Teoría acústica

La teoría acústica es un campo científico relacionado con la descripción de las ondas sonoras. Se deriva de la dinámica de fluidos. Ver acústica para el enfoque de ingeniería.

Para las ondas sonoras de cualquier magnitud de una perturbación en la velocidad, la presión y la densidad, tenemos

∂ ∂ *** *** .∂ ∂ t+*** *** 0Silencio Silencio ⋅ ⋅ v+Silencio Silencio ⋅ ⋅ ()*** *** .v)=0(Conservación de la Misa)()*** *** 0+*** *** .)∂ ∂ v∂ ∂ t+()*** *** 0+*** *** .)()v⋅ ⋅ Silencio Silencio )v+Silencio Silencio p.=0(Ecuación de la Moción){displaystyle {begin{aligned}{frac {partial rho}{partial t}+rho _{0}nabla cdot mathbf {v} {fnMicrosoft Sans Serif}(rho _{0}+rho '){frac {partial mathbf {v} {} {c} {cH0} {cH00} {cH0} {cH00} {cH00} {cH00} {cH00}cH0}cH00} +nabla p' viviendo=0qquad {text{(Ecuación de la Moción)}end{aligned}}

En el caso de que las fluctuaciones en velocidad, densidad y presión sean pequeñas, podemos aproximarlas como

∂ ∂ *** *** .∂ ∂ t+*** *** 0Silencio Silencio ⋅ ⋅ v=0∂ ∂ v∂ ∂ t+1*** *** 0Silencio Silencio p.=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial rho}{partial t}+rho _{0}nabla cdot mathbf {v} {fnMicroc {fnMitbf} }{partial {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {fn} {fn}} {f} {f} {fn}} {f}}}}}}}} {fnf}} {f}}} {f}}}}}} {fnf}}} {f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}\\\\\\\f}\\\\\fn\\fn\\fnfn\\\fn\\fnfnfnfn\fn\\fn\\fn\fnfn\fnfn\fnfnfnfn\\\\fnfn\\fn ¿Qué?

Donde v()x,t){displaystyle mathbf {v} (mathbf {x}t)} es la velocidad perturbida del fluido, p0{displaystyle P_{0} es la presión del líquido en reposo, p.()x,t){displaystyle p'(mathbf {x}t)} es la presión perturbada del sistema como función del espacio y del tiempo, *** *** 0{displaystyle rho _{0} es la densidad del líquido en reposo, y *** *** .()x,t){displaystyle rho '(mathbf {x}t)} es la diferencia en la densidad del fluido sobre el espacio y el tiempo.

En el caso de que la velocidad es irrotacional (Silencio Silencio × × v=0{displaystyle nabla times mathbf {v} =0}), entonces tenemos la ecuación de onda acústica que describe el sistema:

1c2∂ ∂ 2φ φ ∂ ∂ t2− − Silencio Silencio 2φ φ =0{displaystyle {frac {1}{2}}{frac {partial ^{2}phi }{partial } {c} {c} {c}} {c}}} {c}}} {c}} {c}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}f}}}}}}}} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}.

Donde tenemos

v=− − Silencio Silencio φ φ c2=()∂ ∂ p∂ ∂ *** *** )sp.=*** *** 0∂ ∂ φ φ ∂ ∂ t*** *** .=*** *** 0c2∂ ∂ φ φ ∂ ∂ t{displaystyle {begin{aligned}mathbf {v}=-nabla phic^{2} {frac {partial p}{partial rho ♪ ♪♪♪♪♪♪♪♪ {fnK}\\fnK}\\\\fnh00\fnh}\\fn}\\\\\\fnK\\\cH00\\\\fnK\\\\\\\\\\\\\\fnK\\\\\cH00\\\\\\cH0}cH00\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK\\\\\\\\fnK\\fnK\\\\\\\\\\\\\\\\\ {fnK} {fnK}} {fnMicroc {partial phi }{partial t}end{aligned}}}} {f}} {f}}} {fn}} {fn}}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Derivación para un medio en reposo

Empezando con la Ecuación de Continuidad y la Ecuación de Euler:

∂ ∂ *** *** ∂ ∂ t+Silencio Silencio ⋅ ⋅ *** *** v=0*** *** ∂ ∂ v∂ ∂ t+*** *** ()v⋅ ⋅ Silencio Silencio )v+Silencio Silencio p=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial rho }{partial t}}+nabla cdot rho mathbf {v} [=0\\rho {fnMicroc {fnMitbf}{partial t}+rho (mathbf {v} cdot nabla)mathbf {v} - ¿Qué?

Si tomamos pequeñas perturbaciones de presión y densidad constantes:

*** *** =*** *** 0+*** *** .p=p0+p.{displaystyle {begin{aligned}rho " ¿Por qué?

Entonces las ecuaciones del sistema son

∂ ∂ ∂ ∂ t()*** *** 0+*** *** .)+Silencio Silencio ⋅ ⋅ ()*** *** 0+*** *** .)v=0()*** *** 0+*** *** .)∂ ∂ v∂ ∂ t+()*** *** 0+*** *** .)()v⋅ ⋅ Silencio Silencio )v+Silencio Silencio ()p0+p.)=0{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f} {f} {f}f} {f}f}f} {f}f} {f} {f}f}f}f}f} {f}f} {f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}\\f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}\f}f}f}f} +nabla (p_{0}+p')

Teniendo en cuenta que las presiones y densidades de equilibrio son constantes, esto se simplifica a

∂ ∂ *** *** .∂ ∂ t+*** *** 0Silencio Silencio ⋅ ⋅ v+Silencio Silencio ⋅ ⋅ *** *** .v=0()*** *** 0+*** *** .)∂ ∂ v∂ ∂ t+()*** *** 0+*** *** .)()v⋅ ⋅ Silencio Silencio )v+Silencio Silencio p.=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial rho}{partial t}+rho _{0}nabla cdot mathbf {v} {\fnMicrosoft {f} {\fnMicrosoft}\cH}+rho _{0}+rho '){mthbf {} {} {cdotcdot}}+(rho _{0}+rho ') - ¿Qué?

Un medio en movimiento

Empezando con

∂ ∂ *** *** .∂ ∂ t+*** *** 0Silencio Silencio ⋅ ⋅ w+Silencio Silencio ⋅ ⋅ *** *** .w=0()*** *** 0+*** *** .)∂ ∂ w∂ ∂ t+()*** *** 0+*** *** .)()w⋅ ⋅ Silencio Silencio )w+Silencio Silencio p.=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial rho}{partial t}+rho _{0}nabla cdot mathbf {w} {\fnMicrosoft {f} {\fnMicrosoft}\fnMicrosoft {f}}+rho _{0}+rho ') {máthbf {} {} {cdotnh}+(rho _{0}+rho ') - ¿Qué?

Podemos hacer que estas ecuaciones funcionen para un médium en movimiento estableciendo w=u+v{displaystyle mathbf {w} = 'Mathbf {u} # Mathbf {v}, donde u{displaystyle mathbf {u} es la velocidad constante a la que todo el fluido se mueve antes de ser perturbado (equivalente a un observador en movimiento) y v{displaystyle mathbf {v} es la velocidad del fluido.

En este caso, las ecuaciones se ven muy similares:

∂ ∂ *** *** .∂ ∂ t+*** *** 0Silencio Silencio ⋅ ⋅ v+u⋅ ⋅ Silencio Silencio *** *** .+Silencio Silencio ⋅ ⋅ *** *** .v=0()*** *** 0+*** *** .)∂ ∂ v∂ ∂ t+()*** *** 0+*** *** .)()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )v+()*** *** 0+*** *** .)()v⋅ ⋅ Silencio Silencio )v+Silencio Silencio p.=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial rho}{partial t}+rho _{0}nabla cdot mathbf {v} # Mathbf {u} {f}f}cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH0\cH0} {cH00}cH00}cH0}cH00cH00cH00} - ¿Qué?

Note que el ajuste u=0{displaystyle mathbf {u} =0} devuelve las ecuaciones en reposo.

Ondas linealizadas

Comenzando con las ecuaciones de movimiento dadas arriba para un medio en reposo:

∂ ∂ *** *** .∂ ∂ t+*** *** 0Silencio Silencio ⋅ ⋅ v+Silencio Silencio ⋅ ⋅ *** *** .v=0()*** *** 0+*** *** .)∂ ∂ v∂ ∂ t+()*** *** 0+*** *** .)()v⋅ ⋅ Silencio Silencio )v+Silencio Silencio p.=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial rho}{partial t}+rho _{0}nabla cdot mathbf {v} {\fnMicrosoft {f} {\fnMicrosoft}\cH}+rho _{0}+rho '){mthbf {} {} {cdotcdot}}+(rho _{0}+rho ') - ¿Qué?

Vamos ahora. v,*** *** .,p.{displaystyle mathbf {v}rho ',p'} para todos ser pequeñas cantidades.

En el caso de mantener los términos a primer orden, para la ecuación de continuidad, tenemos la *** *** .v{displaystyle rho 'Mathbf {v} término va a 0. Esto se aplica igualmente para los tiempos de perturbación de la densidad el derivado del tiempo de la velocidad. Además, los componentes espaciales del derivado material van a 0. Así lo tenemos, al reorganizar la densidad del equilibrio:

∂ ∂ *** *** .∂ ∂ t+*** *** 0Silencio Silencio ⋅ ⋅ v=0∂ ∂ v∂ ∂ t+1*** *** 0Silencio Silencio p.=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial rho}{partial t}+rho _{0}nabla cdot mathbf {v} {fnMicroc {fnMitbf} }{partial {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {fn} {fn}} {f} {f} {fn}} {f}}}}}}}} {fnf}} {f}}} {f}}}}}} {fnf}}} {f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}\\\\\\\f}\\\\\fn\\fn\\fnfn\\\fn\\fnfnfnfn\fn\\fn\\fn\fnfn\fnfn\fnfnfnfn\\\\fnfn\\fn ¿Qué?

Luego, dado que nuestra onda de sonido ocurre en un fluido ideal, el movimiento es adiabático, y luego podemos relacionar el pequeño cambio en la presión con el pequeño cambio en la densidad por

p.=()∂ ∂ p∂ ∂ *** *** 0)s*** *** .{displaystyle p'=({frac {partial p}{partial rho - Sí.

Bajo esta condición, vemos que ahora tenemos

∂ ∂ p.∂ ∂ t+*** *** 0()∂ ∂ p∂ ∂ *** *** 0)sSilencio Silencio ⋅ ⋅ v=0∂ ∂ v∂ ∂ t+1*** *** 0Silencio Silencio p.=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial p'}{partial t}+rho _{0}({frac {partial p}{partial rho {fnMicroc {f}fnMicroc {f}\fnMicroc {cH} }{partial {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {fn} {fn}} {f} {f} {fn}} {f}}}}}}}} {fnf}} {f}}} {f}}}}}} {fnf}}} {f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}\\\\\\\f}\\\\\fn\\fn\\fnfn\\\fn\\fnfnfnfn\fn\\fn\\fn\fnfn\fnfn\fnfnfnfn\\\\fnfn\\fn ¿Qué?

Definiendo la velocidad del sonido del sistema:

c↑ ↑ ()∂ ∂ p∂ ∂ *** *** 0)s{fnMicroc {fnK}{f}{f} {f}{m} {m} {f}m} {f}}} {b}}}} {f}b9}}b9}}b}b}b9}b}b9cH0} - Sí.

Todo se vuelve

∂ ∂ p.∂ ∂ t+*** *** 0c2Silencio Silencio ⋅ ⋅ v=0∂ ∂ v∂ ∂ t+1*** *** 0Silencio Silencio p.=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial p'}{partial t}+rho _{0}c^{2}nabla cdot mathbf {v} &=0\{frac {partial mathbf {v} }{partial {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {fn} {fn}} {f}}} {fn}}} {f}} {fn}}}} {fnf}}} {f}} {f}}}}} {fnf}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\fn\\\\fnfnfn\\\fnfn\fn\\fnfn\\fnfnfn\fn\fnfn\fnfn\fn\\\fnfnfn\\fnfn\fn}fnfnfn\\\\\fn\\fn ¿Qué?

Para fluidos irrotacionales

En el caso de que el líquido es irrotacional, es decir, Silencio Silencio × × v=0{displaystyle nabla times mathbf {v} =0}, entonces podemos escribir v=− − Silencio Silencio φ φ {displaystyle mathbf {v} =-nabla phi } y así escribir nuestras ecuaciones de movimiento como

∂ ∂ p.∂ ∂ t− − *** *** 0c2Silencio Silencio 2φ φ =0− − Silencio Silencio ∂ ∂ φ φ ∂ ∂ t+1*** *** 0Silencio Silencio p.=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial p'}{partial t}-rho _{0}c^{2}nabla ^{2}phi >=0-nabla {frac {partial phi }{partial }{c}{2}f} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {fn} {fn}} {f} {f} {fn}} {f}}}}}}}} {fnf}} {f}}} {f}}}}}} {fnf}}} {f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}\\\\\\\f}\\\\\fn\\fn\\fnfn\\\fn\\fnfnfnfn\fn\\fn\\fn\fnfn\fnfn\fnfnfnfn\\\\fnfn\\fn ¿Qué?

La segunda ecuación nos dice que

p.=*** *** 0∂ ∂ φ φ ∂ ∂ t{displaystyle p'=rho _{0}{frac {partial phi }{partial }

Y el uso de esta ecuación en la ecuación de continuidad nos dice que

*** *** 0∂ ∂ 2φ φ ∂ ∂ t− − *** *** 0c2Silencio Silencio 2φ φ =0{displaystyle rho ¿Por qué? t}-rho ¿Qué?

Esto se simplifica a

1c2∂ ∂ 2φ φ ∂ ∂ t2− − Silencio Silencio 2φ φ =0{displaystyle {frac {1}{2}}{frac {partial ^{2}phi }{partial } {c} {c} {c}} {c}}} {c}}} {c}} {c}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}f}}}}}}}} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}.

Así el potencial de velocidad φ φ {displaystyle phi } obedece la ecuación de onda en el límite de pequeñas perturbaciones. Las condiciones límite requeridas para resolver el potencial provienen del hecho de que la velocidad del fluido debe ser 0 normal a las superficies fijas del sistema.

Tomando el tiempo derivado de esta ecuación de onda y multiplicando todos los lados por la densidad no perturbada, y luego utilizando el hecho de que p.=*** *** 0∂ ∂ φ φ ∂ ∂ t{displaystyle p'=rho _{0}{frac {partial phi }{partial } nos dice que

1c2∂ ∂ 2p.∂ ∂ t2− − Silencio Silencio 2p.=0{displaystyle {frac {1}{2}}{frac {partial ^{2}p}{partial t^{2}}}}nabla }p'=0}

Del mismo modo, vimos que p.=()∂ ∂ p∂ ∂ *** *** 0)s*** *** .=c2*** *** .{displaystyle p'=({frac {partial p}{partial rho ¿Qué? '=c^{2}rho '. Así podemos multiplicar apropiadamente la ecuación anterior y ver que

1c2∂ ∂ 2*** *** .∂ ∂ t2− − Silencio Silencio 2*** *** .=0{displaystyle {frac}{2}}{frac {partial ^{2}rho '{partial. '=0'

Por lo tanto, el potencial de velocidad, la presión y la densidad obedecen a la ecuación de onda. Además, solo necesitamos resolver una de esas ecuaciones para determinar las otras tres. En particular, tenemos

v=− − Silencio Silencio φ φ p.=*** *** 0∂ ∂ φ φ ∂ ∂ t*** *** .=*** *** 0c2∂ ∂ φ φ ∂ ∂ t{displaystyle {begin{aligned}mathbf {v}=-nabla phi \p' limit=rho _{0}{frac {partial phi }{partial t}\\\rho 'ν={frac {rho {fnK} {fnK}} {fnMicroc {partial phi }{partial t}end{aligned}}}} {f}} {f}} {fn}}}} {fn}}} {f}}} {f}}}} {fnKf}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Para un medio en movimiento

Nuevamente, podemos derivar el límite de pequeña perturbación para las ondas de sonido en un medio en movimiento. Nuevamente, comenzando con

∂ ∂ *** *** .∂ ∂ t+*** *** 0Silencio Silencio ⋅ ⋅ v+u⋅ ⋅ Silencio Silencio *** *** .+Silencio Silencio ⋅ ⋅ *** *** .v=0()*** *** 0+*** *** .)∂ ∂ v∂ ∂ t+()*** *** 0+*** *** .)()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )v+()*** *** 0+*** *** .)()v⋅ ⋅ Silencio Silencio )v+Silencio Silencio p.=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial rho}{partial t}+rho _{0}nabla cdot mathbf {v} # Mathbf {u} {f}f}cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH0\cH0} {cH00}cH00}cH0}cH00cH00cH00} - ¿Qué?

Podemos linealizarlos en

∂ ∂ *** *** .∂ ∂ t+*** *** 0Silencio Silencio ⋅ ⋅ v+u⋅ ⋅ Silencio Silencio *** *** .=0∂ ∂ v∂ ∂ t+()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )v+1*** *** 0Silencio Silencio p.=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial rho}{partial t}+rho _{0}nabla cdot mathbf {v} +mathbf {u} cdot nabla rho ' implica=0\{frac {partial mathbf {v} {}{partial t}}+(mathbf {u}cdot nabla)mathbf {v} ################################################################################################################################################################################################################################################################

Para fluidos irrotacionales en un medio en movimiento

Dado que vimos que

∂ ∂ *** *** .∂ ∂ t+*** *** 0Silencio Silencio ⋅ ⋅ v+u⋅ ⋅ Silencio Silencio *** *** .=0∂ ∂ v∂ ∂ t+()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )v+1*** *** 0Silencio Silencio p.=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial rho}{partial t}+rho _{0}nabla cdot mathbf {v} +mathbf {u} cdot nabla rho ' implica=0\{frac {partial mathbf {v} {}{partial t}}+(mathbf {u}cdot nabla)mathbf {v} ################################################################################################################################################################################################################################################################

Si hacemos las suposiciones anteriores de que el fluido es ideal y la velocidad es irrotacional, entonces tenemos

p.=()∂ ∂ p∂ ∂ *** *** 0)s*** *** .=c2*** *** .v=− − Silencio Silencio φ φ {displaystyle {begin{aligned}p' limit=({frac {partial p}{partial rho ¿Qué?.

Bajo estas suposiciones, nuestras ecuaciones de sonido linealizadas se vuelven

1c2∂ ∂ p.∂ ∂ t− − *** *** 0Silencio Silencio 2φ φ +1c2u⋅ ⋅ Silencio Silencio p.=0− − ∂ ∂ ∂ ∂ t()Silencio Silencio φ φ )− − ()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )[Silencio Silencio φ φ ]+1*** *** 0Silencio Silencio p.=0{displaystyle {begin{aligned}{frac} {1}{2} {c} {c}} {c} {c} {c} {c} {c}}}} {c}}}} {c}}} {c} {c} {c} {c}}}}}}}} {c}}} {c}}} {c}}}}}} {c}}} {c}}}}}} {c}}} {c}{}}}{}}}}}}}}}}}} {c} {c} {c} {}}}}}}}} {c}}}}}}}}} {c}}}} {c} {c} {c}} {c}} {c} {c} {c} {c}}{}{}} {c} {c} {c} {c} {c} {c}} {c}{}}}}}}}}} frac {partial p'}{partial }-rho _ {0}nabla ########## {2}mathbf {u} cdot nabla p' limit=0\\\-{frac {partial t} {nabla phi)-(nablanf {u} {cdotnabla}{0}{0}{0}{0}{0}{0}{0} {ne} {i}}i}}i}}}}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}f}c}f}f}c}f}f}c}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn

Importante, desde u{displaystyle mathbf {u} es una constante, tenemos ()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )[Silencio Silencio φ φ ]=Silencio Silencio [()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )φ φ ]{displaystyle (mathbf {u} cdot nabla)[nabla phi ]=nabla [(mathbf {u} cdot nabla)phi ]}, y luego la segunda ecuación nos dice que

1*** *** 0Silencio Silencio p.=Silencio Silencio [∂ ∂ φ φ ∂ ∂ t+()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )φ φ ]{displaystyle {frac}{rho ¿Por qué?

O solo eso

p.=*** *** 0[∂ ∂ φ φ ∂ ∂ t+()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )φ φ ]{displaystyle p'=rho _{0}[{frac {partial phi }{partial t}+(mathbf {u}cdot nabla)phi ]}

Ahora, cuando usamos esta relación con el hecho de que 1c2∂ ∂ p.∂ ∂ t− − *** *** 0Silencio Silencio 2φ φ +1c2u⋅ ⋅ Silencio Silencio p.=0{displaystyle {frac}{2}{frac {partial p'}{c} {c} {c} {c}} {c}}}} {fnK}} {fnK}}}} {fnK}}}}} {f}}}}}}}}} {fnKf}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}} {f}fnfnfnfnf}f}fnfnfnfnfnfnKfnfnfnfnfnfnfnfnfnKfnfnKfnfnKfnfnKfnfnKfnKfnfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKf}}fnK }-rho _ {0}nabla ^{2}phi +{=0}mathbf {u}cdot nabla p'=0}, junto con los términos de cancelación y reorganización, llegamos a

1c2∂ ∂ 2φ φ ∂ ∂ t2− − Silencio Silencio 2φ φ +1c2∂ ∂ ∂ ∂ t[()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )φ φ ]+1c2∂ ∂ ∂ ∂ t()u⋅ ⋅ Silencio Silencio φ φ )+1c2u⋅ ⋅ Silencio Silencio [()u⋅ ⋅ Silencio Silencio )φ φ ]=0{displaystyle {frac {1}{2}}{frac {partial ^{2}phi }{partial } {c} {c} {cc}}}} {c}}} {cc}}} {c}}} {c}}} {c}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {mf} {mf}f} {mf}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}} {f} {f}} {f}} {f}f} {f} {f} {f}} {f} {f}} {f}} {f}}} {f}f}f} {f}f}} {f}}} {f}}} {f}f}f}f}f}f}f}}}}}}}f}f}}f} {f}f}f}f}f}f}}f}f}f} {f}}f}f}f}f}}}f}}}}}f} {f} {f}}f}f}}}f}}}}}f}f}f}f}f}f}}f}f}}f}}}}}}}}}}}}f}}f}}}}}} cdot nabla phi)+{1}{c^{2}}mathbf {u} cdot nabla [(mathbf {u} cdot nabla)phi ]=0}

Podemos escribir esto en una forma familiar como

[1c2()∂ ∂ ∂ ∂ t+u⋅ ⋅ Silencio Silencio )2− − Silencio Silencio 2]φ φ =0{displaystyle [{frac {1}{2}} {frac {partial }{c}{c} {c} {c} {c} {c}}} {f}}} {fnf}} {fnf} {f}}} {f}}}} {fnKf}}}}}}}}}} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnf}fnf}f}f}f}f}f}fnf}f}f}fnfnfnfnf}fnf}f}f}f}}fn t}+mathbf {u} cdot nabla)^{2}-nabla ^{2}]phi =0}

Esta ecuación diferencial debe resolverse con las condiciones de límites apropiadas. Note que el ajuste u=0{displaystyle mathbf {u} =0} nos devuelve la ecuación de onda. Independientemente, al resolver esta ecuación para un medio en movimiento, entonces tenemos

v=− − Silencio Silencio φ φ p.=*** *** 0()∂ ∂ ∂ ∂ t+u⋅ ⋅ Silencio Silencio )φ φ *** *** .=*** *** 0c2()∂ ∂ ∂ ∂ t+u⋅ ⋅ Silencio Silencio )φ φ {displaystyle {begin{aligned}mathbf {v} &=-nabla phi \p' limit=rho _{0}({frac {partial }{partial t}+mathbf {u}cdot nabla)phi \\\\rho ' {fnMicroc {partial }}+mathbf {u} cdot nabla)phi end{aligned}}}