Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

En teoría de conjuntos, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, llamada así por los matemáticos Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel, es un sistema axiomático que se propuso a principios del siglo XX para formular una teoría de conjuntos libre de paradojas como como la paradoja de Russell. Hoy en día, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, con el históricamente controvertido axioma de elección (AC) incluido, es la forma estándar de la teoría de conjuntos axiomática y, como tal, es la base más común de las matemáticas. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección incluido se abrevia ZFC, donde C significa "elección", y ZF se refiere a los axiomas de Zermelo –Teoría de conjuntos de Fraenkel con el axioma de elección excluido.

Informalmente, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel pretende formalizar una única noción primitiva, la de un conjunto hereditario bien fundado, de modo que todas las entidades en el universo del discurso sean tales conjuntos. Por lo tanto, los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel se refieren solo a conjuntos puros y evitan que sus modelos contengan urelements (elementos de conjuntos que no son conjuntos en sí mismos). Además, las clases adecuadas (colecciones de objetos matemáticos definidos por una propiedad compartida por sus miembros donde las colecciones son demasiado grandes para ser conjuntos) solo pueden tratarse indirectamente. Específicamente, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel no permite la existencia de un conjunto universal (un conjunto que contiene todos los conjuntos) ni la comprensión sin restricciones, evitando así la paradoja de Russell. La teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) es una extensión conservadora de uso común de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que permite el tratamiento explícito de las clases adecuadas.

Hay muchas formulaciones equivalentes de los axiomas de la teoría del conjunto Zermelo-Fraenkel. La mayoría de los axiomas declaran la existencia de conjuntos particulares definidos de otros conjuntos. Por ejemplo, el axioma del emparejamiento dice que dio cualquier dos sets a{displaystyle a} y b{displaystyle b} hay un nuevo juego {}a,b}{displaystyle {a,b} que contiene exactamente a{displaystyle a} y b{displaystyle b}. Otros axiomas describen propiedades de la membresía establecida. Un objetivo de los axiomas es que cada axioma debe ser verdadero si se interpreta como una declaración sobre la colección de todos los conjuntos en el universo von Neumann (también conocido como la jerarquía acumulativa). Formalmente, ZFC es una teoría de un solo surtido en la lógica de primer orden. La firma tiene igualdad y una única relación binaria primitiva, destinada a formalizar la membresía fija, que generalmente se denota ▪ ▪ {displaystyle in }. La fórmula a▪ ▪ b{displaystyle ain b} significa que el conjunto a{displaystyle a} es miembro del conjunto b{displaystyle b} (que también se lee, "a{displaystyle a} es un elemento b{displaystyle b}"o"a{displaystyle a} está dentro b{displaystyle b}").

La metamatemática de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ha sido ampliamente estudiada. Los resultados destacados en esta área establecieron la independencia lógica del axioma de elección de los axiomas restantes de Zermelo-Fraenkel (ver Axioma de elección § Independencia) y de la hipótesis del continuo de ZFC. La consistencia de una teoría como ZFC no se puede probar dentro de la propia teoría, como lo demuestra el segundo teorema de incompletitud de Gödel.

Historia

El estudio moderno de la teoría de conjuntos fue iniciado por Georg Cantor y Richard Dedekind en la década de 1870. Sin embargo, el descubrimiento de paradojas en la teoría de conjuntos ingenua, como la paradoja de Russell, condujo al deseo de una forma más rigurosa de teoría de conjuntos que estuviera libre de estas paradojas.

En 1908, Ernst Zermelo propuso la primera teoría de conjuntos axiomáticos, la teoría de conjuntos Zermelo. Sin embargo, como señaló por primera vez Abraham Fraenkel en una carta de 1921 a Zermelo, esta teoría era incapaz de probar la existencia de ciertos conjuntos y números cardinales cuya existencia fue dada por los teóricos más establecidos de la época, en particular el número cardenal א א ⋅ ⋅ {displaystyle aleph _{omega } y el conjunto {}Z0,P()Z0),P()P()Z0)),P()P()P()Z0))),...},{fnMitcal {} {fnMitcal {})} {fnMitcal {} {fnMithcal {} {f} {fnMithcal {}} {fn0})} {fnMitcal {f} {fnMitcal {}} {fnMitcal {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}} {f}}}}}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}} {f} {f}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} Donde Z0{displaystyle Z_{0} es cualquier conjunto infinito y P{displaystyle {fncipal}} es la operación del sistema de energía. Además, uno de los axiomas de Zermelo invocó un concepto, el de una propiedad "definida", cuyo significado operativo no era claro. En 1922, Fraenkel y Thoralf Skolem propusieron independientemente la puesta en funcionamiento de una propiedad "definida" como una fórmula bien formada en una lógica de primera orden cuyas fórmulas atómicas se limitaron a establecer la membresía e identidad. También proponen sustituir independientemente el esquema de especificación del axioma por el esquema de reemplazo del axioma. Pasar este esquema, así como el axioma de la regularidad (primero propuesto por John von Neumann), a la teoría de conjunto Zermelo rinde la teoría denotada por ZF. Añadiendo a ZF el axioma de elección (AC) o una declaración que es equivalente a él produce ZFC.

Axiomas

Hay muchas formulaciones equivalentes de los axiomas de ZFC; para una discusión de esto ver Fraenkel, Bar-Hillel & Lévy 1973. El siguiente conjunto de axiomas particulares es de Kunen (1980). Los axiomas per se se expresan en el simbolismo de la lógica de primer orden. La prosa inglesa asociada solo pretende ayudar a la intuición.

Todas las formulaciones de ZFC implican que al menos existe un conjunto. Kunen incluye un axioma que afirma directamente la existencia de un conjunto, además de los axiomas dados a continuación (aunque señala que lo hace sólo "por énfasis"). Su omisión aquí puede justificarse de dos maneras. En primer lugar, en la semántica estándar de la lógica de primer orden en la que se formaliza el ZFC, el dominio del discurso debe ser indeseable. Por lo tanto, es un teorema lógico de la lógica de primer orden que algo existe — generalmente expresado como la afirmación de que algo es idéntico a sí mismo, ∃ ∃ x()x=x){displaystyle exists x(x=x)}. En consecuencia, es un teorema de cada teoría de primer orden que algo existe. Sin embargo, como se señaló anteriormente, porque en la semántica prevista de ZFC sólo hay conjuntos, la interpretación de este teorema lógico en el contexto de ZFC es que algunos set existe. Por lo tanto, no hay necesidad de un axioma separado afirmando que existe un conjunto. Segundo, sin embargo, incluso si ZFC está formulado en la llamada lógica libre, en la que no es prable de la lógica solamente que algo existe, el axioma del infinito (abajo) afirma que un infinito set existe. Esto implica que a establecido existe y así, una vez más, es superfluo incluir un axioma afirmando tanto.

1. Axioma de extensionalidad

Dos conjuntos son iguales (son el mismo conjunto) si tienen los mismos elementos.

О О xО О Sí.[О О z()z▪ ▪ x.. z▪ ▪ Sí.)⇒ ⇒ x=Sí.].{displaystyle forall xforall y[forall z(zin xLeftrightarrow zin y)Rightarrow x=y].}

El contrario de este axioma se deriva de los bienes de sustitución de la igualdad. ZFC se construye en la lógica de primer orden. Algunas formulaciones de la lógica de primer orden incluyen la identidad; otras no. Si la variedad de la lógica de primer orden en la que estás construyendo la teoría de conjunto no incluye la igualdad "={displaystyle =}" x=Sí.{displaystyle x=y} puede definirse como una abreviatura para la siguiente fórmula: О О z[z▪ ▪ x.. z▪ ▪ Sí.]∧ ∧ О О w[x▪ ▪ w.. Sí.▪ ▪ w].{displaystyle forall z[zin xLeftrightarrow zin y]land forall w[xin wLeftrightarrow yin w].}

En este caso, el axioma de extensionalidad se puede reformular como

О О xО О Sí.[О О z()z▪ ▪ x.. z▪ ▪ Sí.)⇒ ⇒ О О w()x▪ ▪ w.. Sí.▪ ▪ w)],{displaystyle forall xforall y[forall z(zin xLeftrightarrow zin y)Rightarrow forall w(xin wLeftrightarrow yin w)],}

que dice que si x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} tienen los mismos elementos, entonces pertenecen a los mismos conjuntos.

2. Axioma de regularidad (también llamado axioma de fundamento)

Cada conjunto no vacío x{displaystyle x} contiene un miembro Sí.{displaystyle y} tales que x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} son conjuntos descompuestos.

О О x[∃ ∃ a()a▪ ▪ x)⇒ ⇒ ∃ ∃ Sí.()Sí.▪ ▪ x∧ ∧ ¬ ¬ ∃ ∃ z()z▪ ▪ Sí.∧ ∧ z▪ ▪ x))].{displaystyle forall x[exists a(ain x)Rightarrow exists y(yin xland lnot exists z(zin yland zin x)].}

o en notación moderna: О О x()xل ل ∅ ∅ ⇒ ⇒ ∃ ∃ Sí.()Sí.▪ ▪ x∧ ∧ Sí.∩ ∩ x=∅ ∅ )).{displaystyle forall x,(xneq varnothing Rightarrow exists y(yin xland ycap x=varnothing)). }

Esto (junto con el axioma de emparejamiento) implica, por ejemplo, que ningún conjunto es un elemento de sí mismo y que todo conjunto tiene un rango ordinal.

3. Esquema axiomático de especificación (o de separación, o de comprensión restringida)

Los subconjuntos se construyen comúnmente usando la notación del constructor de conjuntos. Por ejemplo, los enteros incluso se pueden construir como subconjunto de los enteros Z{displaystyle mathbb {Z} satisfacción de la congruencia modulo predicate x↑ ↑ 0()mod2){displaystyle xequiv 0{pmod {2}}:

{}x▪ ▪ Z:x↑ ↑ 0()mod2)}.{displaystyle {xin mathbb [Z]:xequiv 0{pmod {2}}}

En general, el subconjunto de un conjunto z{displaystyle z} obedecer una fórmula φ φ ()x){displaystyle varphi (x)} con una variable libre x{displaystyle x} puede ser escrito como:

{}x▪ ▪ z:φ φ ()x)}.{displaystyle {xin z:varphi (x)}.}

El esquema axiom de especificación indica que este subset siempre existe (es un esquema axioma porque hay un axioma para cada uno φ φ {displaystyle varphi }). Formally, déjalo φ φ {displaystyle varphi } ser cualquier fórmula en el idioma de ZFC con todas las variables libres entre x,z,w1,...... ,wn{displaystyle x,z,w_{1},ldotsw_{n} ()Sí.{displaystyle y} no es libre en φ φ {displaystyle varphi }). Entonces:

О О zО О w1О О w2...... О О wn∃ ∃ Sí.О О x[x▪ ▪ Sí... ()()x▪ ▪ z)∧ ∧ φ φ ()x,w1,w2,...,wn,z))].{displaystyle forall zforall w_{1}forall w_{2}ldots forall w_{n}exists yforall x[xin yLeftrightarrow ((xin z)land varphi (x,w_{1},w_{2},...,w_{n},z)]].

Tenga en cuenta que el esquema de especificación del axioma solo puede construir subconjuntos y no permite la construcción de entidades de la forma más general:

{}x:φ φ ()x)}.{displaystyle {x:varphi (x)}.}

Esta restricción es necesaria para evitar la paradoja de Russell (let Sí.={}x:x∉ ∉ x}{displaystyle y={x:xnotin x} entonces Sí.▪ ▪ Sí... Sí.∉ ∉ Sí.{displaystyle yin yLeftrightarrow ynotin y}) y sus variantes que acompañan la teoría ingenua de conjunto con comprensión sin restricciones.

En algunas otras axiomatizaciones de ZF, este axioma es redundante porque se deriva del esquema del axioma de reemplazo y del axioma del conjunto vacío.

Por otro lado, el axioma de la especificación se puede utilizar para probar la existencia del conjunto vacío, denotado ∅ ∅ {displaystyle varnothing }, una vez que se sabe que existe un conjunto (ver arriba). Una forma de hacer esto es usar una propiedad φ φ {displaystyle varphi } que ningún juego tiene. Por ejemplo, si w{displaystyle w} es cualquier conjunto existente, el conjunto vacío se puede construir como

∅ ∅ ={}u▪ ▪ w▪ ▪ ()u▪ ▪ u)∧ ∧ ¬ ¬ ()u▪ ▪ u)}.{displaystyle varnothing ={uin wmid (uin u)land lnot (uin u)}.}

Así el axioma del conjunto vacío está implícito por los nueve axiomas presentados aquí. El axioma de la extensión implica que el conjunto vacío es único (no depende de w{displaystyle w}). Es común hacer una extensión de definición que añade el símbolo "∅ ∅ {displaystyle varnothing }" al lenguaje de ZFC.

4. Axioma de emparejamiento

Si x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} son conjuntos, entonces existe un conjunto que contiene x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} como elementos.

О О xО О Sí.∃ ∃ z()()x▪ ▪ z)∧ ∧ ()Sí.▪ ▪ z)).{displaystyle forall xforall yexists z(xin z)land (yin z)). }

Se debe usar el esquema del axioma de especificación para reducir esto a un conjunto con exactamente estos dos elementos. El axioma de emparejamiento es parte de Z, pero es redundante en ZF porque se sigue del esquema del axioma de reemplazo, si tenemos un conjunto con al menos dos elementos. La existencia de un conjunto con al menos dos elementos está asegurada por el axioma del infinito o por el axioma de esquema de especificación y el axioma del conjunto potencia aplicado dos veces a cualquier conjunto.

5. Axioma de unión

La unión sobre los elementos de un conjunto existe. Por ejemplo, la unión sobre los elementos del conjunto {}{}1,2},{}2,3}}{displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} es {}1,2,3}.{displaystyle {1,2,3}

El axioma del sindicato declara que para cualquier conjunto de conjuntos F{displaystyle {fnMithcal}} hay un juego A{displaystyle A} que contiene cada elemento que es miembro de algún miembro F{displaystyle {fnMithcal}}:

О О F∃ ∃ AО О YО О x[()x▪ ▪ Y∧ ∧ Y▪ ▪ F)⇒ ⇒ x▪ ▪ A].{displaystyle forall {Mathcal {F},existidos A,for all Y,forall x(xin Yland Yin {mathcal {F}) Rightarrow xin A].}

Aunque esta fórmula no afirma directamente la existencia de ∪ ∪ F{displaystyle cup {fnMithcal {}}, el conjunto ∪ ∪ F{displaystyle cup {fnMithcal {}} se puede construir desde A{displaystyle A} en el anterior usando el esquema axiom de especificación:

∪ ∪ F={}x▪ ▪ A:∃ ∃ Y()x▪ ▪ Y∧ ∧ Y▪ ▪ F)}.{displaystyle cup {mathcal {}={xin A:exists Y(xin Yland Yin {mthcal {f}}}}}

6. Esquema del axioma de reemplazo

El esquema del axioma de reemplazo afirma que la imagen de un conjunto bajo cualquier función definible también caerá dentro de un conjunto.

Formally, déjalo φ φ {displaystyle varphi } ser cualquier fórmula en el idioma de ZFC cuyas variables libres están entre x,Sí.,A,w1,...... ,wn,{displaystyle x,y,A,w_{1},dotscw_{n} para que en particular B{displaystyle B} no es libre en φ φ {displaystyle varphi }. Entonces:

О О AО О w1О О w2...... О О wn[О О x()x▪ ▪ A⇒ ⇒ ∃ ∃ !Sí.φ φ )⇒ ⇒ ∃ ∃ BО О x()x▪ ▪ A⇒ ⇒ ∃ ∃ Sí.()Sí.▪ ▪ B∧ ∧ φ φ ))].{displaystyle forall Aforall w_{1}forall w_{2}ldots forall w_{n}{bigl [}forall x(xin ARightarrow exists !y,varphi) Rightarrow exists Bforall x{bigl (}xin ARightarrow exists y(yin Bland varphi){bigr)}{bigr ]}

Para el significado de ∃ ∃ !{displaystyle exists!}, ver la cuantificación de singularidad.

En otras palabras, si la relación φ φ {displaystyle varphi } representa una función definible f{displaystyle f}, A{displaystyle A} representa su dominio, y f()x){displaystyle f(x)} es un juego para cada x▪ ▪ A,{displaystyle xin A,} entonces el rango de f{displaystyle f} es un subconjunto de un conjunto B{displaystyle B}. El formulario aquí indicado, en el que B{displaystyle B} puede ser más grande que estrictamente necesario, a veces se llama el esquema de axioma de la colección.

7. Axioma del infinito

Vamos S()w){displaystyle S(w)} abbreviate w∪ ∪ {}w},{displaystyle wcup {w},} Donde w{displaystyle w} es un juego. (Podemos ver que {}w}{displaystyle {f}} es un conjunto válido mediante la aplicación del Axioma de Pareja con x=Sí.=w{displaystyle x=y=w} para que el conjunto z es {}w}{displaystyle {f}}). Entonces existe un conjunto X tal que el conjunto vacío ∅ ∅ {displaystyle varnothing }, definido axiomáticamente, es un miembro de X y, cuando un juego Sí. es miembro de X entonces S()Sí.){displaystyle S(y)} es también miembro de X.

∃ ∃ X[∃ ∃ e()О О z¬ ¬ ()z▪ ▪ e)∧ ∧ e▪ ▪ X)∧ ∧ О О Sí.()Sí.▪ ▪ X⇒ ⇒ S()Sí.)▪ ▪ X)].{displaystyle exists Xleft[exists e(forall z,neg (zin e)land ein X)land forall y(yin XRightarrow S(y)in X)right].}

Más coloquialmente, existe un conjunto X teniendo infinitamente muchos miembros. (Debe establecerse, sin embargo, que estos miembros son todos diferentes, porque si dos elementos son los mismos, la secuencia se abrirá en un ciclo finito de conjuntos. El axioma de la regularidad evita que esto suceda.) El conjunto mínimo X satisfacer el axioma del infinito es el ordinal von Neumann ⋅ que también se puede considerar como el conjunto de números naturales N.{displaystyle mathbb {N}

8. Axioma de conjunto de potencia

Por definición un conjunto z{displaystyle z} es un subconjunto de un conjunto x{displaystyle x} si y sólo si cada elemento de z{displaystyle z} es también un elemento x{displaystyle x}:

()z⊆ ⊆ x).. ()О О q()q▪ ▪ z⇒ ⇒ q▪ ▪ x)).{displaystyle (zsubseteq x)Leftrightarrow (forall q(qin zRightarrow qin x)). }

El Axioma del Poder El conjunto establece que para cualquier conjunto x{displaystyle x}, hay un conjunto Sí.{displaystyle y} que contiene cada subconjunto de x{displaystyle x}:

О О x∃ ∃ Sí.О О z[z⊆ ⊆ x⇒ ⇒ z▪ ▪ Sí.].{displaystyle forall xexists yforall z[zsubseteq xRightarrow zin y].}

El esquema axiom de especificación se utiliza entonces para definir el conjunto de potencia P()x){displaystyle {mathcal {}(x)} como subconjunto de tal tipo Sí.{displaystyle y} conteniendo los subconjuntos x{displaystyle x} exactamente:

P()x)={}z▪ ▪ Sí.:z⊆ ⊆ x}.{displaystyle {mathcal {}(x)={zin y:zsubseteq x}.}

Axiomas 1 a 8 definir ZF. A menudo se encuentran formas alternativas de estos axiomas, algunas de las cuales se enumeran en Jech (2003). Algunas axiomatizaciones ZF incluyen un axioma afirmando que el conjunto vacío existe. Los axiomas de emparejamiento, unión, reemplazo y conjunto de potencia se declaran a menudo de modo que los miembros del conjunto x{displaystyle x} cuya existencia está siendo afirmada son sólo aquellos conjuntos que afirma el axioma x{displaystyle x} Debe contener.

Se agrega el siguiente axioma para convertir ZF en ZFC:

9. Axioma del buen orden

Para cualquier conjunto X{displaystyle X}, hay una relación binaria R{displaystyle R. que bien ordena X{displaystyle X}. Esto significa R{displaystyle R. es una orden lineal X{displaystyle X} tal que cada subconjunto no vacío X{displaystyle X} tiene un miembro que es mínimo bajo R{displaystyle R..

О О X∃ ∃ R()Rbien ordenesX).{displaystyle forall Xexists R(R;{mbox{well-orders};X).}

Dados axiomas 1–8, hay muchas declaraciones provablemente equivalentes al axioma 9, el más conocido de los cuales es el axioma de elección (AC), que va como sigue. Vamos X{displaystyle X} ser un conjunto cuyos miembros son todos indeseables. Entonces existe una función f{displaystyle f} desde X{displaystyle X} a la unión de los miembros X{displaystyle X}, llamada "función de elección", tal que para todos Y▪ ▪ X{displaystyle Yin X} uno tiene f()Y)▪ ▪ Y{displaystyle f(Y)in Y}. Desde la existencia de una función de elección cuando X{displaystyle X} es un conjunto finito se prueba fácilmente de los axiomas 1 a 8, AC sólo importa para ciertos conjuntos infinitos. AC se caracteriza como no constructivo porque afirma la existencia de un conjunto de opciones pero no dice nada sobre cómo el conjunto de opciones es ser "construido". Muchas investigaciones han tratado de caracterizar la definibilidad (o falta de ella) de ciertos conjuntos cuya existencia afirma la AC.

Lema de Zorn

El axioma del buen orden, así como el axioma de elección, son individualmente (lógicamente) equivalentes al lema de Zorn.

Motivación a través de la jerarquía acumulativa

Una motivación para los axiomas de ZFC es la jerarquía acumulativa de conjuntos presentada por John von Neumann. Desde este punto de vista, el universo de la teoría de conjuntos se construye en etapas, con una etapa para cada número ordinal. En la etapa 0 todavía no hay conjuntos. En cada etapa siguiente, se agrega un conjunto al universo si todos sus elementos se agregaron en etapas anteriores. Así, el conjunto vacío se agrega en la etapa 1 y el conjunto que contiene el conjunto vacío se agrega en la etapa 2. La colección de todos los conjuntos que se obtienen de esta manera, en todas las etapas, se conoce como V. Los conjuntos en V se pueden organizar en una jerarquía asignando a cada conjunto la primera etapa en la que ese conjunto se agregó a V.

Es demostrable que un conjunto está en V si y solo si el conjunto es puro y bien fundado. Y V satisface todos los axiomas de ZFC, si la clase de ordinales tiene propiedades de reflexión apropiadas. Por ejemplo, suponga que se agrega un conjunto x en la etapa α, lo que significa que todos los elementos de x se agregaron en una etapa anterior a α. Luego, cada subconjunto de x también se agrega en (o antes) la etapa α, porque todos los elementos de cualquier subconjunto de x también se agregaron antes de la etapa α. Esto significa que cualquier subconjunto de x que el axioma de separación pueda construir se agrega en (o antes) de la etapa α, y que el conjunto potencia de x se agregará en la siguiente etapa después de α. Para un argumento completo de que V satisface ZFC ver Shoenfield (1977).

La imagen del universo de conjuntos estratificados en la jerarquía acumulativa es característica de ZFC y teorías de conjuntos axiomáticas relacionadas, como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (a menudo llamada NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley. La jerarquía acumulativa no es compatible con otras teorías de conjuntos como New Foundations.

Es posible cambiar la definición de V para que en cada etapa, en lugar de agregar todos los subconjuntos de la unión de las etapas anteriores, solo se agreguen subconjuntos si son definibles en un determinado sentido. Esto da como resultado un diseño más "estrecho" jerarquía que da el universo construible L, que también satisface todos los axiomas de ZFC, incluido el axioma de elección. Es independiente de los axiomas ZFC si V = L. Aunque la estructura de L es más regular y se comporta mejor que la de V, pocos matemáticos argumentan que V = L debe agregarse a ZFC como un "axioma de constructibilidad" adicional.

Mematemáticas

Clases virtuales

Como se señaló anteriormente, las clases adecuadas (colecciones de objetos matemáticos definidos por una propiedad compartida por sus miembros que son demasiado grandes para ser conjuntos) solo pueden tratarse indirectamente en ZF (y, por lo tanto, ZFC). Una alternativa a las clases propias mientras permanece dentro de ZF y ZFC es la construcción notacional clase virtual introducida por Quine (1969), donde la construcción completa y ∈ { x | Fx } se define simplemente como Fy. Esto proporciona una notación simple para las clases que pueden contener conjuntos pero que no necesitan ser conjuntos, sin comprometerse con la ontología de las clases (porque la notación se puede convertir sintácticamente en una que solo use conjuntos). El enfoque de Quine se basó en el enfoque anterior de Bernays & Fraenkel (1958). Las clases virtuales también se utilizan en Levy (2002), Takeuti & Zaring (1982), y en la implementación Metamath de ZFC.

Teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel

Los esquemas axiomáticos de reemplazo y separación contienen cada uno infinitas instancias. Montague (1961) incluyó un resultado probado por primera vez en su Ph.D. de 1957. tesis: si ZFC es consistente, es imposible axiomatizar ZFC usando solo un número finito de axiomas. Por otro lado, la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) se puede axiomatizar finitamente. La ontología de NBG incluye tanto clases como conjuntos; un conjunto es cualquier clase que puede ser miembro de otra clase. NBG y ZFC son teorías de conjuntos equivalentes en el sentido de que cualquier teorema que no mencione clases y sea demostrable en una teoría puede ser demostrado en la otra.

Coherencia

El segundo teorema de incompletitud de Gödel dice que un sistema recursivamente axiomatizable que puede interpretar la aritmética de Robinson puede probar su propia consistencia solo si es inconsistente. Además, la aritmética de Robinson se puede interpretar en la teoría general de conjuntos, un pequeño fragmento de ZFC. Por lo tanto, la consistencia de ZFC no se puede probar dentro de ZFC (a menos que sea realmente inconsistente). Por lo tanto, en la medida en que ZFC se identifique con las matemáticas ordinarias, la consistencia de ZFC no puede demostrarse en las matemáticas ordinarias. La coherencia de ZFC se deriva de la existencia de un cardenal débilmente inaccesible, lo que no se puede probar en ZFC si ZFC es coherente. Sin embargo, se considera poco probable que ZFC albergue una contradicción insospechada; se cree ampliamente que si ZFC fuera inconsistente, ese hecho ya se habría descubierto. Esto es cierto: ZFC es inmune a las paradojas clásicas de la teoría ingenua de conjuntos: la paradoja de Russell, la paradoja de Burali-Forti y la paradoja de Cantor.

Abian &amperio; LaMacchia (1978) estudió una subteoría de ZFC que consta de los axiomas de extensionalidad, unión, conjunto de potencia, reemplazo y elección. Usando modelos, demostraron que esta subteoría es consistente y demostraron que cada uno de los axiomas de extensionalidad, reemplazo y conjunto de potencia es independiente de los cuatro axiomas restantes de esta subteoría. Si esta subteoría se complementa con el axioma del infinito, cada uno de los axiomas de unión, elección e infinito es independiente de los cinco axiomas restantes. Debido a que existen modelos no bien fundamentados que satisfacen cada axioma de ZFC excepto el axioma de regularidad, ese axioma es independiente de los otros axiomas de ZFC.

Si es consistente, ZFC no puede probar la existencia de los cardinales inaccesibles que requiere la teoría de categorías. Grandes conjuntos de esta naturaleza son posibles si ZF se aumenta con el axioma de Tarski. Asumiendo que el axioma convierte los axiomas de infinito, conjunto de potencias y elección (7 – 9 arriba) en teoremas.

Independencia

Muchas declaraciones importantes son independientes de ZFC (consulte la lista de declaraciones independientes de ZFC). La independencia generalmente se prueba forzando, por lo que se muestra que cada modelo contable transitivo de ZFC (a veces aumentado con grandes axiomas cardinales) se puede expandir para satisfacer la declaración en cuestión. Luego se muestra una expansión diferente para satisfacer la negación del enunciado. Una prueba de independencia forzando prueba automáticamente la independencia de declaraciones aritméticas, otras declaraciones concretas y grandes axiomas cardinales. Se puede demostrar que algunas declaraciones independientes de ZFC se mantienen en modelos internos particulares, como en el universo construible. Sin embargo, algunas declaraciones que son verdaderas sobre los conjuntos construibles no son consistentes con los grandes axiomas cardinales hipotéticos.

Forcing demuestra que las siguientes declaraciones son independientes de ZFC:

• Hipótesis continua
• Principio de diamantes
• Hipótesis de Suslin
• El axioma de Martin (que no es un axioma ZFC)
• Axioma de Constructibilidad (V=L) (que tampoco es un axioma ZFC).

Observaciones:

• La consistencia de V=L es provable por modelos interiores pero no forzando: cada modelo de ZF puede ser trimado para convertirse en un modelo de ZFC + V=L.
• El Principio Diamante implica la Hipótesis Continuum y la negación de la Hipótesis Suslin.
• El axioma de Martin más la negación de la Hipótesis Continuum implica la Hipótesis Suslin.
• El universo constructible satisface la Hipótesis Continuum Generalizada, el Principio Diamante, el Axioma de Martin y la Hipótesis Kurepa.
• El fracaso de la hipótesis Kurepa es equiconsistente con la existencia de un cardenal fuertemente inaccesible.

También se puede usar una variación del método de forzar para demostrar la coherencia y la imposibilidad de demostrar el axioma de elección, es decir, que el axioma de elección es independiente de ZF. La consistencia de la elección se puede verificar (relativamente) fácilmente demostrando que el modelo interno L satisface la elección. (Por lo tanto, cada modelo de ZF contiene un submodelo de ZFC, de modo que Con(ZF) implica Con(ZFC).) Dado que forzar preserva la elección, no podemos producir directamente un modelo que contradiga la elección a partir de un modelo que satisfaga la elección. Sin embargo, podemos usar el forzado para crear un modelo que contenga un submodelo adecuado, es decir, uno que satisfaga ZF pero no C.

Otro método para demostrar los resultados de la independencia, uno que no se debe al forzamiento, se basa en el segundo teorema de incompletitud de Gödel. Este enfoque emplea el enunciado cuya independencia se está examinando, para demostrar la existencia de un modelo conjunto de ZFC, en cuyo caso Con(ZFC) es verdadero. Dado que ZFC satisface las condiciones del segundo teorema de Gödel, la consistencia de ZFC no es demostrable en ZFC (siempre que ZFC sea, de hecho, consistente). Por lo tanto, ninguna declaración que permita tal prueba puede probarse en ZFC. Este método puede probar que la existencia de cardenales grandes no es demostrable en ZFC, pero no puede probar que asumir tales cardenales, dado ZFC, esté libre de contradicción.

Adiciones propuestas

El proyecto para unificar teóricos de conjuntos detrás de axiomas adicionales para resolver la Hipótesis del Continuo u otras ambigüedades metamatemáticas a veces se conoce como "programa de Gödel". Actualmente, los matemáticos debaten qué axiomas son los más plausibles o "evidentes por sí mismos", qué axiomas son los más útiles en varios dominios y en qué medida la utilidad debe compensarse con la plausibilidad; algunos "multiverso" Los teóricos de conjuntos argumentan que la utilidad debería ser el único criterio último en el que los axiomas se adopten habitualmente. Una escuela de pensamiento se apoya en expandir el concepto "iterativo" concepto de un conjunto para producir un universo de teoría de conjuntos con una estructura interesante y compleja pero razonablemente manejable mediante la adopción de axiomas forzados; otra escuela aboga por un universo más ordenado y menos desordenado, tal vez centrado en un "núcleo" modelo interior.

Críticas

Para la crítica de la teoría del conjunto en general, vea Objeciones para establecer la teoría

ZFC ha sido criticado tanto por ser excesivamente fuerte como por ser excesivamente débil, así como por no capturar objetos como las clases adecuadas y el conjunto universal.

Muchos teoremas matemáticos se pueden probar en sistemas mucho más débiles que ZFC, como la aritmética de Peano y la aritmética de segundo orden (como se explora en el programa de matemáticas inversas). Saunders Mac Lane y Solomon Feferman han señalado este punto. Algunas de las "matemáticas convencionales" (matemáticas no conectadas directamente con la teoría axiomática de conjuntos) está más allá de la aritmética de Peano y la aritmética de segundo orden, pero aún así, todas esas matemáticas se pueden llevar a cabo en ZC (teoría de conjuntos de Zermelo con elección), otra teoría más débil que ZFC. Gran parte del poder de ZFC, incluido el axioma de regularidad y el esquema de axioma de reemplazo, se incluye principalmente para facilitar el estudio de la teoría de conjuntos en sí.

Por otro lado, entre las teorías de conjuntos axiomáticas, ZFC es comparativamente débil. A diferencia de New Foundations, ZFC no admite la existencia de un conjunto universal. Por tanto, el universo de conjuntos bajo ZFC no está cerrado bajo las operaciones elementales del álgebra de conjuntos. A diferencia de la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK), ZFC no admite la existencia de clases propias. Otra debilidad comparativa de ZFC es que el axioma de elección incluido en ZFC es más débil que el axioma de elección global incluido en NBG y MK.

Existen numerosos enunciados matemáticos independientes de ZFC. Estos incluyen la hipótesis del continuo, el problema de Whitehead y la conjetura del espacio normal de Moore. Algunas de estas conjeturas son comprobables con la adición de axiomas como el axioma de Martin o los grandes axiomas cardinales a ZFC. Algunas otras se deciden en ZF+AD donde AD es el axioma de determinación, una fuerte suposición incompatible con la elección. Una atracción de los grandes axiomas cardinales es que permiten establecer muchos resultados de ZF+AD en ZFC junto a algún gran axioma cardinal (ver determinación proyectiva). El sistema Mizar y Metamath han adoptado la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck, una extensión de ZFC, para que las pruebas que involucran universos de Grothendieck (que se encuentran en la teoría de categorías y la geometría algebraica) puedan formalizarse.

Obras citadas