Trabajo (física)

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En física, el trabajo se refiere a la energía transferida a un objeto, o desde este, mediante la aplicación de fuerza a lo largo de un desplazamiento. Esta transferencia de energía ocurre cuando una fuerza actúa sobre un objeto y provoca que se mueva.

En términos más simples, el trabajo a menudo se representa como el producto de la fuerza y el desplazamiento. Esto significa que cuando una fuerza actúa en la dirección del movimiento de un objeto, se realiza trabajo sobre el objeto.

En resumen, el trabajo, en física, es una medida de la energía transferida por una fuerza durante el desplazamiento de un objeto, y puede ser positivo o negativo, dependiendo de la dirección de la fuerza en relación con el desplazamiento del objeto.

Por ejemplo, cuando se sostiene una pelota sobre el suelo y luego se le deja caer, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre la pelota mientras cae es igual al peso de la pelota (una fuerza) multiplicado por la distancia al suelo (un desplazamiento).

Cuando la fuerza, denotada como F, es constante y el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento, representado como s, es θ, el trabajo realizado puede representarse de la siguiente manera: ${displaystyle W=Fscos {theta}}$

Trabajo positivo y negativo

Se dice que una fuerza realiza trabajo positivo si, al aplicarse, tiene una componente en la dirección del desplazamiento del punto de aplicación. Este tipo de trabajo resulta en un aumento de la energía del objeto, como cuando se levanta un objeto contra la gravedad.

En contraste, una fuerza realiza trabajo negativo si tiene una componente opuesta a la dirección del desplazamiento en el punto de aplicación de la fuerza. Este tipo de trabajo resulta en una disminución de la energía del objeto, como cuando un objeto se frena.

El trabajo es una cantidad escalar, por lo que solo tiene magnitud y no dirección. El trabajo transfiere energía de un lugar a otro, o de una forma a otra. La unidad SI de trabajo es el joule (J), la misma unidad que para la energía. Esta uniformidad en unidades enfatiza la relación inherente entre trabajo y energía, reforzando el concepto de que el trabajo es esencialmente la transferencia o transformación de energía.

El trabajo entonces, actúa como un mediador para transferir energía de un lugar a otro, o de una forma a otra, representando la intercambiabilidad y conservación de la energía dentro de un sistema.

Unidades de medida

El trabajo (J) es igual a la Fuerza (N) por la distancia (m)

La unidad de trabajo estándar en el Sistema Internacional de Unidades (SI) es el joule (J), denominado en honor al físico inglés del siglo XIX, James Prescott Joule. El joule se define como el trabajo requerido para aplicar una fuerza de un newton a lo largo de un desplazamiento de un metro.

El newton-metro (N⋅m), dimensionalmente equivalente al joule, también se utiliza en ocasiones para medir el trabajo. Sin embargo, puede confundirse con otra unidad de medida: la del momento torsor o par, por lo que su uso no es recomendado por la autoridad del SI. Esto se debe a que puede surgir confusión acerca de si la cantidad expresada en newton-metros expresa una medida de momento torsor o una medida de trabajo.

Existen además otras unidades de trabajo que no pertenecen al SI, tales como el ergio, el pie-libra, el kilovatio-hora, el litro-atmósfera y el caballo de fuerza-hora. Dado que el trabajo y el calor comparten la misma dimensión física, ocasionalmente se utilizan unidades típicamente reservadas para medir calor o contenido energético, como la termia, la BTU y la caloría, para expresar cantidades de trabajo.

Cabe destacar que es crucial utilizar la unidad de medida correcta y evitar ambigüedades, especialmente en contextos científicos y técnicos, para prevenir malentendidos y errores en los cálculos. En resumen, el joule es la unidad de medida preferida para el trabajo en el contexto de la física, evitando así posibles confusiones con otras unidades de medida similares.

HSD

Trabajo y energía

El trabajo W realizado por una fuerza constante de magnitud F sobre un punto que mueve un desplazamiento s en línea recta en la dirección de la fuerza es el producto ${displaystyle W=Fs.}$

Por ejemplo, si una fuerza de 10 newtons (F = 10 N) actúa a lo largo de un punto que recorre 2 metros (s = 2 m), entonces W = Fs = (10 N) (2 m) = 20 J. Este es aproximadamente el trabajo realizado al levantar un objeto de 1 kg desde el suelo hasta por encima de la cabeza de una persona contra la fuerza de la gravedad.

El trabajo se duplica levantando el doble del peso la misma distancia o levantando el mismo peso el doble de la distancia.

El trabajo está íntimamente relacionado con la energía. El principio de trabajo-energía establece que un aumento en la energía cinética de un cuerpo rígido es causado por una cantidad igual de trabajo positivo realizado sobre el cuerpo por la fuerza resultante que actúa sobre ese cuerpo. Por el contrario, una disminución en la energía cinética es causada por una cantidad igual de trabajo negativo realizado por la fuerza resultante. Por lo tanto, si el trabajo neto es positivo, la energía cinética de la partícula aumenta en la cantidad de trabajo. Si el trabajo neto realizado es negativo, entonces la energía cinética de la partícula disminuye por la cantidad de trabajo.

A partir de la segunda ley de Newton, se puede demostrar que el trabajo en un cuerpo libre (sin campos), rígido (sin grados de libertad internos), es igual al cambio en la energía cinética E _k correspondiente a la velocidad lineal y la velocidad angular de ese cuerpo, ${displaystyle W=Delta E_{k}.}$

El trabajo de fuerzas generado por una función potencial se conoce como energía potencial y se dice que las fuerzas son conservativas. Por lo tanto, el trabajo sobre un objeto que simplemente se desplaza en un campo de fuerza conservativo, sin cambio en la velocidad o la rotación, es igual a menos el cambio de energía potencial E _p del objeto, ${displaystyle W=-Delta E_{p}.}$

Estas fórmulas muestran que el trabajo es la energía asociada con la acción de una fuerza, por lo que el trabajo posteriormente posee las dimensiones físicas y las unidades de energía. Los principios de trabajo/energía discutidos aquí son idénticos a los principios de trabajo/energía eléctrica.

Fuerzas de restricción

Las fuerzas de restricción determinan el desplazamiento del objeto en el sistema, limitándolo dentro de un rango. Por ejemplo, en el caso de una pendiente más gravedad, el objeto está pegado a la pendiente y, cuando está atado a una cuerda tensa, no puede moverse hacia afuera para hacer que la cuerda esté más "tensa". Elimina todos los desplazamientos en esa dirección, es decir, la velocidad en la dirección de la restricción se limita a 0, por lo que las fuerzas de la restricción no realizan trabajo en el sistema.

Para un sistema mecánico, las fuerzas de restricción eliminan el movimiento en las direcciones que caracterizan la restricción. Por lo tanto, el trabajo virtual realizado por las fuerzas de restricción es cero, un resultado que solo es cierto si se excluyen las fuerzas de fricción.

Las fuerzas de restricción fijas y sin fricción no realizan trabajo en el sistema, ya que el ángulo entre el movimiento y las fuerzas de restricción es siempre de 90°. Ejemplos de restricciones sin trabajo son: interconexiones rígidas entre partículas, movimiento deslizante sobre una superficie sin fricción y contacto rodante sin deslizamiento.

Por ejemplo, en un sistema de poleas como la máquina de Atwood, las fuerzas internas en la cuerda y en la polea de soporte no realizan trabajo sobre el sistema. Por tanto, sólo es necesario calcular el trabajo de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre los cuerpos. Otro ejemplo es la fuerza centrípeta ejercida hacia el interior por una cuerda sobre una bola en movimiento circular uniforme hacia los lados que restringe la bola al movimiento circular restringiendo su movimiento alejándose del centro del círculo. Esta fuerza no realiza trabajo porque es perpendicular a la velocidad de la pelota.

La fuerza magnética sobre una partícula cargada es F = q v × B, donde q es la carga, v es la velocidad de la partícula y B es el campo magnético. El resultado de un producto vectorial siempre es perpendicular a ambos vectores originales, por lo que F ⊥ v. El producto escalar de dos vectores perpendiculares siempre es cero, por lo que el trabajo W = F ⋅ v = 0 y la fuerza magnética no realizan trabajo. Puede cambiar la dirección del movimiento pero nunca cambiar la velocidad.

Historia

La antigua comprensión griega de la física se limitaba a la estática de las máquinas simples (el equilibrio de fuerzas) y no incluía la dinámica ni el concepto de trabajo. Durante el Renacimiento se empezó a estudiar la dinámica de las Potencias Mecánicas, como se denominaba a las máquinas simples, desde el punto de vista de hasta dónde podían levantar una carga, además de la fuerza que podían aplicar, conduciendo finalmente al nuevo concepto de mecánica. trabaja. La teoría dinámica completa de las máquinas simples fue elaborada por el científico italiano Galileo Galilei en 1600 en Le Meccaniche (Sobre la mecánica), en el que mostró la similitud matemática subyacente de las máquinas como amplificadores de fuerza.Fue el primero en explicar que las máquinas simples no crean energía, solo la transforman.

Según Jammer, el matemático francés Gaspard-Gustave Coriolis introdujo el término trabajo en 1826 como "peso levantado a través de una altura", que se basa en el uso de las primeras máquinas de vapor para sacar cubos de agua de las minas de mineral inundadas. Según Rene Dugas, ingeniero e historiador francés, es a Salomón de Caux "a quien debemos el término trabajo en el sentido en que se usa ahora en mecánica". Aunque el trabajono se usó formalmente hasta 1826, conceptos similares existían antes de esa fecha. En 1759, John Smeaton describió una cantidad que llamó "poder" "para significar el ejercicio de la fuerza, la gravedad, el impulso o la presión, para producir movimiento". Smeaton continúa que esta cantidad se puede calcular si "el peso levantado se multiplica por la altura a la que se puede levantar en un momento dado", lo que hace que esta definición sea notablemente similar a la de Coriolis.

Cálculo matemático

Para objetos en movimiento, la cantidad de trabajo/tiempo (potencia) se integra a lo largo de la trayectoria del punto de aplicación de la fuerza. Así, en cualquier instante, la tasa del trabajo realizado por una fuerza (medida en joules/segundo o watts) es el producto escalar de la fuerza (un vector) y el vector de velocidad del punto de aplicación. Este producto escalar de fuerza y velocidad se conoce como potencia instantánea. Así como las velocidades pueden integrarse en el tiempo para obtener una distancia total, según el teorema fundamental del cálculo, el trabajo total a lo largo de una trayectoria es similarmente la integral temporal de la potencia instantánea aplicada a lo largo de la trayectoria del punto de aplicación.

El trabajo es el resultado de una fuerza sobre un punto que sigue una curva X, con una velocidad v, en cada instante. La pequeña cantidad de trabajo δW que ocurre en un instante de tiempo dt se calcula como $delta W=mathbf {F} cdot dmathbf {s} =mathbf {F} cdot mathbf {v} dt$

donde F ⋅ v es la potencia sobre el instante dt. La suma de estas pequeñas cantidades de trabajo sobre la trayectoria del punto produce el trabajo, ${displaystyle W=int_{t_{1}}^{t_{2}}mathbf {F} cdot mathbf {v} dt=int_{t_{1}}^{t_{2} }mathbf {F} cdot {tfrac {dmathbf {s} }{dt}}dt=int _{C}mathbf {F} cdot dmathbf {s},}$

donde C es la trayectoria desde x (t ₁) hasta x (t ₂). Esta integral se calcula a lo largo de la trayectoria de la partícula y, por lo tanto, se dice que depende de la trayectoria.

Si la fuerza siempre se dirige a lo largo de esta línea, y la magnitud de la fuerza es F, entonces esta integral se simplifica a ${displaystyle W=int _{C}F,ds}$

donde s es el desplazamiento a lo largo de la línea. Si F es constante, además de estar dirigida a lo largo de la línea, entonces la integral se simplifica aún más a ${displaystyle W=int_{C}F,ds=Fint_{C}ds=Fs}$

donde s es el desplazamiento del punto a lo largo de la línea.

Este cálculo se puede generalizar para una fuerza constante que no está dirigida a lo largo de la línea, seguida por la partícula. En este caso, el producto escalar F ⋅ d s = F cos θ ds, donde θ es el ángulo entre el vector fuerza y la dirección del movimiento, es decir $W=int _{C}mathbf {F} cdot dmathbf {s} =Fscos theta.$

Cuando una componente de fuerza es perpendicular al desplazamiento del objeto (como cuando un cuerpo se mueve en una trayectoria circular bajo una fuerza central), no se realiza trabajo, ya que el coseno de 90° es cero. Por lo tanto, la gravedad no puede realizar ningún trabajo en un planeta con una órbita circular (esto es ideal, ya que todas las órbitas son ligeramente elípticas). Además, no se realiza trabajo sobre un cuerpo que se mueve circularmente a una velocidad constante mientras está restringido por una fuerza mecánica, como moverse a velocidad constante en una centrífuga ideal sin fricción.

Trabajo realizado por una fuerza variable

Calcular el trabajo como "fuerza por segmento de trayectoria recta" solo se aplicaría en las circunstancias más simples, como se indicó anteriormente. Si la fuerza está cambiando, o si el cuerpo se está moviendo a lo largo de una trayectoria curva, posiblemente girando y no necesariamente rígida, entonces solo la trayectoria del punto de aplicación de la fuerza es relevante para el trabajo realizado, y solo la componente de la fuerza paralela a la velocidad del punto de aplicación está realizando trabajo (trabajo positivo cuando está en la misma dirección y negativo cuando está en la dirección opuesta a la velocidad). Esta componente de fuerza puede ser descrita por la cantidad escalar llamada componente tangencial escalar (F cos(θ), donde θes el ángulo entre la fuerza y la velocidad). Y entonces la definición más general de trabajo se puede formular de la siguiente manera:El trabajo de una fuerza es la integral de línea de su componente tangencial escalar a lo largo de la trayectoria de su punto de aplicación.Si la fuerza varía (por ejemplo, comprimiendo un resorte), necesitamos usar el cálculo para encontrar el trabajo realizado. Si la fuerza está dada por F (x) (una función de x), entonces el trabajo realizado por la fuerza a lo largo del eje x de a a b es: ${displaystyle W=int _{a}^{b}mathbf {F(s)} cdot dmathbf {s} }$

Torque y rotación

Un par de fuerzas resulta de fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre dos puntos diferentes de un cuerpo rígido. La suma (resultante) de estas fuerzas puede cancelarse, pero su efecto sobre el cuerpo es el par o torque T. El trabajo del par se calcula como ${displaystyle delta W=mathbf {T} cdot {boldsymbol {omega }},dt,}$

donde T ⋅ ω es la potencia sobre el instante dt. La suma de estas pequeñas cantidades de trabajo sobre la trayectoria del cuerpo rígido produce el trabajo, ${displaystyle W=int _{t_{1}}^{t_{2}}mathbf {T} cdot {boldsymbol {omega }},dt.}$

Esta integral se calcula a lo largo de la trayectoria del cuerpo rígido con una velocidad angular ω que varía con el tiempo y, por lo tanto, se dice que depende de la trayectoria.

Si el vector de velocidad angular mantiene una dirección constante, entonces toma la forma, ${vec {omega }}={dot {phi }}mathbf {S},$

donde φ es el ángulo de rotación sobre el vector unitario constante S. En este caso, el trabajo del par se convierte en, ${displaystyle W=int_{t_{1}}^{t_{2}}mathbf {T} cdot {boldsymbol {omega }},dt=int_{t_{1}}^ {t_{2}}mathbf {T} cdot mathbf {S} {frac {dphi }{dt}}dt=int _{C}mathbf {T} cdot mathbf {S} ,dphi,}$

donde C es la trayectoria de φ (t ₁) a φ (t ₂). Esta integral depende de la trayectoria de rotación φ (t) y, por lo tanto, depende de la trayectoria.

Si el par T está alineado con el vector de velocidad angular de modo que, ${displaystyle mathbf {T} =tau mathbf {S},}$

y tanto el momento de torsión como la velocidad angular son constantes, entonces el trabajo toma la forma, ${displaystyle W=int_{t_{1}}^{t_{2}}tau {dot {phi }}dt=tau (phi_{2}-phi_{1}).}$

Este resultado puede entenderse de manera más sencilla si se considera que el momento de torsión surge de una fuerza de magnitud constante F, que se aplica perpendicularmente a un brazo de palanca a una distancia r, como se muestra en la figura. Esta fuerza actuará a lo largo de la distancia a lo largo del arco circular s = rφ, por lo que el trabajo realizado es ${displaystyle W=Fs=Frphi.}$

Introducir el par τ = Fr, para obtener ${displaystyle W=Frphi =tauphi,}$

como se presenta arriba.

Observe que solo la componente del momento de torsión en la dirección del vector de velocidad angular contribuye al trabajo.

Trabajo y energía potencial

El producto escalar de una fuerza F y la velocidad v de su punto de aplicación define la potencia de entrada a un sistema en un instante de tiempo. La integración de esta potencia sobre la trayectoria del punto de aplicación, C = x (t), define la entrada de trabajo al sistema por parte de la fuerza.

Dependencia de la trayectoria

Por tanto, el trabajo realizado por una fuerza F sobre un objeto que se desplaza a lo largo de una curva C está dado por la integral de línea: ${displaystyle W=int_{C}mathbf {F} cdot dmathbf {x} =int_{t_{1}}^{t_{2}}mathbf {F} cdot mathbf {v} dt,}$

donde dx (t) define la trayectoria C y v es la velocidad a lo largo de esta trayectoria. En general, esta integral requiere que se defina la trayectoria a lo largo de la cual se define la velocidad, por lo que se dice que la evaluación del trabajo depende de la trayectoria.

La derivada temporal de la integral para el trabajo produce la potencia instantánea, ${frac {dW}{dt}}=P(t)=mathbf {F} cdot mathbf {v}.$

Independencia de ruta

Si el trabajo de una fuerza aplicada es independiente de la trayectoria, entonces el trabajo realizado por la fuerza, por el teorema del gradiente, define una función potencial que se evalúa al principio y al final de la trayectoria del punto de aplicación. Esto significa que existe una función potencial U (x), que se puede evaluar en los dos puntos x (t ₁) yx (t ₂) para obtener el trabajo sobre cualquier trayectoria entre estos dos puntos. Es tradición definir esta función con signo negativo de modo que el trabajo positivo es una reducción del potencial, es decir ${displaystyle W=int _{C}mathbf {F} cdot mathrm {d} mathbf {x} =int_{mathbf {x} (t_{1})}^{mathbf { x} (t_{2})}mathbf {F} cdot mathrm {d} mathbf {x} =U(mathbf {x} (t_{1}))-U(mathbf {x} (t_{2})).}$

La función U (x) se llama energía potencial asociada con la fuerza aplicada. Se dice que la fuerza derivada de tal función potencial es conservativa. Ejemplos de fuerzas que tienen energías potenciales son la gravedad y las fuerzas de resorte.

En este caso, el gradiente de rendimientos de trabajo ${displaystyle nabla W=-nabla U=-left({frac {parcial U}{parcial x}},{frac {parcial U}{parcial y}},{frac { U parcial}{z parcial}}right)=mathbf {F},}$

y se dice que la fuerza F es "derivable de un potencial".

Debido a que el potencial U define una fuerza F en cada punto x en el espacio, el conjunto de fuerzas se llama campo de fuerza. La potencia aplicada a un cuerpo por un campo de fuerza se obtiene del gradiente del trabajo, o potencial, en la dirección de la velocidad V del cuerpo, es decir ${displaystyle P(t)=-nabla Ucdot mathbf {v} =mathbf {F} cdot mathbf {v}.}$

Trabajo por gravedad

En ausencia de otras fuerzas, la gravedad da como resultado una aceleración constante hacia abajo de cada objeto que se mueve libremente. Cerca de la superficie de la Tierra, la aceleración de la gravedad es g = 9,8 m⋅s y la fuerza gravitacional sobre un objeto de masa m es F _g = mg. Es conveniente imaginar esta fuerza gravitacional concentrada en el centro de masa del objeto.

Si un objeto con peso mg se desplaza hacia arriba o hacia abajo una distancia vertical y ₂ − y ₁, el trabajo W realizado sobre el objeto es: $W = F_g (y_2 - y_1) = F_gDelta y = mgDelta y$

donde F _g es el peso (libras en unidades imperiales y newtons en unidades SI), y Δ y es el cambio en la altura y. Observe que el trabajo realizado por la gravedad depende únicamente del movimiento vertical del objeto. La presencia de fricción no afecta el trabajo realizado sobre el objeto por su peso.

Trabajo por gravedad en el espacio

La fuerza de gravedad que ejerce una masa M sobre otra masa m viene dada por $mathbf {F} =-{frac {GMm}{r^{3}}}mathbf {r},$

donde r es el vector de posición de M a m.

Deje que la masa m se mueva a la velocidad v; entonces el trabajo de la gravedad sobre esta masa a medida que se mueve desde la posición r (t ₁) a r (t ₂) viene dado por $W=-int_{mathbf {r} (t_{1})}^{mathbf {r} (t_{2})}{frac {GMm}{r^{3}}}mathbf { r} cdot dmathbf {r} =-int _{t_{1}}^{t_{2}}{frac {GMm}{r^{3}}}mathbf {r} cdot matemáticasbf {v} dt.$

Observe que la posición y la velocidad de la masa m están dadas por ${displaystyle mathbf {r} =rmathbf {e} _{r},qquad mathbf {v} ={frac {dmathbf {r} }{dt}}={dot {r} }mathbf {e}_{r}+r{dot {theta}}mathbf {e}_{t},}$

donde e _r y e _t son los vectores unitarios radial y tangencial dirigidos en relación al vector de M a m, y usamos el hecho de que ${displaystyle dmathbf {e}_{r}/dt={dot {theta}}mathbf {e}_{t}.}$ Use esto para simplificar la fórmula para el trabajo de la gravedad a, $W=-int _{t_{1}}^{t_{2}}{frac {GmM}{r^{3}}}(rmathbf {e}_{r})cdot ({ punto {r}}mathbf {e}_{r}+r{punto {theta}}mathbf {e}_{t})dt=-int_{t_{1}}^{t_{ 2}}{frac {GmM}{r^{3}}}r{dot {r}}dt={frac {GMm}{r(t_{2})}}-{frac {GMm} {r(t_{1})}}.$

Este cálculo utiliza el hecho de que ${frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{dot {r}}=-{frac {dot {r}}{r^{2}} }.$

La función $U=-{frac {GMm}{r}},$

es la función potencial gravitatoria, también conocida como energía potencial gravitacional. El signo negativo sigue la convención de que se gana trabajo a partir de una pérdida de energía potencial.

Trabajo por un resorte

Considere un resorte que ejerce una fuerza horizontal F = (− kx, 0, 0) que es proporcional a su desviación en la dirección x independientemente de cómo se mueva un cuerpo. El trabajo de este resorte sobre un cuerpo que se mueve a lo largo del espacio con la curva X (t) = (x (t), y (t), z (t)), se calcula usando su velocidad, v = (v _x, v _y, v _z), para obtener ${displaystyle W=int _{0}^{t}mathbf {F} cdot mathbf {v} dt=-int_{0}^{t}kxv_{x}dt=-{frac {1}{2}}kx^{2}.}$

Por conveniencia, considere que el contacto con el resorte ocurre en t = 0, entonces la integral del producto de la distancia x y la velocidad x, xv _xdt, en el tiempo t es (1/2) x. El trabajo es el producto de la distancia por la fuerza del resorte, que también depende de la distancia; por lo tanto el resultado x.

Trabajo por un gas

${displaystyle W=int _{a}^{b}{P}dV}$

Donde P es presión, V es volumen y a y b son volúmenes inicial y final.

Principio trabajo-energía

El principio del trabajo y la energía cinética (también conocido como principio del trabajo y la energía ) establece que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre una partícula (el trabajo de la fuerza resultante) es igual al cambio en la energía cinética de la partícula. Es decir, el trabajo W realizado por la fuerza resultante sobre una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula. $E_{k}$ , ${displaystyle W=Delta E_{k}={frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{frac {1}{2}}mv_{1}^{2}}$

donde $v_{1}$ y $v_{2}$ son las velocidades de la partícula antes y después de realizar el trabajo, y m es su masa.

La derivación del principio trabajo-energía comienza con la segunda ley de movimiento de Newton y la fuerza resultante sobre una partícula. El cálculo del producto escalar de las fuerzas con la velocidad de la partícula evalúa la potencia instantánea añadida al sistema.

Las restricciones definen la dirección de movimiento de la partícula asegurando que no haya componente de velocidad en la dirección de la fuerza de restricción. Esto también significa que las fuerzas de restricción no se suman a la potencia instantánea. La integral de tiempo de esta ecuación escalar genera trabajo a partir de la potencia instantánea y energía cinética a partir del producto escalar de la velocidad y la aceleración. El hecho de que el principio trabajo-energía elimine las fuerzas de restricción subyace a la mecánica lagrangiana.

Esta sección se enfoca en el principio trabajo-energía en su aplicación a la dinámica de partículas. En sistemas más generales, el trabajo puede cambiar la energía potencial de un dispositivo mecánico, la energía térmica en un sistema térmico o la energía eléctrica en un dispositivo eléctrico. El trabajo transfiere energía de un lugar a otro o de una forma a otra.

Derivación para una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta

En el caso de que la fuerza resultante F sea constante tanto en magnitud como en dirección, y paralela a la velocidad de la partícula, la partícula se mueve con aceleración constante a a lo largo de una línea recta. La relación entre la fuerza neta y la aceleración viene dada por la ecuación F = ma (segunda ley de Newton), y el desplazamiento de partículas s puede expresarse por la ecuación ${displaystyle s={frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}}$

que se sigue de ${displaystyle v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2as}$ (ver Ecuaciones de movimiento).

El trabajo de la fuerza neta se calcula como el producto de su magnitud y el desplazamiento de la partícula. Sustituyendo las ecuaciones anteriores se obtiene: ${displaystyle W=Fs=mas=ma{frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}={frac {mv_{2}^{2}} {2}}-{frac{mv_{1}^{2}}{2}}=Delta E_{k}}$

Otra derivación: ${displaystyle W=Fs=mas=m{frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2s}}s={frac {1}{2}}mv_{ 2}^{2}-{frac{1}{2}}mv_{1}^{2}=Delta E_{k}}$

En el caso general de movimiento rectilíneo, cuando la fuerza neta F no es constante en magnitud, pero es constante en dirección y paralela a la velocidad de la partícula, el trabajo debe integrarse a lo largo de la trayectoria de la partícula: ${displaystyle W=int_{t_{1}}^{t_{2}}mathbf {F} cdot mathbf {v} dt=int_{t_{1}}^{t_{2} }F,v,dt=int _{t_{1}}^{t_{2}}ma,v,dt=mint _{t_{1}}^{t_{2}} v,{frac {dv}{dt}},dt=mint _{v_{1}}^{v_{2}}v,dv={tfrac {1}{2}}m izquierda(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}derecha).}$

Derivación general del teorema trabajo-energía para una partícula

Para cualquier fuerza neta que actúe sobre una partícula que se mueva a lo largo de cualquier trayectoria curvilínea, se puede demostrar que su trabajo es igual al cambio en la energía cinética de la partícula mediante una simple derivación análoga a la ecuación anterior. Algunos autores llaman a este resultado principio del trabajo-energía, pero es más conocido como el teorema del trabajo-energía: ${displaystyle W=int_{t_{1}}^{t_{2}}mathbf {F} cdot mathbf {v} dt=mint_{t_{1}}^{t_{2 }}mathbf {a} cdot mathbf {v} dt={frac {m}{2}}int _{t_{1}}^{t_{2}}{frac {dv^{2 }}{dt}},dt={frac {m}{2}}int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}= {frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{frac {mv_{1}^{2}}{2}}=Delta {E_{k}}}$

La identidad{textstyle mathbf {a} cdot mathbf {v} ={frac {1}{2}}{frac {dv^{2}}{dt}}} ${textstyle mathbf {a} cdot mathbf {v} ={frac {1}{2}}{frac {dv^{2}}{dt}}}$ requiere algo de álgebra. Desde la identidad{textstyle v^{2}=mathbf {v} cdot mathbf {v} } ${textstyle v^{2}=mathbf {v} cdot mathbf {v} }$ y definición ${estilo de texto mathbf {a} ={frac {dmathbf {v} }{dt}}}$ sigue ${displaystyle {frac {dv^{2}}{dt}}={frac {d(mathbf {v} cdot mathbf {v})}{dt}}={frac {dmathbf {v} }{dt}}cdot mathbf {v} +mathbf {v} cdot {frac {dmathbf {v} }{dt}}=2{frac {dmathbf {v} {dt}}cdot mathbf {v} =2mathbf {a} cdot mathbf {v}.}$

La parte restante de la derivación anterior es solo cálculo simple, igual que en el caso rectilíneo anterior.

Derivación para una partícula en movimiento restringido

En dinámica de partículas, una fórmula que iguala el trabajo aplicado a un sistema con su cambio en energía cinética se obtiene como una primera integral de la segunda ley de movimiento de Newton. Es útil notar que la fuerza resultante utilizada en las leyes de Newton se puede separar en fuerzas que se aplican a la partícula y fuerzas impuestas por restricciones en el movimiento de la partícula. Sorprendentemente, el trabajo de una fuerza de restricción es cero, por lo tanto, solo se debe considerar el trabajo de las fuerzas aplicadas en el principio de trabajo-energía.

Para ver esto, considere una partícula P que sigue la trayectoria X (t) con una fuerza F actuando sobre ella. Aísle la partícula de su entorno para exponer las fuerzas de restricción R, luego la Ley de Newton toma la forma ${displaystyle mathbf {F} +mathbf {R} =m{ddot {mathbf {X} }},}$

donde m es la masa de la partícula.

Formulación vectorial

Tenga en cuenta que los n puntos sobre un vector indican su n-ésima derivada temporal. El producto escalar de cada lado de la ley de Newton con el vector velocidad da como resultado $mathbf {F} cdot {dot {mathbf {X} }}=m{ddot {mathbf {X} }}cdot {dot {mathbf {X} }},$

porque las fuerzas de restricción son perpendiculares a la velocidad de la partícula. Integre esta ecuación a lo largo de su trayectoria desde el punto X (t ₁) hasta el punto X (t ₂) para obtener $int _{t_{1}}^{t_{2}}mathbf {F} cdot {dot {mathbf {X} }}dt=mint _{t_{1}}^{t_{ 2}}{ddot {mathbf {X} }}cdot {dot {mathbf {X} }}dt.$

El lado izquierdo de esta ecuación es el trabajo de la fuerza aplicada cuando actúa sobre la partícula a lo largo de la trayectoria desde el tiempo t ₁ hasta el tiempo t ₂. Esto también se puede escribir como $W=int _{t_{1}}^{t_{2}}mathbf {F} cdot {dot {mathbf {X} }}dt=int_{mathbf {X} (t_{ 1})}^{mathbf {X} (t_{2})}mathbf {F} cdot dmathbf {X}.$

Esta integral se calcula a lo largo de la trayectoria X (t) de la partícula y, por lo tanto, depende de la trayectoria.

El lado derecho de la primera integral de las ecuaciones de Newton se puede simplificar usando la siguiente identidad ${frac {1}{2}}{frac {d}{dt}}({dot {mathbf {X} }}cdot {dot {mathbf {X} }})={ddot {mathbf {X} }}cdot {dot {mathbf {X} }},$

(ver la regla del producto para la derivación). Ahora se integra explícitamente para obtener el cambio de energía cinética, ${displaystyle Delta K=mint _{t_{1}}^{t_{2}}{ddot {mathbf {X} }}cdot {dot {mathbf {X} }}dt= {frac {m}{2}}int _{t_{1}}^{t_{2}}{frac {d}{dt}}({dot {mathbf {X} }}cdot {dot {mathbf {X} }})dt={frac {m}{2}}{dot {mathbf {X} }}cdot {dot {mathbf {X} }}(t_ {2})-{frac {m}{2}}{dot {mathbf {X} }}cdot {dot {mathbf {X} }}(t_{1})={frac { 1}{2}}mDelta mathbf {v} ^{2},}$

donde la energía cinética de la partícula está definida por la cantidad escalar, ${displaystyle K={frac {m}{2}}{dot {mathbf {X} }}cdot {dot {mathbf {X} }}={frac {1}{2}} m{mathbf {v} ^{2}}}$

Componentes tangenciales y normales

Es útil descomponer los vectores de velocidad y aceleración en componentes tangenciales y normales a lo largo de la trayectoria X (t), tal que ${displaystyle {dot {mathbf {X} }}=vmathbf {T} quad {mbox{y}}quad {ddot {mathbf {X} }}={dot {v} }mathbf {T} +v^{2}kappa mathbf {N},}$

donde $v=|{dot {mathbf {X} }}|={sqrt {{dot {mathbf {X} }}cdot {dot {mathbf {X} }}}}.$

Entonces, el producto escalar de la velocidad con la aceleración en la segunda ley de Newton toma la forma ${displaystyle Delta K=mint _{t_{1}}^{t_{2}}{dot {v}}v,dt={frac {m}{2}}int_{ t_{1}}^{t_{2}}{frac {d}{dt}}v^{2},dt={frac {m}{2}}v^{2}(t_{2 })-{frac{m}{2}}v^{2}(t_{1}),}$

donde la energía cinética de la partícula está definida por la cantidad escalar, ${displaystyle K={frac {m}{2}}v^{2}={frac {m}{2}}{dot {mathbf {X} }}cdot {dot {mathbf {X} }}.}$

El resultado es el principio trabajo-energía para la dinámica de partículas, ${displaystyle W=Delta K.}$

Esta derivación se puede generalizar a sistemas arbitrarios de cuerpos rígidos.

Moverse en línea recta (derrapar hasta detenerse)

Considere el caso de un vehículo que se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal recta bajo la acción de una fuerza motriz y la gravedad que suman F. Las fuerzas de restricción entre el vehículo y la carretera definen R, y tenemos $mathbf {F} +mathbf {R} =m{ddot {mathbf {X} }}.$

Por conveniencia, deje que la trayectoria sea a lo largo del eje X, entonces X = (d, 0) y la velocidad es V = (v, 0), entonces R ⋅ V = 0 y F ⋅ V = F _xv, donde F _x es la componente de F a lo largo del eje X, entonces $F_{x}v=m{punto {v}}v.$

La integración de ambos lados produce ${displaystyle int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{x}vdt={frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}$

Si F _x es constante a lo largo de la trayectoria, entonces la integral de la velocidad es la distancia, por lo que ${displaystyle F_{x}(d(t_{2})-d(t_{1}))={frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).}$

Como ejemplo, considere un automóvil que patina hasta detenerse, donde k es el coeficiente de fricción y W es el peso del automóvil. Entonces la fuerza a lo largo de la trayectoria es F _x = − kW. La velocidad v del automóvil se puede determinar a partir de la longitud s del patín utilizando el principio de trabajo-energía, $kWs={frac {W}{2g}}v^{2},quad {mbox{o}}quad v={sqrt {2ksg}}.$

Observe que esta fórmula utiliza el hecho de que la masa del vehículo es m = W / g.

Descendiendo por una carretera de montaña (carreras de gravedad)

Considere el caso de un vehículo que arranca en reposo y desciende por una carretera de montaña, el principio de trabajo-energía ayuda a calcular la distancia mínima que recorre el vehículo para alcanzar una velocidad V, de, por ejemplo, 60 mph (88 fps). La resistencia a la rodadura y la resistencia del aire reducirán la velocidad del vehículo, por lo que la distancia real será mayor que si se desprecian estas fuerzas.

Sea X (t) la trayectoria del vehículo que sigue la carretera, que es una curva en el espacio tridimensional. La fuerza que actúa sobre el vehículo que lo empuja por la carretera es la fuerza de gravedad constante F = (0, 0, W), mientras que la fuerza de la carretera sobre el vehículo es la fuerza de restricción R. La segunda ley de Newton produce, ${displaystyle mathbf {F} +mathbf {R} =m{ddot {mathbf {X} }}.}$

El producto escalar de esta ecuación con la velocidad, V = (v _x, v _y, v _z), da como resultado $Wv_{z}=m{punto {V}}V,$

donde V es la magnitud de V. Las fuerzas de restricción entre el vehículo y la carretera se cancelan a partir de esta ecuación porque R ⋅ V = 0, lo que significa que no realizan trabajo. Integrar ambos lados para obtener ${displaystyle int _{t_{1}}^{t_{2}}Wv_{z}dt={frac {m}{2}}V^{2}(t_{2})-{frac {m}{2}}V^{2}(t_{1}).}$

La fuerza de peso W es constante a lo largo de la trayectoria y la integral de la velocidad vertical es la distancia vertical, por lo tanto, $WDelta z={frac{m}{2}}V^{2}.$

Recuerde que V(t ₁)=0. Note que este resultado no depende de la forma del camino seguido por el vehículo.

Para determinar la distancia a lo largo del camino, suponga que la pendiente es del 6%, que es un camino empinado. Esto significa que la altitud disminuye 6 pies por cada 100 pies recorridos; para ángulos tan pequeños, las funciones sen y tan son aproximadamente iguales. Por lo tanto, la distancia s en pies por una pendiente del 6% para alcanzar la velocidad V es al menos $s={frac {Delta z}{0,06}}=8,3{frac {V^{2}}{g}},quad {mbox{o}}quad s=8,3{frac {88 ^{2}}{32,2}}aproximadamente 2000{mbox{pies}}.$

Esta fórmula utiliza el hecho de que el peso del vehículo es W = mg.

Trabajo de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido.

El trabajo de las fuerzas que actúan en varios puntos sobre un solo cuerpo rígido se puede calcular a partir del trabajo de una fuerza y un momento de torsión resultantes. Para ver esto, deje que las fuerzas F ₁, F ₂... F _n actúen sobre los puntos X ₁, X ₂... X _n en un cuerpo rígido.

Las trayectorias de X _i, i = 1,..., n están definidas por el movimiento del cuerpo rígido. Este movimiento viene dado por el conjunto de rotaciones [ A (t)] y la trayectoria d (t) de un punto de referencia en el cuerpo. Deje que las coordenadas x _i i = 1,..., n definan estos puntos en el marco de referencia M del cuerpo rígido en movimiento, de modo que las trayectorias trazadas en el marco fijo F estén dadas por $mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]mathbf {x} _{i}+mathbf {d} (t)quad i=1,ldots,n.$

Las velocidades de los puntos X _i a lo largo de sus trayectorias son $mathbf {V} _{i}={vec {omega }}times (mathbf {X} _{i}-mathbf {d})+{dot {mathbf {d} }},$

donde ω es el vector de velocidad angular obtenido de la matriz simétrica oblicua $[Omega ]={dot {A}}A^{mathrm {T} },$

conocida como la matriz de velocidad angular.

La pequeña cantidad de trabajo de las fuerzas sobre los pequeños desplazamientos δ r _i puede determinarse aproximando el desplazamiento por δ r = v δt de modo que $delta W=mathbf {F} _{1}cdot mathbf {V} _{1}delta t+mathbf {F} _{2}cdot mathbf {V} _{2}delta t+ ldots +mathbf {F} _{n}cdot mathbf {V} _{n}delta t$

o $delta W=sum_{i=1}^{n}mathbf {F}_{i}cdot ({vec {omega }}times (mathbf {X}_{i}- mathbf {d})+{dot {mathbf {d} }})delta t.$

Esta fórmula se puede reescribir para obtener ${displaystyle delta W=left(sum _{i=1}^{n}mathbf {F} _{i}right)cdot {dot {mathbf {d} }}delta t+ left(sum_{i=1}^{n}left(mathbf {X}_{i}-mathbf {d} right)times mathbf {F}_{i}right) cdot {vec {omega }}delta t=left(mathbf {F} cdot {dot {mathbf {d} }}+mathbf {T} cdot {vec {omega } }derecha)delta t,}$

donde F y T son la fuerza y el par resultantes aplicados en el punto de referencia d del marco móvil M en el cuerpo rígido.