Función cúbica

Gráfico de una función cúbica con 3 raíces reales (donde la curva atraviesa el eje horizontal—donde Sí. = 0). El caso mostrado tiene dos puntos críticos. Aquí está la función f()x) =x³ + 3x² − 6x − 8−)/4.

En matemáticas, a función cúbica es una función de la forma f()x)=ax3+bx2+cx+d,{displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,} es decir, una función polinomio del grado tres. En muchos textos, coeficientes a, b, c, y d se supone que son números reales, y la función se considera como una función real que mapea números reales a números reales o como una función compleja que mapea números complejos a números complejos. En otros casos, los coeficientes pueden ser números complejos, y la función es una función compleja que tiene el conjunto de los números complejos como su codominio, incluso cuando el dominio está restringido a los números reales.

Al establecer f(x) = 0 se produce una ecuación cúbica de la forma

ax3+bx2+cx+d=0,{displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}

cuyas soluciones se llaman raíces de la función.

Una función cúbica con coeficientes reales tiene una o tres raíces reales (que pueden no ser distintas); todos los polinomios de grado impar con coeficientes reales tienen al menos una raíz real.

La gráfica de una función cúbica siempre tiene un solo punto de inflexión. Puede tener dos puntos críticos, un mínimo local y un máximo local. De lo contrario, una función cúbica es monótona. La gráfica de una función cúbica es simétrica con respecto a su punto de inflexión; es decir, es invariante bajo una rotación de media vuelta alrededor de este punto. Hasta una transformación afín, solo hay tres gráficos posibles para funciones cúbicas.

Las funciones cúbicas son fundamentales para la interpolación cúbica.

Historia

Puntos críticos y de inflexión

Las raíces, puntos estacionarios, punto de inflexión y concavidad de un polinomio cúbico x³ 3 - 3x², 144 - 144x + 432 (línea negra) y sus derivados primero y segundo (rojo y azul).

Los puntos críticos de una función cúbica son sus puntos estacionarios, es decir, los puntos donde la pendiente de la función es cero. Así, los puntos críticos de una función cúbica f definida por

f()x) ax³ + bx² + cx + d,

ocurren en valores de x tales que la derivada

3ax2+2bx+c=0{displaystyle 3ax^{2}+2bx+c=0}

de la función cúbica es cero.

Las soluciones de esta ecuación son los valores x de los puntos críticos y se dan, usando la fórmula cuadrática, por

xcrítica=− − b± ± b2− − 3ac3a.{displaystyle x_{text{critical}={frac} {-bpm {sqrt {b^{2}-3ac}} {3a}}}} {b}{2}-3ac}}}} {3a}}}}}} {b} {b}{2}}}} {b} {c}}}}} {b} {c}}}}}}}}}}}}}} {b}} {c}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}} {b} {b}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}} {b}}}}}} {c} {b}}}} {b} {b}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

El signo de la expresión dentro de la raíz cuadrada determina el número de puntos críticos. Si es positivo, entonces hay dos puntos críticos, uno es un máximo local y el otro es un mínimo local. Si b² – 3ac = 0, entonces solo hay un punto crítico, que es un punto de inflexión. Si b² – 3ac < 0, entonces no hay puntos críticos (reales). En los dos últimos casos, es decir, si b² – 3ac no es positivo, la función cúbica es estrictamente monótona. Consulte la figura para ver un ejemplo del caso Δ₀ > 0.

El punto de inflexión de una función es donde esa función cambia la concavidad. Un punto de inflexión ocurre cuando el segundo derivado f.()x)=6ax+2b,{displaystyle f''(x)=6ax+2b,} es cero, y el tercer derivado no es cero. Así una función cúbica siempre tiene un único punto de inflexión, que ocurre en

xinflexión=− − b3a.{displaystyle x_{text{inflection}=-{frac} {b}{3a}}

Clasificación

Funciones cúbicas de la forma Sí.=x3+cx.{displaystyle Y=x^{3}+cx.}
El gráfico de cualquier función cúbica es similar a tal curva.

La gráfica de una función cúbica es una curva cúbica, aunque muchas curvas cúbicas no son gráficas de funciones.

Aunque las funciones cúbicas dependen de cuatro parámetros, su gráfico puede tener muy pocas formas. De hecho, la gráfica de una función cúbica siempre es similar a la gráfica de una función de la forma

Sí.=x3+px.{displaystyle Y=x^{3}+px.}

Esta similitud se puede construir como la composición de traslaciones paralelas a los ejes de coordenadas, una homotecia (escalado uniforme) y, posiblemente, una reflexión (imagen especular) con respecto al y. Una escala adicional no uniforme puede transformar el gráfico en el gráfico de una de las tres funciones cúbicas

Sí.=x3+xSí.=x3Sí.=x3− − x.{displaystyle {begin{aligned}y limitada=x^{3}+x\y simultáneamente=x^{3}\\y simultáneamente=x^{3}-x}}end{aligned}}}

Esto significa que solo hay tres gráficos de funciones cúbicas hasta una transformación afín.

Las transformaciones geométricas anteriores se pueden construir de la siguiente manera, a partir de una función cúbica general Sí.=ax3+bx2+cx+d.{displaystyle Y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.}

En primer lugar, si a < 0, el cambio de variable x → –x permite suponer a > 0. Después de este cambio de variable, el nuevo gráfico es la imagen especular del anterior, con respecto al eje y.

Entonces, el cambio de variable x = x₁ – b/ 3a proporciona una función de la forma

Sí.=ax13+px1+q.{displaystyle Y=ax_{1} {3}+px_{1}+q.}

Esto corresponde a una traslación paralela al eje x.

El cambio de variable y = y₁ + q corresponde a una traducción con respecto al eje y, y da una función de la forma

Sí.1=ax13+px1.{displaystyle Y...

El cambio de variable x1=x2a,Sí.1=Sí.2a{displaystyle textstyle x_{1}={frac {x_{2}{sqrt {a}},y_{1}={frac} {y_{2}{sqrt {a}} {}}} {c}} {c}} {c}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}} {cH}}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { corresponde a un escalado uniforme, y dar, después de la multiplicación por a,{displaystyle {sqrt {}} a función de la forma

Sí.2=x23+px2,{displaystyle Y...

que es la forma más simple que se puede obtener por una semejanza.

Entonces, si p ل 0, el escalado no uniforme x2=x3SilenciopSilencio,Sí.2=Sí.3SilenciopSilencio3{displaystyle textstyle x_{2}=x_{3}{sqrt {Sobrevivir}}quad Y... da, después de la división por SilenciopSilencio3,{displaystyle textstyle {sqrt {Sobrevivir^{3}}}}

Sí.3=x33+x3Sgn⁡ ⁡ ()p),{displaystyle Y_{3}=x_{3}{3}+x_{3}operatorname {sgn}(p),}

Donde Sgn⁡ ⁡ ()p){displaystyle operatorname {sgn}(p)} tiene el valor 1 o –1, dependiendo del signo p. Si uno define Sgn⁡ ⁡ ()0)=0,{displaystyle operatorname {sgn}(0)=0,} la última forma de la función se aplica a todos los casos (con x2=x3{displaystyle x_{2}=x_{3}} y Sí.2=Sí.3{displaystyle Y...).

Simetría

Para una función cúbica de la forma Sí.=x3+px,{displaystyle y=x^{3}+px,} el punto de inflexión es así el origen. Como tal función es una función extraña, su gráfico es simétrico con respecto al punto de inflexión, e invariante bajo una rotación de media vuelta alrededor del punto de inflexión. Como estas propiedades son invariantes por similitud, lo siguiente es cierto para todas las funciones cúbicas.

La gráfica de una función cúbica es simétrica con respecto a su punto de inflexión, y es invariante bajo una rotación de media vuelta alrededor del punto de inflexión.

Colinealidades

Los puntos P₁, P₂, y P₃ (en azul) son collinear y pertenecen al gráfico de x³ + 3/2x² − 5/2x + 5/4. Los puntos T₁, T₂, y T₃ (en rojo) son las intersecciones de las líneas tangentes (dotadas) al gráfico en estos puntos con el propio gráfico. También son collineales.

Las rectas tangentes a la gráfica de una función cúbica en tres puntos colineales interceptan la cúbica nuevamente en puntos colineales. Esto se puede ver de la siguiente manera.

Como esta propiedad es invariante bajo un movimiento rígido, se puede suponer que la función tiene la forma

f()x)=x3+px.{displaystyle f(x)=x^{3}+px.}

Si α es un número real, entonces la tangente a la gráfica de f en el punto (α, f(α)) es la línea

[x, f()α) + (x − α)f.α): x ▪ R}.

Entonces, el punto de intersección entre esta recta y la gráfica de f se puede obtener resolviendo la ecuación f(x) = f(α) + (x − α)f ′(α), es decir

x3+px=α α 3+pα α +()x− − α α )()3α α 2+p),{displaystyle x^{3}+px=alpha ^{3}+palpha +(x-alpha)(3alpha ^{2}+p),}

que se puede reescribir

x3− − 3α α 2x+2α α 3=0,{displaystyle x^{3}-3alpha ^{2}x+2alpha ^{3}=0,}

y factorizado como

()x− − α α )2()x+2α α )=0.{displaystyle (x-alpha)}(x+2alpha)=0.}

Entonces, la tangente intercepta a la cúbica en

()− − 2α α ,− − 8α α 3− − 2pα α )=()− − 2α α ,− − 8f()α α )+6pα α ).{displaystyle (-2alpha-8alfa ^{3}-2palpha)=(-2alpha-8f(alpha)+6palpha). }

Entonces, la función que asigna un punto (x, y) del gráfico al otro punto donde la tangente intercepta a la gráfica es

()x,Sí.)↦ ↦ ()− − 2x,− − 8Sí.+6px).{displaystyle (x,y)mapsto (-2x,-8y+6px). }

Esta es una transformación afín que transforma puntos colineales en puntos colineales. Esto prueba el resultado reclamado.

Interpolación cúbica

Dados los valores de una función y su derivada en dos puntos, existe exactamente una función cúbica que tiene los mismos cuatro valores, que se denomina spline cúbica de Hermite.

Hay dos formas estándar de usar este hecho. En primer lugar, si se conocen, por ejemplo mediante medidas físicas, los valores de una función y su derivada en algunos puntos de muestreo, se puede interpolar la función con una función continuamente diferenciable, que es una función cúbica por partes.

Si el valor de una función se conoce en varios puntos, la interpolación cúbica consiste en aproximar la función por una función continuamente diferenciable, que es cúbica por partes. Para tener una interpolación definida de forma única, se deben agregar dos restricciones más, como los valores de las derivadas en los puntos finales, o una curvatura cero en los puntos finales.