Teorema de Seifert-Van Kampen

En matemáticas, la Seifert-Van Kampen theorem de topología algebraica (nombrada después de Herbert Seifert y Egbert van Kampen), a veces llamada Teorema de Van Kampen, expresa la estructura del grupo fundamental de un espacio topológico X{displaystyle X} en términos de los grupos fundamentales de dos subespacios abiertos y conectados por caminos que cubren X{displaystyle X}. Por lo tanto, se puede utilizar para computaciones del grupo fundamental de espacios construidos a partir de los más simples.

Van Kempen 's theorem for fundamental groups

Vamos X ser un espacio topológico que es la unión de dos subespacios abiertos y conectados camino U₁, U₂. Suppose U₁ ∩ U₂ es camino conectado y no vacío, y x₀ ser un punto en U₁ ∩ U₂ que se utilizará como base de todos los grupos fundamentales. Los mapas de inclusión de U₁ y U₂ en X inducir homomorfismos de grupo j1:π π 1()U1,x0)→ → π π 1()X,x0){displaystyle j_{1}:pi _{1}(U_{1},x_{0})to pi _{1}(X,x_{0})} y j2:π π 1()U2,x0)→ → π π 1()X,x0){displaystyle j_{2}:pi _{1}(U_{2},x_{0})to pi _{1}(X,x_{0})}. Entonces... X es camino conectado y j1{displaystyle J_{1} y j2{displaystyle J_{2} formar un diagrama de pushout conmutativo:

El morfismo natural k es un isomorfismo. Es decir, el grupo fundamental X es el producto libre de los grupos fundamentales U₁ y U₂ con amalgama π π 1()U1∩ ∩ U2,x0){displaystyle pi ¿Qué?.

Por lo general, los morfismos inducidos por la inclusión en este teorema no son en sí mismos inyectivos, y la versión más precisa de la afirmación es en términos de expulsión de grupos.

Van Kempen 's theorem for fundamental groupoids

Desafortunadamente, el teorema como se ha dado anteriormente no computa el grupo fundamental del círculo – que es el ejemplo básico más importante en la topología algebraica – porque el círculo no se puede realizar como la unión de dos conjuntos abiertos con intersección conectada. Este problema se puede resolver trabajando con el grupo fundamental π π 1()X,A){displaystyle pi _{1}(X,A)} on a set A de puntos base, elegidos según la geometría de la situación. Así, para el círculo, uno utiliza dos puntos de base.

Este grupo consiste en clases de homotopy relativas a los puntos finales de los caminos en X puntos de unión de A ∩ X. En particular, si X es un espacio contractual, y A consta de dos puntos distintos X, entonces π π 1()X,A){displaystyle pi _{1}(X,A)} se ve fácilmente ser isomorfo para el groupoid a menudo escrito I{displaystyle {fnMithcal}} con dos vértices y exactamente un morfismo entre dos vértices. Este grupo desempeña un papel en la teoría de los grupoides análogos a la del grupo de enteros en la teoría de los grupos. El groupoid I{displaystyle {fnMithcal}} también permite a los grupoides una noción de homotopy: es un intervalo de unidad objeto en la categoría de grupoides.

La categoría de grupoides admite todos los colimites y, en particular, todos los expulsión.

Teorema. Dejar el espacio topológico X estar cubierto por los interiores de dos subespacios X₁, X₂ y dejar A ser un conjunto que cumple cada componente de ruta X₁, X₂ y X₀ = X₁ ∩ X₂. Entonces... A cumple cada componente de ruta X y el diagrama P de morfismos inducidos por inclusión

es un diagrama de empuje en la categoría de grupoides.

Este teorema da la transición de la topología al álgebra, para determinar completamente el grupo fundamental π π 1()X,A){displaystyle pi _{1}(X,A)}; entonces hay que usar álgebra y combinatoria para determinar un grupo fundamental en algún punto de base.

Una interpretación del teorema es que compute homotopy 1-tipos. Para ver su utilidad, se puede encontrar fácilmente casos donde X está conectado pero es la unión de los interiores de dos subespacios, cada uno con los componentes de 402 caminos y cuya intersección ha dicho 1004 componentes de ruta. La interpretación de este teorema como una herramienta de cálculo para "grupos financieros" necesita un desarrollo de "teoría grupoides sindicales". Este teorema implica el cálculo del grupo fundamental del círculo como el grupo de enteros, ya que el grupo de enteros se obtiene de la groupoid I{displaystyle {fnMithcal}} identificando, en la categoría de grupoides, sus dos vértices.

Hay una versión del último teorema cuando X está cubierto por la unión de los interiores de una familia {}Uλ λ :λ λ ▪ ▪ ▪ ▪ }{displaystyle {U_{lambda }:lambda in Lambda }} de subconjuntos.

La conclusión es que si A cumple cada componente de la ruta de las 1,2,3 múltiples intersecciones de los conjuntos Uλ λ {displaystyle U_{fnfnMicrosoft }, entonces A conoce todos los componentes de la ruta X y el diagrama

⨆ ⨆ ()λ λ ,μ μ )▪ ▪ ▪ ▪ 2π π 1()Uλ λ ∩ ∩ Uμ μ ,A)⇉ ⇉ ⨆ ⨆ λ λ ▪ ▪ ▪ ▪ π π 1()Uλ λ ,A)→ → π π 1()X,A){displaystyle bigsqcup _{(lambdamu)in Lambda ^{2}pi ¿Qué? }cap U_{mu },A)rightarrows bigsqcup _{lambda in Lambda }pi _{1}(X,A)}

de morfismos inducidos por inclusiones es un coecualizador en la categoría de grupoides.

[...] la gente todavía persiste obstinadamente, al calcular con grupos fundamentales, en fijar un solo punto base, en lugar de elegir inteligentemente un paquete completo de puntos que es invariable bajo las simetrías de la situación, que así se pierde en el camino. En ciertas situaciones (como teoremas de descenso para grupos fundamentales a la Van Kampen) es mucho más elegante, incluso indispensable para entender algo, trabajar con grupos fundamentales con respecto a un paquete adecuado de puntos de base [...]

—Alexander Grothendieck, Esquisse d'un Programme (Sección 2, traducción al inglés)

Formulaciones equivalentes

En el lenguaje de la teoría del grupo combinatorio, si X{displaystyle X} es un espacio topológico; U{displaystyle U} y V{displaystyle V} están abiertos, caminos conectados subespacios de X{displaystyle X}; U∩ ∩ V{displaystyle Ucap V} no está vacío y está conectado por caminos; y w▪ ▪ U∩ ∩ V{displaystyle win Ucap V}; entonces π π 1()X,w){displaystyle pi _{1}(X,w)} es el producto libre con amalgama π π 1()U,w){displaystyle pi _{1}(U,w)} y π π 1()V,w){displaystyle pi _{1}(V,w)}, con respecto a los homomorfismos (no necesariamente inyectores) I:π π 1()U∩ ∩ V,w)→ → π π 1()U,w){displaystyle I:pi _{1}(Ucap V,w)to pi _{1}(U,w)} y J:π π 1()U∩ ∩ V,w)→ → π π 1()V,w){displaystyle J:pi _{1}(Ucap V,w)to pi _{1}(V,w)}. Presentaciones de grupos:

π π 1()U,w)=.. u1,...... ,uk▪ ▪ α α 1,...... ,α α l.. π π 1()V,w)=.. v1,...... ,vm▪ ▪ β β 1,...... ,β β n.. π π 1()U∩ ∩ V,w)=.. w1,...... ,wp▪ ▪ γ γ 1,...... ,γ γ q.. {displaystyle {begin{aligned}pi ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué? gamma _{1},dotsgamma ¿Por qué?

la fusión se puede presentar como

π π 1()X,w)=.u1,...... ,uk,v1,...... ,vmSilencioα α 1,...... ,α α l,β β 1,...... ,β β n,I()w1)J()w1)− − 1,...... ,I()wp)J()wp)− − 1..{displaystyle pi _{1}(X,w)=leftlangle u_{1},dotsu_{k},v_{1},dotsv_{m}left durablealpha ¿Qué?

En la teoría de la categoría, π π 1()X,w){displaystyle pi _{1}(X,w)} es el ejercicio, en la categoría de grupos, del diagrama:

π π 1()U,w)← ← π π 1()U∩ ∩ V,w)→ → π π 1()V,w).{displaystyle pi _{1}(U,w)gets pi _{1}(Ucap V,w)to pi _{1}(V,w). }

Ejemplos

2 esferas

Se puede utilizar el teorema de Van Kampen para calcular grupos fundamentales para espacios topológicos que se pueden descomponer en espacios más simples. Por ejemplo, considere la esfera S2{displaystyle S^{2}. Juego abierto A=S2∖ ∖ {}n}{displaystyle A=S^{2}setminus {fn} y B=S2∖ ∖ {}s}{displaystyle B=S^{2}setminus {} Donde n y s denota los polos norte y sur respectivamente. Entonces tenemos la propiedad que A, B y A ∩ B son conjuntos de caminos abiertos conectados. Así podemos ver que hay un diagrama conmutativo incluyendo A ∩ B en A y B y luego otra inclusión de A y B en S2{displaystyle S^{2} y que hay un diagrama correspondiente de homomorfismos entre los grupos fundamentales de cada subespacio. Aplicar el teorema de Van Kampen da el resultado

π π 1()S2)=π π 1()A)⋅ ⋅ π π 1()B)/ker⁡ ⁡ ()CCPR CCPR ).{displaystyle pi _{1}(S^{2})=pi _{1}(A)cdot pi _{1}(B)/ker(Phi).}

Sin embargo, A y B son ambos homeomorfos a R² que está simplemente conectado, por lo tanto A y B tienen grupos fundamentales triviales. Es claro de esto que el grupo fundamental S2{displaystyle S^{2} es trivial.

Suma de espacios en cuña

Dados dos espacios apuntados ()X,x){displaystyle (X,x)} y ()Y,Sí.){displaystyle (Y,y)} podemos formar su suma de cuñada, ()XAlternativa Alternativa Y,p){displaystyle (Xvee Y,p)}, tomando el cociente de X∐ ∐ Y{displaystyle Xcoprod Y} identificando sus dos puntos de base.

Si x{displaystyle x} admite un vecindario abierto contractual U⊂ ⊂ X{displaystyle Usubset X} y Sí.{displaystyle y} admite un vecindario abierto contractual V⊂ ⊂ Y{displaystyle Vsubset Y} (que es el caso si, por ejemplo, X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. son complejos CW), entonces podemos aplicar el teorema Van Kampen a XAlternativa Alternativa Y{displaystyle Xvee Y! tomando XAlternativa Alternativa V{displaystyle Xvee V! y UAlternativa Alternativa Y{displaystyle Uvee Y} como los dos conjuntos abiertos y concluimos que el grupo fundamental de la cuña es el producto libre de los grupos fundamentales de los dos espacios que empezamos con:

π π 1()XAlternativa Alternativa Y,p).. π π 1()X,x)Alternativa Alternativa π π 1()Y,Sí.){displaystyle pi _{1}(Xvee Y,p)cong pi _{1}(X,x)*pi _{1}(Y,y)}.

Superficies orientables de género g

Un ejemplo más complicado es el cálculo del grupo fundamental de una superficie orientable del género S, de otro modo conocido como genus-n surface group. Uno puede construir S usando su polígono fundamental estándar. Para el primer set abierto A, elegir un disco dentro del centro del polígono. Pick B para ser el complemento S del punto central A. Luego la intersección de A y B es un annulus, que se sabe que es homotopy equivalente a (y también tiene el mismo grupo fundamental como) un círculo. Entonces... π π 1()A∩ ∩ B)=π π 1()S1){displaystyle pi ¿Qué?, que son los enteros, y π π 1()A)=π π 1()D2)=1{displaystyle pi _{1}(A)=pi ¿Qué?. Así pues, la inclusión de π π 1()A∩ ∩ B){displaystyle pi ¿Qué? en π π 1()A){displaystyle pi _{1}(A)} envía cualquier generador al elemento trivial. Sin embargo, la inclusión de π π 1()A∩ ∩ B){displaystyle pi ¿Qué? en π π 1()B){displaystyle pi _{1}(B)} no es trivial. Para entender esto, primero hay que calcular π π 1()B){displaystyle pi _{1}(B)}. Esto se hace fácilmente como se puede deformación retract B (que es S con un punto eliminado) en los bordes etiquetados por

A1B1A1− − 1B1− − 1A2B2A2− − 1B2− − 1⋯ ⋯ AnBnAn− − 1Bn− − 1.{displaystyle ¿Qué? ¿Qué?

Este espacio es conocido como la suma de cuña de 2n círculos (también llamado un ramo de círculos), que además se sabe que tienen grupo fundamental isomorfo al grupo libre con 2n generadores, que en este caso pueden ser representados por los bordes mismos: {}A1,B1,...... ,An,Bn}{displaystyle {A_{1},B_{1},dots A_{n},B_{n}. Ahora tenemos suficiente información para aplicar el teorema de Van Kampen. Los generadores son los bucles {}A1,B1,...... ,An,Bn}{displaystyle {A_{1},B_{1},dots A_{n},B_{n} ()A es simplemente conectado, por lo que no contribuye generadores) y hay exactamente una relación:

A1B1A1− − 1B1− − 1A2B2A2− − 1B2− − 1⋯ ⋯ AnBnAn− − 1Bn− − 1=1.{displaystyle ¿Qué? ¿Qué?

Usando generadores y relaciones, este grupo se denota

.A1,B1,...... ,An,BnSilencioA1B1A1− − 1B1− − 1⋯ ⋯ AnBnAn− − 1Bn− − 1..{displaystyle leftlangle ¿Qué? Bien.

Conectividad simple

Si X es un espacio que se puede escribir como la unión de dos conjuntos abiertos simplemente conexos U y V con U ∩ V no vacío y conectado por ruta, entonces X está simplemente conectado.

Generalizaciones

Como se explicó anteriormente, este teorema fue ampliado por Ronald Brown al caso no conectado utilizando el grupoide fundamental π π 1()X,A){displaystyle pi _{1}(X,A)} en un set A de puntos base. El teorema para cubiertas arbitrarias, con la restricción que A cumple con las tres secciones de los conjuntos de la cubierta, se da en el papel de Brown y Abdul Razak Salleh. El teorema y la prueba para el grupo fundamental, pero utilizando algunos métodos grupoides, también se dan en el libro de J. Peter May. La versión que permite más de dos conjuntos de superposición pero con A un singleton también se da en el libro de Allen Hatcher abajo, teorema 1.20.

Las aplicaciones del grupoide fundamental en un conjunto de puntos base al teorema de la curva de Jordan, los espacios de cobertura y los espacios de órbita se dan en el libro de Ronald Brown. En el caso de espacios orbitales, conviene tomar A para incluir todos los puntos fijos de la acción. Un ejemplo aquí es la acción de conjugación en el círculo.

En un artículo sobre teorías de grupos de dimensiones superiores y grupoides se dan referencias a versiones del teorema de dimensiones superiores que proporcionan cierta información sobre los tipos de homotopía. Así, Ronald Brown y Philip J. Higgins propusieron un teorema de Van Kampen bidimensional que calcula segundos grupos de homotopía relativa no abelianos. Brown, Higgins y Rafael Sivera ofrecen una descripción completa y extensiones a todas las dimensiones, mientras que Ronald Brown y Jean-Louis Loday ofrecen una extensión a los n-cubos de espacios.

Los grupos fundamentales también aparecen en geometría algebraica y son el tema principal del primer Séminaire de géométrie algébrique (SGA1) de Alexander Grothendieck. Allí aparece una versión del teorema de Van Kampen, que se demuestra de manera muy diferente a la de la topología algebraica, es decir, mediante la teoría de la descendencia. Una prueba similar funciona en topología algebraica.