Teorema de la convergencia monótona

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Teoremas sobre la convergencia de secuencias monotónicas ligadas

En el campo matemático del análisis real, el teorema de convergencia monótona es cualquiera de una serie de teoremas relacionados que prueban la convergencia de secuencias monótonas (secuencias que no son decrecientes ni crecientes) que son también acotado. Informalmente, los teoremas establecen que si una sucesión es creciente y está acotada por un supremo, entonces la sucesión convergerá al supremo; del mismo modo, si una sucesión es decreciente y está acotada por debajo por un ínfimo, convergerá al ínfimo.

Convergencia de una secuencia monótona de números reales

Lema 1

Si una secuencia de números reales es creciente y está acotada arriba, entonces su supremo es el límite.

Prueba

Vamos ${displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }}$ ser tal secuencia, y dejar ${ a_n }$ ser el conjunto de términos de ${displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} }}$ . Por supuesto, ${ a_n }$ no está vacío y está atado arriba. Por la propiedad menos alta de números reales, ${textstyle c=sup _{n}{a_{n}}}$ existe y es finito. Ahora, por todos $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ , existe $N$ tales que $c-varepsilon }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">aN■c− − ε ε {displaystyle a_{N} confíac-varepsilon } c - varepsilon " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1b6f8ab2625e10600e3c380492a09fba0f1df5" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.95ex; height:2.343ex;"/>$ , ya que de otro modo $c - varepsilon$ es un límite superior de ${ a_n }$ , que contradice la definición de $c$ . Entonces... $(a_{n})_{{nin {mathbb {N}}}}$ está aumentando, y $c$ es su límite superior, por cada $N}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■N{displaystyle n confiadoN}N" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6592abd10dbd8e25e84efd66c5f4db57d41fe752" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.557ex; height:2.176ex;"/>$ , tenemos $<math alttext="{displaystyle |c-a_{n}|leq |c-a_{N}|Silencioc− − anSilencio≤ ≤ Silencioc− − aNSilencio.ε ε {displaystyle Silencio. Silencio.<img alt="{displaystyle |c-a_{n}|leq |c-a_{N}|$ . Por consiguiente, por definición, el límite $(a_{n})_{{nin {mathbb {N}}}}$ es ${textstyle sup _{n}{a_{n}}.}$

Lema 2

Si una secuencia de números reales es decreciente y está acotada por debajo, entonces su ínfimo es el límite.

Prueba

La prueba es similar a la prueba para el caso cuando la sucesión es creciente y está acotada arriba,

Teorema

Si $(a_{n})_{{nin {mathbb {N}}}}$ es una secuencia monotona de números reales (es decir, si a_n≤a_{n+ 1} para todos n ≥ 1 o a_n≥a_{n+ 1} para todos n ≥ 1), entonces esta secuencia tiene un límite finito si y sólo si la secuencia está ligada.

Prueba

"Si"-dirección: La prueba sigue directamente de los lemas.
"Sólo si"-dirección: Por (ε, δ)-definición de límite, cada secuencia $(a_{n})_{{nin {mathbb {N}}}}$ con un límite finito $L$ está necesariamente ligado.

Convergencia de una serie monótona

Teorema

Si para todos los números naturales j y k, a_j,k es un número real no negativo y a_j,k ≤ a_j+1,k, entonces

lim_{jtoinfty} sum_k a_{j,k} = sum_k lim_{jtoinfty} a_{j,k}.

El teorema establece que si tienes una matriz infinita de números reales no negativos tal que

las columnas están aumentando y atado débilmente, y
para cada fila, la serie cuyos términos son dados por esta fila tiene una suma convergente,

entonces el límite de las sumas de las filas es igual a la suma de la serie cuyo término k viene dado por el límite de la columna k (que también es su supremo). La serie tiene una suma convergente si y solo si la secuencia (débilmente creciente) de sumas de filas está acotada y, por lo tanto, es convergente.

Como ejemplo, considere la serie infinita de filas

{displaystyle left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}=sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}{frac {1}{n^{k}}}=sum _{k=0}^{n}{frac {1}{k!}}times {frac {n}{n}}times {frac {n-1}{n}}times cdots times {frac {n-k+1}{n}},}

donde n tiende a infinito (el límite de esta serie es e). Aquí la entrada de la matriz en la fila n y la columna k es

{displaystyle {binom {n}{k}}{frac {1}{n^{k}}}={frac {1}{k!}}times {frac {n}{n}}times {frac {n-1}{n}}times cdots times {frac {n-k+1}{n}};}

las columnas (fijo k) están aumentando débilmente con n y obligados (por 1/k!), mientras que las filas sólo tienen finitamente muchos términos no cero, por lo que la condición 2 está satisfecho; el teorema ahora dice que usted puede calcular el límite de las sumas de la fila $(1+1/n)^n$ tomando la suma de los límites de la columna, $frac1{k!}$ .

Lema de Beppo Levi

El siguiente resultado se debe a Beppo Levi, que demostró una ligera generalización en 1906 de un resultado anterior de Henri Lebesgue. En lo que sigue, ${displaystyle operatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}}}$ denota los $sigma$ - álgebra de Borel se pone en ${displaystyle [0,+infty ]}$ . Por definición, ${displaystyle operatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}}}$ contiene el conjunto ${displaystyle {+infty }}$ y todos los subconjuntos de Borel ${displaystyle mathbb {R} _{geq 0}.}$

Teorema

Vamos $(OmegaSigmamu)$ ser un espacio de medida, y ${displaystyle Xin Sigma }$ . Considere una secuencia no-disminución de sentido ${displaystyle {f_{k}}_{k=1}^{infty }}$ de ${displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ - Funciones no negativas mensurables ${displaystyle f_{k}:Xto [0,+infty ]}$ Por cada uno ${displaystyle {kgeq 1}}$ y todos ${displaystyle {xin X}}$ ,

{displaystyle 0leq f_{k}(x)leq f_{k+1}(x)leq infty.}

Establecer el límite de sentido de la secuencia ${f_{{n}}}$ para ser $f$ . Eso es, para todos $xin X$ ,

{displaystyle f(x):=lim _{kto infty }f_{k}(x).}

Entonces... $f$ es ${displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ - mensurable y

{displaystyle lim _{kto infty }int _{X}f_{k},dmu =int _{X}f,dmu.}

Observación 1. Las integrales pueden ser finitas o infinitas.

Observación 2. El teorema sigue siendo cierto si sus suposiciones sostienen $mu$ - Casi en todas partes. En otras palabras, es suficiente que haya un conjunto nulo $N$ tal que la secuencia ${f_{n}(x)}$ no disminuye para cada ${displaystyle {xin Xsetminus N}.}$ Para ver por qué esto es cierto, empezamos con una observación que permite la secuencia ${ f_n }$ to pointwise non-decrease almost everywhere causes its pointwise limit $f$ para ser indefinido en algún conjunto null $N$ . En ese conjunto nulo, $f$ puede ser definido arbitrariamente, por ejemplo como cero, o de cualquier otra manera que preserve la mensurabilidad. Para ver por qué esto no afectará el resultado del teorema, note que desde ${displaystyle {mu (N)=0},}$ tenemos, por cada uno $k,$

{displaystyle int _{X}f_{k},dmu =int _{Xsetminus N}f_{k},dmu }

{displaystyle int _{X}f,dmu =int _{Xsetminus N}f,dmu}

siempre que $f$ es ${displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ - Medible. (Estas igualdades se derivan directamente de la definición de Lebesgue integral para una función no negativa).

Observación 3. Bajo los supuestos del teorema,

${displaystyle textstyle f(x)=liminf _{k}f_{k}(x)=limsup _{k}f_{k}(x)=sup _{k}f_{k}(x)}$
${displaystyle textstyle liminf _{k}int _{X}f_{k},dmu =textstyle limsup _{k}int _{X}f_{k},dmu =lim _{k}int _{X}f_{k},dmu =sup _{k}int _{X}f_{k},dmu }$

(Tenga en cuenta que la segunda cadena de igualdades se deriva de la Observación 5).

Comentario 4. La siguiente prueba no utiliza ninguna propiedad de la integral de Lebesgue excepto las establecidas aquí. El teorema, por lo tanto, se puede utilizar para demostrar otras propiedades básicas, como la linealidad, pertenecientes a la integración de Lebesgue.

Nota 5 (monotonicidad de Lebesgue integral). En la prueba siguiente, aplicamos la propiedad monotónica de Lebesgue integral a funciones no negativas solamente. Específicamente (véase la Observación 4), dejar que las funciones ${displaystyle f,g:Xto [0,+infty ]}$ Ser ${displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ - Medible.

Si ${displaystyle fleq g}$ en todas partes $X,$ entonces

{displaystyle int _{X}f,dmu leq int _{X}g,dmu.}

Si ${displaystyle X_{1},X_{2}in Sigma }$ y ${displaystyle X_{1}subseteq X_{2},}$ entonces

{displaystyle int _{X_{1}}f,dmu leq int _{X_{2}}f,dmu.}

Prueba. Denote ${displaystyle operatorname {SF} (h)}$ el conjunto de simple ${displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ - Funciones mensurables ${displaystyle s:Xto [0,infty)}$ tales que ${displaystyle 0leq sleq h}$ en todas partes $X.$

1. Desde ${displaystyle fleq g,}$ tenemos

{displaystyle operatorname {SF} (f)subseteq operatorname {SF} (g).}

Por definición de integral de Lebesgue y las propiedades de supremum,

{displaystyle int _{X}f,dmu =sup _{sin {rm {SF}}(f)}int _{X}s,dmu leq sup _{sin {rm {SF}}(g)}int _{X}s,dmu =int _{X}g,dmu.}

2. Vamos ${displaystyle {mathbf {1} }_{X_{1}}}$ ser la función indicadora del conjunto ${displaystyle X_{1}.}$ Puede deducirse de la definición de Lebesgue integral que

{displaystyle int _{X_{2}}fcdot {mathbf {1} }_{X_{1}},dmu =int _{X_{1}}f,dmu }

si lo notamos, por cada ${displaystyle sin {rm {SF}}(fcdot {mathbf {1} }_{X_{1}}),}$ $s=0$ fuera de ${displaystyle X_{1}.}$ Combinado con la propiedad anterior, la desigualdad ${displaystyle fcdot {mathbf {1} }_{X_{1}}leq f}$ implicación

{displaystyle int _{X_{1}}f,dmu =int _{X_{2}}fcdot {mathbf {1} }_{X_{1}},dmu leq int _{X_{2}}f,dmu.}

Prueba

Esta demostración no se basa en el lema de Fatou; sin embargo, explicamos cómo se podría usar ese lema. Aquellos que no estén interesados en esta independencia de la prueba pueden omitir los resultados intermedios a continuación.

Resultados intermedios

Integral de Lebesgue como medida

Lemma 1. Vamos $(OmegaSigmamu)$ ser un espacio mensurable. Considerar un simple ${displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ - función no negativa mensurable ${displaystyle s:Omega to {mathbb {R} _{geq 0}}}$ . Para un subconjunto ${displaystyle Ssubseteq Omega }$ , definir

{displaystyle nu (S)=int _{S}s,dmu.}

Entonces... $nu$ es una medida $Omega$ .

Prueba

Monotonicity sigue de la Observación 5. Aquí, sólo probaremos la aditividad contable, dejando el resto al lector. Vamos ${displaystyle S=bigcup _{i=1}^{infty }S_{i}}$ , donde todos los conjuntos $S_{i}$ son dos veces descompuestos. Debido a la simplicidad,

{displaystyle s=sum _{i=1}^{n}c_{i}cdot {mathbf {1} }_{A_{i}},}

para algunas constantes finitas no negativas ${displaystyle c_{i}in {mathbb {R} }_{geq 0}}$ y pares conjuntos descomunales ${displaystyle A_{i}in Sigma }$ tales que ${displaystyle bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=Omega }$ . Por definición de Lebesgue integral,

{displaystyle {begin{aligned}nu (S)&=sum _{i=1}^{n}c_{i}cdot mu (Scap A_{i})\&=sum _{i=1}^{n}c_{i}cdot mu left(left(bigcup _{j=1}^{infty }S_{j}right)cap A_{i}right)\&=sum _{i=1}^{n}c_{i}cdot mu left(bigcup _{j=1}^{infty }(S_{j}cap A_{i})right)end{aligned}}}

Desde todos los juegos ${displaystyle S_{j}cap A_{i}}$ son dos veces destilados, la aditividad contable $mu$ nos da

{displaystyle sum _{i=1}^{n}c_{i}cdot mu left(bigcup _{j=1}^{infty }(S_{j}cap A_{i})right)=sum _{i=1}^{n}c_{i}cdot sum _{j=1}^{infty }mu (S_{j}cap A_{i}).}

Dado que todos los sumandos son no negativos, la suma de la serie, ya sea que esta suma sea finita o infinita, no puede cambiar si el orden de la suma cambia. Por esta razón,

{displaystyle {begin{aligned}sum _{i=1}^{n}c_{i}cdot sum _{j=1}^{infty }mu (S_{j}cap A_{i})&=sum _{j=1}^{infty }sum _{i=1}^{n}c_{i}cdot mu (S_{j}cap A_{i})\&=sum _{j=1}^{infty }int _{S_{j}}s,dmu \&=sum _{j=1}^{infty }nu (S_{j}),end{aligned}}}

según sea necesario.

"Continuidad desde abajo"

La siguiente propiedad es una consecuencia directa de la definición de medida.

Lemma 2. Vamos $mu$ ser una medida, y ${displaystyle S=bigcup _{i=1}^{infty }S_{i}}$ , donde

{displaystyle S_{1}subseteq cdots subseteq S_{i}subseteq S_{i+1}subseteq cdots subseteq S}

es una cadena que no disminuye con todos sus conjuntos $mu$ - Medible. Entonces...

{displaystyle mu (S)=lim _{i}mu (S_{i}).}

Prueba del teorema

Paso 1. Comenzamos mostrando que $f$ es ${displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ -Medible.

Nota. Si usáramos el lema de Fatou, la mensurabilidad se seguiría fácilmente de la Observación 3(a).

Para hacer esto sin usando la lema de Fatou, es suficiente mostrar que la imagen inversa de un intervalo $[0,t]$ menores $f$ es un elemento del sigma-álgebra $Sigma$ on $X$ , porque (cerrado) intervalos generan el álgebra de sigma Borel en los reales. Desde $[0,t]$ es un intervalo cerrado, y, para cada $k$ , ${displaystyle 0leq f_{k}(x)leq f(x)}$ ,

{displaystyle 0leq f(x)leq tquad Leftrightarrow quad {Bigl [}forall kquad 0leq f_{k}(x)leq t{Bigr ]}.}

Por lo tanto,

{displaystyle {xin Xmid 0leq f(x)leq t}=bigcap _{k}{xin Xmid 0leq f_{k}(x)leq t}.}

Ser la imagen inversa de un Borel establecido bajo un ${displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ - Función mensurable $f_{k}$ , cada conjunto en la intersección contable es un elemento $Sigma$ . Desde $sigma$ - álgebras son, por definición, cerradas bajo intersecciones contables, esto muestra que $f$ es ${displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ - mensurable, y el integral ${displaystyle textstyle int _{X}f,dmu }$ está bien definido (y posiblemente infinito).

Paso 2. Primero demostraremos que ${displaystyle textstyle int _{X}f,dmu geq lim _{k}int _{X}f_{k},dmu.}$

La definición de $f$ monotónica ${f_{k}}$ implicación ${displaystyle f(x)geq f_{k}(x)}$ , por cada $k$ y todos $xin X$ . Por monotónica (o, más precisamente, su versión más estrecha establecida en la Observación 5; véase también la Observación 4) de Lebesgue integral,

{displaystyle int _{X}f,dmu geq int _{X}f_{k},dmu}

{displaystyle int _{X}f,dmu geq lim _{k}int _{X}f_{k},dmu.}

Tenga en cuenta que el límite por la derecha existe (finito o infinito) porque, debido a la monotonicidad (ver Observación 5 y Observación 4), la secuencia no es decreciente.

Fin del Paso 2.

Ahora demostramos la desigualdad inversa. Buscamos demostrar que

{displaystyle int _{X}f,dmu leq lim _{k}int _{X}f_{k},dmu }

Prueba usando el lema de Fatou. Según la Observación 3, la desigualdad que queremos probar es equivalente a

{displaystyle int _{X}liminf _{k}f_{k}(x),dmu leq liminf _{k}int _{X}f_{k},dmu.}

Pero esto último se sigue inmediatamente del lema de Fatou y la prueba está completa.

Prueba independiente. Para demostrar la desigualdad sin Usando el lema de Fatou, necesitamos una maquinaria extra. Denote ${displaystyle operatorname {SF} (f)}$ el conjunto de simple ${displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ - Funciones mensurables ${displaystyle s:Xto [0,infty)}$ tales que ${displaystyle 0leq sleq f}$ on $X$ .

Paso 3. Dada una simple función ${displaystyle sin operatorname {SF} (f)}$ y un número real ${displaystyle tin (0,1)}$ , definir

{displaystyle B_{k}^{s,t}={xin Xmid tcdot s(x)leq f_{k}(x)}subseteq X.}

Entonces... ${displaystyle B_{k}^{s,t}in Sigma }$ , ${displaystyle B_{k}^{s,t}subseteq B_{k+1}^{s,t}}$ , y ${displaystyle textstyle X=bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$ .

Paso 3a. Para probar la primera reclamación, dejemos ${displaystyle textstyle s=sum _{i=1}^{m}c_{i}cdot {mathbf {1} }_{A_{i}}}$ , para una colección finita de conjuntos desmontables pares ${displaystyle A_{i}in Sigma }$ tales que ${displaystyle textstyle X=cup _{i=1}^{m}A_{i}}$ , algunas (finitas) constantes no negativas ${displaystyle c_{i}in {mathbb {R} }_{geq 0}}$ , y ${displaystyle {mathbf {1} }_{A_{i}}}$ denotando la función indicadora del conjunto $A_{i}$ .

Por todos ${displaystyle xin A_{i},}$ ${displaystyle tcdot s(x)leq f_{k}(x)}$ si y sólo si ${displaystyle f_{k}(x)in [tcdot c_{i},+infty ].}$ Dado que los conjuntos $A_{i}$ son dos veces disyuntiva,

{displaystyle B_{k}^{s,t}=bigcup _{i=1}^{m}{Bigl (}f_{k}^{-1}{Bigl (}[tcdot c_{i},+infty ]{Bigr)}cap A_{i}{Bigr)}.}

Desde la imagen previa ${displaystyle f_{k}^{-1}{Bigl (}[tcdot c_{i},+infty ]{Bigr)}}$ del conjunto Borel ${displaystyle [tcdot c_{i},+infty ]}$ bajo la función mensurable $f_{k}$ es mensurable, y $sigma$ - los álgebras, por definición, se cierran bajo intersección finita y los sindicatos, la primera afirmación sigue.

Paso 3b. Para probar la segunda reclamación, note que, por cada $k$ y todos $xin X$ , ${displaystyle f_{k}(x)leq f_{k+1}(x).}$

Paso 3c. Para probar la tercera afirmación, demostramos que ${displaystyle textstyle Xsubseteq bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$ .

De hecho, si, al contrario, ${displaystyle textstyle Xnot subseteq bigcup _{k}B_{k}^{s,t}}$ , entonces un elemento

{displaystyle textstyle x_{0}in Xsetminus bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=bigcap _{k}(Xsetminus B_{k}^{s,t})}

existe tal $<math alttext="{displaystyle f_{k}(x_{0})fk()x0).t⋅ ⋅ s()x0){displaystyle f_{k}(x_{0})Seleccionadocdot s(x_{0}<img alt="{displaystyle f_{k}(x_{0})$ , por cada $k$ . Tomando el límite $kto infty$ , tenemos

<math alttext="{displaystyle f(x_{0})leq tcdot s(x_{0})f()x0)≤ ≤ t⋅ ⋅ s()x0).s()x0).{displaystyle f(x_{0})leq tcdot s(x_{0}) se interpreta(x_{0}). }<img alt="{displaystyle f(x_{0})leq tcdot s(x_{0})

~~Pero por suposición inicial, ${displaystyle sleq f}$ . Esto es una contradicción.~~

Paso 4. Para cada simple ${displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B}} _{mathbb {R} _{geq 0}})}$ - función no negativa mensurable $s_{2}$ ,

~~${displaystyle lim _{n}int _{B_{n}^{s,t}}s_{2},dmu =int _{X}s_{2},dmu.}$~~

~~Para probar esto, definir ${displaystyle textstyle nu (S)=int _{S}s_{2},dmu }$ . Por Lemma 1, ${displaystyle nu (S)}$ es una medida $Omega$ . Por "continuidad desde abajo" (Lema 2),~~

~~${displaystyle lim _{n}int _{B_{n}^{s,t}}s_{2},dmu =lim _{n}nu (B_{n}^{s,t})=nu (X)=int _{X}s_{2},dmu}$~~

~~según sea necesario.~~

Paso 5. Ahora lo demostramos, por cada uno ${displaystyle sin operatorname {SF} (f)}$ ,

~~${displaystyle int _{X}s,dmu leq lim _{k}int _{X}f_{k},dmu.}$~~

~~De hecho, utilizando la definición de ${displaystyle B_{k}^{s,t}}$ , la no negativa de $f_{k}$ , y la monotónica de Lebesgue integral (ver la observación 5 y la observación 4), tenemos~~

~~${displaystyle int _{B_{k}^{s,t}}tcdot s,dmu leq int _{B_{k}^{s,t}}f_{k},dmu leq int _{X}f_{k},dmu}$~~

~~para todos $kgeq 1$ . De conformidad con la etapa 4, como $kto infty$ , la desigualdad se convierte~~

~~${displaystyle tint _{X}s,dmu leq lim _{k}int _{X}f_{k},dmu.}$~~

~~Tomando el límite ${displaystyle tuparrow 1}$ rendimientos~~

~~${displaystyle int _{X}s,dmu leq lim _{k}int _{X}f_{k},dmu}$~~

~~según sea necesario.~~

Paso 6. Ahora podemos demostrar la desigualdad inversa, es decir,

~~${displaystyle int _{X}f,dmu leq lim _{k}int _{X}f_{k},dmu.}$~~

De hecho, por no negativo, ${displaystyle f_{+}=f}$ y ${displaystyle f_{-}=0.}$ Para el cálculo a continuación, la no negativa $f$ es esencial. Aplicando la definición de Lebesgue integral y la desigualdad establecida en el Paso 5, tenemos

~~${displaystyle int _{X}f,dmu =sup _{sin operatorname {SF} (f)}int _{X}s,dmu leq lim _{k}int _{X}f_{k},dmu.}$~~

~~La prueba está completa.~~

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