Bill James
George William James es un escritor, historiador y estadístico estadounidense de béisbol cuyo trabajo ha sido muy influyente. Desde 1977, James ha escrito... (leer más)
En la teoría de la probabilidad, la ley, fórmula o teorema de la probabilidad total es una regla fundamental que relaciona las probabilidades marginales con las probabilidades condicionales. Expresa la probabilidad total de un resultado que se puede realizar a través de varios eventos distintos, de ahí el nombre.
La ley de probabilidad total es un teorema que establece, en su caso discreto, si es una partición finita o numerablemente infinita de un espacio muestral (en otras palabras, un conjunto de eventos disjuntos por pares cuya unión es el espacio muestral completo) y cada evento es medible, entonces para cualquier evento del mismo espacio de probabilidad:
o alternativamente,
donde, para cualquiera para el cual estos términos simplemente se omiten de la sumatoria, porque es finito.
La suma se puede interpretar como un promedio ponderado y, en consecuencia, la probabilidad marginal , a veces se denomina "probabilidad promedio"; La "probabilidad general" se usa a veces en escritos menos formales.
La ley de probabilidad total también se puede establecer para probabilidades condicionales.
Tomando lo anterior, y suponiendo que es un evento independiente de cualquiera de los siguientes:
La ley de probabilidad total se extiende al caso de condicionamiento sobre eventos generados por variables aleatorias continuas. Sea un espacio de probabilidad. Supongamos que es una variable aleatoria con función de distribución y un evento en . Entonces la ley de probabilidad total establece
Si admite una función de densidad , entonces el resultado es
Además, para el caso específico donde , donde es un conjunto de Borel, entonces esto produce
Suponga que dos fábricas suministran bombillas al mercado. Las bombillas de la fábrica X funcionan durante más de 5000 horas en el 99 % de los casos, mientras que las bombillas de la fábrica Y funcionan durante más de 5000 horas en el 95 % de los casos. Se sabe que la fábrica X suministra el 60% del total de bombillas disponibles y Y suministra el 40% del total de bombillas disponibles. ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla comprada funcione durante más de 5000 horas?
Aplicando la ley de probabilidad total, tenemos:
donde
Por lo tanto, cada bombilla comprada tiene un 97,4% de posibilidades de funcionar durante más de 5000 horas.
El término ley de probabilidad total a veces se toma para referirse a la ley de alternativas, que es un caso especial de la ley de probabilidad total que se aplica a variables aleatorias discretas. Un autor utiliza la terminología de la "Regla de las Probabilidades Condicionales Medias", mientras que otro se refiere a ella como la "ley continua de las alternativas" en el caso continuo. Grimmett y Welsh dan este resultado como el teorema de la partición, un nombre que también dan a la ley relacionada de la esperanza total.
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