Teorema del binomio

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En álgebra elemental, el teorema del binomio (o expansión binomial) describe la expansión algebraica de las potencias de un binomio. De acuerdo con el teorema, es posible expandir el polinomio (x + y) en una suma que involucra términos de la forma ax y, donde los exponentes b y c son números enteros no negativos con b + c = n, y el coeficiente a de cada término es un número entero positivo específico que depende de n y b. Por ejemplo, para n = 4,

{displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}

El coeficiente a en el término de ax y se conoce como coeficiente binomial ${displaystyle {tbinom{n}{b}}}$ o ${displaystyle {tbinom{n}{c}}}$ (los dos tienen el mismo valor). Estos coeficientes para variar n y b se pueden arreglar para formar el triángulo de Pascal. Estos números también ocurren en combinatoria, donde ${displaystyle {tbinom{n}{b}}}$ da el número de combinaciones diferentes de b elementos que se pueden elegir de un conjunto de n elementos. Por ${displaystyle {tbinom{n}{b}}}$ lo tanto, a menudo se pronuncia como " n elige b ".

Historia

Se conocían casos especiales del teorema del binomio desde al menos el siglo IV a. C. cuando el matemático griego Euclides mencionó el caso especial del teorema del binomio para el exponente 2. Existe evidencia de que el teorema del binomio para cubos se conocía en el siglo VI d.C. en la India.

Los coeficientes binomiales, como cantidades combinatorias que expresan el número de formas de seleccionar k objetos de n sin reemplazo, fueron de interés para los antiguos matemáticos indios. La referencia más antigua conocida a este problema combinatorio es Chandaḥśāstra del letrista indio Pingala (c. 200 a. C.), que contiene un método para su solución. El comentarista Halayudha del siglo X dC explica este método usando lo que ahora se conoce como el triángulo de Pascal. Hacia el siglo VI d. C., los matemáticos indios probablemente sabían cómo expresar esto como un cociente ${textstyle {frac {n!}{(nk)!k!}}}$ , y se puede encontrar una declaración clara de esta regla en el texto del siglo XII Lilavati de Bhaskara.

La primera formulación del teorema binomial y la tabla de coeficientes binomiales, hasta donde sabemos, se pueden encontrar en un trabajo de Al-Karaji, citado por Al-Samaw'al en su "al-Bahir". Al-Karaji describió el patrón triangular de los coeficientes binomiales y también proporcionó una prueba matemática tanto del teorema del binomio como del triángulo de Pascal, utilizando una forma temprana de inducción matemática. El poeta y matemático persa Omar Khayyam probablemente estaba familiarizado con la fórmula para órdenes superiores, aunque muchas de sus obras matemáticas se han perdido. Las expansiones binomiales de pequeños grados se conocían en los trabajos matemáticos del siglo XIII de Yang Hui y también de Chu Shih-Chieh. Yang Hui atribuye el método a un texto de Jia Xian del siglo XI mucho más antiguo, aunque esos escritos ahora también se han perdido.

En 1544, Michael Stifel introdujo el término "coeficiente binomial" y mostró cómo usarlos para expresar $(1+a)^{n}$ en términos de $(1+a)^{{n-1}}$ , a través del "triángulo de Pascal". Blaise Pascal estudió exhaustivamente el triángulo epónimo en su Traité du Triangle Arithmétique. Sin embargo, el patrón de números ya era conocido por los matemáticos europeos de finales del Renacimiento, incluidos Stifel, Niccolò Fontana Tartaglia y Simon Stevin.

A Isaac Newton generalmente se le atribuye el teorema del binomio generalizado, válido para cualquier exponente racional.

Declaración

De acuerdo con el teorema, es posible expandir cualquier potencia entera no negativa de x + y en una suma de la forma

{displaystyle (x+y)^{n}={n elegir 0}x^{n}y^{0}+{n elegir 1}x^{n-1}y^{1}+{ n elegir 2}x^{n-2}y^{2}+cdots +{n elegir n-1}x^{1}y^{n-1}+{n elegir n}x^ {0}s^{n},}

donde $ngeq 0$ es un número entero y cada uno ${tbinom {n}{k}}$ es un número entero positivo conocido como coeficiente binomial. (Cuando un exponente es cero, la expresión de potencia correspondiente se toma como 1 y este factor multiplicativo a menudo se omite del término. Por lo tanto, a menudo se ve el lado derecho escrito como ${textstyle {binom {n}{0}}x^{n}+cdots}$ ). Esta fórmula también se conoce como fórmula binomial o la identidad binomial. Usando la notación de suma, se puede escribir como

{displaystyle (x+y)^{n}=sum_{k=0}^{n}{n elegir k}x^{nk}y^{k}=sum_{k=0} ^{n}{n elegir k}x^{k}y^{nk}.}

La expresión final se sigue de la anterior por la simetría de x e y en la primera expresión, y por comparación se sigue que la secuencia de coeficientes binomiales en la fórmula es simétrica. Una variante simple de la fórmula binomial se obtiene sustituyendo 1 por y, de modo que involucre una sola variable. De esta forma, la fórmula dice

{displaystyle (1+x)^{n}={n elige 0}x^{0}+{n elige 1}x^{1}+{n elige 2}x^{2}+ cdots +{n elegir {n-1}}x^{n-1}+{n elegir n}x^{n},}

o equivalente

{displaystyle (1+x)^{n}=sum _{k=0}^{n}{n elegir k}x^{k},}

o más explícitamente

{displaystyle (1+x)^{n}=1+nx+{frac {n(n-1)}{2!}}x^{2}+{frac {n(n-1)(n -2)}{3!}}x^{3}+cdots +nx^{n-1}+x^{n}.}

Ejemplos

Aquí están los primeros casos del teorema del binomio:

{displaystyle {begin{alineado}(x+y)^{0}&=1,\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\[8pt](x+ y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y +3xy^{2}+y^{3},\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{ 2}+4xy^{3}+y^{4},\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y ^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+ 6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6 },\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{ 3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\[8pt](x+y)^{8 }&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x ^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.end{alineado}}}

En general, para la expansión de (x + y) en el lado derecho en la fila n (numerada de modo que la fila superior sea la fila 0):

los exponentes de x en los términos son n, n − 1,..., 2, 1, 0 (el último término contiene implícitamente x = 1);
los exponentes de y en los términos son 0, 1, 2,..., n − 1, n (el primer término contiene implícitamente y = 1);
los coeficientes forman la n -ésima fila del triángulo de Pascal;
antes de combinar términos similares, hay 2 términos x y en la expansión (no se muestra);
después de combinar términos semejantes, hay n + 1 términos, y sus coeficientes suman 2.

Un ejemplo que ilustra los dos últimos puntos:

{displaystyle {begin{alineado}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{text{términos}}) &=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{text{términos}})end{alineado}}}

con ${ estilo de visualización 1+3+3+1=2^{3}}$ _

Un ejemplo simple con un valor positivo específico de y:

{displaystyle {begin{alineado}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3} &=x^{3}+6x^{2}+12x+8.end{alineado}}}

Un ejemplo simple con un valor negativo específico de y:

Explicación geométrica

Para valores positivos de a y b, el teorema del binomio con n = 2 es el hecho geométricamente evidente de que un cuadrado de lado a + b puede dividirse en un cuadrado de lado a, un cuadrado de lado b y dos rectángulos de lado a y b. Con n = 3, el teorema establece que un cubo de lado a + b se puede cortar en un cubo de lado a, un cubo de lado b, tres cajas rectangulares a × a × b y tresa × b × b cajas rectangulares.

En cálculo, esta imagen también da una prueba geométrica de la derivada $(x^{n})'=nx^{n-1}:$ si uno establece $a=x$ e $b=Delta x,$ interpreta b como un cambio infinitesimal en a, entonces esta imagen muestra el cambio infinitesimal en el volumen de un hipercubo de n $(x+Deltax)^{n},$ dimensiones, donde el coeficiente del término lineal (in $Delta x$ ) es $nx^{n-1},$ el área de las n caras, cada una de dimensión n − 1:

{displaystyle (x+Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}Delta x+{binom {n}{2}}x^{n-2}(Delta x)^{2}+cpuntos.}

Sustituyendo esto en la definición de la derivada a través de un cociente de diferencias y tomando límites significa que los términos de orden superior, $(Deltax)^{2}$ y más altos, se vuelven insignificantes y produce la fórmula $(x^{n})'=nx^{n-1},$ interpretada como"la tasa infinitesimal de cambio en el volumen de un n -cubo a medida que varía la longitud del lado es el área de n de sus (n - 1) -caras dimensionales".

Si se integra esta imagen, que corresponde a la aplicación del teorema fundamental del cálculo, se obtiene la fórmula de cuadratura de Cavalieri, la integral $textstyle {int x^{n-1},dx={tfrac {1}{n}}x^{n}}$ ; véase la demostración de la fórmula de cuadratura de Cavalieri para más detalles.

Coeficientes binomiales

Los coeficientes que aparecen en la expansión binomial se denominan coeficientes binomiales. Suelen escribirse ${displaystyle {tbinom{n}{k}},}$ y pronunciarse " n elegir k ".

Fórmulas

El coeficiente de x y viene dado por la fórmula

{displaystyle {binom {n}{k}}={frac {n!}{k!;(nk)!}},}

que se define en términos de la función factorial n !. De manera equivalente, esta fórmula se puede escribir

{displaystyle {binom {n}{k}}={frac {n(n-1)cdots (n-k+1)}{k(k-1)cdots 1}}=prod _ {ell =1}^{k}{frac {n-ell +1}{ell }}=prod _{ell =0}^{k-1}{frac {n-ell {k-ell}}}

con k factores tanto en el numerador como en el denominador de la fracción. Aunque esta fórmula implica una fracción, el coeficiente binomial ${tbinom {n}{k}}$ es en realidad un número entero.

Interpretación combinatoria

El coeficiente binomial ${tbinom {n}{k}}$ se puede interpretar como el número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos. Esto está relacionado con los binomios por la siguiente razón: si escribimos (x + y) como producto

{ estilo de visualización (x + y) (x + y) (x + y) c puntos (x + y),}

entonces, de acuerdo con la ley distributiva, habrá un término en la expansión para cada elección de x o y de cada uno de los binomios del producto. Por ejemplo, solo habrá un término x, correspondiente a elegir x de cada binomio. Sin embargo, habrá varios términos de la forma x y, uno para cada forma de elegir exactamente dos binomios para contribuir a y. Por lo tanto, después de combinar términos semejantes, el coeficiente de x y será igual al número de formas de elegir exactamente 2 elementos de un conjunto de n elementos.

Pruebas

Prueba combinatoria

Ejemplo

El coeficiente de xy en

{displaystyle {begin{alineado}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\&=xxx+xxy+xyx+{subrayado {xyy} }+yxx+{subrayado {yxy}}+{subrayado {yyx}}+yyy\&=x^{3}+3x^{2}y+{subrayado {3xy^{2}}}+y^ {3}end{alineado}}}

es igual ${tbinom {3}{2}}=3$ porque hay tres cadenas x, y de longitud 3 con exactamente dos y s, a saber,

{ estilo de visualización xyy, ; yxy, ; yyx,}

correspondiente a los tres subconjuntos de 2 elementos de {1, 2, 3}, a saber,

donde cada subconjunto especifica las posiciones de la y en una cadena correspondiente.

Caso general

Expandir (x + y) produce la suma de los 2 productos de la forma e ₁e ₂... e _n donde cada e _i es x o y. El reordenamiento de los factores muestra que cada producto es igual a x y para algún k entre 0 y n. Para un k dado, se prueban iguales sucesivamente:

el número de copias de x y en la expansión
el número de n -caracteres x, y cadenas que tienen y en exactamente k posiciones
el número de subconjuntos de elementos k de {1, 2,..., n }
${displaystyle {tbinom{n}{k}},}$ ya sea por definición, o por un breve argumento combinatorio si uno está definiendo ${tbinom {n}{k}}$ como ${displaystyle {tfrac {n!}{k!(nk)!}}.}$

Esto demuestra el teorema del binomio.

Prueba inductiva

La inducción produce otra demostración del teorema del binomio. Cuando n = 0, ambos lados son iguales a 1, ya que x = 1 y ${displaystyle {tbinom{0}{0}}=1.}$ Ahora supongamos que la igualdad se cumple para un n dado; lo probaremos para n + 1. Para j, k ≥ 0, sea [ f (x, y)] _{j, k} el coeficiente de x y en el polinomio f (x, y). Por la hipótesis inductiva, (x + y) es un polinomio en x e y tal que [(x + y) ] _{j, k} es ${tbinom {n}{k}}$ si j + k = n, y 0 en caso contrario. La identidad

{ estilo de visualización (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}

muestra que (x + y) también es un polinomio en x e y, y

{displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^ {n}]_{j,k-1},}

ya que si j + k = norte + 1, entonces (j − 1) + k = norte y j + (k − 1) = norte. Ahora, el lado derecho es

{displaystyle {binom {n}{k}}+{binom {n}{k-1}}={binom {n+1}{k}},}

por la identidad de Pascal. Por otro lado, si j + k ≠ n + 1, entonces (j – 1) + k ≠ n y j + (k – 1) ≠ n, entonces obtenemos 0 + 0 = 0. De este modo

{displaystyle (x+y)^{n+1}=sum _{k=0}^{n+1}{binom {n+1}{k}}x^{n+1-k} y^{k},}

que es la hipótesis inductiva con n + 1 sustituido por n y así completa el paso inductivo.

Generalizaciones

Teorema del binomio generalizado de Newton

Alrededor de 1665, Isaac Newton generalizó el teorema del binomio para permitir exponentes reales distintos de los enteros no negativos. (La misma generalización también se aplica a los exponentes complejos). En esta generalización, la suma finita se reemplaza por una serie infinita. Para hacer esto, es necesario dar significado a los coeficientes binomiales con un índice superior arbitrario, lo que no se puede hacer usando la fórmula habitual con factoriales. Sin embargo, para un número arbitrario r, se puede definir

{displaystyle {r elegir k}={frac {r(r-1)cdots (r-k+1)}{k!}}={frac {(r)_{k}}{k !}},}

donde $(cdot)_{k}$ está el símbolo de Pochhammer, que aquí representa un factorial descendente. Esto concuerda con las definiciones habituales cuando r es un número entero no negativo. Entonces, si x e y son números reales con | x | > | y |, y r es cualquier número complejo, uno tiene

{displaystyle {begin{alineado}(x+y)^{r}&=sum _{k=0}^{infty}{r elegir k}x^{rk}y^{k} &=x^{r}+rx^{r-1}y+{frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{frac { r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+cdots.end{alineado}}}

Cuando r es un número entero no negativo, los coeficientes binomiales para k > r son cero, por lo que esta ecuación se reduce al teorema binomial habitual, y hay como máximo r + 1 términos distintos de cero. Para otros valores de r, la serie normalmente tiene un número infinito de términos distintos de cero.

Por ejemplo, r = 1/2 da la siguiente serie para la raíz cuadrada:

{displaystyle {sqrt {1+x}}=1+{frac {1}{2}}x-{frac {1}{8}}x^{2}+{frac {1}{ 16}}x^{3}-{frac {5}{128}}x^{4}+{frac {7}{256}}x^{5}-cdots }

Tomando r = −1, la serie binomial generalizada da la fórmula de la serie geométrica, válida para | x | < 1:

{displaystyle (1+x)^{-1}={frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x ^{5}+cpuntos}

Más generalmente, con s = − r:

{displaystyle {frac {1}{(1-x)^{s}}}=sum _{k=0}^{infty}{s+k-1 elegir k}x^{k}.}

Entonces, por ejemplo, cuando s = 1/2,

{displaystyle {frac {1}{sqrt {1+x}}}=1-{frac {1}{2}}x+{frac {3}{8}}x^{2}-{ frac {5}{16}}x^{3}+{frac {35}{128}}x^{4}-{frac {63}{256}}x^{5}+cdots }

Otras generalizaciones

El teorema del binomio generalizado se puede extender al caso donde x e y son números complejos. Para esta versión, se debe suponer nuevamente | x | > | y | y defina las potencias de x + y y x usando una rama holomorfa de logaritmo definida en un disco abierto de radio | x | centrado en x. El teorema del binomio generalizado también es válido para los elementos x e y de un álgebra de Banach siempre que xy = yx, y x sea invertible, y ||y / x || < 1.

Una versión del teorema del binomio es válida para la siguiente familia de polinomios tipo símbolo de Pochhammer: para una constante real dada c, define ${ estilo de visualización x ^ {(0)} = 1}$ y

{displaystyle x^{(n)}=prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}

para ${ estilo de visualización n> 0.}$ entonces

{displaystyle (a+b)^{(n)}=sum_{k=0}^{n}{binom {n}{k}}a^{(nk)}b^{(k) }.}

El caso c = 0 recupera el teorema del binomio habitual.

Más generalmente, ${displaystyle {p_{n}}_{n=0}^{infty}}$ se dice que una secuencia de polinomios es de tipo binomial si

${ estilo de visualización grado p_ {n} = n}$ para todos $norte$ ,
${displaystyle p_{0}(0)=1}$ , y
${displaystyle p_{n}(x+y)=sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{nk}(y)}$ para todos $X$ , $y$ y $norte$ .

Se dice que un operador $q$ en el espacio de polinomios es el operador base de la sucesión ${displaystyle {p_{n}}_{n=0}^{infty}}$ si ${displaystyle Qp_{0}=0}$ y ${displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$ para todo ${ Displaystyle n geqslant 1}$ . Una secuencia ${displaystyle {p_{n}}_{n=0}^{infty}}$ es binomial si y solo si su operador base es un operador Delta. Escribiendo ${displaystyle E^{a}}$ para el desplazamiento por $a$ operador, los operadores Delta correspondientes a las familias de polinomios de "Pochhammer" anteriores son la diferencia hacia atrás ${displaystyle ES^{-c}}$ para ${ estilo de visualización c> 0}$ , la derivada ordinaria para ${ estilo de visualización c = 0}$ y la diferencia hacia adelante ${displaystyle E^{-c}-I}$ para ${ estilo de visualización c <0}$ .

Teorema multinomial

El teorema del binomio se puede generalizar para incluir potencias de sumas con más de dos términos. La versión general es

{displaystyle (x_{1}+x_{2}+cdots +x_{m})^{n}=sum_{k_{1}+k_{2}+cdots +k_{m}=n }{binom {n}{k_{1},k_{2},ldots,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}} cpuntos x_{m}^{k_{m}},}

donde la suma se toma sobre todas las secuencias de índices enteros no negativos k ₁ a k _m tales que la suma de todos los k _i es n. (Para cada término en la expansión, los exponentes deben sumar n). Los coeficientes ${displaystyle {tbinom {n}{k_{1},cdots,k_{m}}}}$ se conocen como coeficientes multinomiales y se pueden calcular mediante la fórmula

{displaystyle {binom {n}{k_{1},k_{2},ldots,k_{m}}}={frac {n!}{k_{1}!cdot k_{2}! cdots k_{m}!}}.}

Combinatoriamente, el coeficiente multinomial ${displaystyle {tbinom {n}{k_{1},cdots,k_{m}}}}$ cuenta el número de formas diferentes de dividir un conjunto de n elementos en subconjuntos disjuntos de tamaños _k 1 _,..., km.

Teorema multibinomial

Cuando se trabaja en más dimensiones, suele ser útil trabajar con productos de expresiones binomiales. Por el teorema del binomio esto es igual a

{displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=sum_{k_{1} =0}^{n_{1}}puntosmsum_{k_{d}=0}^{n_{d}}{binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1} ^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}dotsc {binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d }}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}

Esto se puede escribir de manera más concisa, mediante notación de índices múltiples, como

{displaystyle (x+y)^{alpha }=sum _{nu leq alpha }{binom {alpha }{nu }}x^{nu }y^{alpha - nu}.}

Regla general de Leibniz

La regla general de Leibniz da la n -ésima derivada de un producto de dos funciones en una forma similar a la del teorema del binomio:

{displaystyle (fg)^{(n)}(x)=sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}f^{(nk)}(x)g^ {(k)}(x).}

Aquí, el superíndice (n) indica la n -ésima derivada de una función. Si uno establece f (x) = e y g (x) = e, y luego cancela el factor común de e de ambos lados del resultado, se recupera el teorema del binomio ordinario.

Aplicaciones

Identidades de múltiples ángulos

Para los números complejos, el teorema del binomio se puede combinar con la fórmula de De Moivre para producir fórmulas de ángulos múltiples para el seno y el coseno. Según la fórmula de De Moivre,

{displaystyle cos left(nxright)+isin left(nxright)=left(cos x+isin xright)^{n}.}

Usando el teorema del binomio, la expresión de la derecha se puede expandir, y luego se pueden tomar las partes real e imaginaria para producir fórmulas para cos(nx) y sin(nx). Por ejemplo, desde

{displaystyle left(cos x+isin xright)^{2}=cos ^{2}x+2icos xsin x-sin ^{2}x,}

La fórmula de De Moivre nos dice que

{displaystyle cos(2x)=cos ^{2}x-sin ^{2}xquad {text{y}}quad sin(2x)=2cos xsin x,}

que son las identidades habituales de doble ángulo. Del mismo modo, desde

{displaystyle left(cos x+isin xright)^{3}=cos ^{3}x+3icos ^{2}xsin x-3cos xsin ^{ 2}xisen ^{3}x,}

La fórmula de De Moivre produce

{displaystyle cos(3x)=cos ^{3}x-3cos xsin ^{2}xquad {text{y}}quad sin(3x)=3cos ^{ 2}xsen x-sen ^{3}x.}

En general,

{displaystyle cos(nx)=sum _{k{text{ par}}}(-1)^{k/2}{n elegir k}cos ^{nk}xsin ^{k }X}

{displaystyle sin(nx)=sum _{k{text{ impar}}}(-1)^{(k-1)/2}{n elegir k}cos ^{nk}x pecado^{k}x.}

Serie para e

El número e a menudo se define mediante la fórmula

{displaystyle e=lim _{nto infty }left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}.}

Aplicando el teorema del binomio a esta expresión se obtiene la serie infinita habitual para e. En particular:

{displaystyle left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}=1+{n elegir 1}{frac {1}{n}}+{n elegir 2 }{frac {1}{n^{2}}}+{n elegir 3}{frac {1}{n^{3}}}+cdots +{n elegir n}{frac { 1}{n^{n}}}.}

El k -ésimo término de esta suma es

{displaystyle {n elegir k}{frac {1}{n^{k}}}={frac {1}{k!}}cdot {frac {n(n-1)(n- 2)cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}

Como n → ∞, la expresión racional de la derecha tiende a 1, y por lo tanto

{displaystyle lim _{nto infty {n choose k}{frac {1}{n^{k}}}={frac {1}{k!}}.}

Esto indica que e puede escribirse como una serie:

{displaystyle e=sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{k!}}={frac {1}{0!}}+{frac {1}{1 !}}+{frac {1}{2!}}+{frac {1}{3!}}+cdots.}

De hecho, dado que cada término de la expansión binomial es una función creciente de n, se sigue del teorema de convergencia monótona para series que la suma de esta serie infinita es igual a e.

Probabilidad

El teorema del binomio está estrechamente relacionado con la función de masa de probabilidad de la distribución binomial negativa. La probabilidad de que una colección (contable) de ensayos de Bernoulli independientes ${ estilo de visualización {X_ {t} }_ {t en S}}$ con probabilidad de éxito ${ estilo de visualización p en [0,1]}$ no suceda es ${displaystyle Pleft(bigcap _{tin S}X_{t}^{C}right)=(1-p)^{|S|}=sum _{n=0}^{ |S|}{|S| elegir n}(-p)^{n}.}$

Un límite superior para esta cantidad es ${displaystyle e^{-p|S|}.}$

En álgebra abstracta

El teorema del binomio es válido de forma más general para dos elementos x e y en un anillo, o incluso en un semianillo, siempre que xy = yx. Por ejemplo, se cumple para dos matrices n × n, siempre que esas matrices conmuten; esto es útil para calcular potencias de una matriz.

El teorema del binomio se puede enunciar diciendo que la secuencia polinomial {1, x, x, x,...} es de tipo binomial.

En la cultura popular

El teorema del binomio se menciona en la Canción del mayor general en la ópera cómica Los piratas de Penzance.
Sherlock Holmes describe al profesor Moriarty como autor de un tratado sobre el teorema del binomio.
El poeta portugués Fernando Pessoa, usando el heterónimo de Álvaro de Campos, escribió que "El binomio de Newton es tan hermoso como la Venus de Milo. La verdad es que pocas personas lo notan".
En la película de 2014 The Imitation Game, Alan Turing hace referencia al trabajo de Isaac Newton sobre el teorema del binomio durante su primer encuentro con el comandante Denniston en Bletchley Park.

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