Teorema de los senos

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En trigonometría, la ley de los senos, teorema de los senos, fórmula de los senos o regla de los senos es una ecuación que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo (cualquier forma) con los senos de sus ángulos. De acuerdo con la ley,

{displaystyle {frac {a}{sin {alpha }}},=,{frac {b}{sin {beta }}},=,{frac {c}{ sin {gamma}}},=,2R,}

donde a, b y c son las longitudes de los lados de un triángulo, y α, β y γ son los ángulos opuestos (consulte la figura 2), mientras que R es el radio del círculo circunscrito del triángulo. Cuando no se usa la última parte de la ecuación, la ley a veces se expresa usando los recíprocos;

{displaystyle {frac {sin {alpha }}{a}},=,{frac {sin {beta }}{b}},=,{frac {sin { gamma }}{c}}.}

La ley de los senos se puede usar para calcular los lados restantes de un triángulo cuando se conocen dos ángulos y un lado, una técnica conocida como triangulación. También se puede utilizar cuando se conocen dos lados y uno de los ángulos no cerrados. En algunos de estos casos, el triángulo no está determinado únicamente por estos datos (llamado el caso ambiguo) y la técnica da dos valores posibles para el ángulo cerrado.

La ley de los senos es una de las dos ecuaciones trigonométricas comúnmente aplicadas para encontrar longitudes y ángulos en triángulos escalenos, siendo la otra la ley de los cosenos.

La ley de los senos se puede generalizar a dimensiones superiores en superficies con curvatura constante.

Historia

Según Ubiratàn D'Ambrosio y Helaine Selin, la ley esférica de los senos se descubrió en el siglo X. Se atribuye de diversas formas a Abu-Mahmud Khojandi, Abu al-Wafa' Buzjani, Nasir al-Din al-Tusi y Abu Nasr Mansur.

El libro de los arcos desconocidos de una esfera del siglo XI de Ibn Muʿādh al-Jayyānī contiene la ley general de los senos. La ley plana de los senos fue establecida más tarde en el siglo XIII por Nasīr al-Dīn al-Tūsī. En su Sobre la figura del sector, estableció la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, y proporcionó pruebas para esta ley.

Según Glen Van Brummelen, "La ley de los senos es realmente la base de Regiomontanus para sus soluciones de triángulos rectángulos en el Libro IV, y estas soluciones son, a su vez, las bases para sus soluciones de triángulos generales". Regiomontanus fue un matemático alemán del siglo XV.

Prueba

El área T de cualquier triángulo se puede escribir como la mitad de su base por su altura. Seleccionando un lado del triángulo como base, la altura del triángulo relativa a esa base se calcula como la longitud de otro lado por el seno del ángulo entre el lado elegido y la base. Así, dependiendo de la selección de la base, el área del triángulo se puede escribir como cualquiera de:

{displaystyle T={frac {1}{2}}bleft(csin {alpha }right)={frac {1}{2}}cleft(asin {beta }right)={frac {1}{2}}aleft(bsin {gamma }right).}

Multiplicando estos por2/a B Cda

{displaystyle {frac {2T}{abc}}={frac {sin {alpha}}{a}}={frac {sin {beta}}{b}}={frac { sin {gamma}}{c}},.}

El caso ambiguo de solución triangular

Cuando se usa la ley de los senos para encontrar un lado de un triángulo, ocurre un caso ambiguo cuando se pueden construir dos triángulos separados a partir de los datos proporcionados (es decir, hay dos posibles soluciones diferentes para el triángulo). En el caso que se muestra a continuación son los triángulos ABC y ABC′.

Dado un triángulo general, se necesitarían cumplir las siguientes condiciones para que el caso sea ambiguo:

La única información conocida sobre el triángulo es el ángulo α y los lados a y c.
El ángulo α es agudo (es decir, α < 90°).
El lado a es más corto que el lado c (es decir, a < c).
El lado a es más largo que la altura h desde el ángulo β, donde h = c sen α (es decir, a > h).

Si todas las condiciones anteriores son verdaderas, entonces cada uno de los ángulos β y β′ produce un triángulo válido, lo que significa que ambos de los siguientes son verdaderos:

{displaystyle {gamma }'=arcsin {frac {csin {alpha }}{a}}quad {text{o}}quad {gamma }=pi -arcsin { fracción {csin {alfa}}{a}}.}

A partir de ahí podemos encontrar los correspondientes β y b o β′ y b′ si se requiere, donde b es el lado acotado por los vértices A y C y b′ está acotado por A y C′.

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de cómo resolver un problema usando la ley de los senos.

Ejemplo 1

Dado: lado a = 20, lado c = 24 y ángulo γ = 40°. Se desea el ángulo α.

Usando la ley de los senos, concluimos que

{displaystyle {frac {sin alpha }{20}}={frac {sin(40^{circ })}{24}}.}

{displaystyle alpha =arcsin left({frac {20sin(40^{circ })}{24}}right)approx 32,39^{circ }.}

Tenga en cuenta que la solución potencial α = 147.61° está excluida porque necesariamente daría α + β + γ > 180°.

Ejemplo 2

Si las longitudes de dos lados del triángulo a y b son iguales a x, el tercer lado tiene longitud c, y los ángulos opuestos a los lados de las longitudes a, b y c son α, β y γ respectivamente entonces

{displaystyle {begin{alineado}&alpha =beta ={frac {180^{circ }-gamma }{2}}=90^{circ }-{frac {gamma }{ 2}}\[6pt]&sin alpha =sin beta =sin left(90^{circ }-{frac {gamma }{2}}right)=cos left ({frac {gamma }{2}}right)\[6pt]&{frac {c}{sin gamma }}={frac {a}{sin alpha }}={ frac {x}{cos left({frac {gamma}{2}}right)}}\[6pt]&{frac {ccos left({frac {gamma} {2}}right)}{sin gamma }}=xend{alineado}}}

Relación con el circuncírculo

en la identidad

{displaystyle {frac {a}{sin {alpha }}}={frac {b}{sin {beta }}}={frac {c}{sin {gamma }}},}

el valor común de las tres fracciones es en realidad el diámetro del circuncírculo del triángulo. Este resultado se remonta a Ptolomeo.

Prueba

Como se muestra en la figura, sea un círculo con inscrito $triángulo ABC$ y otro inscrito ${ estilo de visualización triángulo ADB}$ que pasa por el centro del círculo O. El ${ estilo de visualización ángulo AOD}$ tiene un ángulo central de ${displaystyle 180^{circ}}$ y por lo tanto ${ estilo de visualización ángulo ABD = 90 ^ { circ}}$ . Como ${ estilo de visualización triángulo ABD}$ es un triángulo rectángulo,

{displaystyle sin {delta }={frac {text{opuesto}}{text{hipotenusa}}}={frac {c}{2R}},}

donde ${displaystyle R={frac{d}{2}}}$ es el radio del círculo que circunscribe al triángulo. Los ángulos ${gamma}$ y ${ delta}$ tienen el mismo ángulo central por lo que son lo mismo: ${displaystyle {gamma }={delta }}$ . Por lo tanto,

{displaystyle sin {delta }=sin {gamma }={frac {c}{2R}}.}

Reorganización de los rendimientos

{displaystyle 2R={frac {c}{sin {gamma}}}.}

Repetir el proceso de creación ${ estilo de visualización triángulo ADB}$ con otros puntos da

Relación con el área del triángulo

El área de un triángulo viene dada por ${textstyle T={frac {1}{2}}absin theta}$ , donde $theta$ es el ángulo encerrado por los lados de longitud a y b. Sustituyendo la ley del seno en esta ecuación da

{displaystyle T={frac {1}{2}}abcdot {frac {c}{2R}}.}

Tomando $R$ como radio circunscrito,

También se puede demostrar que esta igualdad implica

{displaystyle {begin{alineado}{frac {abc}{2T}}&={frac {abc}{2{sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}}\[ 6pt]&={frac {2abc}{sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^ {4}+c^{4})}}},end{alineado}}}

donde T es el área del triángulo y s es el semiperímetro ${estilo de texto s={frac{a+b+c}{2}}.}$

La segunda igualdad anterior se simplifica fácilmente a la fórmula de Heron para el área.

La regla del seno también se puede usar para derivar la siguiente fórmula para el área del triángulo: Denotando la semisuma de los senos de los ángulos como ${textstyle S={frac {sin A+sin B+sin C}{2}}}$ , tenemos

{displaystyle T=4R^{2}{sqrt {Sleft(S-sin Aright)left(S-sin Bright)left(S-sin Cright)}} }

donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita: ${textstyle 2R={frac {a}{sin A}}={frac {b}{sin B}}={frac {c}{sin C}}}$ .

La ley esférica de los senos

La ley esférica de los senos trata con triángulos en una esfera, cuyos lados son arcos de grandes círculos.

Supongamos que el radio de la esfera es 1. Sean a, b y c las longitudes de los grandes arcos que son los lados del triángulo. Debido a que es una esfera unitaria, a, b y c son los ángulos en el centro de la esfera subtendidos por esos arcos, en radianes. Sean A, B y C los ángulos opuestos a sus respectivos lados. Estos son ángulos diédricos entre los planos de los tres grandes círculos.

Entonces la ley esférica de los senos dice:

{displaystyle {frac {sin A}{sin a}}={frac {sin B}{sin b}}={frac {sin C}{sin c}}.}

Prueba de vectores

Considere una esfera unitaria con tres vectores unitarios OA, OB y OC dibujados desde el origen hasta los vértices del triángulo. Por lo tanto, los ángulos α, β y γ son los ángulos a, b y c, respectivamente. El arco BC subtiende un ángulo de magnitud a en el centro. Introduce una base cartesiana con OA a lo largo del eje z y OB en el plano xz formando un ángulo c con el eje z. El vector OCse proyecta a ON en el plano xy y el ángulo entre ON y el eje x es A. Por lo tanto, los tres vectores tienen componentes:

{displaystyle mathbf {OA} ={begin{pmatrix}0\0\1end{pmatrix}},quad mathbf {OB} ={begin{pmatrix}sin c\0 \cos cend{pmatrix}},quad mathbf {OC} ={begin{pmatrix}sin bcos A\sin bsin A\cos bend{pmatrix}}.}

El triple producto escalar, OA ⋅ (OB × OC) es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores de posición de los vértices del triángulo esférico OA, OB y OC. Este volumen es invariable al sistema de coordenadas específico utilizado para representar OA, OB y OC. El valor del producto triple escalar OA ⋅ (OB × OC) es el determinante 3 × 3 con OA, OB y OC como sus filas. con la z-eje a lo largo de OA el cuadrado de este determinante es

{displaystyle {begin{alineado}{bigl (}mathbf {OA} cdot (mathbf {OB} times mathbf {OC}){bigr)}^{2}&=left( det {begin{pmatrix}mathbf {OA} &mathbf {OB} &mathbf {OC} end{pmatrix}}right)^{2}\[4pt]&={begin{vmatrix} 0&0&1\sin c&0&cos c\sin bcos A&sin bsin A&cos bend{vmatriz}}^{2}=left(sin bsin csin A derecha)^{2}.end{alineado}}}

Repitiendo este cálculo con el eje z a lo largo de OB da (sin c sin a sin B), mientras que con el eje z a lo largo de OC es (sin a sin b sin C). Igualando estas expresiones y dividiendo por (sin a sin b sin c) da

{displaystyle {frac {sin ^{2}A}{sin ^{2}a}}={frac {sin ^{2}B}{sin ^{2}b}}={ frac {sin ^{2}C}{sin ^{2}c}}={frac {V^{2}}{sin ^{2}(a)sin ^{2}(b)sen ^{2}(c)}},}

donde V es el volumen del paralelepípedo formado por el vector de posición de los vértices del triángulo esférico. En consecuencia, el resultado sigue.

Es fácil ver cómo para pequeños triángulos esféricos, cuando el radio de la esfera es mucho mayor que los lados del triángulo, esta fórmula se convierte en la fórmula plana en el límite, ya que

{displaystyle lim _{ato 0}{frac {sin a}{a}}=1}

y lo mismo para sen b y sen c.

Prueba geométrica

Considere una esfera unitaria con:

Construye punto $D$ y punto $mi$ tal que ${displaystyle angle ADO=angle AEO=90^{circ }}$

Construya un punto $UN'$ tal que ${displaystyle angle A'DO=angle A'EO=90^{circ }}$

Por lo tanto, se puede ver que ${ estilo de visualización ángulo ADA'=B}$ y ${ estilo de visualización ángulo AEA' = C}$

Fíjate que $UN'$ es la proyección de $UN$ en el plano $OBC$ . Por lo tanto ${displaystyle angle AA'D=angle AA'E=90^{circ }}$

Por trigonometría básica tenemos:

Pero ${displaystyle AA'=ADsin B=AEsin C}$

Combinándolos tenemos:

{ estilo de visualización sin c sin B = sin b sin C}

{displaystyle {frac {sin B}{sin b}}={frac {sin C}{sin c}}}

Aplicando un razonamiento similar, obtenemos la ley esférica del seno:

Otras pruebas

Se puede construir una prueba puramente algebraica a partir de la ley esférica de los cosenos. De la identidad ${displaystyle sin ^{2}A=1-cos ^{2}A}$ y la expresión explícita para $cos A$ de la ley esférica de los cosenos

{displaystyle {begin{alineado}sin ^{2}!A&=1-left({frac {cos a-cos b,cos c}{sin b,sin c }}right)^{2}\&={frac {left(1-cos ^{2}!bright)left(1-cos ^{2}!cright)-left(cos a-cos b,cos cright)^{2}}{sin ^{2}!b,sin ^{2}!c}}\ [8pt]{frac {sin A}{sin a}}&={frac {left[1-cos ^{2}!a-cos ^{2}!b-cos ^{2}!c+2cos acos bcos cright]^{1/2}}{sin asin bsin c}}.end{alineado}}}

Dado que el lado derecho es invariante bajo una permutación cíclica de $a B C$ la regla del seno esférico, se sigue inmediatamente.

La figura utilizada en la prueba geométrica anterior es utilizada y proporcionada por Banerjee (consulte la Figura 3 en este documento) para derivar la ley del seno utilizando álgebra lineal elemental y matrices de proyección.

Caso hiperbólico

En geometría hiperbólica cuando la curvatura es −1, la ley de los senos se convierte en

{displaystyle {frac {sin A}{sinh a}}={frac {sin B}{sinh b}}={frac {sin C}{sinh c}},. }

En el caso especial cuando B es un ángulo recto, se obtiene

{displaystyle sin C={frac {sinh c}{sinh b}}}

que es el análogo de la fórmula en geometría euclidiana que expresa el seno de un ángulo como el lado opuesto dividido por la hipotenusa.

El caso de las superficies de curvatura constante

Defina una función seno generalizada, dependiendo también de un parámetro real K:

{displaystyle sin _{K}x=x-{frac {Kx^{3}}{3!}}+{frac {K^{2}x^{5}}{5!}}- {frac{K^{3}x^{7}}{7!}}+cdots.}

La ley de los senos en curvatura constante K se lee como

{displaystyle {frac {sin A}{sin _{K}a}}={frac {sin B}{sin _{K}b}}={frac {sin C}{ sin _{K}c}},.}

Sustituyendo K = 0, K = 1 y K = −1, se obtienen respectivamente los casos euclidiano, esférico e hiperbólico de la ley de los senos descritos anteriormente.

Sea p _K (r) la circunferencia de un círculo de radio r en un espacio de curvatura constante K. Entonces pag _K (r) = 2 π sen _K r. Por lo tanto, la ley de los senos también se puede expresar como:

{displaystyle {frac {sin A}{p_{K}(a)}}={frac {sin B}{p_{K}(b)}}={frac {sin C}{ p_{K}(c)}},.}

Esta formulación fue descubierta por János Bolyai.

Dimensiones superiores

Para un simplex de n dimensiones (es decir, triángulo (n = 2), tetraedro (n = 3), pentátopo (n = 4), etc.) en un espacio euclidiano de n dimensiones, el valor absoluto del seno polar (psin) de los vectores normales de las facetas que se encuentran en un vértice, dividido por la hiperárea de la faceta opuesta al vértice es independiente de la elección del vértice. Escribiendo V para el hipervolumen del símplex n -dimensional y P para el producto de las hiperáreas de sus facetas (n − 1) -dimensionales, la razón común es

{displaystyle {frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}

Por ejemplo, un tetraedro tiene cuatro caras triangulares. El valor absoluto del seno polar de los vectores normales a las tres facetas que comparten un vértice, dividido por el área de la cuarta faceta, no dependerá de la elección del vértice:

{displaystyle {begin{alineado}&{frac {left|operatorname {psin} (mathbf {n_{2}},mathbf {n_{3}},mathbf {n_{4}}) right|}{mathrm {Área} _{1}}}={frac {left|operatorname {psin} (mathbf {n_{1}},mathbf {n_{3}},mathbf {n_{4}})right|}{mathrm {Área} _{2}}}={frac {left|operatorname {psin} (mathbf {n_{1}},mathbf {n_ {2}},mathbf {n_{4}})right|}{mathrm {Área} _{3}}}={frac {left|operatorname {psin} (mathbf {n_{1 }},mathbf {n_{2}},mathbf {n_{3}})right|}{mathrm {Área} _{4}}}\[4pt]={}&{frac { (3nombre del operador {Volumen}_{mathrm {tetraedro} })^{2}}{2!~mathrm {Área}_{1}mathrm {Área}_{2}mathrm {Área}_{ 3}mathrm {Área} _{4}}},.end{alineado}}}

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