enciclopedia de Klein.

La siguiente ola de entusiasmo en la teoría de conjuntos llegó alrededor de 1900, cuando se descubrió que algunas interpretaciones de la teoría de conjuntos cantoriana daban lugar a varias contradicciones, llamadas antinomias o paradojas. Bertrand Russell y Ernst Zermelo encontraron de forma independiente la paradoja más simple y mejor conocida, ahora llamada paradoja de Russell: considerar "el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos", lo que lleva a una contradicción ya que debe ser un miembro de sí mismo y no un miembro de sí mismo. En 1899, el propio Cantor planteó la pregunta "¿Cuál es el número cardinal del conjunto de todos los conjuntos?" Y obtuvo una paradoja relacionada. Russell usó su paradoja como tema en su revisión de 1903 de las matemáticas continentales en sus Principios de las matemáticas. En lugar del conjunto de términos,class, que posteriormente se ha utilizado de forma más técnica.

En 1906, el término conjunto apareció en el libro Theory of Sets of Points de los esposos William Henry Young y Grace Chisholm Young, publicado por Cambridge University Press.

El impulso de la teoría de conjuntos fue tal que el debate sobre las paradojas no llevó a su abandono. El trabajo de Zermelo en 1908 y el trabajo de Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem en 1922 dieron como resultado el conjunto de axiomas ZFC, que se convirtió en el conjunto de axiomas más utilizado para la teoría de conjuntos. El trabajo de analistas, como el de Henri Lebesgue, demostró la gran utilidad matemática de la teoría de conjuntos, que desde entonces se ha entretejido en el tejido de las matemáticas modernas. La teoría de conjuntos se usa comúnmente como un sistema fundamental, aunque en algunas áreas, como la geometría algebraica y la topología algebraica, se cree que la teoría de categorías es una base preferida.

Conceptos básicos y notación

La teoría de conjuntos comienza con una relación binaria fundamental entre un objeto o y un conjunto A. Si o es un miembro (o elemento) de A, se usa la notación o ∈ A. Un conjunto se describe enumerando elementos separados por comas, o por una propiedad que caracteriza a sus elementos, entre llaves { }. Dado que los conjuntos son objetos, la relación de pertenencia también puede relacionar conjuntos.

Una relación binaria derivada entre dos conjuntos es la relación de subconjunto, también llamada inclusión de conjunto. Si todos los miembros del conjunto A también son miembros del conjunto B, entonces A es un subconjunto de B, denotado A ⊆ B. Por ejemplo, {1, 2} es un subconjunto de {1, 2, 3} y {2} también lo es, pero {1, 4} no lo es. Como implica esta definición, un conjunto es un subconjunto de sí mismo. Para los casos en que esta posibilidad no sea adecuada o tenga sentido rechazarla, se define el término subconjunto propio. A se llamasubconjunto propio de B si y solo si A es un subconjunto de B, pero A no es igual a B. Además, 1, 2 y 3 son miembros (elementos) del conjunto {1, 2, 3}, pero no son subconjuntos del mismo; ya su vez, los subconjuntos, como {1}, no son miembros del conjunto {1, 2, 3}.

Así como la aritmética presenta operaciones binarias con números, la teoría de conjuntos presenta operaciones binarias con conjuntos. La siguiente es una lista parcial de ellos:

• La unión de los conjuntos A y B, denotada A ∪ B, es el conjunto de todos los objetos que son miembros de A, o B, o ambos. Por ejemplo, la unión de {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es el conjunto {1, 2, 3, 4}.
• La intersección de los conjuntos A y B, denotada A ∩ B, es el conjunto de todos los objetos que son miembros tanto de A como de B. Por ejemplo, la intersección de {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es el conjunto {2, 3}.
• La diferencia de conjuntos de U y A, denotada U A, es el conjunto de todos los miembros de U que no son miembros de A. La diferencia de conjuntos {1, 2, 3} {2, 3, 4} es {1}, mientras que, a la inversa, la diferencia de conjuntos {2, 3, 4} {1, 2, 3} es {4}. Cuando A es un subconjunto de U, la diferencia de conjuntos U A también se llama complemento de A en U. En este caso, si la elección de UEstá claro por el contexto, la notación A se usa a veces en lugar de U A, particularmente si U es un conjunto universal como en el estudio de los diagramas de Venn.
• La diferencia simétrica de los conjuntos A y B, denotada A △ B o A ⊖ B, es el conjunto de todos los objetos que son miembros de exactamente uno de A y B (elementos que están en uno de los conjuntos, pero no en ambos). Por ejemplo, para los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4}, el conjunto de diferencias simétricas es {1, 4}. Es la diferencia de conjuntos de la unión y la intersección, (A ∪ B) (A ∩ B) o (A segundo) ∪ (segundo UN).
• El producto cartesiano de A y B, denotado A × B, es el conjunto cuyos miembros son todos los pares ordenados posibles ( a , b ), donde a es miembro de A yb es miembro de B. Por ejemplo, el producto cartesiano de {1, 2} y {rojo, blanco} es {(1, rojo), (1, blanco), (2, rojo), (2, blanco)}.
• Conjunto potencia de un conjunto A, denotado , es el conjunto cuyos miembros son todos los subconjuntos posibles de A. Por ejemplo, el conjunto potencia de {1, 2} es { {}, {1}, {2}, {1, 2} }.

Algunos conjuntos básicos de importancia central son el conjunto de los números naturales, el conjunto de los números reales y el conjunto vacío, el conjunto único que no contiene elementos. El conjunto vacío también se denomina ocasionalmente conjunto nulo, aunque este nombre es ambiguo y puede dar lugar a varias interpretaciones.

Ontología

Un conjunto es puro si todos sus miembros son conjuntos, todos los miembros de sus miembros son conjuntos, etc. Por ejemplo, el conjunto que contiene solo el conjunto vacío es un conjunto puro no vacío. En la teoría de conjuntos moderna, es común restringir la atención al universo de von Neumann de conjuntos puros, y muchos sistemas de teoría de conjuntos axiomáticos están diseñados para axiomatizar solo los conjuntos puros. Esta restricción tiene muchas ventajas técnicas y se pierde poca generalidad, porque esencialmente todos los conceptos matemáticos pueden modelarse mediante conjuntos puros. Los conjuntos en el universo de von Neumann se organizan en una jerarquía acumulativa, según la profundidad de anidamiento de sus miembros, miembros de miembros, etc. A cada conjunto de esta jerarquía se le asigna (por recursión transfinita) un número ordinal , conocido como su rango.El rango de un conjunto puro se define como el menor ordinal estrictamente mayor que el rango de cualquiera de sus elementos. Por ejemplo, al conjunto vacío se le asigna el rango 0, mientras que al conjunto {{}} que contiene solo el conjunto vacío se le asigna el rango 1. Para cada ordinal , el conjunto se define para que consista en todos los conjuntos puros con rango menor que . Se denota todo el universo de von Neumann .

Teoría de conjuntos formalizada

La teoría de conjuntos elemental se puede estudiar de manera informal e intuitiva, por lo que se puede enseñar en las escuelas primarias utilizando diagramas de Venn. El enfoque intuitivo asume tácitamente que se puede formar un conjunto a partir de la clase de todos los objetos que satisfacen cualquier condición definitoria particular. Esta suposición da lugar a paradojas, las más simples y conocidas de las cuales son la paradoja de Russell y la paradoja de Burali-Forti. La teoría axiomática de conjuntos se concibió originalmente para librar a la teoría de conjuntos de tales paradojas.

Los sistemas de teoría axiomática de conjuntos más ampliamente estudiados implican que todos los conjuntos forman una jerarquía acumulativa. Dichos sistemas vienen en dos sabores, aquellos cuya ontología consiste en:

• Conjuntos solos. Esto incluye la teoría de conjuntos axiomática más común, la teoría de conjuntos de Z ermelo- F raenkel con el axioma de elección (ZFC). Los fragmentos de ZFC incluyen:
  • la teoría de conjuntos de Zermelo, que sustituye el esquema axiomático de sustitución por el de separación;
  • Teoría general de conjuntos, un pequeño fragmento de la teoría de conjuntos de Zermelo suficiente para los axiomas de Peano y conjuntos finitos;
  • La teoría de conjuntos de Kripke-Platek, que omite los axiomas de infinito, potencia y elección, y debilita los esquemas axiomáticos de separación y reemplazo.
• Conjuntos y clases propias. Estos incluyen la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, que tiene la misma fuerza que ZFC solo para teoremas sobre conjuntos, y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley y la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck, las cuales son más fuertes que ZFC.

Los sistemas anteriores se pueden modificar para permitir urelements, objetos que pueden ser miembros de conjuntos pero que no son conjuntos en sí mismos y no tienen ningún miembro.

Los sistemas New Foundations de NFU (permitiendo urelements) y NF (sin ellos) no se basan en una jerarquía acumulativa. NF y NFU incluyen un "conjunto de todo", en relación con el cual cada conjunto tiene un complemento. En estos sistemas, los elementos ur son importantes porque NF, pero no NFU, produce conjuntos para los que no se cumple el axioma de elección. A pesar de que la ontología de NF no refleja la jerarquía acumulativa tradicional y viola la fundamentación, Thomas Forster ha argumentado que refleja una concepción iterativa del conjunto.

Los sistemas de teoría de conjuntos constructiva, como CST, CZF e IZF, incorporan sus axiomas de conjuntos en la lógica intuicionista en lugar de la lógica clásica. Sin embargo, otros sistemas aceptan la lógica clásica pero cuentan con una relación de pertenencia no estándar. Estos incluyen la teoría de conjuntos aproximados y la teoría de conjuntos borrosos, en los que el valor de una fórmula atómica que incorpora la relación de pertenencia no es simplemente Verdadero o Falso. Los modelos con valores booleanos de ZFC son un tema relacionado.

Edward Nelson propuso en 1977 un enriquecimiento de ZFC llamado teoría de conjuntos internos.

Aplicaciones

Muchos conceptos matemáticos se pueden definir con precisión utilizando solo conceptos teóricos establecidos. Por ejemplo, estructuras matemáticas tan diversas como gráficos, variedades, anillos, espacios vectoriales y álgebras relacionales pueden definirse como conjuntos que satisfacen varias propiedades (axiomáticas). Las relaciones de equivalencia y de orden son omnipresentes en las matemáticas, y la teoría de las relaciones matemáticas se puede describir en la teoría de conjuntos.

La teoría de conjuntos es también un sistema fundamental prometedor para gran parte de las matemáticas. Desde la publicación del primer volumen de Principia Mathematica, se ha afirmado que la mayoría (o incluso todos) los teoremas matemáticos se pueden derivar usando un conjunto de axiomas adecuadamente diseñados para la teoría de conjuntos, ampliados con muchas definiciones, usando lógica de primer o segundo orden.. Por ejemplo, las propiedades de los números naturales y reales se pueden derivar dentro de la teoría de conjuntos, ya que cada sistema numérico se puede identificar con un conjunto de clases de equivalencia bajo una relación de equivalencia adecuada cuyo campo es un conjunto infinito.

La teoría de conjuntos como base para el análisis matemático, la topología, el álgebra abstracta y las matemáticas discretas tampoco es controvertida; los matemáticos aceptan (en principio) que los teoremas en estas áreas pueden derivarse de las definiciones relevantes y los axiomas de la teoría de conjuntos. Sin embargo, queda que pocas derivaciones completas de teoremas matemáticos complejos de la teoría de conjuntos se han verificado formalmente, ya que dichas derivaciones formales suelen ser mucho más largas que las demostraciones en lenguaje natural que los matemáticos suelen presentar. Un proyecto de verificación, Metamath, incluye derivaciones escritas por humanos y verificadas por computadora de más de 12 000 teoremas a partir de la teoría de conjuntos ZFC, la lógica de primer orden y la lógica proposicional.

Áreas de estudio

La teoría de conjuntos es un área importante de investigación en matemáticas, con muchos subcampos interrelacionados.

Teoría de conjuntos combinatoria

La teoría de conjuntos combinatoria se refiere a las extensiones de la combinatoria finita a conjuntos infinitos. Esto incluye el estudio de la aritmética cardinal y el estudio de extensiones del teorema de Ramsey, como el teorema de Erdős-Rado.

Teoría de conjuntos descriptiva

La teoría de conjuntos descriptiva es el estudio de subconjuntos de la línea real y, más generalmente, subconjuntos de espacios polacos. Comienza con el estudio de clases de puntos en la jerarquía de Borel y se extiende al estudio de jerarquías más complejas como la jerarquía proyectiva y la jerarquía de Wadge. Muchas propiedades de los conjuntos de Borel se pueden establecer en ZFC, pero demostrar que estas propiedades se cumplen para conjuntos más complicados requiere axiomas adicionales relacionados con la determinación y los cardinales grandes.

El campo de la teoría de conjuntos descriptiva efectiva se encuentra entre la teoría de conjuntos y la teoría de la recursión. Incluye el estudio de clases puntuales de caras claras y está estrechamente relacionado con la teoría hiperaritmética. En muchos casos, los resultados de la teoría descriptiva clásica de conjuntos tienen versiones efectivas; en algunos casos, se obtienen nuevos resultados probando primero la versión efectiva y luego ampliándola ("relativizándola") para hacerla más ampliamente aplicable.

Un área reciente de investigación se refiere a las relaciones de equivalencia de Borel y relaciones de equivalencia definibles más complicadas. Esto tiene aplicaciones importantes para el estudio de invariantes en muchos campos de las matemáticas.

Teoría de conjuntos borrosos

En la teoría de conjuntos, como la definió Cantor y Zermelo y Fraenkel axiomatizaron, un objeto es miembro de un conjunto o no. En la teoría de conjuntos borrosos, esta condición fue relajada por Lotfi A. Zadeh, por lo que un objeto tiene un grado de pertenencia a un conjunto, un número entre 0 y 1. Por ejemplo, el grado de pertenencia de una persona al conjunto de "personas altas". es más flexible que una simple respuesta de sí o no y puede ser un número real como 0,75.

Teoría del modelo interno

Un modelo interno de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) es una clase transitiva que incluye todos los ordinales y satisface todos los axiomas de ZF. El ejemplo canónico es el universo construible L desarrollado por Gödel. Una de las razones por las que el estudio de los modelos internos es de interés es que puede usarse para probar resultados de consistencia. Por ejemplo, se puede demostrar que independientemente de si un modelo V de ZF satisface la hipótesis del continuo o el axioma de elección, el modelo interno L construido dentro del modelo original satisfará tanto la hipótesis del continuo generalizada como el axioma de elección. Por lo tanto, la suposición de que ZF es consistente (tiene al menos un modelo) implica que ZF junto con estos dos principios es consistente.

El estudio de modelos internos es común en el estudio de la determinación y los grandes cardinales, especialmente cuando se consideran axiomas como el axioma de determinación que contradicen el axioma de elección. Incluso si un modelo fijo de la teoría de conjuntos satisface el axioma de elección, es posible que un modelo interno no lo satisfaga. Por ejemplo, la existencia de cardenales suficientemente grandes implica que hay un modelo interno que satisface el axioma de determinación (y por lo tanto no satisface el axioma de elección).

Cardenales grandes

Un cardenal grande es un número cardinal con una propiedad extra. Se estudian muchas de estas propiedades, incluidos los cardinales inaccesibles, los cardinales medibles y muchos más. Estas propiedades generalmente implican que el número cardinal debe ser muy grande, y la existencia de un cardinal con la propiedad especificada no es demostrable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

Determinación

La determinación se refiere al hecho de que, bajo supuestos apropiados, ciertos juegos de dos jugadores con información perfecta se determinan desde el principio en el sentido de que un jugador debe tener una estrategia ganadora. La existencia de estas estrategias tiene consecuencias importantes en la teoría descriptiva de conjuntos, ya que la suposición de que se determina una clase más amplia de juegos a menudo implica que una clase más amplia de conjuntos tendrá una propiedad topológica. El axioma de determinación (AD) es un importante objeto de estudio; aunque incompatible con el axioma de elección, AD implica que todos los subconjuntos de la línea real se comportan bien (en particular, medibles y con la propiedad de conjunto perfecto). AD se puede utilizar para demostrar que los grados de Wadge tienen una estructura elegante.

Forzar

Paul Cohen inventó el método de forzar mientras buscaba un modelo de ZFC en el que fallara la hipótesis del continuo, o un modelo de ZF en el que fallara el axioma de elección. Forzar se une a algún modelo dado de teoría de conjuntos conjuntos adicionales para crear un modelo más grande con propiedades determinadas (es decir, "forzadas") por la construcción y el modelo original. Por ejemplo, la construcción de Cohen agrega subconjuntos adicionales de los números naturales sin cambiar ninguno de los números cardinales del modelo original. Forzar es también uno de los dos métodos para probar la consistencia relativa mediante métodos finitistas, siendo el otro método los modelos con valores booleanos.

Invariantes cardinales

Un invariante cardinal es una propiedad de la línea real medida por un número cardinal. Por ejemplo, una invariante bien estudiada es la cardinalidad más pequeña de una colección de magros conjuntos de reales cuya unión es la línea real completa. Estos son invariantes en el sentido de que dos modelos isomórficos cualquiera de la teoría de conjuntos deben dar el mismo cardinal para cada invariante. Se han estudiado muchos invariantes cardinales y las relaciones entre ellos suelen ser complejas y están relacionadas con los axiomas de la teoría de conjuntos.

Topología de teoría de conjuntos

La topología de teoría de conjuntos estudia cuestiones de topología general que son de naturaleza teórica de conjuntos o que requieren métodos avanzados de teoría de conjuntos para su solución. Muchos de estos teoremas son independientes de ZFC y requieren axiomas más fuertes para su demostración. Un problema famoso es la cuestión del espacio de Moore normal, una cuestión de topología general que fue objeto de una intensa investigación. Finalmente se demostró que la respuesta a la pregunta normal del espacio de Moore era independiente de ZFC.

Objeciones a la teoría de conjuntos

Desde el inicio de la teoría de conjuntos, algunos matemáticos se han opuesto a ella como base para las matemáticas. La objeción más común a la teoría de conjuntos, expresada por Kronecker en los primeros años de la teoría de conjuntos, parte de la visión constructivista de que las matemáticas están vagamente relacionadas con la computación. Si se acepta este punto de vista, entonces el tratamiento de los conjuntos infinitos, tanto en la teoría de conjuntos ingenua como en la axiomática, introduce en las matemáticas métodos y objetos que no son computables ni siquiera en principio. La viabilidad del constructivismo como base sustituta de las matemáticas aumentó considerablemente con el influyente libro de Errett Bishop Fundamentos del análisis constructivo.

Una objeción diferente planteada por Henri Poincaré es que definir conjuntos utilizando los esquemas axiomáticos de especificación y reemplazo, así como el axioma de conjunto potencia, introduce impredicatividad, un tipo de circularidad, en las definiciones de objetos matemáticos. El alcance de las matemáticas fundamentadas predicativamente, aunque menor que el de la teoría comúnmente aceptada de Zermelo-Fraenkel, es mucho mayor que el de las matemáticas constructivas, hasta el punto de que Solomon Feferman ha dicho que "todo el análisis científicamente aplicable se puede desarrollar [usando métodos]".

Ludwig Wittgenstein condenó filosóficamente la teoría de conjuntos por sus connotaciones de platonismo matemático. Escribió que "la teoría de conjuntos es incorrecta", ya que se basa en las "tonterías" del simbolismo ficticio, tiene "modismos perniciosos" y que no tiene sentido hablar de "todos los números". Wittgenstein identificó las matemáticas con la deducción algorítmica humana; la necesidad de una base segura para las matemáticas le parecía absurda. Además, dado que el esfuerzo humano es necesariamente finito, la filosofía de Wittgenstein requería un compromiso ontológico con el constructivismo radical y el finitismo. Los enunciados metamatemáticos —que, para Wittgenstein, incluían cualquier enunciado que cuantificara sobre dominios infinitos y, por lo tanto, casi toda la teoría de conjuntos moderna— no son matemáticas. Pocos filósofos modernos han adoptado los puntos de vista de Wittgenstein después de un error espectacular en Observaciones sobre los fundamentos de las matemáticas: Wittgenstein intentó refutar los teoremas de incompletitud de Gödel después de haber leído solo el resumen. Como señalaron los revisores Kreisel, Bernays, Dummett y Goodstein, muchas de sus críticas no se aplicaron al artículo en su totalidad. Sólo recientemente filósofos como Crispin Wright han comenzado a rehabilitar los argumentos de Wittgenstein.

Los teóricos de categorías han propuesto la teoría del topos como una alternativa a la teoría de conjuntos axiomática tradicional. La teoría Topos puede interpretar varias alternativas a esa teoría, como el constructivismo, la teoría de conjuntos finitos y la teoría de conjuntos computables. Topoi también brinda un entorno natural para forzar y discutir la independencia de elección de ZF, además de proporcionar el marco para la topología sin sentido y los espacios de piedra.

Un área activa de investigación son los fundamentos univalentes y la teoría del tipo de homotopía relacionada con ella. Dentro de la teoría del tipo de homotopía, un conjunto puede considerarse como un tipo 0 de homotopía, con propiedades universales de conjuntos que surgen de las propiedades inductivas y recursivas de tipos inductivos superiores. Principios como el axioma de elección y la ley del tercero excluido pueden formularse de una manera que corresponda a la formulación clásica en la teoría de conjuntos o quizás en un espectro de formas distintas únicas para la teoría de tipos. Puede probarse que algunos de estos principios son consecuencia de otros principios. La variedad de formulaciones de estos principios axiomáticos permite un análisis detallado de las formulaciones requeridas para derivar varios resultados matemáticos.

La teoría de conjuntos en la educación matemática

A medida que la teoría de conjuntos ganó popularidad como base de las matemáticas modernas, hubo apoyo para la idea de introducir los conceptos básicos de la teoría de conjuntos ingenua en una etapa temprana de la educación matemática.

En los EE. UU., en la década de 1960, el experimento New Math tenía como objetivo enseñar la teoría básica de conjuntos, entre otros conceptos abstractos, a estudiantes de primaria, pero recibió muchas críticas. El programa de matemáticas en las escuelas europeas siguió esta tendencia y actualmente incluye la materia en diferentes niveles en todos los grados. Los diagramas de Venn se emplean ampliamente para explicar las relaciones básicas de la teoría de conjuntos a los estudiantes de primaria (aunque John Venn los ideó originalmente como parte de un procedimiento para evaluar la validez de las inferencias en la lógica de términos).

La teoría de conjuntos se utiliza para presentar a los estudiantes los operadores lógicos (NO, Y, O) y la descripción semántica o de reglas (definición técnicamente intensional) de conjuntos (p. ej., "meses que comienzan con la letra A "), que pueden ser útiles para aprender programación informática., ya que la lógica booleana se usa en varios lenguajes de programación. Del mismo modo, los conjuntos y otros objetos similares a colecciones, como multiconjuntos y listas, son tipos de datos comunes en informática y programación.

Además, en la enseñanza de las matemáticas se hace referencia comúnmente a los conjuntos cuando se habla de diferentes tipos de números (los conjuntos de números naturales, de números enteros, de números reales, etc.), y cuando se define una función matemática como una relación de un conjunto. (el dominio) a otro conjunto (el rango).