Teorema de Descartes

En geometría, Descartes' El teorema establece que por cada cuatro círculos que se besan o son mutuamente tangentes, los radios de los círculos satisfacen una determinada ecuación cuadrática. Al resolver esta ecuación, se puede construir un cuarto círculo tangente a tres círculos dados mutuamente tangentes. El teorema lleva el nombre de René Descartes, quien lo formuló en 1643.

El poema de Frederick Soddy de 1936 The Kiss Precise resume el teorema en términos de las curvas (radios inversos) de los cuatro círculos:

La suma de los cuadrados de las cuatro curvas
Es la mitad del cuadrado de su suma

Se aplican casos especiales del teorema cuando uno o dos de los círculos se reemplazan por una línea recta (con curvatura cero) o cuando las curvaturas son números enteros o cuadrados. Una versión del teorema que utiliza números complejos permite calcular los centros de los círculos, y no sólo sus radios. Con una definición adecuada de curvatura, el teorema también se aplica a la geometría esférica y a la geometría hiperbólica. En dimensiones superiores, se aplica una ecuación cuadrática análoga a sistemas de esferas o hiperesferas tangentes por pares.

Historia

Los problemas geométricos que involucran círculos tangentes se han reflexionado durante milenios. En la antigua Grecia del siglo III a. C., Apolonio de Perga dedicó un libro completo al tema, Ἐπαφαί< /span> [Tangencias]. Se ha perdido y se conoce en gran medida gracias a una descripción de su contenido realizada por Pappus de Alejandría y a través de referencias fragmentarias a él en las matemáticas islámicas medievales. Sin embargo, la geometría griega se centró en gran medida en la construcción con regla y compás. Por ejemplo, el problema de Apolonio, estrechamente relacionado con el de Descartes; teorema, pide la construcción de un círculo tangente a tres círculos dados que no necesitan ser tangentes. En cambio, Descartes' El teorema se formula utilizando relaciones algebraicas entre números que describen formas geométricas. Esto es característico de la geometría analítica, un campo iniciado por René Descartes y Pierre de Fermat en la primera mitad del siglo XVII.

Descartes analizó brevemente el problema de la circunferencia tangente en 1643, en dos cartas a la princesa Isabel del Palatinado. Descartes planteó inicialmente a la princesa el problema de Apolonio. Después de que los resultados parciales de Elisabeth revelaron que resolver analíticamente el problema completo sería demasiado tedioso, simplificó el problema al caso en el que los tres círculos dados son mutuamente tangentes, y al resolver este problema simplificado se le ocurrió la ecuación que describe la relación entre los radios, o curvaturas, de cuatro círculos tangentes por pares. Este resultado pasó a ser conocido como la teoría de Descartes. teorema. Desafortunadamente, el razonamiento mediante el cual Descartes encontró esta relación se ha perdido.

Las matemáticas japonesas se referían con frecuencia a problemas relacionados con círculos y sus tangencias, y el matemático japonés Yamaji Nushizumi formuló una forma del teorema del círculo de Descartes en 1751. Al igual que Descartes, lo expresó como una ecuación polinómica sobre los radios en lugar de sus curvaturas. El caso especial de este teorema para una línea recta y tres círculos se registró en una tablilla sangaku japonesa de 1824.

Descartes' El teorema fue redescubierto en 1826 por Jakob Steiner, en 1842 por Philip Beecroft y en 1936 por Frederick Soddy. Soddy decidió formatear su versión del teorema como un poema, The Kiss Precise, y lo publicó en Nature. Los círculos de besos en este problema a veces se conocen como círculos de mierda. Soddy también extendió el teorema a las esferas, y en otro poema describió la cadena de seis esferas, cada una de ellas tangente a sus vecinas y a tres esferas dadas mutuamente tangentes, una configuración ahora llamada hexlet de Soddy. Thorold Gosset amplió el teorema y el poema a dimensiones arbitrarias. La generalización a veces se denomina teorema de Soddy-Gosset, aunque tanto el hexlet como la versión tridimensional se conocían antes, en sangaku y en el trabajo de 1886 de Robert Lachlan.

Un problema que involucra a Descartes' El teorema que pregunta por la altura de un círculo en una cadena de Pappus fue uno de los muchos "asesinos" que existen. Problemas utilizados en los exámenes orales en la Unión Soviética para mantener a los judíos fuera del programa de matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú.

Se han publicado múltiples demostraciones del teorema. La prueba de Steiner utiliza cadenas de Pappus y el teorema de Viviani. Las pruebas de Philip Beecroft y H. S. M. Coxeter involucran cuatro círculos más, que pasan por triples de tangencias de los tres círculos originales; Coxeter también proporcionó una prueba utilizando geometría inversa. Las pruebas adicionales incluyen argumentos basados en simetría, cálculos en álgebra exterior o manipulación algebraica de la fórmula de Heron.

Declaración

El teorema de Descartes se indica más fácilmente en términos de curvaturas de los círculos. El curvatura firmada (o curva) de un círculo se define como ${displaystyle k=pm 1/r}$, Donde ${displaystyle r}$ es su radio. Cuanto más grande es un círculo, más pequeño es la magnitud de su curvatura, y viceversa. La señal en ${displaystyle k=pm 1/r}$ (representado por el ${displaystyle pm }$ símbolo) es positivo para un círculo que es externamente tangente a los otros círculos. Para un internamente círculo tangente como el círculo rojo grande, que circunscribes los otros círculos, el signo es negativo. Si una línea recta se considera un círculo degenerado con curvatura cero (y por lo tanto radio infinito), el teorema de Descartes también se aplica a una línea y tres círculos que son los tres mutuamente tangentes (ver círculo generalizado).

Para cuatro círculos que son tangentes entre sí en seis puntos distintos, con curvaturas ${displaystyle K_{i}$ para ${displaystyle i=1,dots4}$, El teorema de Descartes dice:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}cnMicrosoft Sans Serif} {2}=2,(k_{1}{2}+k_{2}{2}+k_{3}}{2}+k_{4}{2}}}}}}}}}}$

${displaystyle (1)}$

Si una de las cuatro curvaturas se considera variable y el resto constantes, esta es una ecuación cuadrática. Para encontrar el radio de un cuarto círculo tangente a tres círculos que se besan dados, la ecuación cuadrática se puede resolver como

${displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}pm 2{2}k_{3} k_{1}}}}$

${displaystyle (2)}$

El ${displaystyle pm }$ símbolo indica que en general esta ecuación tiene dos. soluciones, y cualquier triple de círculos tangentes tiene dos círculos tangentes (o líneas rectas degeneradas). Los criterios específicos de problemas pueden favorecer una de estas dos soluciones sobre la otra en cualquier problema dado.

El teorema no se aplica a sistemas de círculos con más de dos círculos tangentes entre sí en el mismo punto. Requiere que los puntos de tangencia sean distintos. Cuando más de dos círculos son tangentes en un solo punto, puede haber infinitos círculos de este tipo, con curvaturas arbitrarias; ver lápiz de círculos.

Ubicar los centros de los círculos

Para determinar un círculo completamente, no sólo su radio (o curvatura), sino también su centro debe ser conocido. La ecuación pertinente se expresa más claramente si las coordenadas cartesianas ${displaystyle (x,y)}$ se interpreta como un número complejo ${displaystyle z=x+iy}$. La ecuación entonces parece similar al teorema de Descartes y por lo tanto se llama el complejo Descartes theorem. Dados cuatro círculos con curvaturas ${displaystyle K_{i}$ y centros ${displaystyle z_{i}$ para ${displaystyle iin {1,2,3,4}}$, la siguiente igualdad establece además ecuación (1):

${2} {2} {2} {2}_}____}_________________________} {2} {2}{2}{2}{2} {2}+k__} {2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}+k_K__}}}}}}}{2}{2}}{2}}}{2}{2}}{2}{2}}}{2}{2}}}}{2}}}}{2}{2}}}{2}}}}}}}}}}{2}{2}}}}}}{2}{2}{2}}}}}}{2}}}}}}}}{2}}}{2}}}}{2}}}}}}}}}}{2}}}}{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${displaystyle (3)}$

Una vez ${displaystyle K_{4}$ ha sido encontrado usando ecuación (2), se puede proceder a calcular ${displaystyle z_{4}$ por resolución ecuación (3) como una ecuación cuadrática, que conduce a una forma similar a ecuación (2):

$${displaystyle z_{4}={frac {Z_{1}k_{1}+z_{2}k_{2}+z_{3}k_{3}pm 2{2}+k_{3}z_{3}k_{1}z_{1}z_{1}z_{3}}} {4}}}}}}}}} {3}k_{3}z_{1}z_{3}}}}{k_{4}}}}}}}}}}$$

De nuevo, en general hay dos soluciones para ${displaystyle z_{4}$ correspondiente a las dos soluciones para ${displaystyle K_{4}$. El signo más/menos en la fórmula anterior para ${displaystyle z_{4}$ no corresponde necesariamente al signo plus/minus en la fórmula para ${displaystyle K_{4}$.

Casos especiales

Tres círculos congruentes

Cuando tres de los cuatro círculos son congruentes, sus centros forman un triángulo equilátero, al igual que sus puntos de tangencia. Las dos posibilidades de un cuarto círculo tangente a los tres son concéntricas y la ecuación (2) se reduce a

$${displaystyle k_{4}=(3pm 2{sqrt {3})k_{1}.}$$

Una o más líneas rectas

Si uno de los tres círculos es reemplazado por una línea recta tangente a los círculos restantes, entonces su curvatura es cero y cae de ecuación (1). Por ejemplo, si ${displaystyle k_{3}=0}$, entonces ecuación (1) puede ser factorizado como

$${begin{bigl}{sqrt {sqrt}}+{sqrt {k_{2}}+{sqrt {k_{4}} {bigr)}{bigl (}{sqrt {k_{2}}+{sqrt {k_{4}}-{sqrt {k_{1}} {bigr]}[3mu] {cdot {bigl}{sqrt {k_{1}}+{sqrt {k_{4}}-{sqrt {K_{2}} {bigr)}{bigl (}{sqrt {k_{1}}}+{sqrt {k_{2}}-{sqrt {k_{4}} {bigr]}=0,end{aligned}}$$

y la ecuación (2) simplifica a

$${displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}pm 2{sqrt {k_{1}k_{2}}}$$

Tomar la raíz cuadrada de ambas partes conduce a otra formulación alternativa de este caso (con ${displaystyle k_{1}geq k_{2}$),

$${displaystyle {sqrt {k_{4}={sqrt {k_{1}}pm {sqrt {k_{2}}}}$$

que ha sido descrito como "una especie de versión demente del teorema de Pitágoras".

Si dos círculos son reemplazados por líneas, la tangencia entre los dos círculos reemplazados se convierte en un paralelismo entre sus dos líneas de reemplazo. En este caso, con ${displaystyle K_{2}=k_{3}=0}$, ecuación (2) se reduce a lo trivial

$${displaystyle displaystyle k_{4}=k_{1}$$

Esto corresponde a la observación de que, para que las cuatro curvas sigan siendo mutuamente tangentes, los otros dos círculos deben ser congruentes.

Curvaturas enteras

Cuando cuatro círculos tangentes descritos por la ecuación (2) tienen curvaturas enteras, el cuarto círculo alternativo descrito por la segunda solución de la ecuación también debe tener una curvatura entera. Esto se debe a que ambas soluciones difieren de un número entero por la raíz cuadrada de un número entero, por lo que cualquiera de las soluciones sólo puede ser un número entero si esta raíz cuadrada, y por tanto la otra solución, también es un número entero. Cada cuatro números enteros que satisfacen la ecuación de Descartes; El teorema forma las curvaturas de cuatro círculos tangentes. Los cuádruples enteros de este tipo también están estrechamente relacionados con los triángulos heronianos, triángulos con lados y área enteras.< /lapso>

Comenzar con cuatro círculos mutuamente tangentes y reemplazar repetidamente uno de los cuatro con su solución alternativa (salto de Vieta), de todas las formas posibles, conduce a un sistema de infinitos círculos tangentes llamado junta apolínea. Cuando los cuatro círculos iniciales tienen curvaturas enteras, también lo hace cada reemplazo y, por lo tanto, todos los círculos de la junta tienen curvaturas enteras. Cualesquiera cuatro círculos tangentes con curvaturas enteras pertenecen exactamente a una de esas juntas, descrita únicamente por su raíz cuádruple de los cuatro círculos más grandes y las cuatro curvaturas más pequeñas. Este cuádruple se puede encontrar, partiendo de cualquier otro cuádruple de la misma junta, reemplazando repetidamente el círculo más pequeño por uno más grande que resuelva la misma ecuación de Descartes, hasta que dicha reducción no sea posible.

Una cuádruple raíz se dice que primitivo si no tiene divisor común notrivial. Cada cuádruple de raíz primitiva se puede encontrar a partir de una factorización de una suma de dos cuadrados, ${displaystyle No.$, como quadruple ${displaystyle (-n,,d+n,,e+n,,d+e+n-2m)}$. Para ser primitivo, debe satisfacer el adicional condiciones ${displaystyle gcd(n,d,e)=1}$, y ${displaystyle -nleq 0leq 2mleq dleq e}$. Las factorizaciones de las sumas de dos plazas se pueden obtener utilizando la suma de dos teoremas cuadrados. Cualquier otro integer Apollonian gasket se puede formar multiplicando una raíz primitiva cuádruple por un entero arbitrario, y cualquier cuádruple en uno de estos gases (es decir, cualquier solución entero a la ecuación Descartes) se puede formar revirtiendo el proceso de sustitución utilizado para encontrar el cuádruplo raíz. Por ejemplo, la junta con raíz quadruple ${displaystyle (-10,18,23,27)}$, muestra en la figura, se genera de esta manera de la suma factorizada de dos cuadrados ${displaystyle 10^{2}+2^{2}=8cdot 13}$.

Círculos de Ford

Los casos especiales de una línea recta y curvaturas enteros se combinan en los círculos Ford. Estas son una familia infinita de círculos tangentes al ${displaystyle x}$- eje del sistema de coordenadas cartesiano en sus puntos racionales. Cada fracción ${displaystyle p/q}$ (en términos más bajos) tiene un círculo tangente a la línea en el punto ${displaystyle (p/q,0)}$ con curvatura ${displaystyle 2q^{2}$. Tres de estas curvaturas, junto con la curvatura cero del eje, cumplen las condiciones del teorema de Descartes siempre que los denominadores de dos de las fracciones correspondientes resuman al denominador del tercero. Los dos círculos de Ford para fracciones ${displaystyle p/q}$ y ${displaystyle r/s}$ (ambos en términos más bajos) son tangentes cuando ${displaystyle Silenciops-qr habit=1}$. Cuando son tangentes, forman una cuádruple de círculos tangentes con los ${displaystyle x}$- eje y con el círculo para su mediador ${displaystyle (p+r)/(q+s)}$.

Los círculos Ford pertenecen a una junta especial de Apolonio con raíz quadruple ${displaystyle (0,0,1,1)}$, atado entre dos líneas paralelas, que pueden ser tomadas como ${displaystyle x}$- eje y el línea ${displaystyle y=1}$. Este es el único gaseoso Apoloniano que contiene una línea recta, y no atado dentro de un círculo de curvatura negativa. Los círculos de Ford son los círculos de esta junta que son tangentes al ${displaystyle x}$- eje.

Progresión geométrica

Cuando los cuatro radios de los círculos en el teorema de Descartes se supone que están en una progresión geométrica con ratio ${displaystyle rho }$, las curvaturas también están en la misma progresión (en reversa). Enchufar esta relación en el teorema da la ecuación

$${displaystyle 2(1+rho ^{2}+rho ^{4}+rho ^{6})=(1+rho +rho ^{2}+rho ^{3}}{2}}}}}$$

que tiene sólo una solución real mayor que uno, la razón

$${displaystyle rho =varphi ##{sqrt {varphi }approx 2.89005}$$

Donde ${displaystyle varphi }$ es la relación de oro. Si la misma progresión continúa en ambas direcciones, cada número consecutivo describe círculos obedeciendo el teorema de Descartes. La progresión geométrica de dos brazos resultante de los círculos se puede organizar en un solo patrón espiral de círculos tangentes, llamado secuencia loxodrómica de Coxeter de círculos tangentes. Fue descrito por primera vez, junto con construcciones análogas en dimensiones superiores, por H. S. M. Coxeter en 1968.

Círculos de mierda de un triángulo

Cualquier triángulo en el plano tiene tres círculos externamente tangente centrados en sus vértices. Letting ${displaystyle A,B,C}$ sean los tres puntos, ${displaystyle a,b,c}$ ser las longitudes de los lados opuestos, y ${textstyle s={tfrac {1}{2}(a+b+c)}$ ser el semiperímetro, estos tres círculos tienen radio ${displaystyle s-a,s-b,s-c}$. Por el teorema de Descartes, dos círculos más, a veces llamado Círculos de pelucheSon tangentes a estos tres círculos. Están separados por el círculo, un interior a él y uno exterior. El teorema de Descartes se puede utilizar para mostrar que la curvatura del círculo interior de Soddy es ${textstyle (4R+r+2s)/Delta }$, Donde ${displaystyle Delta }$ es el área del triángulo, ${displaystyle R.$ es su circunradius, y ${displaystyle r}$ es su inradius. El círculo exterior de Soddy tiene curvatura ${textstyle (4R+r-2s)/Delta }$. La curvatura interior siempre es positiva, pero la curvatura externa puede ser positiva, negativa o cero. Triángulos cuyo círculo exterior se degenera a una línea recta con curvatura cero se han llamado "Triángulos soddyianos".

Una de las muchas pruebas del teorema de Descartes se basa en esta conexión a la geometría triangular y en la fórmula de Heron para el área de un triángulo como una función de sus longitudes laterales. Si tres círculos son externamente tangente, con radio ${displaystyle ¿Qué?$ entonces sus centros ${displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}$ forma los vértices de un triángulo con longitudes laterales ${displaystyle r_{1}+r_{2}$ ${displaystyle r_{1}+r_{3}$ y ${displaystyle r_{2}+r_{3}$ y semiperímetro ${displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}$ Por la fórmula de Heron, este triángulo ${displaystyle triangle P_{1}P_{2}P_{3}$ tiene zona

$${displaystyle {sqrt {}r_{2}r_{3}(r_{1}+r_{2}+r_{3}}}}}}$$

Ahora considere el círculo interior de Soddy con radio ${displaystyle R_{4},}$ centrado en el punto ${displaystyle P_{4}$ dentro del triángulo. Triángulo ${displaystyle triangle P_{1}P_{2}P_{3}$ se puede dividir en tres triángulos más pequeños ${displaystyle triangle P_{1}P_{2}P_{4},}$ ${displaystyle triangle P_{4}P_{2}P_{3},}$ y ${displaystyle triangle P_{1}P_{4}P_{3},}$ cuyas áreas pueden obtenerse sustituyendo ${displaystyle R_{4}$ para uno de los otros radios en la fórmula de área anterior. El área del primer triángulo equivale a la suma de estas tres áreas:

$${displaystyle {begin{aligned}{sqrt [r_{1}r_{2}r_{3}(r_{1}+r_{3}}={} {} {} {} {} {}} {} {sqrt [r_{1}r_{2}r_{4}(r_{1}+r_{4}}}+{}\\\\\\\\\sqrt [r_{1}r_{3}r_{4}(r_{1}+r_{4}}}+{}\\\\\\\sqrt {r_{2}r_{3}r_{4}(r_{2}+r_{4}}}}}end{aligned}}}$$

Una cuidadosa manipulación algebraica muestra que esta fórmula es equivalente a la ecuación (1), Descartes' teorema.

Este análisis cubre todos los casos en los que cuatro círculos son externamente tangente; uno es siempre el círculo interior de Soddy de los otros tres. Los casos en que uno de los círculos es internamente tangente a los otros tres y forma su círculo exterior Soddy son similares. De nuevo los cuatro centros ${displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ forma cuatro triángulos, pero (letting ${displaystyle P_{4}$ ser el centro del círculo exterior del Soddy) el incidente de los lados del triángulo a ${displaystyle P_{4}$ tienen longitudes que son diferencias de radio, ${displaystyle R_{4}-r_{1}$ ${displaystyle R_{4}-r_{1}$ y ${displaystyle R_{4}-r_{3}$ en lugar de sumas. ${displaystyle P_{4}$ puede estar dentro o fuera del triángulo formado por los otros tres centros; cuando está dentro, el área de este triángulo iguala la suma de las otras tres áreas del triángulo, como arriba. Cuando está fuera, el cuadrilátero formado por los cuatro centros puede ser subdividido por una diagonal en dos triángulos, de dos maneras diferentes, dando una igualdad entre la suma de dos áreas del triángulo y la suma de las otras dos áreas del triángulo. En cada caso, la ecuación de área se reduce al teorema de Descartes. Este método no se aplica directamente a los casos en los que uno de los círculos degenera a una línea, pero estos pueden ser manejados como un caso limitado de círculos.

Generalizaciones

Configuraciones arbitrarias de cuatro círculos

El teorema de Descartes se puede expresar como una ecuación de matriz y luego generalizar a otras configuraciones de cuatro círculos orientados cambiando la matriz. Vamos ${displaystyle mathbf {k}$ ser un vector de columna de las cuatro curvaturas del círculo y dejar ${displaystyle mathbf {Q}$ ser una matriz simétrica cuyos coeficientes ${displaystyle q_{i,j}$ representan la orientación relativa entre iy ja círculos orientados en su punto de intersección:

$${displaystyle mathbf {Q} ={begin{bmatrix}{fantom {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ################################################################################################################################################################################################################################################################ "Mathbf {Q} {1}{4}{begin{bmatrix}{fantom {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {-}1\\fnMicrosoft Sans Serif}$$

Entonces la ecuación (1) se puede reescribir como la ecuación matricial

$${displaystyle mathbf {k} {Mathsf {T}Mathbf {Q} {fn}fnK} =0.}$$

Como generalización del teorema de Descartes, una matriz simétrica modificada ${displaystyle mathbf {Q}$ puede representar cualquier configuración deseada de cuatro círculos reemplazando cada coeficiente con el inclinación ${displaystyle q_{i,j}$ entre dos círculos, definidos como

$${displaystyle q_{i,j}={frac {fnMicrosoft Sans Serif}$$

Donde ${displaystyle R_{i},r_{j}$ son los radios respectivos de los círculos, y ${displaystyle d_{i,j}$ es la distancia euclidiana entre sus centros. Cuando los círculos se intersecten, ${displaystyle q_{i,j}=cos(theta _{i,j}}$, el cosino del ángulo de intersección entre los círculos. La inclinación, a veces llamada distancia inversiva, es ${displaystyle 1}$ cuando los círculos son tangentes y orientados de la misma manera en su punto de tangencia, ${displaystyle -1}$ cuando los dos círculos son tangentes y orientados opuestomente en el punto de la tangencia, ${displaystyle 0}$ para los círculos ortogonales, fuera del intervalo ${displaystyle [-1,1]}$ para círculos que no intersectan, y ${displaystyle infty }$ en el límite como un círculo degenera a Punto.

La ecuación ${displaystyle mathbf {k} {Mathsf {T}Mathbf {Q} {fn}fnK} =0}$ está satisfecho por cualquier configuración arbitraria de cuatro círculos en el plano, proporcionado ${displaystyle mathbf {Q}$ es la matriz adecuada de inclinaciones pares.

Geometría esférica e hiperbólica

El teorema de Descartes se generaliza en círculos tangentes o pequeños en geometría esférica si la curvatura de la ${displaystyle j}$t círculo se define como ${textstyle k_{j}=cot rho _{j},}$ el cotangente del radio intrínseco orientado ${displaystyle rho _{j}}$ Entonces:

$${fnMicrosoft Sans Serif}cnMicrosoft Sans Serif}cnMicrosoft Sans Serif} {2}=2(k_{2}+k_{2}{2}+k_{3}}{2}+k_{4}{2}}+4}}}}$$

Resolver una de las curvaturas en términos de las otras tres,

$${displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}pm 2{2}k_{3}k_{1}}}$$

Como ecuación matricial,

$${displaystyle mathbf {k} {Mathsf {T}Mathbf {Q} ^{-1}mathbf {k} =-1.}$$

La cantidad ${displaystyle 1/k_{j}=tan rho _{j}$ es el "diámetro estereográfico" de un pequeño círculo. Esta es la longitud Euclideana del diámetro en el plano estereográfico proyectado cuando se proyecta algún punto en el círculo hacia el origen. Para un gran círculo, tal proyección estereográfica es una línea recta a través del origen, por lo que ${displaystyle k_{j}=0}$.

Asimismo, el teorema generaliza a círculos mutuamente tangentes en geometría hiperbólica si la curvatura de la ${displaystyle j}$ciclo se define como ${textstyle k_{j}=coth rho _{j},}$ el cotangente hiperbólico del radio intrínseco orientado ${displaystyle rho _{j}}$ Entonces:

$${fnMicrosoft Sans Serif}cnMicrosoft Sans Serif}cnMicrosoft Sans Serif.$$

Resolver una de las curvaturas en términos de las otras tres,

$${displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}pm 2{2}k_{3}k_{1}+1}}}$$

Como ecuación matricial,

$${displaystyle mathbf {k} {Mathsf {T}Mathbf {Q} {fn}fnK} = 1.}$$

Esta fórmula también tiene para configuraciones mutuamente tangentes en geometría hiperbólica incluyendo hiperciclos y horociclos, si ${displaystyle k_{j}$ se toma para ser la reciproca del diámetro estereográfico del ciclo. Este es el diámetro bajo proyección estereográfica (el modelo de disco Poincaré) cuando se proyecta un punto final del diámetro al origen. Hiperciclos no tienen un centro bien definido o radio intrínseco y horociclos tienen un punto ideal para un centro e infinito radio intrínseco, pero ${displaystyle Silencio.$ para un círculo hiperbólico, ${displaystyle Silencio$ para un horociclo, ${displaystyle TENK_{j} invisible1}$ para un hiperciclo, y ${displaystyle k_{j}=0}$ para una geodésica.

Dimensiones superiores

In ${displaystyle n}$-dimensional Espacio euclidiano, el número máximo de hiperesféricas mutuamente tangentes es ${displaystyle n+2}$. Por ejemplo, en el espacio tridimensional, cinco esferas pueden ser mutuamente tangentes. Las curvaturas de los hiperesféricos satisfacen

$${displaystyle {biggl}sum ¿Por qué? ¿Qué?$$

con el caso ${displaystyle K_{i}=0}$ correspondiente a un hiperplano plano, generalizando la versión 2-dimensional del teorema. Aunque no hay analogía tridimensional de los números complejos, la relación entre las posiciones de los centros puede ser reexpresada como una ecuación de matriz, que también se generaliza a ${displaystyle n}$ dimensiones.

En tres dimensiones, supongamos que tres esferas mutuamente tangentes están fijadas, y una cuarta esfera ${displaystyle S_{1}$ se da, tangente a las tres esferas fijas. La versión tridimensional del teorema de Descartes se puede aplicar para encontrar una esfera ${displaystyle S_{2}$ tangente a ${displaystyle S_{1}$ y las esferas fijas, aplicadas de nuevo para encontrar una nueva esfera ${displaystyle S_{3}$ tangente a ${displaystyle S_{2}$ y las esferas fijas, etc. El resultado es una secuencia cíclica de seis esferas cada tangente a sus vecinos en la secuencia y a las tres esferas fijas, una configuración llamada hexlet de Soddy, después del descubrimiento y publicación de Soddy en la forma de otro poema en 1936.

Las configuraciones de dimensiones superiores de hiperesferas mutuamente tangentes en geometría esférica o hiperbólica, con curvaturas definidas como anteriormente, satisfacen

$${displaystyle {biggl}sum ##{i=1} {n+2}k_{i}{biggr)}{2}=nC+n,sum ¿Qué?$$

Donde ${displaystyle C=2}$ en geometría esférica y ${displaystyle C=-2}$ en geometría hiperbólica.