Teorema de continuidad de Lévy

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Resultado en la teoría de probabilidad

En teoría de la probabilidad, el teorema de continuidad de Lévy, o el teorema de convergencia de Lévy, que lleva el nombre del matemático francés Paul Lévy, conecta la convergencia en la distribución de la secuencia de variables aleatorias con convergencia puntual de sus funciones características. Este teorema es la base de un enfoque para demostrar el teorema del límite central y es uno de los principales teoremas relacionados con funciones características.

Declaración

Supongamos que tenemos

una secuencia de variables aleatorias ${textstyle {X_{n}}_{n=1}^{infty }}$ , no necesariamente compartir un espacio de probabilidad común,
la secuencia de funciones características correspondientes ${textstyle {varphi _{n}}_{n=1}^{infty }}$ , que por definición son
${displaystyle varphi _{n}(t)=operatorname {E} left[e^{itX_{n}}right]quad forall tin mathbb {R} forall nin mathbb {N}}$
Donde ${displaystyle operatorname {E} }$ es el operador de valor esperado.

Si la secuencia de funciones características converge en sentido de punto a alguna función ${displaystyle varphi }$

{displaystyle varphi _{n}(t)to varphi (t)quad forall tin mathbb {R}}

entonces las siguientes afirmaciones se vuelven equivalentes:

${displaystyle X_{n}}$ converge en la distribución a alguna variable aleatoria X
${displaystyle X_{n} {xrightarrow {mathcal {D}}} X,}$
es decir, las funciones de distribución acumulativa correspondientes a variables aleatorias convergen en cada punto de continuidad del c.d.f. X;
${textstyle {X_{n}}_{n=1}^{infty }}$ está apretado:
$x,{big ]}right)=0;}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">limx→ → JUEGO JUEGO ()SupnP⁡ ⁡ [SilencioXnSilencio■x])=0;{displaystyle lim _{xto infty }left(sup _{n}operatorname {P} {big} [}, torturaX_{n} {big]}right)=0;}x,{big ]}right)=0;}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb3d0164de063920dddcd640451c9398e3ba185" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.379ex; height:6.176ex;"/>$
${displaystyle varphi (t)}$ es una función característica de alguna variable aleatoria X;
${displaystyle varphi (t)}$ es una función continua t;
${displaystyle varphi (t)}$ es continuo t = 0.

Prueba

Se encuentran disponibles demostraciones rigurosas de este teorema.

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