Antiderivada

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El campo de la pendiente

{displaystyle F(x)={frac {x^{3}{3}} {frac} {x^{2}{2}-x+c}

, mostrando tres de las infinitamente muchas soluciones que se pueden producir por variar la constante arbitraria

c

En cálculo, una antiderivada, derivada inversa, función primitiva, integral primitiva o indefinida integral de una función $f$ es una función diferenciable $F cuya derivada es igual a la función original f . Esto puede expresarse simbólicamente como F' = f . El proceso de resolución de antiderivadas se llama antidiferenciación (o integración indefinida), y su operación opuesta se llama diferenciación, que es el proceso de encontrar un derivado Las antiderivadas a menudo se indican con letras romanas mayúsculas como F y G .$

Las antiderivadas están relacionadas con las integrales definidas a través del segundo teorema fundamental del cálculo: la integral definida de una función en un intervalo cerrado donde la función es integrable de Riemann es igual a la diferencia entre los valores de una antiderivada evaluada en los extremos de la intervalo.

En física, las antiderivadas surgen en el contexto del movimiento rectilíneo (por ejemplo, al explicar la relación entre posición, velocidad y aceleración). El equivalente discreto de la noción de antiderivada es antidiferencia.

Ejemplos

La función ${displaystyle F(x)={tfrac {x^{3} {3}}} {3}}}$ es un antiderivativo de ${displaystyle f(x)=x^{2}$ , desde el derivado de ${displaystyle {tfrac {x}{3}{3}} {}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}}}} {fn}}}}}}}}} {fn}}}}}} {f}}}$ es ${displaystyle x^{2}$ , y como el derivado de una constante es cero, ${displaystyle x^{2}$ tendrá un número infinito de antiderivativos, como ${displaystyle {tfrac {3}{3}}{3}}{3}{3}}{3}}}+1,{tfrac {x^{3}{3}}}} {}}2}}$ , etc. Así, todos los antiderivados ${displaystyle x^{2}$ se puede obtener cambiando el valor de $c$ dentro ${displaystyle F(x)={tfrac {x^{3}{3}+c}$ , donde $c$ es una constante arbitraria conocida como la constante de la integración. Esencialmente, los gráficos de los antiderivativos de una función dada son traducciones verticales una de la otra, con la ubicación vertical de cada gráfico dependiendo del valor $c$ .

Más generalmente, la función de potencia ${displaystyle f(x)=x^{n}$ tiene antiderivación ${displaystyle F(x)={tfrac {x^{n+1}{n+1}+c}$ si $n ه -1$ , y ${displaystyle F(x)=ln Silencioso$ si $n = 1 -$ .

En física, la integración de la aceleración produce velocidad más una constante. La constante es el término de velocidad inicial que se perdería al tomar la derivada de la velocidad, porque la derivada de un término constante es cero. Este mismo patrón se aplica a otras integraciones y derivados del movimiento (posición, velocidad, aceleración, etc.). Así, la integración produce las relaciones de aceleración, velocidad y desplazamiento:

{displaystyle int amathrm {d} t=v+C}

{displaystyle int vmathrm {d} t=d+C}

Usos y propiedades

Los antiderivativos se pueden utilizar para calcular integrales definidos, utilizando el teorema fundamental del cálculo: si $F$ es un antiderivativo de la función integradora $f$ sobre el intervalo ${displaystyle [a,b]}$ , entonces:

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),mathrm {d} x=F(b)-F(a). }

Debido a esto, cada una de las infinitas antiderivadas de una función dada $f$ puede llamarse "integral indefinida" de f y escrito usando el símbolo integral sin límites:

{displaystyle int f(x),mathrm {d} x.}

Si $F$ es un antiderivativo de $f$ , y la función $f$ se define en algún intervalo, entonces cada otro antiderivativo $G$ de $f$ difiere de $F$ por una constante: existe un número $c$ tales que ${displaystyle G(x)=F(x)+c}$ para todos $x$ . $c$ se llama la constante de integración. Si el dominio de $F$ es una unión disyuntiva de dos o más intervalos (abiertos), entonces se puede elegir una constante diferente de integración para cada uno de los intervalos. Por ejemplo

{displaystyle F(x)={begin{cases}-{frac {1}{x}+c_{1}quad x 0 0\-{frac} {1}{x}+c_{2}quad x confianza0end{cases}}

es el antiderivativo más general ${displaystyle f(x)=1/x^{2}$ sobre su dominio natural ${displaystyle (-infty0)cup (0,infty). }$

Toda función continua $f$ tiene una antiderivada y una antiderivada $F < /span> viene dada por la integral definida de f con límite superior variable:$

{displaystyle F(x)=int _{0}{x}f(t),mathrm {d} t.}

La variación del límite inferior produce otras antiderivadas (pero no necesariamente todas las antiderivadas posibles). Esta es otra formulación del teorema fundamental del cálculo.

Hay muchas funciones cuyas antiderivadas, aunque existen, no se pueden expresar en términos de funciones elementales (como polinomios, funciones exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas y sus combinaciones). Ejemplos de estos son

{displaystyle int e^{-x^{2},mathrm {d} x,qquad int sin x^{2},mathrm {d} x,qquad int {frac {fn x}},mathrm {d} x,qquad int {frac {1}{ln x},mathrm {d} x,qquad int x^{x},mathrm {d} x.}

De izquierda a derecha, las funciones son la función de error, la función de Fresnel, la integral del seno, la función integral logarítmica y el sueño de los estudiantes de segundo año. Para una discusión más detallada, consulte también Teoría diferencial de Galois.

Técnicas de integración

Encontrar antiderivadas de funciones elementales suele ser considerablemente más difícil que encontrar sus derivadas (de hecho, no existe un método predefinido para calcular integrales indefinidas). Para algunas funciones elementales, es imposible encontrar una antiderivada en términos de otras funciones elementales. Para obtener más información, consulte Funciones elementales e integral no elemental.

Existen muchas propiedades y técnicas para encontrar antiderivadas. Estos incluyen, entre otros:

La linealidad de la integración (que rompe las complejas integrales en las más simples)
Integración por sustitución, a menudo combinada con identidades trigonométricas o el logaritmo natural
El método inverso de regla de cadena (un caso especial de integración por sustitución)
Integración por partes (para integrar productos de funciones)
Integración de funciones inversas (una fórmula que expresa el antiderivativo del inverso $f -1$ de una función invertible y continua $f$ , en términos de la antiderivación de $f$ y de $f -1$ ).
El método de las fracciones parciales en la integración (que nos permite integrar todas las funciones racionales, fracturas de dos polinomios)
El algoritmo Risch
Técnicas adicionales para múltiples integraciones (ver, por ejemplo, doble integrales, coordenadas polares, el Jacobiano y el teorema de Stokes)
Integración numérica (una técnica para aproximar una integral definida cuando no existe antiderivación elemental, como en el caso de $exp(x 2)$ )
Manipulación algebraica de componentes (para que se puedan utilizar otras técnicas de integración, como la integración por sustitución)
fórmula Cauchy para la integración repetida (para calcular la $n$ -tiempos antiderivativos de una función) ${displaystyle int _{x_{0}{x}int ¿Por qué? ¿Por qué? x_{n}cdots ,mathrm {d} x_{2},mathrm {d} x_{1}=int _{x_{0}}{x}f(t){frac {(x-t)}{n-1}{(n-1)}}}},mathrm {d} t.} t.}$

Los sistemas de álgebra por computadora se pueden usar para automatizar parte o todo el trabajo involucrado en las técnicas simbólicas anteriores, lo cual es particularmente útil cuando las manipulaciones algebraicas involucradas son muy complejas o largas. Las integrales que ya se han derivado se pueden consultar en una tabla de integrales.

De funciones no continuas

Las funciones no continuas pueden tener antiderivadas. Si bien todavía hay preguntas abiertas en esta área, se sabe que:

Algunas funciones altamente patológicas con grandes conjuntos de discontinuidades pueden sin embargo tener antiderivativos.
En algunos casos, los antiderivativos de tales funciones patológicas pueden ser encontrados por la integración Riemann, mientras que en otros casos estas funciones no son integradas Riemann.

Suponiendo que los dominios de las funciones son intervalos abiertos:

Una condición necesaria, pero no suficiente, para una función $f$ tener un antiderivado es que $f$ tienen la propiedad de valor intermedio. Eso es, si $[a, b]$ es una subintervalación del dominio de $f$ y $Sí.$ es cualquier número real entre $f () a)$ y $f () b)$ , entonces existe $c$ entre $a$ y $b$ tales que $f () c) Sí.$ . Esto es una consecuencia del teorema de Darboux.
El conjunto de discontinuidades $f$ Debe ser un juego de palabras. Este conjunto también debe ser un conjunto F-sigma (ya que el conjunto de discontinuidades de cualquier función debe ser de este tipo). Además, para cualquier conjunto de F-sigma simple, se puede construir alguna función $f$ tener un antiderivativo, que tiene el conjunto dado como su conjunto de discontinuidades.
Si $f$ tiene un antiderivativo, está vinculado a subintervalos finitos cerrados del dominio y tiene un conjunto de discontinuidades de la medida Lebesgue 0, entonces un antiderivativo puede ser encontrado por la integración en el sentido de Lebesgue. De hecho, el uso de integrales más poderosos como la integral Henstock-Kurzweil, cada función por la que existe un antiderivativo es integrador, y su integral general coincide con su antiderivativo.
Si $f$ tiene un antiderivado $F$ en un intervalo cerrado ${displaystyle [a,b]}$ , entonces para cualquier opción de partición ${displaystyle a=x_{0} seleccionx_{1} - No.$ si uno elige puntos de muestra ${displaystyle x_{i}{*}in [x_{i-1},x_{i}}$ como especificado por el teorema de valor medio, entonces los telescopios de suma Riemann correspondientes al valor ${displaystyle F(b)-F(a)}$ .

{displaystyle {begin{aligned}sum ¿Qué? (x_{i}-x_{i-1} ¿Por qué?

Sin embargo, si

f

está sin límites, o si

f

está atado pero el conjunto de discontinuidades de

f

tiene una medida positiva de Lebesgue, una selección diferente de puntos de muestra

{displaystyle #

puede dar un valor significativamente diferente para la suma Riemann, sin importar lo bien que sea la partición. Véase el ejemplo 4 infra.

Algunos ejemplos

La función
${displaystyle f(x)=2xsin left({frac {1}{x}right)-cos left({frac {1}{x}right)}$
con ${displaystyle f(0)=0}$ no es continuo ${displaystyle x=0}$ pero tiene el antiderivado
${displaystyle F(x)=x^{2}sin left({frac {1}{x}right)}$
con ${displaystyle F(0)=0}$ . Desde $f$ está atado en intervalos finitos cerrados y sólo es discontinua a 0, el antiderivativo $F$ puede obtenerse por integración: ${displaystyle F(x)=int _{0}{x}f(t),mathrm {d} t}$ .
La función
${fnMicroc {1}}derecho)- {fnMicroc {2}}derecho)-{frac {2}{x}}cos left({frac {1}{x^{2}}derecho)}}}}}}$
con ${displaystyle f(0)=0}$ no es continuo ${displaystyle x=0}$ pero tiene el antiderivado
${displaystyle F(x)=x^{2}sin left({frac {1}{x^{2}}}right)}$
con ${displaystyle F(0)=0}$ . A diferencia del ejemplo 1, $f () x)$ está sin límites en cualquier intervalo que contenga 0, por lo que la integral Riemann no está definida.
Si $f () x)$ es la función en Ejemplo 1 y $F$ es su antiderivativo, y ${displaystyle {x_{n} {fnfnfnfn} 1}$ es un subconjunto denso contable del intervalo abierto ${displaystyle (-1,1),}$ entonces la función
${displaystyle g(x)=sum _{n=1}{infty }{frac {f(x-x_{n}}{2^{n}}} {f}}} {f}}}}$
tiene un antiderivado
${displaystyle G(x)=sum _{n=1}{infty }{frac {F(x-x_{n}}{2^{n}}}$
El conjunto de discontinuidades $g$ es precisamente el conjunto ${displaystyle {x_{n} {fnfnfnfn} 1}$ . Desde $g$ está ligado a intervalos finitos cerrados y el conjunto de discontinuidades tiene medida 0, el antiderivativo $G$ puede encontrarse por integración.
Vamos ${displaystyle {x_{n} {fnfnfnfn} 1}$ ser un subconjunto denso contable del intervalo abierto ${displaystyle (-1,1).}$ Considere la función continua y continua
${displaystyle F(x)=sum _{n=1}{infty }{frac {1}{2^{n}}}(x-x_{n})}{1/3}$
Se puede demostrar que
${displaystyle F'(x)=sum _{n=1}{infty }{frac {1}{3cdot 2^{n}}}(x-x_{n})^{-2/3}$

Gráfico 1

Gráfico 2
para todos los valores $x$ donde converge la serie, y que el gráfico de $F () x)$ tiene líneas verticales tangentes en todos los otros valores $x$ . En particular el gráfico tiene líneas verticales tangentes en todos los puntos del conjunto ${displaystyle {x_{n} {fnfnfnfn} 1}$ .
Moreover ${displaystyle F(x)geq 0}$ para todos $x$ donde se define el derivado. Sigue que la función inversa ${displaystyle G=F^{-1}$ es diferente en todas partes y que
${displaystyle g(x)=G'(x)=0}$
para todos $x$ en el conjunto ${displaystyle {F(x_{n}ngq 1}$ que es denso en el intervalo ${displaystyle [F(-1),F(1)].}$ Así $g$ tiene un antiderivado $G$ . Por otro lado, no puede ser verdad que
${displaystyle int _{F(-1)}^{F(1)}g(x),mathrm {d} x=GF(1)-GF(-1)=2,}$
desde para cualquier partición ${displaystyle [F(-1),F(1)]$ , se puede elegir puntos de muestra para la suma Riemann del conjunto ${displaystyle {F(x_{n}ngq 1}$ , dando un valor de 0 por la suma. De ello se desprende que $g$ tiene un conjunto de discontinuidades de la medida Lebesgue positiva. Figura 1 a la derecha muestra una aproximación al gráfico $g () x)$ Donde ${displaystyle {x_{n}=cos(n)}_{ngeq 1}$ y la serie está truncada a 8 términos. La Figura 2 muestra el gráfico de una aproximación al antiderivativo $G () x)$ , también truncado a 8 términos. Por otro lado, si la integral Riemann es reemplazada por la integral Lebesgue, el lema de Fatou o el teorema de convergencia dominado muestra que $g$ satisface el teorema fundamental del cálculo en ese contexto.
En los ejemplos 3 y 4, los conjuntos de discontinuidades de las funciones $g$ son densos sólo en un intervalo abierto finito ${displaystyle (a,b). }$ Sin embargo, estos ejemplos pueden ser fácilmente modificados para tener conjuntos de discontinuidades que son densas en toda la línea real ${displaystyle (-inftyinfty)}$ . Vamos
${displaystyle lambda (x)={frac Tan ^{-1}x.}$
Entonces... ${displaystyle g(lambda (x))lambda '(x)}$ tiene un conjunto denso de discontinuidades en ${displaystyle (-inftyinfty)}$ y tiene antiderivación ${displaystyle Gcdot lambda.}$
Usando un método similar como en Ejemplo 5, se puede modificar $g$ en Ejemplo 4 para desaparecer en todos los números racionales. Si se utiliza una versión ingenua de la integral Riemann definida como el límite de la mano izquierda o derecha Riemann suma sobre particiones regulares, se obtendrá que la parte integral de tal función $g$ sobre un intervalo ${displaystyle [a,b]}$ es 0 cuando $a$ y $b$ ambos son racionales, en lugar de ${displaystyle G(b)-G(a)}$ . Así el teorema fundamental del cálculo fallará espectacularmente.
Una función que tiene un antiderivativo puede todavía no ser integrado Riemann. El derivado de la función de Volterra es un ejemplo.

Fórmulas básicas

Si ${displaystyle {mathrm {d} over mathrm {d} x}f(x)=g(x)}$ , entonces ${displaystyle int g(x)mathrm {d} x=f(x)+C}$ .

${displaystyle int 1 mathrm {d} x=x+C}$
${displaystyle int amathrm {d} x=ax+C}$
${displaystyle int x^{n}mathrm {d} x={frac} {x^{n+1}{n+1}+C; nneq -1}$
${displaystyle int sin {x}mathrm {d} x=-cos {x}+C}$
${displaystyle int cos {x}mathrm {d} x=sin {x}+C}$
${displaystyle int sec ^{2}{x} mathrm {d} x=tan {x}+C}$
${displaystyle int csc ^{2}{x} mathrm {d} x=-cot {x}+C}$
${displaystyle int sec {x}tan {x}\mathrm {d} x=sec {x}+C}$
${displaystyle int csc {x}cot {x}mathrm {d} x=-csc {x}+C}$
${displaystyle int {frac}{x} ################################################################################################################################################################################################################################################################$
${displaystyle int e^{x}mathrm {d} x=e^{x}+C}$
${displaystyle int a^{x}mathrm {d} x={frac {a^{x}{ln a}}+C; a}0, aneq 1}$