Límite inverso

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Construcción en la teoría de la categoría

En matemáticas, el límite inverso (también llamado límite proyectivo) es una construcción que permite "unir" varios objetos relacionados, siendo especificado el proceso de pegado preciso por morfismos entre los objetos. Así, los límites inversos se pueden definir en cualquier categoría aunque su existencia depende de la categoría que se considere. Son un caso especial del concepto de límite en la teoría de categorías.

Trabajando en la categoría dual, es decir invirtiendo las flechas, un límite inverso se convierte en límite directo o límite inductivo, y un límite se convierte en colímite.

Definición formal

Objetos algebraicos

Comenzamos con la definición de un sistema inverso (o sistema proyectivo) de grupos y homomorfismos. Vamos ${displaystyle (I,leq)}$ ser una pose dirigida (no todos los autores requieren I a ser dirigido). Vamos.A_i)_i▪I ser una familia de grupos y supone que tenemos una familia de homomorfismos ${displaystyle f_{ij}:A_{j}to A_{i}}$ para todos $ileq j$ (nota la orden) con las siguientes propiedades:

${displaystyle f_{ii}}$ es la identidad $A_{i}$ ,
${displaystyle f_{ik}=f_{ij}circ f_{jk}quad {text{for all }}ileq jleq k.}$

Luego el par ${displaystyle ((A_{i})_{iin I},(f_{ij})_{ileq jin I})}$ se llama un sistema inverso de grupos y morfismos sobre $I$ , y los morfismos $f_{ij}$ se llaman los morfismos de transición del sistema.

Definimos el límite inverso del sistema inverso ${displaystyle ((A_{i})_{iin I},(f_{ij})_{ileq jin I})}$ como subgrupo particular del producto directo del $A_{i}$ 's:

{displaystyle A=varprojlim _{iin I}{A_{i}}=left{left.{vec {a}}in prod _{iin I}A_{i};right|;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){text{ for all }}ileq j{text{ in }}Iright}.}

El límite inverso $A$ viene equipado con proyecciones naturales $π i : A \to A i$ que elige el $i$ componente del producto directo para cada $i$ dentro $I$ . El límite inverso y las proyecciones naturales satisfacen una propiedad universal descrita en la siguiente sección.

Esta misma construcción puede realizarse si la $A_{i}$ 's son conjuntos, semigrupos, espacios topológicos, anillos, módulos (sobre un anillo fijo), álgebras (sobre un anillo fijo), etc., y los homomorfismos son morfismos en la categoría correspondiente. El límite inverso también pertenecerá a esa categoría.

Definición general

El límite inverso puede definirse abstractamente en una categoría arbitraria por medio de una propiedad universal. Vamos ${textstyle (X_{i},f_{ij})}$ ser un sistema inverso de objetos y morfismos en una categoría C (la misma definición como arriba). El límite inverso de este sistema es un objeto X dentro C junto con morfismos $π$ _i: X → X_i (llamado proyecciones) satisfactoria $π$ _i = $f_{ij}$ ∘ $π$ _j para todos i ≤ j. El par (X, $π$ _i) debe ser universal en el sentido que para cualquier otro tal par (Y, _i) existe un morfismo único u: Y → X tal que el diagrama

viajes diarios para todos los i ≤ j. El límite inverso a menudo se denota

X=varprojlim X_{i}

con el sistema inverso ${textstyle (X_{i},f_{ij})}$ ser entendido.

En algunas categorías, el límite inverso de ciertos sistemas inversos no existe. Sin embargo, si lo hace, es único en un sentido fuerte: dados dos límites inversos X y X' de un sistema inverso, existe un único isomorfismo X′ → X conmutando con los mapas de proyección.

Sistemas inversos y límites inversos en una categoría C Admitir una descripción alternativa en términos de funerarios. Cualquier conjunto parcialmente ordenado I se puede considerar como una pequeña categoría donde los morfismos consisten de flechas i → j si i ≤ j. Un sistema inverso es entonces sólo un functor contravariante I → C. Vamos ${displaystyle C^{I^{mathrm {op} }}}$ ser la categoría de estos functores (con transformaciones naturales como morfismos). Un objeto X de C puede considerarse un sistema inverso trivial, donde todos los objetos son iguales X y toda flecha son la identidad de X. Esto define a un "trivial functor" de C a ${displaystyle C^{I^{mathrm {op} }}.}$ El límite directo, si existe, se define como una unión adecuada de este trivial functor.

Ejemplos

El anillo de los enteros p-adic es el límite inverso de los anillos ${mathbb {Z}}/p^{n}{mathbb {Z}}$ (ver aritmética modular) con el conjunto de índices siendo los números naturales con el orden habitual, y los morfismos siendo "tomar el resto". Es decir, uno considera secuencias de enteros ${displaystyle (n_{1},n_{2},dots)}$ tal que cada elemento de la secuencia "proyectos" a los anteriores, es decir, que ${displaystyle n_{i}equiv n_{j}{mbox{ mod }}p^{i}}$ siempre $<math alttext="{displaystyle ii.j.{displaystyle i wonj.} <img alt="{displaystyle i$ La topología natural en la p- enteros adictivos es el que implica aquí, a saber, la topología del producto con conjuntos de cilindro como los conjuntos abiertos.
El solenoide p-adic es el límite inverso de los grupos topológicos ${displaystyle mathbb {R} /p^{n}mathbb {Z} }$ con el índice establecido siendo los números naturales con el orden habitual, y los morfismos siendo "tomar el resto". Es decir, uno considera secuencias de números reales ${displaystyle (x_{1},x_{2},dots)}$ tal que cada elemento de la secuencia "proyectos" a los anteriores, es decir, que ${displaystyle x_{i}equiv x_{j}{mbox{ mod }}p^{i}}$ siempre $<math alttext="{displaystyle ii.j.{displaystyle i wonj.} <img alt="{displaystyle i$ Sus elementos son exactamente de forma ${displaystyle n+r}$ , donde $n$ es un entero p-adic, y ${displaystyle rin [0,1)}$ es el "remanente".
El anillo $textstyle R[[t]]$ de la serie de potencia formal sobre un anillo conmutativo R se puede pensar como el límite inverso de los anillos $textstyle R[t]/t^{n}R[t]$ , indexado por los números naturales como generalmente ordenado, con los morfismos de $textstyle R[t]/t^{{n+j}}R[t]$ a $textstyle R[t]/t^{n}R[t]$ dada por la proyección natural. En particular, cuando ${displaystyle R=mathbb {Z} /pmathbb {Z} }$ Esto da el anillo de enteros p-adic.
Los grupos pro-finitos se definen como límites inversos de grupos finitos (descretos).
Dejar el conjunto del índice I de un sistema inverso (X_i, $f_{ij}$ ) tienen un elemento más grande m. Luego la proyección natural $π$ _m: X → X_m es un isomorfismo.
En la categoría de conjuntos, cada sistema inverso tiene un límite inverso, que se puede construir de manera elemental como subconjunto del producto de los conjuntos que forman el sistema inverso. El límite inverso de cualquier sistema inverso de conjuntos finitos no vacíos no es vacío. Esta es una generalización de la lema de Kőnig en la teoría del gráfico y puede ser probado con el teorema de Tychonoff, viendo los conjuntos finitos como espacios discretos compactos, y luego aplicar la caracterización de propiedad de intersección finita de la compactidad.
En la categoría de espacios topológicos, cada sistema inverso tiene un límite inverso. Se construye colocando la topología inicial en el límite inverso teórico-de conjunto subyacente. Esto es conocido como límite de topología.
- El conjunto de cuerdas infinitas es el límite inverso del conjunto de cuerdas finitas, y por lo tanto está dotado con la topología límite. Como los espacios originales son discretos, el espacio límite está totalmente desconectado. Esta es una manera de realizar los números p-adic y el conjunto Cantor (como cadenas infinitas).

Funtores derivados del límite inverso

Para una categoría abeliana C, el funtor límite inverso

varprojlim:C^{I}rightarrow C

queda exactamente. Si I se ordena (no simplemente parcialmente ordenada) y contable, y C es la categoría Ab de los grupos abelianos, la condición Mittag-Leffler es una condición para los morfismos de transición f_ij que asegura la exactitud de $varprojlim$ . Específicamente, Eilenberg construyó un functor

varprojlim {}^{1}:operatorname {Ab} ^{I}rightarrow operatorname {Ab}

(pronunciado "lim uno") tal que si (A_i, f_ij), (B_i, g_ij), y (C_i, h_ij) son tres sistemas inversos de grupos abelianos, y

0rightarrow A_{i}rightarrow B_{i}rightarrow C_{i}rightarrow 0

es una sucesión exacta corta de sistemas inversos, entonces

0rightarrow varprojlim A_{i}rightarrow varprojlim B_{i}rightarrow varprojlim C_{i}rightarrow varprojlim {}^{1}A_{i}

es una secuencia exacta en Ab.

Condición de Mittag-Leffler

Si los rangos de los morfismos de un sistema inverso de grupos abelianos (A_i, f_ij) Estacionarios, eso es, por cada k existe j ≥ k tal que para todos i ≥ j: $f_{kj}(A_{j})=f_{ki}(A_{i})$ uno dice que el sistema satisface al Mittag-Leffler condition.

El nombre "Mittag-Leffler" porque esta condición fue dada por Bourbaki en su capítulo sobre estructuras uniformes para obtener un resultado similar sobre los límites inversos de los espacios uniformes completos de Hausdorff. Mittag-Leffler usó un argumento similar en la demostración del teorema de Mittag-Leffler.

Las siguientes situaciones son ejemplos en los que se cumple la condición de Mittag-Leffler:

un sistema en el que los morfismos f_ij son subjetivos
un sistema de espacios vectoriales finitos o grupos abelianos finitos o módulos de longitud finita o módulos artinianos.

Un ejemplo donde ${displaystyle varprojlim {}^{1}}$ es no cero se obtiene tomando I ser los enteros no negativos, dejando A_i = pⁱZ, B_i = Z, y C_i = B_i / A_i = Z/pⁱZ. Entonces...

varprojlim {}^{1}A_{i}=mathbf {Z} _{p}/mathbf {Z}

donde Z_p denota los enteros p-ádicos.

Más resultados

Más generalmente, si C es una categoría abeliana arbitraria que tiene suficientes inyectivas, entonces también las tiene C^I, y así se pueden definir los funtores derivados por la derecha del funtor límite inverso. El nésimo funtor derivado por la derecha se denota

R^{n}varprojlim:C^{I}rightarrow C.

En el caso de que C satisfaga el axioma de Grothendieck (AB4*), Jan-Erik Roos generalizó el functor lim¹ en Ab^I a una serie de funtores limⁿ tal que

varprojlim {}^{n}cong R^{n}varprojlim.

Durante casi 40 años se pensó que Roos había demostrado (en Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications.) que lim¹ A_i = 0 para (A_i, f_ij) un sistema inverso con morfismos de transición sobreyectivos y I el conjunto de enteros no negativos (tales sistemas inversos a menudo se denominan &# 34;Secuencias de Mittag-Leffler"). Sin embargo, en 2002, Amnon Neeman y Pierre Deligne construyeron un ejemplo de tal sistema en una categoría que satisface (AB4) (además de (AB4*)) con lim¹ A_i ≠ 0. Desde entonces, Roos ha demostrado (en "Funtores derivados de límites inversos revisados") que su resultado es correcto si C tiene un conjunto de generadores (además de satisfacer (AB3) y (AB4*)).

Barry Mitchell ha mostrado (en "La dimensión cohomológica de un conjunto dirigido") que si I tiene cardenalidad $aleph _{d}$ (dentonces cardenal infinito Rⁿlim es cero para todos n ≥ d + 2. Esto se aplica a I- diagramas indexados en la categoría de R-módulos, con R un anillo comutativo; no es necesariamente cierto en una categoría abeliana arbitraria (ver Roos 'divertidos funerarios de límites inversos revisitados' para ejemplos de categorías abelianas en las que limⁿ, en diagramas indexados por un conjunto contable, no es cero paran± 1).

Conceptos relacionados y generalizaciones

El dual categórico de un límite inverso es un límite directo (o límite inductivo). Los conceptos más generales son los límites y colímites de la teoría de categorías. La terminología es algo confusa: los límites inversos son una clase de límites, mientras que los límites directos son una clase de colímites.