Teoremas de incrustación de Nash

Los teoremas de incrustación de Nash (o teoremas de incrustación), llamados así por John Forbes Nash Jr., establecen que toda variedad de Riemann puede incrustarse isométricamente en algún espacio euclidiano. Isométrico significa preservar la longitud de cada camino. Por ejemplo, doblar una página de papel, pero no estirarla ni rasgarla, da una incrustación isométrica de la página en el espacio euclidiano porque las curvas dibujadas en la página conservan la misma longitud de arco, independientemente de cómo se doble la página.

El primer teorema es para incrustaciones continuamente diferenciables (C¹) y el segundo para incrustaciones que son analíticas o suaves de clase C^{k< /sup>}, 3 ≤ k ≤ ∞. Estos dos teoremas son muy diferentes entre sí. El primer teorema tiene una prueba muy simple pero lleva a algunas conclusiones contrarias a la intuición, mientras que el segundo teorema tiene una prueba técnica y contraintuitiva pero lleva a un resultado menos sorprendente.

El teorema C¹ se publicó en 1954, el teorema C^k en 1956. El teorema real el teorema analítico fue tratado por primera vez por Nash en 1966; su argumento fue simplificado considerablemente por Greene & Jacobowitz (1971). (Élie Cartan y Maurice Janet demostraron una versión local de este resultado en la década de 1920). En el caso analítico real, los operadores de suavizado (ver más abajo) en el argumento de la función inversa de Nash pueden reemplazarse por estimaciones de Cauchy. La prueba de Nash del caso C^k- se extrapoló más tarde al principio h y al teorema de la función implícita de Nash-Moser. Günther (1989) obtuvo una prueba más simple del segundo teorema de incrustación de Nash, quien redujo el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales a un sistema elíptico, al que se le podía aplicar el teorema de mapeo de contracción.

Teorema de Nash-Kuiper (teorema de incrustación C1)

Dada una variedad de Riemann m-dimensional (M, g), una incrustación isométrica es una incrustación topológica continuamente diferenciable f: M → ℝⁿ tal que el retroceso de la métrica euclidiana es igual a g. En términos analíticos, esto puede verse (en relación con un gráfico de coordenadas suave x) como un sistema de 1/2m(m + 1) muchas ecuaciones diferenciales parciales de primer orden para n funciones desconocidas (de valor real):

${displaystyle g_{ij}(x)=sum _{alpha ################################################################################################################################################################################################################################################################ # {partial x^{i}}{frac {partial f^{alpha } {partial x^{j}}}}$

Si n es menor que 1/2m(m + 1), entonces hay más ecuaciones que incógnitas. Desde esta perspectiva, se considera sorprendente la existencia de incrustaciones isométricas dadas por el siguiente teorema.

Teorema Nash-Kuiper. Vamos ()M, g) ser un m-dimensional Riemannian manifold and f: M → Rⁿ una breve incrustación lisa (o inmersión) en el espacio euclidiano Rⁿ, donde n ≥ m + 1. Este mapa no es necesario para ser isométrico. Luego hay una secuencia de incrustaciones isométricas continuamente diferenciables (o inmersiones) M → Rⁿ de g que convergen uniformemente f.

El teorema fue originalmente probado por John Nash con la suposición más fuerte n ≥ m + 2. Su método fue modificado por Nicolaas Kuiper para obtener el teorema anterior.

Las incrustaciones isométricas producidas por el teorema de Nash-Kuiper a menudo se consideran contrarias a la intuición y patológicas. A menudo no logran diferenciarse suavemente. Por ejemplo, un conocido teorema de David Hilbert afirma que el plano hiperbólico no puede sumergirse isométricamente en ℝ³. Cualquier variedad de Einstein de curvatura escalar negativa no puede sumergirse isométricamente como una hipersuperficie, y un teorema de Shiing-Shen Chern y Kuiper incluso dice que cualquier cerrada La variedad m-dimensional de curvatura seccional no positiva no se puede sumergir isométricamente en ℝ^{2m – 1}. Además, algunas incrustaciones isométricas suaves exhiben fenómenos de rigidez que son violados por la elección en gran medida sin restricciones de f en el teorema de Nash-Kuiper. Por ejemplo, la imagen de cualquier inmersión isométrica suave en la hipersuperficie de la esfera redonda debe ser en sí misma una esfera redonda. Por el contrario, el teorema de Nash-Kuiper asegura la existencia de inmersiones de hipersuperficie isométricas continuamente diferenciables de la esfera redonda que están arbitrariamente cerca (por ejemplo) de una incrustación topológica de la esfera como un pequeño elipsoide.

Cualquier variedad bidimensional cerrada y orientada se puede incrustar sin problemas en ℝ³. Cualquier incrustación de este tipo se puede escalar mediante una constante arbitrariamente pequeña para que se vuelva corta, en relación con cualquier métrica de Riemann dada en la superficie. Del teorema de Nash-Kuiper se deduce que existen incrustaciones isométricas continuamente diferenciables de cualquier superficie de Riemann donde el radio de una bola circunscrita es arbitrariamente pequeño. Por el contrario, ninguna superficie cerrada curvada negativamente puede incrustarse isométricamente en ℝ³. Además, para cualquier incrustación isométrica suave (o incluso C²) de una superficie riemanniana cerrada arbitraria, existe una relación cuantitativa (positivo) límite inferior del radio de una bola circunscrita en términos del área de la superficie y la curvatura de la métrica incrustada.

En una dimensión superior, como se desprende del teorema de incrustación de Whitney, el teorema de Nash-Kuiper muestra que cualquier m-dimensional cerrada La variedad de Riemann admite una incrustación isométrica continuamente diferenciable en un vecindario arbitrariamente pequeño en un espacio euclidiano de 2m-dimensional. Aunque el teorema de Whitney también se aplica a las variedades no compactas, dichas incrustaciones no pueden escalarse simplemente por una pequeña constante para que se vuelvan cortas. Nash demostró que cada variedad de Riemann de m-dimensional admite una incrustación isométrica continuamente diferenciable en ℝ^{2m + 1}.

En el momento del trabajo de Nash, su teorema se consideraba una especie de curiosidad matemática. El resultado en sí no ha encontrado aplicaciones importantes. Sin embargo, el método de prueba de Nash fue adaptado por Camillo De Lellis y László Székelyhidi para construir soluciones de baja regularidad, con energía cinética prescrita, de las ecuaciones de Euler del estudio matemático de la mecánica de fluidos. En términos analíticos, las ecuaciones de Euler tienen una similitud formal con las ecuaciones de incrustación isométrica, a través de la no linealidad cuadrática en las primeras derivadas de la función desconocida. Las ideas de la prueba de Nash fueron resumidas por Mikhael Gromov al principio de integración convexa, con un principio h correspondiente. Esto fue aplicado por Stefan Müller y Vladimír Šverák al decimonoveno problema de Hilbert, construyendo minimizadores de mínima diferenciabilidad en el cálculo de variaciones.

Teorema de incrustación de Ck

La afirmación técnica que aparece en el artículo original de Nash es la siguiente: si M es una variedad de Riemann de m-dimensional dada (analítica o de clase C^k, 3 ≤ k ≤ ∞), entonces existe un número n (con n ≤ m(3m+11)/2, si M es una variedad compacta n ≤ < i>m(m+1)(3m+11)/2 si M es una variedad no compacta) y una incrustación isométrica ƒ: M → Rⁿ (también analítica o de clase C^k). Es decir, ƒ es una incrustación de variedades C^k y para cada punto p de M, la derivada dƒ< sub>p es un mapa lineal desde el espacio tangente T_pM a Rⁿ que es compatible con el producto interno dado en T_pM y el producto escalar estándar de Rⁿ en el siguiente sentido:

${displaystyle langle u,vrangle =df_{p}(u)cdot df_{p}(v)}$

para todos los vectores u, v en T_pM. Cuando n es mayor que 1/2m(m + 1), este es un sistema indeterminado de ecuaciones diferenciales parciales (PDEs).

El teorema de incrustación de Nash es un teorema global en el sentido de que toda la variedad está incrustada en Rⁿ. Un teorema de incrustación local es mucho más simple y se puede probar usando el teorema de la función implícita del cálculo avanzado en una vecindad coordinada de la variedad. La prueba del teorema de incrustación global se basa en el teorema de la función implícita de Nash para incrustaciones isométricas. Este teorema ha sido generalizado por varios otros autores a contextos abstractos, donde se conoce como teorema de Nash-Moser. La idea básica en la demostración del teorema de la función implícita de Nash es el uso del método de Newton para construir soluciones. El método estándar de Newton no converge cuando se aplica al sistema; Nash usa operadores de suavizado definidos por convolución para hacer que la iteración de Newton converja: este es el método de Newton con poscondicionamiento. El hecho de que esta técnica proporcione una solución es en sí mismo un teorema de existencia y de interés independiente. En otros contextos, Leonid Kantorovitch ya había demostrado anteriormente la convergencia del método estándar de Newton.