Teorema de la probabilidad total

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En la teoría de la probabilidad, la ley, fórmula o teorema de la probabilidad total es una regla fundamental que relaciona las probabilidades marginales con las probabilidades condicionales. Expresa la probabilidad total de un resultado que se puede realizar a través de varios eventos distintos, de ahí el nombre.

Declaración

La ley de probabilidad total es un teorema que establece, en su caso discreto, si $left{{B_{n}:n=1,2,3,ldots}right}$ es una partición finita o numerablemente infinita de un espacio muestral (en otras palabras, un conjunto de eventos disjuntos por pares cuya unión es el espacio muestral completo) y cada evento $B_{n}$ es medible, entonces para cualquier evento $UN$ del mismo espacio de probabilidad: ${displaystyle P(A)=sum_{n}P(Acap B_{n})}$

o alternativamente, ${displaystyle P(A)=sum_{n}P(Amid B_{n})P(B_{n}),}$

donde, para cualquiera $norte$ para el cual ${displaystyle P(B_{n})=0}$ estos términos simplemente se omiten de la sumatoria, porque ${displaystyle PAG(Amid B_{n})}$ es finito.

La suma se puede interpretar como un promedio ponderado y, en consecuencia, la probabilidad marginal $PENSILVANIA)$ , a veces se denomina "probabilidad promedio"; La "probabilidad general" se usa a veces en escritos menos formales.

La ley de probabilidad total también se puede establecer para probabilidades condicionales. ${displaystyle P(Amid C)=sum _{n}P(Amid Ccap B_{n})P(B_{n}mid C)}$

Tomando lo $B_{n}$ anterior, y suponiendo $C$ que es un evento independiente de cualquiera de los $B_{n}$ siguientes: ${displaystyle P(Amid C)=sum _{n}P(Amid Ccap B_{n})P(B_{n})}$

Caso continuo

La ley de probabilidad total se extiende al caso de condicionamiento sobre eventos generados por variables aleatorias continuas. Sea ${displaystyle (Omega,{mathcal {F}},P)}$ un espacio de probabilidad. Supongamos $X$ que es una variable aleatoria con función de distribución $F_{X}$ y $UN$ un evento en ${displaystyle (Omega,{mathcal {F}},P)}$ . Entonces la ley de probabilidad total establece

{displaystyle P(A)=int_{-infty}^{infty}P(A|X=x)dF_{X}(x).}

Si $X$ admite una función de densidad $f_x$ , entonces el resultado es

{displaystyle P(A)=int_{-infty}^{infty}P(A|X=x)f_{X}(x)dx.}

Además, para el caso específico donde ${displaystyle A={Yen B}}$ , donde $B$ es un conjunto de Borel, entonces esto produce

{displaystyle P(Yin B)=int_{-infty}^{infty}P(Yin B|X=x)f_{X}(x)dx.}

Ejemplo

Suponga que dos fábricas suministran bombillas al mercado. Las bombillas de la fábrica X funcionan durante más de 5000 horas en el 99 % de los casos, mientras que las bombillas de la fábrica Y funcionan durante más de 5000 horas en el 95 % de los casos. Se sabe que la fábrica X suministra el 60% del total de bombillas disponibles y Y suministra el 40% del total de bombillas disponibles. ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla comprada funcione durante más de 5000 horas?

Aplicando la ley de probabilidad total, tenemos: ${displaystyle {begin{alineado}P(A)&=P(Amid B_{X})cdot P(B_{X})+P(Amid B_{Y})cdot P(B_ {Y})\[4pt]&={99 sobre 100}cdot {6 sobre 10}+{95 sobre 100}cdot {4 sobre 10}={{594+380} sobre 1000 }={974 sobre 1000}end{alineado}}}$

donde

${displaystyle P(B_{X})={6 over 10}}$ es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada por la fábrica X;
${displaystyle P(B_{Y})={4 over 10}}$ es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido fabricada por la fábrica Y;
${displaystyle P(Amid B_{X})={99 over 100}}$ es la probabilidad de que una bombilla fabricada por X funcione durante más de 5000 horas;
${displaystyle P(Amid B_{Y})={95 over 100}}$ es la probabilidad de que una bombilla fabricada por Y funcione durante más de 5000 horas.

Por lo tanto, cada bombilla comprada tiene un 97,4% de posibilidades de funcionar durante más de 5000 horas.

Otros nombres

El término ley de probabilidad total a veces se toma para referirse a la ley de alternativas, que es un caso especial de la ley de probabilidad total que se aplica a variables aleatorias discretas. Un autor utiliza la terminología de la "Regla de las Probabilidades Condicionales Medias", mientras que otro se refiere a ella como la "ley continua de las alternativas" en el caso continuo. Grimmett y Welsh dan este resultado como el teorema de la partición, un nombre que también dan a la ley relacionada de la esperanza total.

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