Teorema de extensión de Tietze

En topología, el teorema de extensión de Tietze (también conocido como teorema de extensión de Tietze-Urysohn-Brouwer) establece que las funciones continuas en un subconjunto cerrado de un espacio topológico normal pueden extenderse a todo el espacio, preservando la acotación si es necesario.

Declaración formal

Si X{displaystyle X} es un espacio normal y

f:A→ → R{displaystyle f:Ato mathbb {R}

A{displaystyle A}

X{displaystyle X}

R{displaystyle mathbb {R}

f{displaystyle f}

X;{displaystyle X;}

F:X→ → R{displaystyle F:Xto mathbb {R}

X{displaystyle X}

F()a)=f()a){displaystyle F(a)=f(a)}

a▪ ▪ A.{displaystyle ain A.}

F{displaystyle F}

Sup{}Silenciof()a)Silencio:a▪ ▪ A}=Sup{}SilencioF()x)Silencio:x▪ ▪ X},{displaystyle sup{ vidasf(a) A}~=~sup{ privacyF(x) X}

f{displaystyle f}

F{displaystyle F}

f{displaystyle f}

Historia

L. E. J. Brouwer y Henri Lebesgue demostraron un caso especial del teorema, cuando X{displaystyle X} es un espacio vectorial de dimensiones finitas. Heinrich Tietze lo extendió a todos los espacios métricos, y Pavel Urysohn demostró el teorema como se indica aquí, para los espacios topológicos normales.

Declaraciones equivalentes

Este teorema es equivalente a la lema de Urysohn (que también es equivalente a la normalidad del espacio) y es ampliamente aplicable, ya que todos los espacios métricos y todos los espacios compactos de Hausdorff son normales. Se puede generalizar reemplazando R{displaystyle mathbb {R} con RJ{displaystyle mathbb {R} {J}} para un conjunto de indexación J,{displaystyle J,} cualquier retract of RJ,{displaystyle mathbb {R} } {J} o cualquier retracto absoluto normal.

Variaciones

Si X{displaystyle X} es un espacio métrico, A{displaystyle A} a subconjunto no vacío X{displaystyle X} y f:A→ → R{displaystyle f:Ato mathbb {R} es una función continua Lipschitz con constante Lipschitz K,{displaystyle K,} entonces f{displaystyle f} se puede ampliar a una función continua Lipschitz F:X→ → R{displaystyle F:Xto mathbb {R} con la misma constante K.{displaystyle K.}Este teorema también es válido para funciones continuas Hölder, es decir, si f:A→ → R{displaystyle f:Ato mathbb {R} es la función continua Hölder con constante menos o igual a 1,{displaystyle 1,} entonces f{displaystyle f} se puede ampliar a una función continua Hölder F:X→ → R{displaystyle F:Xto mathbb {R} con la misma constante.

Otra variante (de hecho, generalización) del teorema de Tietze se debe a H.Tong y Z. Ercan: Vamos A{displaystyle A} ser un subconjunto cerrado de un espacio topológico normal X.{displaystyle X.} Si f:X→ → R{displaystyle f:Xto mathbb {R} es una función semicontinua superior, g:X→ → R{displaystyle g: Xto mathbb {R} una función semicontinua inferior, y h:A→ → R{displaystyle h:Ato mathbb {R} una función continua tal que f()x)≤ ≤ g()x){displaystyle f(x)leq g(x)} para cada uno x▪ ▪ X{displaystyle xin X} y f()a)≤ ≤ h()a)≤ ≤ g()a){displaystyle f(a)leq h(a)leq g(a)} para cada uno a▪ ▪ A{displaystyle ain A}, entonces hay un continuo extensión H:X→ → R{displaystyle H:Xto mathbb {R} de h{displaystyle h} tales que f()x)≤ ≤ H()x)≤ ≤ g()x){displaystyle f(x)leq H(x)leq g(x)} para cada uno x▪ ▪ X.{displaystyle xin X.} Este teorema también es válido con algunas hipótesis adicionales si R{displaystyle mathbb {R} es reemplazado por un espacio Riesz sólido localmente general.