Teorema de König (cinética)

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En cinética, el teorema de König o la descomposición de König es una relación matemática derivada por Johann Samuel König que ayuda con los cálculos del momento angular. y energía cinética de cuerpos y sistemas de partículas.

Para un sistema de partículas

El teorema se divide en dos partes.

Primera parte del teorema de König

La primera parte expresa el momento angular de un sistema como la suma del momento angular del centro de masa y el momento angular aplicado a las partículas con respecto al centro de masa.

${displaystyle displaystyle {vec {L}}={vec {r}}_{CoM}times sum limits _{i}m_{i}{vec {v}}_{CoM}+{vec {L}}'={vec {L}}_{CoM}+{vec {L}}'}$

Prueba

Considerando un sistema de referencia inercial con origen O, el momento angular del sistema se puede definir como:

${displaystyle {vec {L}}=sum limits _{i}({vec {r}}_{i}times m_{i}{vec {v}}_{i})}$

La posición de una sola partícula se puede expresar como:

${displaystyle {vec {r}}_{i}={vec {r}}_{CoM}+{vec {r}}'_{i}}$

Y entonces podemos definir la velocidad de una sola partícula:

${displaystyle {vec {v}}_{i}={vec {v}}_{CoM}+{vec {v}}'_{i}}$

La primera ecuación se convierte en:

{displaystyle {vec {L}}=sum limits _{i}({vec {r}}_{CoM}+{vec {r}}'_{i})times m_{i}({vec {v}}_{CoM}+{vec {v}}'_{i})}

{displaystyle {vec {L}}=sum limits _{i}{vec {r}}'_{i}times m_{i}{vec {v}}'_{i}+left(sum limits _{i}m_{i}{vec {r}}'_{i}right)times {vec {v}}_{CoM}+{vec {r}}_{CoM}times sum limits _{i}m_{i}{vec {v}}'_{i}+sum limits _{i}{vec {r}}_{CoM}times m_{i}{vec {v}}_{CoM}}

Pero los siguientes términos son iguales a cero:

${displaystyle sum limits _{i}m_{i}{vec {r}}'_{i}=0}$

${displaystyle sum limits _{i}m_{i}{vec {v}}'_{i}=0}$

Entonces demostramos que:

${displaystyle {vec {L}}=sum limits _{i}{vec {r}}'_{i}times m_{i}{vec {v}}'_{i}+M{vec {r}}_{CoM}times {vec {v}}_{CoM}}$

donde M es la masa total del sistema.

Segunda parte del teorema de König

La segunda parte expresa la energía cinética de un sistema de partículas en términos de las velocidades de las partículas individuales y el centro de masa.

Específicamente, establece que la energía cinética de un sistema de partículas es la suma de la energía cinética asociada al movimiento del centro de masa y la energía cinética asociada al movimiento de las partículas con respecto al centro de masa.

${displaystyle K=K'+K_{text{CoM}}}$

Prueba

La energía cinética total del sistema es:

${displaystyle K=sum _{i}{frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}}$

Como hicimos en la primera parte, sustituimos la velocidad:

{displaystyle K=sum _{i}{frac {1}{2}}m_{i}|{bar {v}}'_{i}+{bar {v}}_{text{CoM}}|^{2}}

{displaystyle K=sum _{i}{frac {1}{2}}m_{i}({bar {v}}'_{i}+{bar {v}}_{text{CoM}})cdot ({bar {v}}'_{i}+{bar {v}}_{text{CoM}})=sum _{i}{frac {1}{2}}m_{i}{v'_{i}}^{2}+{bar {v}}_{text{CoM}}cdot sum _{i}m_{i}{bar {v}}'_{i}+sum _{i}{frac {1}{2}}m_{i}v_{text{CoM}}^{2}}

Sabemos que ${displaystyle {bar {v}}_{CoM}cdot sum _{i}m_{i}{bar {v}}'_{i}=0,}$ así que si definimos:

${displaystyle K'=sum _{i}{frac {1}{2}}m_{i}{v'_{i}}^{2}}$

${displaystyle K_{text{CoM}}=sum _{i}{frac {1}{2}}m_{i}v_{text{CoM}}^{2}={frac {1}{2}}Mv_{text{CoM}}^{2}}$

nos queda:

${displaystyle K=K'+K_{text{CoM}}}$

Para un cuerpo rígido

El teorema también se puede aplicar a cuerpos rígidos, afirmando que la energía cinética K de un cuerpo rígido, vista por un observador fijo en algún sistema de referencia inercial N, se puede escribir como:

${displaystyle ^{N}K={frac {1}{2}}mcdot {^{N}mathbf {bar {v}} }cdot {^{N}mathbf {bar {v}} }+{frac {1}{2}}{^{N}!mathbf {bar {H}} }cdot ^{N}{!!mathbf {omega } }^{R}}$

Donde ${displaystyle {m}}$ es la masa del cuerpo rígido; ${displaystyle {^{N}mathbf {bar {v}} }}$ es la velocidad del centro de masa del cuerpo rígido, vista por un observador fijo en un marco inercial N; ${displaystyle {^{N}!mathbf {bar {H}} }}$ es el impulso angular del cuerpo rígido sobre el centro de masa, también tomado en el marco inercial N; y ${displaystyle ^{N}{!!mathbf {omega } }^{R}}$ es la velocidad angular del cuerpo rígido R relativa al marco inercial N.

Obras citadas

^ Essén, Hanno (1993). "Average Angular Velocity". European Journal of Physics. 14 (5): 201–205. arXiv:física/0401146. Bibcode:1993EJPh...14..201E. doi:10.1088/0143-0807/14/5/002. S2CID 250879804.
^ Essén, Hanno (1993). "Average Angular Velocity". European Journal of Physics. 14 (5): 201–205. arXiv:física/0401146. Bibcode:1993EJPh...14..201E. doi:10.1088/0143-0807/14/5/002. S2CID 250879804.
^ Rao, Anil V. Dinámica de partículas y cuerpos rígidos: un enfoque sistemático. Cambridge University Press. p. 421.

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