Análisis complejo

Análisis complejo, tradicionalmente conocido como la teoría de funciones de variable compleja, es la rama del análisis matemático que investiga funciones de números complejos. Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluida la geometría algebraica, la teoría de números, la combinatoria analítica, las matemáticas aplicadas; así como en física, incluidas las ramas de la hidrodinámica, la termodinámica y, en particular, la mecánica cuántica. Por extensión, el uso del análisis complejo también tiene aplicaciones en campos de ingeniería como la ingeniería nuclear, aeroespacial, mecánica y eléctrica.

Como una función diferenciable de una variable compleja es igual a su serie de Taylor (es decir, es analítica), el análisis complejo se ocupa especialmente de las funciones analíticas de una variable compleja (es decir, funciones holomorfas).

Historia

El conjunto Mandelbrot, un fractal

El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas, con raíces en el siglo XVIII y un poco antes. Los matemáticos importantes asociados con los números complejos incluyen a Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass y muchos más en el siglo XX. El análisis complejo, en particular la teoría de las asignaciones conformes, tiene muchas aplicaciones físicas y también se utiliza en la teoría analítica de números. En los tiempos modernos, se ha vuelto muy popular a través de un nuevo impulso de la dinámica compleja y las imágenes de los fractales producidos por la iteración de funciones holomorfas. Otra aplicación importante del análisis complejo es la teoría de cuerdas, que examina las invariantes conformes en la teoría cuántica de campos.

Funciones complejas

Una función exponencial Aⁿ de una variable discreta (integer) n, similar a la progresión geométrica

Una función compleja es una función de números complejos a números complejos. En otras palabras, es una función que tiene un subconjunto de los números complejos como dominio y los números complejos como codominio. Generalmente se supone que las funciones complejas tienen un dominio que contiene un subconjunto abierto no vacío del plano complejo.

Para cualquier función compleja, los valores ${displaystyle z}$ desde el dominio y sus imágenes ${displaystyle f(z)}$ en el rango puede ser separado en partes reales e imaginarias:

${displaystyle z=x+iyquad {text{ and }quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}$

Donde ${displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)}$ todos son de valor real.

En otras palabras, una función compleja ${displaystyle f:mathbb {C} to mathbb {C}$ puede ser descompuesto

${fnMicrosoft Sans Serif} {R} quad }$ y ${displaystyle quad v:mathbb {R} {2}to mathbb {R}$

es decir, en dos funciones de valor real (${displaystyle u}$, ${displaystyle v}$) de dos variables reales (${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$).

Del mismo modo, cualquier función de valor complejo f sobre un conjunto arbitrario X se puede considerar como un par ordenado de dos funciones de valor real: (Re) f, Im f) o, alternativamente, como una función de valor vectorial X en ${displaystyle mathbb {R} ^{2}$

Algunas propiedades de las funciones de valor complejo (como la continuidad) no son más que las propiedades correspondientes de las funciones de valor vectorial de dos variables reales. Otros conceptos de análisis complejo, como diferenciabilidad, son generalizaciones directas de conceptos similares para funciones reales, pero pueden tener propiedades muy diferentes. En particular, toda función compleja diferenciable es analítica (ver la siguiente sección), y dos funciones diferenciables que son iguales en la vecindad de un punto son iguales en la intersección de su dominio (si los dominios están conectados). Esta última propiedad es la base del principio de continuación analítica que permite extender cada función analítica real de una manera única para obtener una función analítica compleja cuyo dominio es todo el plano complejo con un número finito de arcos de curva eliminados. Muchas funciones complejas básicas y especiales se definen de esta manera, incluida la función exponencial compleja, las funciones logarítmicas complejas y las funciones trigonométricas.

Funciones holomorfas

Funciones complejas que son diferenciables en cada punto de un subconjunto abierto ${displaystyle Omega }$ del plano complejo se dice que holomorfo en ${displaystyle Omega }$. En el contexto del análisis complejo, el derivado de ${displaystyle f}$ a ${displaystyle z_{0}$ se define como

${displaystyle f'(z_{0}=lim _{zto {fnMicroc {f}}}}$

Superficialmente, esta definición es formalmente análoga a la del derivado de una función real. Sin embargo, los derivados complejos y las funciones diferenciables se comportan de maneras significativamente diferentes en comparación con sus contrapartes reales. En particular, para que exista este límite, el valor del coeficiente de diferencia debe aproximarse al mismo número complejo, independientemente de la forma en que nos acerquemos ${displaystyle z_{0}$ en el plano complejo. En consecuencia, la diferenciabilidad compleja tiene implicaciones mucho más fuertes que la diferenciabilidad real. Por ejemplo, las funciones holomorfas son infinitamente diferentes, mientras que la existencia de la nla necesidad derivada no implica la existencia de la (n + 1) derivado para funciones reales. Además, todas las funciones holomorfas satisfacen la condición más fuerte de la analítica, lo que significa que la función es, en cada punto de su dominio, dada localmente por una serie de potencia convergente. En esencia, esto significa que funciona holomorfa ${displaystyle Omega }$ puede ser aproximado arbitrariamente bien por los polinomios en algún barrio de cada punto en ${displaystyle Omega }$. Esto contrasta marcadamente con las diferentes funciones reales; hay funciones reales infinitamente diferenciables que son En ninguna parte analytic; ver Función lisa no analítica § Una función suave que no es en ninguna parte analítica real.

La mayoría de las funciones elementales, incluyendo la función exponencial, las funciones trigonométricas, y todas las funciones polinómicas, se extendieron apropiadamente a argumentos complejos como funciones ${displaystyle mathbb {C} to mathbb {C}$, son holomorfos sobre todo el plano complejo, haciéndolos entero funciones, mientras que funciones racionales ${displaystyle p/q}$, donde p y q son polinomios, son holomorfos en dominios que excluyen puntos donde q es cero. Tales funciones que son holomorfas en todas partes excepto un conjunto de puntos aislados se conocen como funciones meromorfas. Por otra parte, las funciones ${displaystyle zmapsto Re (z)}$, ${displaystyle zmapsto Silencioso}$, y ${displaystyle zmapsto {be}}$ no son holomorfos en ningún lugar del plano complejo, como puede verse por su incapacidad para satisfacer las condiciones Cauchy-Riemann (ver abajo).

Una propiedad importante de las funciones holomorfas es la relación entre los derivados parciales de sus componentes reales e imaginarios, conocidos como las condiciones Cauchy-Riemann. Si ${displaystyle f:mathbb {C} to mathbb {C}$, definida por ${displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$, Donde ${displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)in mathbb {R}$, es holomorfa en una región ${displaystyle Omega }$, entonces para todos ${displaystyle z_{0}in Omega }$,

${displaystyle {frac {partial f}{partial {fnK} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {1}}}left({frac {partial }{partial x}}}+i{frac {partial }{partial y}}}right). }$

En términos de las partes reales e imaginarias de la función, u y v, esto es equivalente al par de ecuaciones ${displaystyle U_{x}=v_{y}$ y ${displaystyle U_{y}=-v_{x}$, donde los subscriptos indican diferenciación parcial. Sin embargo, las condiciones Cauchy-Riemann no caracterizan las funciones holomorfas, sin condiciones de continuidad adicionales (ver Teorema Looman-Menchoff).

Las funciones holomorfas exhiben algunas características notables. Por ejemplo, el teorema de Picard afirma que el rango de toda una función puede tomar sólo tres formas posibles: ${displaystyle mathbb {C}$, ${displaystyle mathbb {C} setminus {Z_{0}}}$, o ${displaystyle {Z_{0}}}$ para algunos ${displaystyle z_{0}in mathbb {C}$. En otras palabras, si dos números complejos distintos ${displaystyle z}$ y ${displaystyle w}$ no están en el rango de una función completa ${displaystyle f}$, entonces ${displaystyle f}$ es una función constante. Además, una función holomorfa en un conjunto abierto conectado se determina por su restricción a cualquier subconjunto abierto no vacío.

Mapa conforme

El mapeo conforme es análisis complejo invertible localmente función en dos dimensiones para la conservación de la orientación.

Aplicación de mapeo conforme

• En ingeniería aeroespacial
• En ciencias biomédicas
• En la cartografía cerebral
• Cartografía genética
• Geodesia
• En Geometría
• En Geofísica
• En Google
• En literatura
• en Ingeniería
• En Electrónica
• En síntesis de proteínas
• En Geografía, en Cartografía.

Resultados principales

Gráfico de rueda de color de la función f()x) ()x² − 1)x − 2 − i)²/x² + 2 + 2i.
Hue representa el argumento, brillo de la magnitud.

Una de las herramientas centrales en el análisis complejo es la integral de línea. La integral de línea alrededor de un camino cerrado de una función que es holomorfa en todas partes dentro del área delimitada por el camino cerrado es siempre cero, como lo establece el teorema de la integral de Cauchy. Los valores de una función holomorfa de este tipo dentro de un disco se pueden calcular mediante una integral de trayectoria en el límite del disco (como se muestra en la fórmula integral de Cauchy). Las integrales de trayectoria en el plano complejo se utilizan a menudo para determinar integrales reales complicadas, y aquí se aplica la teoría de los residuos, entre otras (ver métodos de integración de contorno). Un "poste" (o singularidad aislada) de una función es un punto donde el valor de la función se vuelve ilimitado, o 'explota'. Si una función tiene un polo de este tipo, entonces se puede calcular el residuo de la función allí, que se puede usar para calcular las integrales de trayectoria que involucran a la función; este es el contenido del poderoso teorema del residuo. El teorema de Picard describe el notable comportamiento de las funciones holomorfas cerca de las singularidades esenciales. Las funciones que tienen solo polos pero no singularidades esenciales se llaman meromórficas. Las series de Laurent son el equivalente de valores complejos de las series de Taylor, pero se pueden usar para estudiar el comportamiento de funciones cercanas a las singularidades a través de sumas infinitas de funciones mejor entendidas, como los polinomios.

Una función acotada que es holomorfa en todo el plano complejo debe ser constante; este es el teorema de Liouville. Se puede utilizar para proporcionar una prueba breve y natural del teorema fundamental del álgebra que establece que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado.

Si una función es holomorfa en un dominio conectado, sus valores están completamente determinados por sus valores en cualquier subdominio más pequeño. Se dice que la función en el dominio mayor se continúa analíticamente a partir de sus valores en el dominio menor. Esto permite la extensión de la definición de funciones, como la función zeta de Riemann, que inicialmente se definen en términos de sumas infinitas que convergen solo en dominios limitados a casi todo el plano complejo. A veces, como en el caso del logaritmo natural, es imposible continuar analíticamente una función holomorfa a un dominio no simplemente conectado en el plano complejo, pero es posible extenderla a una función holomorfa en una superficie estrechamente relacionada conocida como superficie de Riemann.

Todo esto se refiere a un análisis complejo en una variable. También hay una teoría muy rica de análisis complejo en más de una dimensión compleja en la que las propiedades analíticas, como la expansión de la serie de potencias, se mantienen, mientras que la mayoría de las propiedades geométricas de las funciones holomorfas en una dimensión compleja (como la conformidad) no se mantienen.. El teorema de mapeo de Riemann sobre la relación conforme de ciertos dominios en el plano complejo, que puede ser el resultado más importante en la teoría unidimensional, falla dramáticamente en dimensiones superiores.

Una aplicación importante de ciertos espacios complejos se encuentra en la mecánica cuántica como funciones de onda.