Multiplicación de matrices

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Para la multiplicación de la matriz, el número de columnas en la primera matriz debe ser igual al número de filas en la segunda matriz. La matriz de resultados tiene el número de filas de la primera y el número de columnas de la segunda matriz.

En matemáticas, particularmente en álgebra lineal, la multiplicación de matrices es una operación binaria que produce una matriz a partir de dos matrices. Para la multiplicación de matrices, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz. La matriz resultante, conocida como producto de matrices, tiene el número de filas de la primera y el número de columnas de la segunda matriz. El producto de las matrices $A$ y $B$ se denota como $AB$ .

La multiplicación de matrices fue descrita por primera vez por el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet en 1812, para representar la composición de mapas lineales representados por matrices. La multiplicación de matrices es, por lo tanto, una herramienta básica del álgebra lineal y, como tal, tiene numerosas aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas, así como en matemáticas aplicadas, estadística, física, economía e ingeniería. Calcular productos matriciales es una operación central en todas las aplicaciones computacionales del álgebra lineal.

Notación

Este artículo utilizará las siguientes convenciones de notación: las matrices se representan con letras mayúsculas en negrita, p. $A$ ; vectores en minúsculas y negrita, p. $a$ ; y las entradas de vectores y matrices están en cursiva (son números de un campo), p. $A$ y $a$ . La notación de índice suele ser la forma más clara de expresar definiciones y se utiliza como estándar en la literatura. La entrada en la fila $i$ , columna $j$ de la matriz $A$ se indica mediante $(A) ij$ , $A ij o a ij . Por el contrario, un solo subíndice, p. A 1, A 2, se utiliza para seleccionar una matriz (no una entrada de matriz) de una colección de matrices.$

Definición

Si $A$ es un $m \times n$ matriz y $B$ es un $n \times p$ matriz,

{displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}a_{11} limita_{12}cdots "A_{1n}a_{21} 'a_{2n}\vdots > 'vdots > {mn}end{pmatrix}},quad mathbf {B} ={begin{pmatrix}b_{11} {12} âcdots - ¿Qué? " b_{2p}\vdots " \b_{n1} {fnh}}

el producto de matriz $C = AB$ (indicado sin signos de multiplicación ni puntos) se define como la matriz $m \times p$

{displaystyle mathbf {C} ={begin{pmatrix}c_{11} limitadac_{12} ¿Qué? 'c_{2p}\vdots > 'vdots > \c_{m1} {m2}

tal que

{displaystyle c_{i2}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+cdots ##a_{in}b_{nj}=sum ¿Qué?

para $i = 1,..., m$ y $j = 1,..., p$ .

Es decir, la entrada ${displaystyle c_{ij}$ del producto se obtiene multiplicando término a plazo las entradas de los $i$ th row of $A$ y el $j$ columna de $B$ , y resumir estos $n$ productos. En otras palabras, ${displaystyle c_{ij}$ es el producto del punto $i$ th row of $A$ y el $j$ columna de $B$ .

Por lo tanto, $AB$ también se puede escribir como

{displaystyle mathbf {C} ={begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+cdots +a_{1n}b_{n1} limita_{11}b_{12}+cdots +a_{1n}b_{n2} "A_{11}b_{1p}+cdots +a_{1n}b_{np}a_{21}b_{11}+cdots +a_{2n}b_{n1} limita_{21}b_{12}+cdots +a_{2n}b_{n2} " a_{21}b_{1p}+cdots +a_{2n}b_{np}\\vdots > 'ddots > \a_{m1}b_{11}+cdots +a_{mn}b_{n1} limita_{m1}b_{12}+cdots +a_{mn}b_{n2} " a_{m1}b_{1p}+cdots {fnK}

Por lo tanto, el producto $AB$ se define si y solo si el número de columnas en $A$ es igual al número de filas en $B$ , en este caso $n$ .

En la mayoría de los escenarios, las entradas son números, pero pueden ser cualquier tipo de objetos matemáticos para los que se definen una suma y una multiplicación, que son asociativos, y de tal manera que la suma es conmutativa y la multiplicación es distributiva con respecto a la adición En particular, las entradas pueden ser matrices en sí mismas (ver matriz de bloques).

Ilustración

La figura de la derecha ilustra esquemáticamente el producto de dos matrices $A$ y $B$ , que muestra cómo cada intersección en la matriz del producto corresponde a una fila de $A$ y una columna de $B$ .

{displaystyle {overset {4times 2{text{ matriz}{begin{bmatrix}a_{11} {12}\\cdot 'cdot \a_{31} 'cdot \end{bmatrix}}{overset {2times 3{text{ matriz}}{begin{bmatrix}cdot &b_{12} {cdotcdotcdotcdotcdot}cdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdot}cdotcdotcdotcdotcdotcdot}

Los valores en las intersecciones, marcadas con círculos en la figura de la derecha, son:

{displaystyle {begin{aligned}c_{12} correspond=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}c_{33} limit=a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}end{aligned}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Aplicaciones fundamentales

Históricamente, la multiplicación de matrices se introdujo para facilitar y aclarar los cálculos en álgebra lineal. Esta fuerte relación entre la multiplicación de matrices y el álgebra lineal sigue siendo fundamental en todas las matemáticas, así como en física, química, ingeniería e informática.

Mapas lineales

Si un espacio vectorial tiene una base finita, cada uno de sus vectores está representado de manera única por una secuencia finita de escalares, llamado vector de coordenadas, cuyos elementos son las coordenadas del vector sobre la base. Estos vectores de coordenadas forman otro espacio vectorial, que es isomorfo al espacio vectorial original. Un vector de coordenadas se organiza comúnmente como una matriz de columna (también llamada vector de columna), que es una matriz con una sola columna. Entonces, un vector columna representa tanto un vector de coordenadas como un vector del espacio vectorial original.

Un mapa lineal $A$ de un espacio vectorial de dimensión $n$ en un espacio vectorial de dimensión $m$ asigna un vector de columna

{displaystyle mathbf {x} ={begin{pmatrix}x_{1}x_{2}\vdots {fn}}

sobre el vector columna

{displaystyle mathbf {y} =A(mathbf {x}={begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+cdots +a_{1n}x_{n}a_{21}x_{1}+cdots ##a_{2n}x_{n}\vdots \a_{m1}x_{1}+cdots {fnfn}}

El mapa lineal $A$ está definido por la matriz

{displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}a_{11} limita_{12}cdots ################################################################################################################################################################################################################################################################ 'a_{2n}\vdots > 'vdots > {mn}end{pmatrix}}

y mapas la columna vector ${displaystyle mathbf {x}$ al producto matriz

{displaystyle mathbf {y} =mathbf {Ax}

Si $B$ es otro mapa lineal del espacio vectorial anterior de la dimensión $m$ , en un espacio vectorial de dimensión $p$ , está representado por un ${displaystyle ptimes m}$ matriz ${displaystyle mathbf {B}$ Un cálculo directo muestra que la matriz del mapa compuesto ${displaystyle Bcirc A}$ es el producto matriz ${displaystyle mathbf {BA}$ La fórmula general ${displaystyle (Bcirc A)(mathbf {x})=B(A(mathbf {x})}$ ) que define la composición de la función se señala aquí como un caso específico de asociación del producto de la matriz (ver § Associativity below):

{displaystyle (mathbf {BA})mathbf {x} =mathbf {B}

Rotaciones geométricas

Usando un sistema de coordenadas cartesiano en un plano euclidiano, la rotación por un ángulo ${displaystyle alpha }$ alrededor del origen es un mapa lineal. Más precisamente,

{displaystyle {begin{bmatrix}x'y'end{bmatrix}={begin{bmatrix}cos alpha &-sin alpha\alpha &cos alpha end{bmatrix}}{begin{bmatrix}xyend{bmatrix}}}} {begin{begin{bmatrix}}}}}}} {begin{begin{begin{bmatrix} {begin}}}}}}}}}}begin{begin{begin {begin}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}b]b]begin{begin{begin{bmatrixbegin{bmatrixbegin {begin{b]}begin{begin {begin {b]

{displaystyle (x,y)}

{displaystyle (x',y')}

La composición de la rotación por ${displaystyle alpha }$ y eso por ${displaystyle beta }$ entonces corresponde al producto matriz

{fnMicrosoft Sans Serif}

{displaystyle alpha +beta }

Asignación de recursos en economía

El cálculo de la entrada inferior izquierda

{displaystyle mathbf {AB}

corresponde a la consideración de todos los caminos (superior) de los productos básicos

{displaystyle B_{4}

al producto final

{displaystyle f_{1}

en el gráfico de flujo de producción.

Como ejemplo, una fábrica ficticia utiliza 4 tipos de productos básicos, ${displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$ para producir 3 tipos de bienes intermedios, ${displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}$ , que a su vez se utilizan para producir 3 tipos de productos finales, ${displaystyle F_{1},f_{2},f_{3}$ . Las matrices

{displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}1 tendrían un efecto en el punto de vista de la situación.

{displaystyle mathbf {B} ={begin{pmatrix}1 tendrían que haber tenido una relación de un grupo de dos personas, dos, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres, tres.

proporcionar la cantidad de productos básicos necesarios para una cantidad determinada de bienes intermedios, y la cantidad de bienes intermedios necesarios para una cantidad determinada de productos finales, respectivamente. Por ejemplo, producir una unidad de bien intermedio ${displaystyle m_{1}$ , una unidad de productos básicos ${displaystyle B_{1}$ , dos unidades de ${displaystyle B_{2}$ , no hay unidades ${displaystyle B_{3}$ , y una unidad de ${displaystyle B_{4}$ son necesarios, correspondientes a la primera columna de ${displaystyle mathbf {A}$ .

Usando la multiplicación de matrices, calcule

{displaystyle mathbf {AB} ={begin{pmatrix}5 sensible38 simultáneamente9 implica5\\\\\\\\\\6\end{pmatrix};}

Esta matriz proporciona directamente las cantidades de productos básicos necesarios para cantidades dadas de bienes finales. Por ejemplo, la entrada inferior izquierda ${displaystyle mathbf {AB}$ es calculado como ${displaystyle 1cdot 1+1cdot 2+2cdot 4=11}$ , reflejando eso ${displaystyle 11}$ unidades ${displaystyle B_{4}$ son necesarios para producir una unidad de ${displaystyle f_{1}$ . De hecho, uno ${displaystyle B_{4}$ unidad es necesaria para ${displaystyle m_{1}$ , 2 para ${displaystyle m_{2}$ , y ${displaystyle 4}$ para cada uno de los dos ${displaystyle M_{3}$ unidades que entran en ${displaystyle f_{1}$ unidad, vea la foto.

Para producir por ejemplo 100 unidades del producto final ${displaystyle f_{1}$ , 80 unidades de ${displaystyle f_{2}$ , y 60 unidades de ${displaystyle f_{3}$ , las cantidades necesarias de bienes básicos se pueden calcular como

{displaystyle (mathbf {AB}}{begin{pmatrix}10080\60\\\end{pmatrix}}={begin{pmatrix}100018201180\2180end{pmatrix}}}}}}}}}}

es decir, ${displaystyle 1000}$ unidades ${displaystyle B_{1}$ , ${displaystyle 1820}$ unidades ${displaystyle B_{2}$ , ${displaystyle 1180}$ unidades ${displaystyle B_{3}$ , ${displaystyle 2180}$ unidades ${displaystyle B_{4}$ son necesarios. Del mismo modo, la matriz del producto ${displaystyle mathbf {AB}$ se puede utilizar para calcular las cantidades necesarias de bienes básicos para otros datos de buena cantidad final.

Sistema de ecuaciones lineales

La forma general de un sistema de ecuaciones lineales es

{displaystyle {begin{matrix}a_{11}x_{1}+cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}a_{21}x_{1}+cdots ##a_{2n}x_{n}=b_{2}\vdots \a_{m1}x_{1}+cdots ¿Qué?

Usando la misma notación que arriba, dicho sistema es equivalente a la ecuación matricial única

{displaystyle mathbf {Ax} =mathbf {b}

Producto escalar, forma bilineal y forma sesquilineal

El producto escalar de dos vectores de columna es la única entrada del producto de matriz

{displaystyle mathbf {x} {fnMithsf}mathbf {y}

Donde ${displaystyle mathbf {x}$ es el vector de fila obtenido por transponer ${displaystyle mathbf {x}$ . (Como de costumbre, una matriz 1×1 se identifica con su entrada única.)

De forma más general, cualquier forma bilineal sobre un espacio vectorial de dimensión finita puede expresarse como un producto matricial

{displaystyle mathbf {x} {fnMithsf}mathbf {f}

y cualquier forma sesquilineal puede expresarse como

{displaystyle mathbf {x} {dgger}mathbf {f}

Donde ${displaystyle mathbf {x}$ denota la transposición conyugal de ${displaystyle mathbf {x}$ (conjugado de la transposición, o transpose equivalente del conjugado).

Propiedades generales

La multiplicación de matrices comparte algunas propiedades con la multiplicación habitual. Sin embargo, la multiplicación de matrices no está definida si el número de columnas del primer factor difiere del número de filas del segundo factor, y no es conmutativa, incluso cuando el producto permanece definido después de cambiar el orden de los factores.

No conmutatividad

Una operación es conmutativa si, dadas dos elementos $A$ y $B$ tal que el producto ${displaystyle mathbf {A} mathbf {B}$ se define, entonces ${displaystyle mathbf {B} mathbf {A}$ también se define, y ${displaystyle mathbf {A} mathbf {B} =mathbf {B} mathbf {A}.}$

Si $A$ y $B$ son matrices de tamaños respectivos ${displaystyle mtimes n}$ y ${displaystyle ptimes q}$ , entonces ${displaystyle mathbf {A} mathbf {B}$ se define si ${displaystyle No.$ , y ${displaystyle mathbf {B} mathbf {A}$ se define si ${displaystyle m=q}$ . Por lo tanto, si uno de los productos se define, el otro no necesita ser definido. Si ${displaystyle m=qneq n=p}$ , los dos productos se definen, pero tienen diferentes tamaños; por lo tanto no pueden ser iguales. Sólo si ${displaystyle m=q=n=p}$ , eso es, si $A$ y $B$ son matrices cuadradas del mismo tamaño, son ambos productos definidos y del mismo tamaño. Incluso en este caso, uno tiene en general