Polinomios de Legendre

ImprimirCitar
Sistema de polinomios completos y ortogonales
Los primeros seis polinomios Legendre

En matemáticas, los polinomios de Legendre, llamados así por Adrien-Marie Legendre (1782), son un sistema de polinomios completos y ortogonales con un gran número de propiedades matemáticas y numerosas aplicaciones. Se pueden definir de muchas maneras, y las diversas definiciones resaltan diferentes aspectos y sugieren generalizaciones y conexiones a diferentes estructuras matemáticas y aplicaciones físicas y numéricas.

Estrechamente relacionados con los polinomios de Legendre están los polinomios de Legendre asociados, las funciones de Legendre, las funciones de Legendre del segundo tipo y las funciones de Legendre asociadas.

Definición por construcción como sistema ortogonal

En este enfoque, los polinomios se definen como un sistema ortogonal con respecto a la función de peso w()x)=1{displaystyle w(x)=1} sobre el intervalo [− − 1,1]{displaystyle [-1,1]}. Eso es, Pn()x){displaystyle P_{n}(x)} es un polinomio de grado n{displaystyle n}, tal que

∫ ∫ − − 11Pm()x)Pn()x)dx=0sinل ل m.{displaystyle int ¿Por qué?

Con la condición de estandarización adicional Pn()1)=1{displaystyle P_{n}(1)=1}, todos los polinomios se pueden determinar de forma única. Luego iniciamos el proceso de construcción: P0()x)=1{displaystyle P_{0}(x)=1} es el único polinomio normalizado de grado 0. P1()x){displaystyle P_{1}(x)} debe ser ortogonal P0{displaystyle P_{0}, conduce a P1()x)=x{displaystyle P_{1}(x)=x}, y P2()x){displaystyle P_{2}(x)} se determina por ortogonalidad exigente a P0{displaystyle P_{0} y P1{displaystyle P_{1}, y así sucesivamente. Pn{displaystyle P_{n} se fija por ortogonalidad exigente a todos Pm{displaystyle P_{m} con <math alttext="{displaystyle mm.n{displaystyle m won}<img alt=" m . Esto da n{displaystyle n} condiciones que, junto con la estandarización Pn()1)=1{displaystyle P_{n}(1)=1} Arregla todos n+1{displaystyle n+1} coeficientes en Pn()x){displaystyle P_{n}(x)}. Con el trabajo, todos los coeficientes de cada polinomio se pueden determinar sistemáticamente, lo que conduce a la representación explícita en poderes de x{displaystyle x} dado abajo.

Esta definición de la Pn{displaystyle P_{n}Es el más simple. No apela a la teoría de las ecuaciones diferenciales. En segundo lugar, la integridad de los polinomios sigue inmediatamente de la integridad de los poderes 1, x,x2,x3,...... {displaystyle x,x^{2},x^{3},ldots }. Finalmente, al definirlos vía ortogonalidad con respecto a la función de peso más obvia en un intervalo finito, establece los polinomios Legendre como uno de los tres sistemas polinomios ortogonales clásicos. Los otros dos son los polinomios de Laguerre, que son ortogonales sobre la media línea [0,JUEGO JUEGO ){displaystyle [0,infty]}, y los polinomios Hermite, ortogonal sobre la línea completa ()− − JUEGO JUEGO ,JUEGO JUEGO ){displaystyle (-inftyinfty)}, con funciones de peso que son las funciones analíticas más naturales que aseguran la convergencia de todas las integrales.

Definición mediante función generadora

Los polinomios Legendre también se pueden definir como los coeficientes en una expansión formal en poderes de t{displaystyle t} de la función generadora

11− − 2xt+t2=.. n=0JUEGO JUEGO Pn()x)tn.{displaystyle {frac {1}{sqrt {1-2xt+t^{2}}=sum ¿Por qué?

()2)

El coeficiente de tn{displaystyle t^{n} es un polinomio en x{displaystyle x} grado n{displaystyle n} con SilencioxSilencio≤ ≤ 1{displaystyle Silencioso. Ampliar hasta t1{displaystyle t^{1} da

P0()x)=1,P1()x)=x.{displaystyle P_{0}(x)=1,quad P_{1}(x)=x.}

Es posible obtener el mayor Pn{displaystyle P_{n}'s sin recurrir a la expansión directa de la serie Taylor, sin embargo. Eq.2 se diferencia con respecto a t en ambos lados y reordenado para obtener

x− − t1− − 2xt+t2=()1− − 2xt+t2).. n=1JUEGO JUEGO nPn()x)tn− − 1.{displaystyle {frac {x-t}{sqrt {1-2xt+t^{2}}}=left(1-2xt+t^{2}right)sum _{n=1}{infty }nP_{n}(x)t^{n-1},}
2tfórmula de recursión de Bonnet
()n+1)Pn+1()x)=()2n+1)xPn()x)− − nPn− − 1()x).{displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x),}
P0P1

El enfoque de la función generadora está directamente relacionado con la expansión multipolar de la electrostática, como se explica a continuación, y es cómo Legendre definió los polinomios por primera vez en 1782.

Definición mediante ecuación diferencial

Una tercera definición es en términos de soluciones a la ecuación diferencial de Legendre:

()1− − x2)Pn.()x)− − 2xPn.()x)+n()n+1)Pn()x)=0.{displaystyle (1-x^{2})P_{n}'(x)-2xP_{n}'(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.}

()1)

Esta ecuación diferencial tiene puntos singulares regulares en x = ±1 por lo que si se busca una solución usando el método estándar de Frobenius o de series de potencias, un la serie sobre el origen solo convergerá para |x| < 1 en general. Cuando n es un número entero, la solución Pn(x) que es regular en x = 1 también es regular en x = −1, y la serie para esta solución termina (es decir, es un polinomio). La ortogonalidad y completitud de estas soluciones se ve mejor desde el punto de vista de la teoría de Sturm-Liouville. Reescribimos la ecuación diferencial como un problema de valores propios,

ddx()()1− − x2)ddx)P()x)=− − λ λ P()x),{displaystyle {frac {d}left(left(1-x^{2}right){frac {d}{dx}right)P(x)=-lambda P(x),}
λ λ {displaystyle lambda }n()n+1){displaystyle n(n+1)}x=± ± 1{displaystyle x=pm 1}n()n + 1)n=0,1,2,...... {displaystyle n=0,1,2,ldots }Pn()x){displaystyle P_{n}(x)}

La ecuación diferencial admite otra solución no polinómica, las funciones Legendre del segundo tipo Qn{displaystyle Q_{n}. Una generalización de dos parámetros (Eq.1) se llama Legendre general ecuación diferencial, resuelta por los polinomios de la Leyenda Asociada. Las funciones de leyenda son soluciones de la ecuación diferencial de Legendre (generalizada o no) con no entero parámetros.

En la configuración física, la ecuación diferencial de Legendre surge naturalmente cuando se resuelve la ecuación de Laplace (y las ecuaciones diferenciales parciales relacionadas) por separación de variables en coordenadas esféricas. Desde este punto de vista, las eigenfunctions de la parte angular del operador laplaciano son los armónicos esféricos, de los cuales los polinomios Legendre son (hasta una constante multiplicativa) el subconjunto que queda invariable por las rotaciones sobre el eje polar. Los polinomios aparecen como Pn()#⁡ ⁡ Silencio Silencio ){displaystyle P_{n}(cos theta)} Donde Silencio Silencio {displaystyle theta } es el ángulo polar. Este enfoque de los polinomios Legendre proporciona una profunda conexión a la simetría rotacional. Muchas de sus propiedades que se encuentran laboriosamente a través de los métodos de análisis, por ejemplo el teorema de adición, se encuentran más fácilmente utilizando los métodos de simetría y teoría de grupos, y adquieren un significado físico y geométrico profundo.

Ortogonalidad y completitud

La estandarización Pn()1)=1{displaystyle P_{n}(1)=1} fija la normalización de los polinomios Legendre (con respecto a la norma L2 en el intervalo −1 - ≤ x ≤ 1). Puesto que también son ortogonales con respecto a la misma norma, las dos declaraciones se pueden combinar en la ecuación única,

∫ ∫ − − 11Pm()x)Pn()x)dx=22n+1δ δ mn,{displaystyle int ¿Por qué? {2}{2n+1}delta ¿Qué?
δmnm = n

Que los polinomios estén completos significa lo siguiente. Dada cualquier función continua f()x){displaystyle f(x)} con finitamente muchas discontinuidades en el intervalo [1, a 1], la secuencia de sumas

fn()x)=.. l l =0nal l Pl l ()x){displaystyle f_{n}(x)=sum _{ell - Sí.
f()x){displaystyle f(x)}n→ → JUEGO JUEGO {displaystyle nto infty }
al l =2l l +12∫ ∫ − − 11f()x)Pl l ()x)dx.{displaystyle a_{ell }={frac {2ell +1}{2}int _{1} {1}f(x)P_{ell }(x),dx.}

Esta propiedad de completitud es la base de todas las expansiones discutidas en este artículo y, a menudo, se expresa en la forma

.. l l =0JUEGO JUEGO 2l l +12Pl l ()x)Pl l ()Sí.)=δ δ ()x− − Sí.),{displaystyle sum _{ell ¿Qué? #### {2}P_{ell }(x)P_{ell }(y)=delta (x-y),}
−1 - ≤ x ≤ 1−1 - ≤ Sí. ≤ 1

Rodrigues' fórmula y otras fórmulas explícitas

Rodrigues' proporciona una expresión especialmente compacta para los polinomios de Legendre. fórmula:

Pn()x)=12nn!dndxn()x2− − 1)n.{displaystyle P_{n}(x)={frac {2} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn} {fn}fn}}}}} {fn}}} {fn}}}}}}}}}fn} {fn}}}}}}}}} {fn} {fn}fn}} {fn}}}fn}} {fnfn}}}}fn}}fn}}fn}fn}fn} {fn} {fn}fn}}fnfn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fnfn}fn}fn}}}}fn

Esta fórmula permite la derivación de un gran número de propiedades de la Pn{displaystyle P_{n}Es. Entre ellas se encuentran las representaciones explícitas tales como

Pn()x)=12n.. k=0n()nk)2()x− − 1)n− − k()x+1)k,Pn()x)=.. k=0n()nk)()n+kk)()x− − 12)k,Pn()x)=12n.. k=0⌊n2⌋()− − 1)k()nk)()2n− − 2kn)xn− − 2k,Pn()x)=2n.. k=0nxk()nk)()n+k− − 12n).{displaystyle {begin{aligned}P_{n}(x) {frac {1}{2^{n}}}sum ¿Qué? {n}{2}(x-1)} {n-k}(x+1)}\P_{n}(x) ¿Qué? {n}{k}{binom} {fnK}}left({frac} {x-1}{2}right)}pn}sum ¿Por qué? {n}{k}{binom} {2n-2k}{n}x^{n-2k},\P_{n}(x) ¿Qué? {fn} {fn} {binom} {fn} {fnK}} {binom} {binom} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {binom} {fn} {fn}}} {fn}}} {binom}} {fn} {binom}}} {fnfn} {fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}}fn}fn}}}fn}fn}fn}fn}fn}fn} {binom} {binom} {fn} {binom}\\fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn {n+k-1}{2} {n}} {n}} {end{aligned}}

Los primeros polinomios de Legendre son:

n{displaystyle n}Pn()x){displaystyle P_{n}(x)}
01{textstyle 1}
1x{textstyle x}
212()3x2− − 1){fnMicrosoft Sans Serif}
312()5x3− − 3x){textstyle {tfrac {1}{2}left(5x^{3}-3xright)}
418()35x4− − 30x2+3){fnMicrosoft Sans Serif}left(35x^{4}-30x^{2}+3right)}
518()63x5− − 70x3+15x){fnMicrosoft Sans Serif}left(63x^{5}-70x^{3}+15xright)}
6116()231x6− − 315x4+105x2− − 5){fnMicromo {fnK}left(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5right)}
7116()429x7− − 693x5+315x3− − 35x){fnMicromo {fnK}}left(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35xright)}
81128()6435x8− − 12012x6+6930x4− − 1260x2+35){fnMicroc {1}left(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35right)}
91128()12155x9− − 25740x7+18018x5− − 4620x3+315x){tfrac}left(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315xright)}
101256()46189x10− − 109395x8+90090x6− − 30030x4+3465x2− − 63){fnMicrosoft Sans Serif}left(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63right)}

Los gráficos de estos polinomios (hasta n = 5) se muestran a continuación:

Plot of the six first Legendre polynomials.

Aplicaciones de los polinomios de Legendre

Expandiendo un potencial 1/r

Los polinomios de Legendre fueron introducidos por primera vez en 1782 por Adrien-Marie Legendre como los coeficientes en la expansión del potencial newtoniano.

1Silenciox− − x.Silencio=1r2+r.2− − 2rr.#⁡ ⁡ γ γ =.. l l =0JUEGO JUEGO r.l l rl l +1Pl l ()#⁡ ⁡ γ γ ),{displaystyle {frac {1}{sfnMitbf {x} - Mathbf {x} "Justo en la vida" }=sum _{ell =0}{infty }{frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ################################################################################################################################################################################################################################################################
rr.xx.γrr.

Los polinomios de Legendre ocurren en la solución de la ecuación de Laplace del potencial estático, 2 Φ(x) = 0, en una región del espacio libre de carga, utilizando el método de separación de variables, donde las condiciones de contorno tienen simetría axial (sin dependencia de un ángulo azimutal). Donde es el eje de simetría y θ es el ángulo entre la posición del observador y el eje (el ángulo cenital), la solución para el potencial será

CCPR CCPR ()r,Silencio Silencio )=.. l l =0JUEGO JUEGO ()Al l rl l +Bl l r− − ()l l +1))Pl l ()#⁡ ⁡ Silencio Silencio ).{displaystyle Phi (r,theta)=sum _{ell ¿Qué? }+B_{ell }r^{-(ell +1)}right)P_{ell }(cos theta),.}

Al y Bl se determinarán de acuerdo con la condición de contorno de cada problema.

También aparecen al resolver la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones para una fuerza central.

Polinomios de Legendre en desarrollos multipolares

Diagram for the multipole expansion of electric potential.

Los polinomios de Legendre también son útiles para expandir funciones de la forma (esto es lo mismo que antes, escrito un poco diferente):

11+.. 2− − 2.. x=.. k=0JUEGO JUEGO .. kPk()x),{displaystyle {frac {1}{1+eta }-2eta #=sum _{k=0} {infty }eta }P_{k}(x),}

Como ejemplo, el potencial eléctrico Φ(r,θ) (en coordenadas esféricas) debido a un carga puntual ubicada en el eje z en z = a (ver diagrama a la derecha) varía como

CCPR CCPR ()r,Silencio Silencio )∝ ∝ 1R=1r2+a2− − 2ar#⁡ ⁡ Silencio Silencio .{displaystyle Phi (r,theta)propto {frac {1} {fn}= {fnK} {fnK} {fn} {fnh}} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}} {f}} {fn} {f}} {fnf}} {f}f}} {f}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f} {f} {f} {f} {f} {f}fnf}f}f}f}f}f}f}f}f}fnfnfnfnf}f}f} {fnfnfnf}fnfn}fn}fnfnf}fnf}f}fn}f}fn} {f}+a}{2}-2arcos theta }}}

Si el radio r del punto de observación P es mayor que a, el potencial puede expandirse en los polinomios de Legendre

CCPR CCPR ()r,Silencio Silencio )∝ ∝ 1r.. k=0JUEGO JUEGO ()ar)kPk()#⁡ ⁡ Silencio Silencio ),{displaystyle Phi (r,theta)propto {frac {1}{r}sum _{k=0}^{infty }left({frac {}{r}right)}{k}P_{k}(cos theta),}}}}} {f}f}f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnh}f}fnh}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnh}fnh}f}f}f}f}fnh}f}fn
. = a/r 1x = Silencio

Por el contrario, si el radio r del punto de observación P es menor que a, el potencial aún puede expandirse en los polinomios de Legendre como se indicó anteriormente, pero con a y r intercambiados. Esta expansión es la base de la expansión multipolar interior.

Polinomios de Legendre en trigonometría

Las funciones trigonométricas cos , también denominadas polinomios de Chebyshev Tn (cos θ) ≡ cos , también puede ser multipolar expandido por los polinomios de Legendre Pn(cos θ). Los primeros pedidos son los siguientes:

T0()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )=1=P0()#⁡ ⁡ Silencio Silencio ),T1()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )=#⁡ ⁡ Silencio Silencio =P1()#⁡ ⁡ Silencio Silencio ),T2()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )=#⁡ ⁡ 2Silencio Silencio =13()4P2()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )− − P0()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )),T3()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )=#⁡ ⁡ 3Silencio Silencio =15()8P3()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )− − 3P1()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )),T4()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )=#⁡ ⁡ 4Silencio Silencio =1105()192P4()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )− − 80P2()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )− − 7P0()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )),T5()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )=#⁡ ⁡ 5Silencio Silencio =163()128P5()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )− − 56P3()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )− − 9P1()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )),T6()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )=#⁡ ⁡ 6Silencio Silencio =11155()2560P6()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )− − 1152P4()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )− − 220P2()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )− − 33P0()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )).{displaystyle {begin{aligned}T_{0}(cos theta) reducida=1 paciente=P_{0}(cos theta),\[4pt]T_{1}(cos theta) (cos theta),[4pt]T_{2}(cos theta) implica=cos 2theta > {1}{3} {bigl (}4P_{2}(cos theta)-P_{0}(cos theta){bigr)},[4pt]T_{3}(cos theta) {=cos 3theta > â={tfrac] {4}{4} {4} {4} {4} {0}} {c} {c]} {c} {ccc} {cH0} {ccH0}} {cH0} {cH0} {cH0} {cH0}} {cH0} {cH0} {cH0}}} {cH0}}}} {ccccccccccccccccccccccccccccccccccH0} {ccH0} {cH0} {cccccccccccH0}cH0}} {cccccccccccccc {1}{6} {0} {5} {costheta)} {cH0} {cH0} {cH0}} {cH0}} {cH0} {cH0} {cH0} {cH0}} {cH0} {cH0}} {cH0} {cH0}}} {cH0}}}}} {cH0}}}}} {cH00} {ccH00} {cccH00} {cccccccccccccccccccccH00}}}}}cccH00}ccccccccccH00}cH00} {cccccccccH00}}}}c

Otra propiedad es la expresión para sin (n + 1)θ, que es

pecado⁡ ⁡ ()n+1)Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio =.. l l =0nPl l ()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )Pn− − l l ()#⁡ ⁡ Silencio Silencio ).{displaystyle {frac {sin(n+1)theta}{sin theta }=sum _{ell ¿Qué? P_{n-ell }(cos theta).}

Polinomios de Legendre en redes neuronales recurrentes

Una red neuronal recurrente que contiene una d- vector de memoria dimensional, m▪ ▪ Rd{displaystyle mathbf {m} in mathbb {R} ^{d}, se puede optimizar de tal manera que sus actividades neuronales obedecen al sistema lineal de tiempo-invariante dado por la siguiente representación estatal-espacial:

Silencio Silencio mÍ Í ()t)=Am()t)+Bu()t),{displaystyle theta {dot {mathbf {m}}(t)=Amathbf {m} (t)+Bu(t),}
<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}A&=left[aright]_{ij}in mathbb {R} ^{dtimes d}{text{,}}quad &&a_{ij}=left(2i+1right){begin{cases}-1&iA=[a]ij▪ ▪ Rd× × d,aij=()2i+1){}− − 1i.j()− − 1)i− − j+1i≥ ≥ j,B=[b]i▪ ▪ Rd× × 1,bi=()2i+1)()− − 1)i.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} mathbb {R} ^{dtimes 1}{text{,}quad ' }=(2i+1)(-1)^{i}.end{aligned}}
<img alt="{displaystyle {begin{aligned}A&=left[aright]_{ij}in mathbb {R} ^{dtimes d}{text{,}}quad &&a_{ij}=left(2i+1right){begin{cases}-1&i

En este caso, la ventana corredera de u{displaystyle u} en el pasado Silencio Silencio {displaystyle theta } unidades de tiempo es mejor aproximado por una combinación lineal de la primera d{displaystyle d} polinomios Legendre cambiados, ponderados juntos por los elementos m{displaystyle mathbf {m} a la vez t{displaystyle t}:

u()t− − Silencio Silencio .).. .. l l =0d− − 1P~ ~ l l ()Silencio Silencio .Silencio Silencio )ml l ()t),0≤ ≤ Silencio Silencio .≤ ≤ Silencio Silencio .{displaystyle u(t-theta ')approx sum _{ell ##### {d-1}{widetilde {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} Bueno...

Cuando se combinan con métodos de aprendizaje profundo, estas redes se pueden entrenar para superar las unidades de memoria a corto plazo y las arquitecturas relacionadas, mientras usan menos recursos computacionales.

Propiedades adicionales de los polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre tienen paridad definida. Es decir, son pares o impares, según

Pn()− − x)=()− − 1)nPn()x).{displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}(x),}

Otra propiedad útil es

∫ ∫ − − 11Pn()x)dx=0paran≥ ≥ 1,{displaystyle int ¿Por qué?
P0()x)=1{displaystyle P_{0}(x)=1}.. iaiPi{textstyle sum ¿Qué?promedio[1, a 1]a0{displaystyle A_{0}

Dado que la ecuación diferencial y la propiedad de ortogonalidad son independientes de la escala, los polinomios de Legendre' las definiciones están "estandarizadas" (a veces llamado "normalización", pero la norma real no es 1) escalando de modo que

Pn()1)=1.{displaystyle P_{n}(1)=1,}

La derivada en el punto final viene dada por

Pn.()1)=n()n+1)2.{displaystyle P_{n}'(1)={frac {n(n+1)}{2},}

La desigualdad de Askey-Gasper para los polinomios de Legendre dice

.. j=0nPj()x)≥ ≥ 0parax≥ ≥ − − 1.{displaystyle sum _{j=0}{n}P_{j}(x)geq 0quad {text{for }quad xgeq -1,}

Los polinomios de Legendre de un producto escalar de vectores unitarios se pueden expandir con armónicos esféricos usando

Pl l ()r⋅ ⋅ r.)=4π π 2l l +1.. m=− − l l l l Yl l m()Silencio Silencio ,φ φ )Yl l mAlternativa Alternativa ()Silencio Silencio .,φ φ .),{displaystyle P_{ell }left(rcdot r'right)={frac {4pi }{2ell +1}sum _{m=-ell Y...
rr.()Silencio, φ)()Silencio′, φ′)

Relaciones de recurrencia

Como se discutió anteriormente, los polinomios de Legendre obedecen a la relación de recurrencia de tres términos conocida como fórmula de recurrencia de Bonnet dada por

()n+1)Pn+1()x)=()2n+1)xPn()x)− − nPn− − 1()x){displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}
x2− − 1nddxPn()x)=xPn()x)− − Pn− − 1()x){fnMicroc} {x^{2}-1}{n}{frac} {fn} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}}}}} {fnK}}}}} {f}}} {fn}} {fn}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}} {f}}}}f}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}f} {f}f}f}f}fn}f}f}f}f}f}f}f}fn}fnfn}}fn}f}fn}f}fn}fn}f}f}fn}fn}fn}fn}f}fn}f}fn}}}}}}}}} {d}{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)}
ddxPn+1()x)=()n+1)Pn()x)+xddxPn()x).[displaystyle {frac {d}{n+1}(x)=(n+1)P_{n}(x)+x{frac {d}{dx}P_{n}(x),}

Útil para la integración de polinomios de Legendre es

()2n+1)Pn()x)=ddx()Pn+1()x)− − Pn− − 1()x)).{displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={frac {dx}{bigl (}P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x){bigr)},},}

De lo anterior también se puede ver que

ddxPn+1()x)=()2n+1)Pn()x)+()2()n− − 2)+1)Pn− − 2()x)+()2()n− − 4)+1)Pn− − 4()x)+⋯ ⋯ {fn0} {fn0}(n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+{bigl (}2(n-2)+1{bigr)}P_{n-2}(x)+{bigl (}2(n-4)+1{bigr)}
ddxPn+1()x)=2Pn()x).Pn.2+2Pn− − 2()x).Pn− − 2.2+⋯ ⋯ {displaystyle {frac {d}{n+1}(x)={frac {2P_{n}(x)}{leftpersP_{n}rightfn}}}}+{frac}{fn}}{fn}}}{fn} {2P_{n-2}(x)}{leftfn-2}rightfn2}}+cdots }
SilencioPnSilencio−1 - ≤ x ≤ 1
.. Pn.. =∫ ∫ − − 11()Pn()x))2dx=22n+1.{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? {2}{2n+1}},}

Asintóticos

Asintotically, for l l → → JUEGO JUEGO {displaystyle ell to infty }, los polinomios Legendre se pueden escribir como

Pl l ()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )=Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio J0()()l l +1/2)Silencio Silencio )+O()l l − − 1)=22π π l l pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ ()()l l +12)Silencio Silencio − − π π 4)+O()l l − − 3/2),Silencio Silencio ▪ ▪ ()0,π π ),{fnMicrosoft Sans Serif}(cos theta) }{sin theta }},J_{0}(ell +1/2)theta)+{mathcal {O}left(ell ^{-1}right)\\fnMicroc {2}{sqrt {2piell sin theta }}cos left(left(ell +{tfrac {1}{2}right)theta -{frac {pi) {4}}derecha)+{mathcal {O}left(ell ^{-3/2}right),quad theta in (0,pi),end{aligned}}
Pl l ()cosh⁡ ⁡ .. )=.. pecado⁡ ⁡ .. I0()()l l +12).. )()1+O()l l − − 1)),Pl l ()11− − e2)=12π π l l e()1+e)l l +12()1− − e)l l 2+O()l l − − 1){displaystyle {begin{aligned}P_{ell }left(cosh xi right) {xi }{sinh xi }}I_{0}left(left(ell +{frac {1}{2}right)xi right)left(1+{mathcal {O}left(ell ^{-1}right)right),P_{ell }left({frac {frac {1}{sqsqsqsqsq}sqsqsqsqsqsq)sq)sq)sqsqsqsqsqsc}sc}sc}sc}sc}sc}sc}sc}sqsqscsqsqsqsqscsc}sc}sc}sc}sc}scsc}scsc}i}sc}i}i} {1-e^{2}}}}derecho={frac {1}{sqrt {2pi ell e}}{frac {(1+e)^{frac # {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}
J0I0

Ceros

Todos n{displaystyle n} ceros de Pn()x){displaystyle P_{n}(x)} son reales, distintos entre sí, y mienten en el intervalo ()− − 1,1){displaystyle (-1,1)}. Además, si los consideramos dividir el intervalo [− − 1,1]{displaystyle [-1,1]} en n+1{displaystyle n+1} subintervalos, cada subintervalo contendrá exactamente un cero de Pn+1{displaystyle P_{n+1}. Esto se conoce como la propiedad interrelacionada. Debido a la propiedad de la paridad es evidente que si xk{displaystyle x_{k} es un cero de Pn()x){displaystyle P_{n}(x)}, así es − − xk{displaystyle -x.. Estos ceros juegan un papel importante en la integración numérica basada en la cuadratura gausiana. La cuadratura específica basada en Pn{displaystyle P_{n}Se conoce como cuadratura Gauss-Legendre.

De esta propiedad y los hechos que Pn()± ± 1)ل ل 0{displaystyle P_{n}(pm 1)neq 0}, sigue que Pn()x){displaystyle P_{n}(x)} tiene n− − 1{displaystyle n-1} minima local y maxima en ()− − 1,1){displaystyle (-1,1)}. Equivalentemente, dPn()x)/dx{displaystyle dP_{n}(x)/dx} tiene n− − 1{displaystyle n-1} ceros en ()− − 1,1){displaystyle (-1,1)}.

Evaluaciones puntuales

La paridad y normalización implican los valores en los límites x=± ± 1{displaystyle x=pm 1} para ser

Pn()1)=1,Pn()− − 1)={}1paran=2m− − 1paran=2m+1.{displaystyle P_{n}(1)=1,quad P_{n}(-1)={begin{cases}1 {text{for}quad n=2m\-1⁄4\text{for}quad n=2m+1,end{cases}}
x=0{displaystyle x=0}
Pn()0)={}()− − 1)m4m()2mm)=()− − 1)m22m()2m)!()m!)2paran=2m0paran=2m+1.{displaystyle P_{n}={begin{cases}{frac {(-1)^{m}{4^{m}}}{tbinom}} {cH00FF}}} {cH00}}}} {cH00}} {2m}{2m}{frac {fnK}{2m}{2m}{frac {(2m)}{left(m!right)}{2m}}}{text{for}quad}quad n=2m⁄2m}quad n=2m+1,end{cases}}

Polinomios de Legendre con argumento transformado

Polinomios desplazados de Legendre

Los polinomios desplazados de Legendre se definen como

P~ ~ n()x)=Pn()2x− − 1).{displaystyle {widetilde {}_{n}(x)=P_{n}(2x-1),}
x ↦ 2x − 1[0, 1][1, a 1]#n()x)[0, 1]
∫ ∫ 01P~ ~ m()x)P~ ~ n()x)dx=12n+1δ δ mn.{displaystyle int ##{0}{1}{widetilde {m}(x){widetilde {P}_{n}(x),dx={frac {1}{2n+1}delta - ¿Qué?

Una expresión explícita para los polinomios desplazados de Legendre viene dada por

P~ ~ n()x)=()− − 1)n.. k=0n()nk)()n+kk)()− − x)k.{displaystyle {widetilde {}_{n}(x)=(-1)^{n}sum ¿Qué? {n}{k}{binom} {n+k}{k}(-x)},}

El análogo de Rodrigues' fórmula para los polinomios desplazados de Legendre es

P~ ~ n()x)=1n!dndxn()x2− − x)n.{displaystyle {widetilde {}_{n}(x)={frac {1} {n}} {fn}left(x^{2}-xright)} {n}n} {fn}

Los primeros polinomios desplazados de Legendre son:

n{displaystyle n}P~ ~ n()x){displaystyle {widetilde {}_{n}(x)}
01{displaystyle 1}
12x− − 1{displaystyle 2x-1}
26x2− − 6x+1{displaystyle 6x^{2}-6x+1}
320x3− − 30x2+12x− − 1{displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}
470x4− − 140x3+90x2− − 20x+1{displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}
5252x5− − 630x4+560x3− − 210x2+30x− − 1{displaystyle 252x^{5}-630x^{4}+560x^{3}-210x^{2}+30x-1}

Funciones racionales Legendre

Las funciones racionales de Legendre son una secuencia de funciones ortogonales en [0, ∞). Se obtienen al componer la transformada de Cayley con polinomios de Legendre.

Una función racional de Legendre de grado n se define como:

Rn()x)=2x+1Pn()x− − 1x+1).{displaystyle R_{n}(x)={frac {sqrt {2}{x+1},P_{n}left({frac} Bueno...

Son funciones propias del problema singular de Sturm-Liouville:

()x+1)∂ ∂ x()x∂ ∂ x()()x+1)v()x)))+λ λ v()x)=0{displaystyle (x+1)partial _{x}(xpartial _{x}(x+1)v(x)))+lambda v(x)=0}
λ λ n=n()n+1).{displaystyle lambda _{n}=n(n+1),}

Contenido relacionado

Conjunto borel

En matemáticas, un conjunto de Borel es cualquier conjunto en un espacio topológico que puede formarse a partir de conjuntos abiertos a través de las...

Estrella kleene

El set VAlternativa Alternativa {displaystyle V^{*} también se puede describir como el conjunto que contiene la cadena vacía y todas las cadenas de longitud...

Potencial de electrodo

En electroquímica, el potencial de electrodo es la fuerza electromotriz de una celda galvánica construida a partir de un electrodo de referencia estándar y...
Más resultados...
Tamaño del texto:
Editar