Magma (álgebra)

En álgebra abstracta, un magma, binar o, en raras ocasiones, un grupoide es un tipo básico de estructura algebraica. En concreto, un magma consiste en un conjunto dotado de una sola operación binaria que debe ser cerrada por definición. No se imponen otras propiedades.

Historia y terminología

El término grupoide fue introducido en 1927 por Heinrich Brandt describiendo su grupoide de Brandt (traducido del alemán Gruppoid). Luego, B. A. Hausmann y Øystein Ore (1937) se apropiaron del término en el sentido (de un conjunto con una operación binaria) utilizado en este artículo. En un par de revisiones de artículos posteriores en Zentralblatt, Brandt estuvo en total desacuerdo con esta sobrecarga de terminología. El grupoide de Brandt es un grupoide en el sentido usado en la teoría de categorías, pero no en el sentido usado por Hausmann y Ore. Sin embargo, libros influyentes en la teoría de semigrupos, incluidos Clifford y Preston (1961) y Howie (1995) usan grupoide en el sentido de Hausmann y Ore. Hollings (2014) escribe que el término grupoide es "quizás usado con más frecuencia en las matemáticas modernas" en el sentido que se le da en la teoría de categorías.

Según Bergman y Hausknecht (1996): "No existe una palabra generalmente aceptada para un conjunto con una operación binaria no necesariamente asociativa. La palabra grupoide es utilizada por muchos algebristas universales, pero los trabajadores de la teoría de categorías y áreas relacionadas se oponen fuertemente a este uso porque usan la misma palabra para referirse a "categoría en la que todos los morfismos son invertibles". 39;. El término magma fue utilizado por Serre [Lie Algebras and Lie Groups, 1965]." También aparece en Éléments de mathématique, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970 de Bourbaki.

Definición

Un magma es un conjunto M emparejado con una operación • que envía cualquiera de los dos elementos a, b ∈ M a otro elemento, a • b ∈ M. El símbolo • es un marcador de posición general para una operación correctamente definida. Para calificar como magma, el conjunto y la operación (M, •) deben cumplir el siguiente requisito (conocido como magma o axioma de cierre):

Para todos a, b dentro M, el resultado de la operación a • b también está M.

Y en notación matemática:

a,b▪ ▪ M⟹ ⟹ a⋅ ⋅ b▪ ▪ M.{displaystyle a,bin Mimplies acdot bin M.}

Si • es en cambio una operación parcial, entonces (M, •) se denomina magma parcial o, más a menudo, un grupoide parcial.

Morfismo de magmas

Un morfismo de magmas es una función f: M → N mapeando magma M a magma N que conserva la operación binaria:

f ()x •_M Sí.) f()x)_N f()Sí.),

donde •_M y •_N indican la operación binaria en M y N respectivamente.

Notación y combinatoria

La operación de magma se puede aplicar repetidamente y, en el caso general, no asociativo, importa el orden, que se indica entre paréntesis. Además, la operación • a menudo se omite y se anota por yuxtaposición:

()a •b • c) • d ↑a()bc)d.

A menudo se usa una abreviatura para reducir el número de paréntesis, en el que se omiten las operaciones internas y los pares de paréntesis, y se reemplazan solo con yuxtaposición: xy • z ≡ (x • y) • z. Por ejemplo, lo anterior se abrevia con la siguiente expresión, que aún contiene paréntesis:

()a • bc)d.

Una forma de evitar por completo el uso de paréntesis es la notación de prefijo, en la que la misma expresión se escribiría ••a•bcd. Otra forma, familiar para los programadores, es la notación de postfijo (notación polaca inversa), en la que la misma expresión se escribiría abc••d •, en el que el orden de ejecución es simplemente de izquierda a derecha (sin curry).

El conjunto de todas las cadenas posibles que consta de símbolos que denotan elementos del magma y conjuntos de paréntesis equilibrados se denomina lenguaje de Dyck. El número total de diferentes formas de escribir n aplicaciones del operador magma viene dado por el número catalán C_n. Así, por ejemplo, C₂ = 2, que es simplemente la afirmación de que (ab)c y a(bc) son las únicas dos formas de emparejar tres elementos de un magma con dos operaciones. Menos trivial, C₃ = 5: ((ab)c)d, (a(bc))d, (ab)(cd), a((bc)d), y a(b(cd)).

Hay nⁿ² magmas con n elementos, por lo que hay 1, 1, 16, 19683, 4294967296,... (secuencia A002489 en el OEIS) magmas con 0, 1, 2, 3, 4,... elementos. Los números correspondientes de magmas no isomorfos son 1, 1, 10, 3330, 178981952,... (secuencia A001329 en el OEIS) y el número de magmas simultáneamente no isomorfos y no antiisomorfos es 1, 1, 7, 1734, 89521056,... (secuencia A001424 en el OEIS).

Magma libre

Un magma libre M_X en un conjunto X es el "más general posible&# 34; magma generado por X (es decir, no hay relaciones ni axiomas impuestos a los generadores; véase objeto libre). La operación binaria en M_X se forma envolviendo cada uno de los dos operandos entre paréntesis y yuxtaponiéndolos en el mismo orden. Por ejemplo:

a • b =a)b),

a •a • b) =a()a)b)),

()a • a) b =a)a)(b).

M_X se puede describir como el conjunto de palabras no asociativas en X con paréntesis retenidos.

También puede verse, en términos familiares en informática, como el magma de árboles binarios con hojas etiquetadas por elementos de X. La operación es la de unir árboles por la raíz. Por lo tanto, tiene un papel fundamental en la sintaxis.

Un magma libre tiene la propiedad universal tal que si f: X → N es una función de X a cualquier magma N, entonces hay una extensión única de f a un morfismo de magmas f′

f′: M_X → N.

Tipos de magma

Estructuras algebraicas entre magmas y grupos

Los magmas no suelen estudiarse como tales; en cambio, hay varios tipos diferentes de magma, según los axiomas que la operación deba satisfacer. Los tipos de magma comúnmente estudiados incluyen:

• QuasigroupA magma donde la división siempre es posible.
  • Loop: A quasigroup con un elemento de identidad.
• SemigroupA magma donde la operación es asociativa.
  • MonoidA semigrupos con un elemento de identidad.
• semigrupo inversoA semigrupos con inverso. (También a quasigroup con la asociación)
• Grupo: A magma con inverso, asociatividad y elemento de identidad.

Tenga en cuenta que tanto la divisibilidad como la invertibilidad implican la propiedad de cancelación.

Magmas con conmutación

• Magma conmutativaA magma con conmutación.
• Monoide conmutativoA monoide con conmutación.
• Abelian groupA grupo con conmutación.

Clasificación por propiedades

Un magma (S, •), con x, y, u, z ∈ S, se llama

Medial

Si satisface la identidad xy • uz ↑ xu • Yz

semimedial izquierdo

Si satisface la identidad xx • Yz ↑ xy • xz

semimedial derecho

Si satisface la identidad Yz • xx ↑ Yx • z

Semimedial

Si es semimedial izquierdo y derecho

Distribución izquierda

Si satisface la identidad x • Yz ↑ xy • xz

Distribución adecuada

Si satisface la identidad Yz • x ↑ Yx • z

Autodistribución

Si es distributivo izquierdo y derecho

Commutative

Si satisface la identidad xy ↑ Yx

Idempotent

Si satisface la identidad xx ↑ x

Unipotent

Si satisface la identidad xx ↑ Sí.

Ceropotente

Si satisface las identidades xx • Sí. ↑ xx ↑ Sí. • xx

Alternativa

Si satisface las identidades xx • Sí. ↑ x • xy y x • Sí. ↑ xy • Sí.

Power-associative

Si el subma generado por cualquier elemento es asociativo

Flexible

si xy • x ↑ x • Yx

Un semigrupo o asociativo

Si satisface la identidad x • Yz ↑ xy • z

A la izquierda

Si satisface la identidad xy ↑ xz

A right unar

Si satisface la identidad Yx ↑ z

Semigroup con multiplicación cero, o semigrupo nulo

Si satisface la identidad xy ↑ uv

Unital

Si tiene un elemento de identidad

Izquierda-cancelante

Si, para todos x, Sí., z, relación xy = xz implicación Sí. = z

Right-cancellative

Si, para todos x, Sí., z, relación Yx = z implicación Sí. = z

Cancellativo

Si es tanto el derecho-cancelante como el izquierdo-cancelante

Un semigrupo con ceros izquierdos

Si es un semigrupo y satisface la identidad xy ↑ x

Un semigrupo con ceros derecho

Si es un semigrupo y satisface la identidad Yx ↑ x

Trimedial

Si cualquier triple de elementos (no necesariamente distintos) genera un submama medial

Entropic

Si es una imagen homomorfa de un magma de cancelación medial.

Categoría de magmas

La categoría de magmas, denominada Mag, es la categoría cuyos objetos son magmas y cuyos morfismos son homomorfismos de magma. La categoría Mag tiene productos directos, y hay un funtor de inclusión: Set → Med ↪ Mag como magmas triviales, con operaciones dadas por la proyección x T y = y .

Una propiedad importante es que un endomorfismo inyectivo puede extenderse a un automorfismo de una extensión de magma, solo el colímite del (secuencia constante del) endomorfismo.

Porque el singleton ({*}, *) es el objeto terminal de Mag, y porque Mag es algebraico, Mag es puntiagudo y completo.