Teorema de Borsuk-Ulam

En matemáticas, el teorema de Borsuk-Ulam establece que toda función continua de una n-esfera al espacio n euclidiano asigna algún par de puntos antípodas al mismo punto. Aquí, dos puntos en una esfera se llaman antípodas si están en direcciones exactamente opuestas desde el centro de la esfera.

Formalmente: si f:Sn→ → Rn{displaystyle f:S^{n}to mathbb {R} {n} es continuo entonces existe x▪ ▪ Sn{displaystyle xin S^{n} tal que: f()− − x)=f()x){displaystyle f(-x)=f(x)}.

El caso n=1{displaystyle n=1} se puede ilustrar diciendo que siempre hay un par de puntos opuestos en el Ecuador de la Tierra con la misma temperatura. Lo mismo es cierto para cualquier círculo. Esto supone que la temperatura varía continuamente en el espacio.

El caso n=2{displaystyle n=2} a menudo se ilustra diciendo que en cualquier momento, siempre hay un par de puntos antipodal en la superficie de la Tierra con temperaturas iguales y presiones barométricas iguales, asumiendo que ambos parámetros varían continuamente en el espacio.

El teorema Borsuk-Ulam tiene varias declaraciones equivalentes en términos de funciones extrañas. Recordad que Sn{displaystyle S^{n} es la esfera n y Bn{displaystyle B^{n} es el n-ball:

• Si g:Sn→ → Rn{displaystyle g:S^{n}to mathbb {R} {fn} es una función extraña continua, entonces existe x▪ ▪ Sn{displaystyle xin S^{n} tal que: g()x)=0{displaystyle g(x)=0}.
• Si g:Bn→ → Rn{displaystyle g:B^{n}to mathbb {R} {fn} es una función continua que es extraña Sn− − 1{displaystyle S^{n-1} (el límite de Bn{displaystyle B^{n}), entonces existe una x▪ ▪ Bn{displaystyle xin B^{n} tal que: g()x)=0{displaystyle g(x)=0}.

Historia

Según Matoušek (2003, p. 25), la primera mención histórica del enunciado del teorema de Borsuk-Ulam aparece en Lyusternik & Shnirel'man (1930). La primera prueba la dio Karol Borsuk (1933), donde se atribuyó la formulación del problema a Stanislaw Ulam. Desde entonces, varios autores han encontrado muchas pruebas alternativas, como recoge Steinlein (1985).

Declaraciones equivalentes

Las siguientes declaraciones son equivalentes al teorema de Borsuk-Ulam.

Con funciones impares

Una función g{displaystyle g} se llama extraño (aka antipolítico o antipodos conservandoSi por cada uno x{displaystyle x}: g()− − x)=− − g()x){displaystyle g(-x)=-g(x)}.

El teorema de Borsuk-Ulam es equivalente a la siguiente afirmación: una función impar continua desde una esfera n al espacio euclidiano n tiene un cero. PRUEBA:

• Si el teorema es correcto, entonces es específicamente correcto para funciones extrañas, y para una función extraña, g()− − x)=g()x){displaystyle g(-x)=g(x)} Sip g()x)=0{displaystyle g(x)=0}. De ahí que cada función continua impar tiene un cero.
• Para cada función continua f{displaystyle f}, la siguiente función es continua y extraña: g()x)=f()x)− − f()− − x){displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)}. Si cada función continua extraña tiene un cero, entonces g{displaystyle g} tiene un cero, y por lo tanto, f()x)=f()− − x){displaystyle f(x)=f(-x)}. Por lo tanto el teorema es correcto.

Con retractaciones

Define a retracción como función h:Sn→ → Sn− − 1.{displaystyle h:S^{n}to S^{n-1}. El teorema Borsuk-Ulam es equivalente a la siguiente afirmación: no hay retracción impar continua.

Prueba: Si el teorema es correcto, entonces cada función impar continua de Sn{displaystyle S^{n} debe incluir 0 en su rango. Sin embargo, 0∉ ∉ Sn− − 1{displaystyle 0notin S^{n-1} así que no puede haber una función extraña continua cuyo rango es Sn− − 1{displaystyle S^{n-1}.

Por el contrario, si es incorrecto, entonces hay una función extraña continua g:Sn→ → Rn{displaystyle g:S^{n}to {fn} {fn} {fn}} sin ceros. Entonces podemos construir otra función extraña h:Sn→ → Sn− − 1{displaystyle h:S^{n}to S^{n-1} por:

h()x)=g()x)Silenciog()x)Silencio{displaystyle h(x)={frac {g(x)}{ privacyg(x)

desde entonces g{displaystyle g} no tiene ceros, h{displaystyle h} es bien definida y continua. Así tenemos una retracción impar continua.

Pruebas

Caso unidimensional

El caso unidimensional se puede probar fácilmente usando el teorema del valor intermedio (IVT).

Vamos g{displaystyle g} ser una extraña función continua de valor real en un círculo. Escoge un arbitrario x{displaystyle x}. Si g()x)=0{displaystyle g(x)=0} entonces hemos terminado. De lo contrario, sin pérdida de generalidad, 0.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">g()x)■0.{displaystyle g(x)}0.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7705c4b0f8f2b76490adba538724441ddd8056" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.163ex; height:2.843ex;"/> Pero... <math alttext="{displaystyle g(-x)g()− − x).0.{displaystyle g(-x) interpretado0.}<img alt="{displaystyle g(-x) Por lo tanto, por la IVT, hay un punto Sí.{displaystyle y} entre x{displaystyle x} y − − x{displaystyle -x. en que g()Sí.)=0{displaystyle g(y)=0}.

Caso general

Prueba topológica algebraica

Supongamos que h:Sn→ → Sn− − 1{displaystyle h:S^{n}to S^{n-1} es una extraña función continua con 2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■2{displaystyle n confiado2}2" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e71ac55b9fbf1e9f341b946cda63d61d3ef2cd" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/> (el caso n=1{displaystyle n=1} es tratado anteriormente, el caso n=2{displaystyle n=2} se puede manejar usando la teoría básica de cobertura). Pasando a órbitas bajo la acción antipodal, entonces obtenemos una función continua inducida h.:RPn→ → RPn− − 1{displaystyle h':mathbb {fn}to mathbb {fn} entre espacios reales proyectados, que induce un isomorfismo en grupos fundamentales. Por el teorema Hurewicz, el homomorfismo de anillo inducido en la cohomología con F2{displaystyle mathbb {F} _{2} coeficientes [donde F2{displaystyle mathbb {F} _{2} denota el campo con dos elementos],

F2[a]/an+1=HAlternativa Alternativa ()RPn;F2)← ← HAlternativa Alternativa ()RPn− − 1;F2)=F2[b]/bn,{displaystyle mathbb {F} _{2}[a]/a^{n+1}=H^{*}left(mathbb) # Mathbb # {F} _{2}right)leftarrow ¿Qué? {F} _{2}[b]/b^{n}

envía b{displaystyle b} a a{displaystyle a}. Pero entonces lo tenemos bn=0{displaystyle b^{n}=0} es enviado a anل ل 0{displaystyle a^{n}neq 0}Una contradicción.

Uno también puede mostrar la afirmación más fuerte de que cualquier mapa extraño Sn− − 1→ → Sn− − 1{displaystyle S^{n-1}to S^{n-1} tiene un grado extraño y luego deducir el teorema de este resultado.

Prueba combinatoria

El teorema de Borsuk-Ulam se puede demostrar a partir del lema de Tucker.

Vamos g:Sn→ → Rn{displaystyle g:S^{n}to mathbb {R} {fn} ser una función impar continua. Porque... g es continuo en un dominio compacto, es uniformemente continuo. Por tanto, por cada uno 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle epsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;"/>, hay un 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">δ δ ■0{displaystyle delta >0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;"/> tal que, por cada dos puntos Sn{displaystyle S_{n} que están dentro δ δ {displaystyle delta } sus imágenes bajo g están dentro ε ε {displaystyle epsilon } uno del otro.

Define una triangulación de Sn{displaystyle S_{n} con bordes de longitud a la mayoría δ δ {displaystyle delta }. Label cada vértice v{displaystyle v} de la triangulación con una etiqueta l()v)▪ ▪ ± ± 1,± ± 2,...... ,± ± n{displaystyle l(v)in {pm 1,pm 2,ldotspm} de la siguiente manera:

• El valor absoluto de la etiqueta es el índice de la coordinación con el valor absoluto más alto g: Silenciol()v)Silencio=arg⁡ ⁡ maxk()Silenciog()v)kSilencio){displaystyle Silenciol(v) habit=arg max _{k}(ы(v)_{k}.
• El signo de la etiqueta es el signo de gAsí que... l()v)=Sgn⁡ ⁡ ()g()v))Silenciol()v)Silencio{displaystyle l(v)=operatorname {sgn}(g(v).

Porque... g es extraño, el etiquetado también es extraño: l()− − v)=− − l()v){displaystyle l(-v)=-l(v)}. Por lo tanto, por la lema de Tucker, hay dos vértices adyacentes u,v{displaystyle u,v} con etiquetas opuestas. Assume w.l.o.g. que las etiquetas son l()u)=1,l()v)=− − 1{displaystyle l(u)=1,l(v)=-1}. Por definición l, esto significa que en ambos g()u){displaystyle g(u)} y g()v){displaystyle g(v)}, la coordenadas #1 es la coordinación más grande: g()u){displaystyle g(u)} esta coordinación es positiva mientras g()v){displaystyle g(v)} es negativo. Por la construcción de la triangulación, la distancia entre g()u){displaystyle g(u)} y g()v){displaystyle g(v)} es en la mayoría ε ε {displaystyle epsilon }, así en particular Silenciog()u)1− − g()v)1Silencio=Silenciog()u)1Silencio+Silenciog()v)1Silencio≤ ≤ ε ε {displaystyle Silenciog(u)_{1}-g(v)_{1}capacidad= sufrimientog(u)_{1} sobrevivir(v)_{1} (since g()u)1{displaystyle g(u)_{1} y g()v)1{displaystyle g(v)_{1} tienen signos opuestos) y así Silenciog()u)1Silencio≤ ≤ ε ε {displaystyle Silenciog(u)_{1}. Pero desde la mayor coordinación g()u){displaystyle g(u)} es la coordenadas #1, esto significa que Silenciog()u)kSilencio≤ ≤ ε ε {displaystyle Silenciog(u)_{k} para cada uno 1≤ ≤ k≤ ≤ n{displaystyle 1leq kleq n}. Así que... Silenciog()u)Silencio≤ ≤ cnε ε {displaystyle Silenciog(u), donde cn{displaystyle c_{n} es cierta constante dependiendo de n{displaystyle n} y la norma Silencio⋅ ⋅ Silencio{displaystyle Silencioso que has elegido.

Lo anterior es verdad para todos 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle epsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568095ad3924314374a5ab68fae17343661f2a71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.205ex; height:2.176ex;"/>; desde Sn{displaystyle S_{n} es compacto que debe haber un punto u en que Silenciog()u)Silencio=0{displaystyle Silenciog(u).

Corolarios

• No subconjunto Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} es homeomorfo a Sn{displaystyle S^{n}
• El teorema de sándwich de jamón: Para cualquier conjunto compacto A₁,... A_n dentro Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} siempre podemos encontrar un hiperplano dividiendo cada uno de ellos en dos subconjuntos de igual medida.

Resultados equivalentes

Arriba mostramos cómo probar el teorema de Borsuk-Ulam a partir del lema de Tucker. Lo contrario también es cierto: es posible probar el lema de Tucker a partir del teorema de Borsuk-Ulam. Por lo tanto, estos dos teoremas son equivalentes. Hay varios teoremas de punto fijo que vienen en tres variantes equivalentes: una variante de topología algebraica, una variante combinatoria y una variante de cobertura de conjuntos. Cada variante se puede probar por separado usando argumentos totalmente diferentes, pero cada variante también se puede reducir a las otras variantes en su fila. Además, cada resultado en la fila superior se puede deducir de la que está debajo en la misma columna.

Generalizaciones

• En el teorema original, el dominio de la función f es la unidad n- esfera (el límite de la unidad n-ball). En general, es cierto también cuando el dominio de f es el límite de cualquier subconjunto simétrico abierto Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} conteniendo el origen (Aquí, simétrico significa que si x está en el subconjunto entonces -x también está en el subconjunto).

• Considerar la función A que mapea un punto a su punto antipodal: A()x)=− − x.{displaystyle A(x)=-x.} Note que A()A()x))=x.{displaystyle A(A(x)=x.} El teorema original afirma que hay un punto x en que f()A()x))=f()x).{displaystyle f(A(x)=f(x). } En general, esto es cierto también para cada función A para la cual A()A()x))=x.{displaystyle A(A(x)=x.} Sin embargo, en general esto no es cierto para otras funciones A.