Dominio euclidiano

En matemáticas, más concretamente en teoría de anillos, un dominio euclidiano (también llamado anillo euclidiano) es un dominio integral al que se le puede dotar de una función euclidiana que permite una generalización adecuada de la división euclidiana de números enteros. Este algoritmo euclidiano generalizado se puede utilizar para muchos de los mismos usos que el algoritmo original de Euclides en el anillo de los números enteros: en cualquier dominio euclidiano, se puede aplicar el algoritmo euclidiano para calcular el máximo común divisor de dos elementos cualesquiera. En particular, el máximo común divisor de dos elementos cualesquiera existe y se puede escribir como una combinación lineal de ellos (la identidad de Bézout). También todo ideal en un dominio euclidiano es principal, lo que implica una generalización adecuada del teorema fundamental de la aritmética: todo dominio euclidiano es un dominio de factorización única.

Es importante comparar la clase de dominios euclidianos con la clase más amplia de dominios ideales principales (PID). Un PID arbitrario tiene las mismas "propiedades estructurales" de un dominio euclidiano (o, de hecho, incluso del anillo de números enteros), pero cuando se conoce un algoritmo explícito para la división euclidiana, se puede usar el algoritmo euclidiano y el algoritmo euclidiano extendido para calcular los máximos comunes divisores y la identidad de Bézout.. En particular, la existencia de algoritmos eficientes para la división euclidiana de enteros y de polinomios en una variable sobre un campo es de importancia básica en el álgebra computacional.

Entonces, dado un dominio integral R, suele ser muy útil saber que R tiene una función euclidiana: en particular, esto implica que R es un PID. Sin embargo, si no hay nada "obvio" función euclidiana, luego determinar si R es un PID es generalmente un problema mucho más fácil que determinar si es un dominio euclidiano.

Los dominios euclidianos aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases:

rngs. anillos. Anillos conmutativos. dominios integrales. dominios cerrados integralmente. dominios GCD. dominios de factorización únicos. principales dominios ideales. Euclidean domains. campos. campos cerrados algebraicamente

Definición

Sea R un dominio integral. Una función euclidiana en R es una función f desde R  {0} hasta los enteros no negativos que satisfacen la siguiente división fundamental-con -propiedad restante:

• (EF1) Si a y b están dentro R y b no es cero, entonces existe q y r dentro R tales que a = bq + r y bien r = 0 o f()r) f()b).

Un dominio euclidiano es un dominio integral que puede estar dotado de al menos una función euclidiana. Una función euclidiana particular f no es parte de la definición de un dominio euclidiano, ya que, en general, un dominio euclidiano puede admitir muchas funciones euclidianas diferentes.

En este contexto, q y r se denominan respectivamente cociente y resto de la división (o división euclidiana) de a por b. En contraste con el caso de los números enteros y los polinomios, el cociente generalmente no está definido de manera única, pero cuando se ha elegido un cociente, el resto está definido de manera única.

La mayoría de los textos de álgebra requieren que una función euclidiana tenga la siguiente propiedad adicional:

• (EF2) Para todos los no ceros a y b dentro R, f()a≤ f()ab).

Sin embargo, se puede demostrar que (EF1) solo es suficiente para definir un dominio euclidiano; si un dominio integral R está dotado de una función g que satisface (EF1), entonces R también se puede dotar de una función que satisface tanto (EF1) como (EF2) simultáneamente. De hecho, para a en R  {0} , uno puede definir f (a) de la siguiente manera:

${displaystyle f(a)=min _{xin Rsetminus{0}g(xa)}$

En palabras, se puede definir f (a) como el valor mínimo alcanzado por g en el conjunto de todos los elementos distintos de cero del ideal principal generado por a.

Una función euclidiana f es multiplicativa si f (ab) = f (a) f (b) y f (a) nunca es cero. De ello se deduce que f (1) = 1. Más generalmente, f (a) = 1 si y solo si a es una unidad.

Notas sobre la definición

Muchos autores usan otros términos en lugar de "función euclidiana", como "función de grado", "función de valoración", "función de calibre" 34; o "función de norma". Algunos autores también requieren que el dominio de la función euclidiana sea el anillo completo R; sin embargo, esto no afecta esencialmente la definición, ya que (EF1) no involucra el valor de f (0). La definición a veces se generaliza al permitir que la función euclidiana tome sus valores en cualquier conjunto bien ordenado; este debilitamiento no afecta las implicaciones más importantes de la propiedad euclidiana.

La propiedad (EF1) se puede reformular de la siguiente manera: para cualquier ideal principal I de R con generador distinto de cero b, todas las clases distintas de cero del anillo de cociente R/I tiene un representante r con f (r) < f (b). Dado que los valores posibles de f están bien ordenados, esta propiedad se puede establecer mostrando que f (r) < f (b) para cualquier r ∉ I< /span> con un valor mínimo de f (r) en su clase. Tenga en cuenta que, para una función euclidiana así establecida, no es necesario que exista un método efectivo para determinar q y r en (EF1).

Ejemplos

Los ejemplos de dominios euclidianos incluyen:

• Cualquier campo. Define f()x) = 1 para todos los no cero x.
• ZEl anillo de los enteros. Define f()n.nSilencio, el valor absoluto de n.
• Z[i]El anillo de los enteros gausianos. Define f()a + bi) a² + b², la norma del entero gaisiano a + bi.
• Z[ω] (donde) ⋅ es una raíz primitiva (no real) del cubo de la unidad), el anillo de los enteros Eisenstein. Define f()a + bω) = a² − ab + b², la norma del entero Eisenstein a + b⋅.
• K[X], el anillo de polinomios sobre un campo K. Para cada polinomio no cero P, definir f()P) ser el grado de P.
• K[[2]X]], el anillo de la serie de energía formal sobre el campo K. Para cada serie de energía no cero P, definir f()P) como el orden P, ese es el grado de la potencia más pequeña X en P. En particular, para dos series de energía no cero P y Q, f()P≤ f()Q) si P divideciones Q.
• Cualquier anillo de valoración discreto. Define f()x) para ser la potencia más alta del ideal máximo M que contiene x. Equivalentemente, vamos g ser un generador de M, y v ser el entero único tal que g^v es un asociado x, entonces definir f()x) v. El ejemplo anterior K[[2]X]] es un caso especial de esto.
• Un dominio Dedekind con finitamente muchos ideales no cero primos P₁,... P_n. Define ${displaystyle f(x)=sum _{i=1}{n}v_{i}(x)}$, donde v_i es la valoración discreta correspondiente al ideal P_i.

Los ejemplos de dominios que no son dominios euclidianos incluyen:

• Cada dominio que no es un dominio ideal principal, como el anillo de polinomios en al menos dos indeterminados sobre un campo, o el anillo de polinomios univariados con coeficientes enteros, o el anillo número Z[√; 5 -].
• El anillo de los enteros de Q()√−19), que consiste en los números a + b√−19/2 Donde a y b son enteros y ambos incluso o ambos raros. Es un dominio ideal principal que no es Euclidean.
• El anillo A = R[X, Y]/X² + Y² + 1) es también un dominio ideal principal que no es Euclidean. Para ver que no es un dominio Euclideano, basta mostrar que por cada no-cero prima ${displaystyle pin A}$, el mapa ${displaystyle A^{times }to (A/p)^{times }$ inducido por el mapa del cociente ${displaystyle Ato A/p}$ no es subjetivo.

Propiedades

Sea R un dominio y f una función euclidiana sobre R. Después:

• R es un dominio ideal principal (PID). De hecho, si I es un no cero ideal de R entonces cualquier elemento a de I {0} con un valor mínimo (en ese conjunto) de f()a) es un generador de I. As a consequence R es también un dominio de factorización único y un anillo noetheriano. Con respecto a los principales dominios ideales generales, la existencia de factorizaciones (es decir, que R es un dominio atómico) es particularmente fácil de probar en los dominios euclidianos: elegir una función euclidiana f satisfactoria (EF2), x no puede tener ninguna descomposición en f()x) factores de no unidad, así que empezar con x y descomponer reiteradamente factores reducibles está obligado a producir una factorización en elementos irreducibles.
• Cualquier elemento R en que f toma su valor globalmente mínimo es invertible R. Si f satisfactorio (EF2) es elegido, entonces el contrario también sostiene, y f toma su valor mínimo exactamente en los elementos invertibles R.
• Si la división Euclidean es algorítmica, es decir, si hay un algoritmo para calcular el cociente y el resto, entonces un algoritmo Euclideano extendido puede definirse exactamente como en el caso de los enteros.
• Si un dominio Euclideano no es un campo, entonces tiene un elemento a con la siguiente propiedad: cualquier elemento x no divisible por a puede ser escrito como x = ay + u para alguna unidad u y algún elemento Sí.. Esto sigue llevándose a ser un no-unit con f()a) lo más pequeño posible. Esta extraña propiedad se puede utilizar para demostrar que algunos dominios ideales principales no son dominios de Euclidean, ya que no todos los PID tienen esta propiedad. Por ejemplo, d = −19,−43, −67, −163, el anillo de enteros ${displaystyle mathbf {Q} ({sqrt {d},)}$ es un PID que es no Euclidean, pero los casos d = 1, 2, 3, 7, 11 son Euclidean.

Sin embargo, en muchas extensiones finitas de Q con un grupo de clase trivial, el anillo de enteros es euclidiano (no necesariamente con respecto al valor absoluto de la norma de campo; ver más abajo). Asumiendo la hipótesis de Riemann extendida, si K es una extensión finita de Q y el anillo de enteros de K es un PID con un número infinito de unidades, entonces el anillo de enteros es euclidiano. En particular, esto se aplica al caso de campos de números cuadráticos totalmente reales con grupo de clase trivial. Además (y sin asumir ERH), si el campo K es una extensión de Galois de Q, tiene un grupo de clase trivial y un rango unitario estrictamente mayor que tres, entonces el anillo de enteros es euclidiana. Un corolario inmediato de esto es que si el campo numérico es Galois sobre Q, su grupo de clase es trivial y la extensión tiene un grado mayor que 8, entonces el anillo de los enteros es necesariamente euclidiano.

Campos norma-euclidianos

Los campos de números algebraicos K vienen con una función de norma canónica en ellos: el valor absoluto de la norma de campo N que toma un elemento algebraico α al producto de todos los conjugados de α. Esta norma asigna el anillo de números enteros de un campo numérico K, digamos O_K, a los números enteros racionales no negativos, por lo que es candidata a ser norma euclidiana en este anillo. Si esta norma satisface los axiomas de una función Euclidiana entonces el campo numérico K se llama norm-Euclidiana o simplemente Euclidiana. Estrictamente hablando, es el anillo de los enteros lo que es euclidiano, ya que los campos son dominios trivialmente euclidianos, pero la terminología es estándar.

Si un campo no es norma euclidiano, eso no significa que el anillo de enteros no sea euclidiano, solo que la norma del campo no satisface los axiomas de una función euclidiana. De hecho, los anillos de enteros de campos numéricos se pueden dividir en varias clases:

• Aquellos que no son principales y por lo tanto no Euclidesan, como los enteros de ${displaystyle mathbf {Q} ({sqrt {-5},)}$
• Aquellos que son principales y no Euclidean, como los enteros de ${displaystyle mathbf {Q} {sqrt {-19},)}$
• Aquellos que son Euclidean y no norma-Euclidean, tales como los enteros de ${displaystyle mathbf {Q} ({sqrt {69},)}$
• Aquellos que son norm-Euclidean, como los enteros gaussianos (integers of ${displaystyle mathbf {Q} ({sqrt {-1},)}$)

Los campos cuadráticos de la norma Euclidea han sido completamente clasificados; son ${displaystyle mathbf {Q} ({sqrt {d},)}$ Donde ${displaystyle d}$ toma los valores

−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (secuencia A048981 en el OEIS).

Todo campo cuadrático imaginario euclidiano es euclidiano normativo y es uno de los cinco primeros campos de la lista anterior.