Teorema de modularidad

El teorema de modularidad (anteriormente llamado conjetura de Taniyama-Shimura, conjetura de Taniyama-Weil o conjetura de modularidad para curvas elípticas) establece que las curvas elípticas sobre el campo de los números racionales están relacionadas con formas modulares. Andrew Wiles demostró el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables, que fue suficiente para implicar el último teorema de Fermat. Más tarde, una serie de artículos de los antiguos alumnos de Wiles, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor, que culminó en un artículo conjunto con Christophe Breuil, amplió las técnicas de Wiles para demostrar el teorema de modularidad completo en 2001.

Declaración

El teorema declara que cualquier curva elíptica sobre Q{displaystyle mathbf {Q} se puede obtener mediante un mapa racional con coeficientes enteros de la curva modular clásica X0()N){displaystyle X_{0}(N)} para algunos enteros N{displaystyle N}; esta es una curva con coeficientes enteros con una definición explícita. Esta asignación se denomina parametrización modular del nivel N{displaystyle N}. Si N{displaystyle N} es el número entero más pequeño para el que se puede encontrar tal parametrización (que por el teorema de modularidad se conoce ahora como un número llamado el conductor), entonces la parametrización se puede definir en términos de una asignación generada por un tipo particular de forma modular de peso dos y nivel N{displaystyle N}, una nueva forma normalizada con entero q{displaystyle q}- expansión, seguido si es necesario por una isógena.

Declaraciones relacionadas

El teorema de la modularidad implica un enunciado analítico estrechamente relacionado:

A cada curva elíptica E sobre Q{displaystyle mathbf {Q} podemos adjuntar una serie L correspondiente. El L{displaystyle L.-series es una serie Dirichlet, escrita comúnmente

L()E,s)=.. n=1JUEGO JUEGO anns.{displaystyle L(E,s)=sum _{n=1}{infty }{frac {a_{n} {fn}}}}

La función generadora de los coeficientes an{displaystyle a_{n} entonces

f()E,q)=.. n=1JUEGO JUEGO anqn.{displaystyle f(E,q)=sum _{n=1}{infty }a_{n}q^{n}

Si hacemos la sustitución

q=e2π π iτ τ {displaystyle q=e^{2pi itau}

vemos que hemos escrito la expansión de Fourier de una función f()E,τ τ ){displaystyle f(E,tau)} de la variable compleja τ τ {displaystyle tau }, así que los coeficientes de los q{displaystyle q}-series are also thought of as the Fourier coefficients of f{displaystyle f}. La función obtenida de esta manera es, notablemente, una forma de cusp de peso dos y nivel N{displaystyle N} y es también un eigenform (un eigenvector de todos los operadores de Hecke); este es el Conjetura de Hasse-Weil, que sigue del teorema de modularidad.

Algunas formas modulares de peso dos, a su vez, corresponden a diferenciales holomorfos para una curva elíptica. El jacobiano de la curva modular puede (hasta la isogenia) escribirse como un producto de variedades abelianas irreducibles, correspondientes a las formas propias de peso 2 de Hecke. Los factores unidimensionales son curvas elípticas (también puede haber factores de dimensiones superiores, por lo que no todas las autoformas de Hecke corresponden a curvas elípticas racionales). La curva obtenida al encontrar la forma de la cúspide correspondiente y luego construir una curva a partir de ella, es isógena a la curva original (pero no, en general, isomorfa a ella).

Historia

Yutaka Taniyama declaró una versión preliminar (levemente incorrecta) de la conjetura en el simposio internacional de 1955 sobre la teoría del número algebraico en Tokio y Nikkō. Goro Shimura y Taniyama trabajaron para mejorar su rigor hasta 1957. André Weil redescubrió la conjetura, y mostró en 1967 que seguiría de las ecuaciones funcionales (conjecidas) para algunos retorcidos L{displaystyle L.-serie de la curva elíptica; esta fue la primera evidencia seria de que la conjetura podría ser verdad. Weil también mostró que el conductor de la curva elíptica debe ser el nivel de la forma modular correspondiente. La conjetura Taniyama–Shimura–Weil se convirtió en parte del programa Langlands.

La conjetura despertó un interés considerable cuando Gerhard Frey sugirió en 1986 que implica el último teorema de Fermat. Hizo esto intentando demostrar que cualquier contraejemplo del último teorema de Fermat implicaría la existencia de al menos una curva elíptica no modular. Este argumento se completó en 1987 cuando Jean-Pierre Serre identificó un eslabón perdido (ahora conocido como la conjetura de épsilon o el teorema de Ribet) en el trabajo original de Frey, seguido dos años después por el de Ken Ribet. realización de una prueba de la conjetura épsilon.

Incluso después de ganar mucha atención, los matemáticos contemporáneos consideraban que la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil era extraordinariamente difícil de probar o tal vez incluso inaccesible a la prueba. Por ejemplo, el doctorado de Wiles. el supervisor John Coates afirma que parecía 'imposible de probar realmente', y Ken Ribet se consideraba a sí mismo 'una de la gran mayoría de las personas que creían que [eso] era completamente inaccesible'.

En 1995, Andrew Wiles, con la ayuda de Richard Taylor, demostró la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para todas las curvas elípticas semiestables, que utilizó para demostrar el último teorema de Fermat y la conjetura completa de Taniyama-Shimura-Weil. La conjetura fue finalmente probada por Diamond, Conrad, Diamond & Taylor; y Breuil, Conrad, Diamond & Taylor; Sobre la base del trabajo de Wiles, fueron eliminando gradualmente los casos restantes hasta que se probó el resultado completo en 1999.

Una vez demostrada por completo, la conjetura se conoció como el teorema de modularidad.

Varios teoremas en la teoría de números similar al último teorema de Fermat siguen del teorema de modularidad. Por ejemplo: ningún cubo puede ser escrito como una suma de dos coprime n{displaystyle n}- los poderes, n≥ ≥ 3{displaystyle ngeq 3}. (El caso n=3{displaystyle n=3} ya era conocido por Euler.)

Generalizaciones

El teorema de la modularidad es un caso especial de conjeturas más generales debido a Robert Langlands. El programa Langlands busca adjuntar una forma automórfica o una representación automórfica (una generalización adecuada de una forma modular) a objetos más generales de geometría algebraica aritmética, como cada curva elíptica sobre un campo numérico. La mayoría de los casos de estas conjeturas extendidas aún no han sido probados. Sin embargo, Freitas, Le Hung & Siksek demostró que las curvas elípticas definidas sobre campos cuadráticos reales son modulares.

Ejemplo

Por ejemplo, la curva elíptica Sí.2− − Sí.=x3− − x{displaystyle Y..., con discriminante (y conductor) 37, se asocia a la forma

f()z)=q− − 2q2− − 3q3+2q4− − 2q5+6q6+⋯ ⋯ ,q=e2π π iz{displaystyle f(z)=q-2q^{2}-3q^{3}+2q^{4}-2q^{5}+6q^{6}+cdotsqquad q=e^{2pi iz}

Para números primos ℓ distintos de 37, se puede verificar la propiedad sobre los coeficientes. Así, para ℓ = 3, hay 6 soluciones de la ecuación módulo 3: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1); así a(3) = 3 − 6 = −3.

La conjetura, que se remonta a la década de 1950, se demostró por completo en 1999 utilizando las ideas de Andrew Wiles, quien la demostró en 1994 para una gran familia de curvas elípticas.

Hay varias formulaciones de la conjetura. Demostrar que son equivalentes fue uno de los principales desafíos de la teoría de números en la segunda mitad del siglo XX. La modularidad de una curva elíptica E del conductor N se puede expresar también diciendo que hay un mapa racional no constante definido sobre Q, de la curva modular X₀(N) a E. En particular, los puntos de E se pueden parametrizar mediante funciones modulares.

Por ejemplo, una parametrización modular de la curva Sí.2− − Sí.=x3− − x{displaystyle Y... es dado por

x()z)=q− − 2+2q− − 1+5+9q+18q2+29q3+51q4+⋯ ⋯ Sí.()z)=q− − 3+3q− − 2+9q− − 1+21+46q+92q2+180q3+⋯ ⋯ {fnMicrosoftware {fnMicrosoft Sans Serif}cnMicrosoft Sans Serif}cdots \cdots \cdots \y(z)}+3q^{-2}+9q^{1}+2}+2cdots q=q^{-3}+3^{-2}+9{-1}+2}+2}+2} {fnK}}

donde, como arriba, q = exp(2πiz). Las funciones x(z) e y(z) son modulares de peso 0 y nivel 37; en otras palabras, son meromórficos, definidos en el semiplano superior Im(z) > 0 y satisfacer

x()az+bcz+d)=x()z){displaystyle x!left({frac {az+b}{cz+d}right)=x(z)}

y lo mismo para y(z), para todos los enteros a, b, c, d con ad − bc = 1 y 37|c.

Otra formulación depende de la comparación de representaciones de Galois vinculadas, por un lado, a curvas elípticas y, por otro lado, a formas modulares. Esta última formulación se ha utilizado en la prueba de la conjetura. Tratar con el nivel de las formas (y la conexión con el conductor de la curva) es particularmente delicado.

La aplicación más espectacular de la conjetura es la demostración del último teorema de Fermat (FLT). Supongamos que para un primo p ≥ 5, la ecuación de Fermat

ap+bp=cp{displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}

tiene una solución con números enteros distintos de cero, por lo tanto, es un contraejemplo de FLT. Luego, como Yves Hellegouarch [fr] fue el primero en darse cuenta, la curva elíptica

Sí.2=x()x− − ap)()x+bp){displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p}

de discriminante

Δ Δ =1256()abc)2p{displaystyle Delta ={frac {1} {256}(abc)^{2p}

no puede ser modular. Por lo tanto, la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil para esta familia de curvas elípticas (llamadas curvas de Hellegouarch-Frey) implica FLT. La prueba del vínculo entre estos dos enunciados, basada en una idea de Gerhard Frey (1985), es difícil y técnica. Fue establecido por Kenneth Ribet en 1987.