Teorema de Banach-Alaoglu

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En el análisis funcional y ramas relacionadas de las matemáticas, el teorema de Banach-Alaoglu (también conocido como teorema de Alaoglu) establece que la bola unitaria cerrada del El espacio dual de un espacio vectorial normado es compacto en la topología débil*. Una prueba común identifica la bola unitaria con la topología débil-* como un subconjunto cerrado de un producto de conjuntos compactos con la topología del producto. Como consecuencia del teorema de Tychonoff, este producto, y por tanto la bola unitaria que contiene, es compacto.

Este teorema tiene aplicaciones en física cuando se describe el conjunto de estados de un álgebra de observables, es decir, que cualquier estado puede escribirse como una combinación lineal convexa de los llamados estados puros.

Historia

Según Lawrence Narici y Edward Beckenstein, el teorema Alaoglu es un “muy importante resultado – tal vez el el hecho más importante sobre la débil-* topología—[que] se hace eco a lo largo del análisis funcional. ” En 1912, Helly demostró que la bola unitaria del espacio dual continuo ${displaystyle C([a,b]}$ es contablemente débil-* compacto. En 1932, Stefan Banach demostró que la bola de unidad cerrada en el espacio dual continuo de cualquier espacio separado de la norma es secuencialmente débil-* compacto (Banach sólo consideró compactidad secuencial). La prueba del caso general fue publicada en 1940 por el matemático Leonidas Alaoglu. Según Pietsch [2007], hay al menos doce matemáticos que pueden reclamar este teorema o un importante predecesor para él.

El teorema de Bourbaki-Alaoglu es una generalización del teorema original de Bourbaki a topologías duales en espacios localmente convexos. Este teorema también se llama teorema de Banach-Alaoglu o teorema de compacidad débil-* y comúnmente se le llama simplemente teorema de Alaoglu.

Declaración

Si ${displaystyle X}$ es un espacio vectorial sobre el campo ${displaystyle mathbb {K}$ entonces ${displaystyle X^{#}$ denotará el espacio dual algebraico ${displaystyle X}$ y estos dos espacios están asociados con el bilinear mapa de la evaluación ${displaystyle leftlangle cdotcdot rightrangle: Xtimes X^{#}to mathbb {K}$ definidas por

{displaystyle leftlangle x,frightrangle ~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}{=}~f(x)}

{displaystyle leftlangle X,X^{#},leftlangle cdotcdot rightrangle rightrangle }

sistema dual canónico

Si ${displaystyle X}$ es un espacio vectorial topológico (TVS) entonces su espacio dual continuo será denotado por ${displaystyle X^{prime }$ Donde ${displaystyle X^{prime }subseteq X^{#}$ Siempre lo sostiene. Denota la débil* topología en ${displaystyle X^{#}$ por ${displaystyle sigma left(X^{#},Xright)}$ y denota la débil* topología en ${displaystyle X^{prime }$ por ${displaystyle sigma left(X^{prime },Xright).}$ La topología débil-* también se llama la topología de la convergencia puntual porque se da un mapa ${displaystyle f}$ y una red de mapas ${displaystyle f_{bullet }=left(f_{i}right)_{iin Yo...$ la red ${displaystyle f_{bullet}}$ convergencias a ${displaystyle f}$ en esta topología si y sólo si por cada punto ${displaystyle x}$ en el dominio, la red de valores ${displaystyle left(f_{i}(x)right)_{iin I}$ converge al valor ${displaystyle f(x).}$

Alaoglu theorem—Para cualquier espacio vectorial topológico (TVS) ${displaystyle X}$ ()no necesariamente Hausdorff o localmente convex) con espacio dual continuo ${displaystyle X^{prime }$ el polar

{displaystyle U^{fnMicrosoft Sans Serif} }=left{fin X^{prime }~sup _{uin U}

de cualquier barrio

{displaystyle U}

de origen en

{displaystyle X}

es compacto en la topología débil*

{displaystyle sigma left(X^{prime },Xright)}

{displaystyle X^{prime }

Además,

{displaystyle U^{circ }

es igual al polar de

{displaystyle U}

con respecto al sistema canónico

{displaystyle leftlangle X,X^{#}rightrangle }

y es también un subconjunto compacto

{displaystyle left(X^{#},sigma left(X^{#},Xright)right). }

Prueba de la teoría de la dualidad

Prueba

Denote by the underlying field of ${displaystyle X}$ por ${displaystyle mathbb {K}$ que es o los números reales ${displaystyle mathbb {R}$ o números complejos ${displaystyle mathbb {C}$ Esta prueba utilizará algunas de las propiedades básicas que se enumeran en los artículos: conjunto polar, sistema dual y operador lineal continuo.

Para comenzar la prueba, se recuerdan algunas definiciones y resultados fácilmente verificados. Cuando ${displaystyle X^{#}$ está dotado con la débil* topología ${displaystyle sigma left(X^{#},Xright),}$ entonces este Hausdorff localmente convexo espacio vectorial topológico es denotado por ${displaystyle left(X^{#},sigma left(X^{#},Xright)right). }$ El espacio ${displaystyle left(X^{#},sigma left(X^{#},Xright)right)}$ es siempre un TVS completo; sin embargo, ${displaystyle left(X^{prime },sigma left(X^{prime },Xright)right)}$ puede no ser un espacio completo, que es la razón por la cual esta prueba involucra el espacio ${displaystyle left(X^{#},sigma left(X^{#},Xright)right). }$ Específicamente, esta prueba utilizará el hecho de que un subconjunto de un espacio completo Hausdorff es compacto si (y sólo si) está cerrado y totalmente atado. Importantemente, la topología subespacial que ${displaystyle X^{prime }$ herederos de ${displaystyle left(X^{#},sigma left(X^{#},Xright)right)}$ es igual a ${displaystyle sigma left(X^{prime },Xright).}$ Esto se puede verificar fácilmente mostrando que ${displaystyle fin X^{prime }$ a net in ${displaystyle X^{prime }$ convergencias a ${displaystyle f}$ en una de estas topologías si y sólo si converge ${displaystyle f}$ en la otra topología (la conclusión sigue porque dos topologías son iguales si y sólo si tienen exactamente las mismas redes convergentes).

El triple ${displaystyle leftlangle X,X^{prime }rightrangle }$ es un doble par, aunque a diferencia ${displaystyle leftlangle X,X^{#}derecharangle}$ en general no está garantizado ser un sistema dual. A lo largo, a menos que se indique lo contrario, se tomarán todos los conjuntos polares con respecto a la unión canónica ${displaystyle leftlangle X,X^{prime }rightrangle.}$

Vamos ${displaystyle U}$ ser un barrio del origen en ${displaystyle X}$ y dejar:

${displaystyle U^{fnMicrosoft Sans Serif} }=left{fin X^{prime }~sup _{uin U}$ ser el polar de ${displaystyle U}$ con respecto a la pareja canónica ${displaystyle leftlangle X,X^{prime }rightrangle }$ ;
${displaystyle U^{circ circ }=left{xin X~ ¿Por qué?$ ser el bipolar of ${displaystyle U}$ con respecto a ${displaystyle leftlangle X,X^{prime }rightrangle }$ ;
${displaystyle U^{#}=left{fin X^{#}~sup _{uin U}Sobrevivireq 1right}}$ ser el polar de ${displaystyle U}$ con respecto al sistema dual canónico ${displaystyle leftlangle X,X^{#}rightrangle.}$ Note que ${displaystyle U^{circ }=U^{#}cap X^{prime }$

Un hecho bien conocido sobre los conjuntos polares es que ${displaystyle U^{circ circ circ }subseteq U^{circ }$

Mostrar eso ${displaystyle U^{#}$ es un ${displaystyle sigma left(X^{#},Xright)}$ - subconjunto cerrado ${displaystyle X^{#}$ Vamos ${displaystyle fin X^{#}$ y suponer que ${displaystyle f_{bullet }=left(f_{i}right)_{iin I}$ es una red ${displaystyle U^{#}$ que converge en ${displaystyle f}$ dentro ${displaystyle left(X^{#},sigma left(X^{#},Xright)right). }$ Para concluir, ${displaystyle fin U^{#},}$ es suficiente (y necesario) para demostrar que ${displaystyle Silenciof(u)$ para todos ${displaystyle uin U.}$ Porque... ${displaystyle f_{i}(u)to f(u)}$ en el campo de escalar ${displaystyle mathbb {K}$ y cada valor ${displaystyle f_{i}(u)}$ pertenece al cerrado (en ${displaystyle mathbb {K}$ Subconjunto ${displaystyle left{sin mathbb {K}: las vidas subsistenleq 1right}$ así también debe el límite de esta red ${displaystyle f(u)}$ pertenecen a este set. Así ${displaystyle Silenciof(u)$
Mostrar eso ${displaystyle ¿Qué?$ y luego concluir que ${displaystyle U^{circ }$ es un subconjunto cerrado de ambos ${displaystyle left(X^{#},sigma left(X^{#},Xright)right)}$ y ${displaystyle left(X^{prime },sigma left(X^{prime },Xright)right):}$ La inclusión ${displaystyle U^{circ }subseteq U^{#}$ sostiene porque cada funcional lineal continuo es (en particular) un funcional lineal. Para la inclusión inversa ${displaystyle ,U^{#}subseteq U^{circ },,}$ Deja ${displaystyle fin U^{#}$ así ${displaystyle ;sup _{uin U}$ que declara exactamente que el funcionamiento lineal ${displaystyle f}$ está atado en el vecindario ${displaystyle U}$ ; así ${displaystyle f}$ es un funcional lineal continuo (es decir, ${displaystyle fin X^{prime }$ ) y así ${displaystyle fin U^{circ }$ como se desee. Utilizando (1) y el hecho de que la intersección ${displaystyle U^{\#}cap X^{i}. }=U^{circ }$ está cerrado en la topología subespacial en ${displaystyle X^{prime }$ la reclamación sobre ${displaystyle U^{circ }$ estar cerrado sigue.
Mostrar eso ${displaystyle U^{circ }$ es un ${displaystyle sigma left(X^{prime },Xright)}$ - subconjunto atado total de ${displaystyle X^{prime }:}$ Por el teorema bipolar, ${displaystyle Usubseteq U^{circ circ$ donde porque el vecindario ${displaystyle U}$ es un subconjunto absorbente de ${displaystyle X.$ lo mismo debe ser verdad del conjunto ${displaystyle U^{circ circ };}$ es posible probar que esto implica que ${displaystyle U^{circ }$ es un ${displaystyle sigma left(X^{prime },Xright)}$ - subconjunto de ${displaystyle X^{prime }$ Porque... ${displaystyle X}$ distingue puntos de ${displaystyle X^{prime }$ a subset of ${displaystyle X^{prime }$ es ${displaystyle sigma left(X^{prime },Xright)}$ - si y sólo si es ${displaystyle sigma left(X^{prime },Xright)}$ - Totalmente atado. En particular, ${displaystyle U^{circ }$ también ${displaystyle sigma left(X^{prime },Xright)}$ - Totalmente atado.
Conclude that ${displaystyle U^{circ }$ es también un ${displaystyle sigma left(X^{#},Xright)}$ - subconjunto atado total de ${displaystyle X^{#}$ Recordad que ${displaystyle sigma left(X^{prime },Xright)}$ topología en ${displaystyle X^{prime }$ es idéntica a la topología subespacial que ${displaystyle X^{prime }$ herederos de ${displaystyle left(X^{#},sigma left(X^{#},Xright)right). }$ Este hecho, junto con (3) y la definición de "totalmente atado", implica que ${displaystyle U^{circ }$ es un ${displaystyle sigma left(X^{#},Xright)}$ - subconjunto atado total de ${displaystyle X^{#}$
Finalmente, deduce eso ${displaystyle U^{circ }$ es un ${displaystyle sigma left(X^{prime },Xright)}$ -compact subset of ${displaystyle X^{prime }:}$ Porque... ${displaystyle left(X^{#},sigma left(X^{#},Xright)right)}$ es un completo TVS y ${displaystyle U^{circ }$ es un subconjunto cerrado (por 2)) y totalmente atado (por (4)) ${displaystyle left(X^{#},sigma left(X^{#},Xright)right),}$ sigue que ${displaystyle U^{circ }$ es compacto. ${displaystyle blacksquare }$

Si ${displaystyle X}$ es un espacio vectorial normalizado, entonces el polar de un barrio está cerrado y está lleno de norma en el espacio dual. En particular, si ${displaystyle U}$ es la bola de unidad abierta (o cerrada) ${displaystyle X}$ entonces el polar de ${displaystyle U}$ es la bola de unidad cerrada en el espacio dual continuo ${displaystyle X^{prime }$ de ${displaystyle X}$ (con la norma dual habitual). En consecuencia, este teorema puede ser especializado en:

Banach-Alaoglu theorem—Si ${displaystyle X}$ es un espacio normal entonces la bola de unidad cerrada en el espacio dual continuo ${displaystyle X^{prime }$ (con su norma habitual de operador) es compacta con respecto a la topología débil-*.

Cuando el espacio dual continuo ${displaystyle X^{prime }$ de ${displaystyle X}$ es un espacio dimensional dimensional, y entonces es imposible para la bola de unidad cerrada ${displaystyle X^{prime }$ para ser un subconjunto compacto cuando ${displaystyle X^{prime }$ tiene su topología normal. Esto se debe a que la bola unitaria en la topología de la norma es compacta si y sólo si el espacio es finito-dimensional (cf. F. Riesz teorema). Este teorema es un ejemplo de la utilidad de tener diferentes topologías en el mismo espacio vectorial.

Cabe advertir que, a pesar de las apariencias, el teorema de Banach-Alaoglu no implica que la topología débil-* sea localmente compacta. Esto se debe a que la bola unitaria cerrada es solo una vecindad del origen en la topología fuerte, pero generalmente no es una vecindad del origen en la topología débil*, ya que tiene un interior vacío en la topología débil*, a menos que el espacio sea de dimensión finita. De hecho, es un resultado de Weil que todos los espacios vectoriales topológicos de Hausdorff localmente compactos deben ser de dimensión finita.

Prueba elemental

La siguiente prueba elemental no utiliza la teoría de la dualidad y requiere sólo conceptos básicos de la teoría de conjuntos, topología y análisis funcional. Lo que se necesita de la topología es un conocimiento de convergencia neta en los espacios topológicos y familiaridad con el hecho de que una funcionalidad lineal es continua si y sólo si está ligada a un barrio del origen (ver los artículos sobre funcionales lineales continuas y funcionales sublineales para detalles). También se requiere una comprensión adecuada de los detalles técnicos de cómo el espacio ${displaystyle mathbb {K} {X}}$ de todas las funciones de la forma ${displaystyle Xto mathbb {K}$ se identifica como el producto cartesiano ${textstyle prod _{xin X}mathbb {K}$ y la relación entre la convergencia puntiaguda, la topología del producto y las topologías subespaciales que inducen en subconjuntos como el espacio dual algebraico ${displaystyle X^{#}$ y productos de subespacios como ${textstyle prod _{xin X}B_{r_{x}}}$ Una explicación de estos detalles se da ahora para los lectores que están interesados.

Premiere on product/function spaces, nets, and pointwise convergence
For every real ${displaystyle r,}$ ${displaystyle B_{r}~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~{cin mathbb {K}:\|c\|leq r}}$ will denote the closed ball of radius ${displaystyle r}$ centered at ${displaystyle 0}$ and ${displaystyle rU~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~{ru:uin U}}$ for any ${displaystyle Usubseteq X,}$ Identification of functions with tuples The Cartesian product ${textstyle prod _{xin X}mathbb {K} }$ is usually thought of as the set of all ${displaystyle X}$ -indexed tuples ${displaystyle s_{bullet }=left(s_{x}right)_{xin X}}$ but, since tuples are technically just functions from an indexing set, it can also be identified with the space ${displaystyle mathbb {K} ^{X}}$ of all functions having prototype ${displaystyle Xto mathbb {K}}$ as is now described: Function ${displaystyle to }$ Tuple: A function ${displaystyle s:Xto mathbb {K} }$ belonging to ${displaystyle mathbb {K} ^{X}}$ is identified with its ( ${displaystyle X}$ -indexed) "tuple of values" ${displaystyle s_{bullet }~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~(s(x))_{xin X}.}$ Tuple ${displaystyle to }$ Function: A tuple ${displaystyle s_{bullet }=left(s_{x}right)_{xin X}}$ in ${textstyle prod _{xin X}mathbb {K} }$ is identified with the function ${displaystyle s:Xto mathbb {K} }$ defined by ${displaystyle s(x)~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~s_{x}}$ ; this function's "tuple of values" is the original tuple ${displaystyle left(s_{x}right)_{xin X}.}$ This is the reason why many authors write, often without comment, the equality ${displaystyle mathbb {K} ^{X}=prod _{xin X}mathbb {K} }$ and why the Cartesian product ${textstyle prod _{xin X}mathbb {K} }$ is sometimes taken as the definition of the set of maps ${displaystyle mathbb {K} ^{X}}$ (or conversely). However, the Cartesian product, being the (categorical) product in the category of sets (which is a type of inverse limit), also comes equipped with associated maps that are known as its (coordinate) projections. The canonical projection of the Cartesian product at a given point ${displaystyle zin X}$ is the function ${displaystyle Pr {}_{z}:prod _{xin X}mathbb {K} to mathbb {K} quad {text{ defined by }}quad s_{bullet }=left(s_{x}right)_{xin X}mapsto s_{z}}$ where under the above identification, ${displaystyle Pr {}_{z}}$ sends a function ${displaystyle s:Xto mathbb {K} }$ to ${displaystyle Pr {}_{z}(s)~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~s(z).}$ Stated in words, for a point ${displaystyle z}$ and function ${displaystyle s,}$ "plugging ${displaystyle z}$ into ${displaystyle s}$ " is the same as "plugging ${displaystyle s}$ into ${displaystyle Pr {}_{z}}$ ". In particular, suppose that ${displaystyle left(r_{x}right)_{xin X}}$ are non-negative real numbers. Then ${displaystyle prod _{xin X}B_{r_{x}}subseteq prod _{xin X}mathbb {K} =mathbb {K} ^{X},}$ where under the above identification of tuples with functions, ${displaystyle prod _{xin X}B_{r_{x}}}$ is the set of all functions ${displaystyle sin mathbb {K} ^{X}}$ such that ${displaystyle s(x)in B_{r_{x}}}$ for every ${displaystyle xin X.}$ If a subset ${displaystyle Usubseteq X}$ partitions ${displaystyle X}$ into ${displaystyle X=U,cup ,(Xsetminus U)}$ then the linear bijection ${displaystyle {begin{alignedat}{4}H:;&&prod _{xin X}mathbb {K} &&;to ;&left(prod _{uin U}mathbb {K} right)times prod _{xin Xsetminus U}mathbb {K} \[0.3ex]&&left(f_{x}right)_{xin X}&&;mapsto ;&left(left(f_{u}right)_{uin U},;left(f_{x}right)_{xin Xsetminus U}right)\end{alignedat}}}$ canonically identifies these two Cartesian products; moreover, this map is a homeomorphism when these products are endowed with their product topologies. In terms of function spaces, this bijection could be expressed as ${displaystyle {begin{alignedat}{4}H:;&&mathbb {K} ^{X}&&;to ;&mathbb {K} ^{U}times mathbb {K} ^{Xsetminus U}\[0.3ex]&&f&&;mapsto ;&left(f{big vert }_{U},;f{big vert }_{Xsetminus U}right)\end{alignedat}}.}$ Notation for nets and function composition with nets A net ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{i}right)_{iin I}}$ in ${displaystyle X}$ is by definition a function ${displaystyle x_{bullet }:Ito X}$ from a non-empty directed set ${displaystyle (I,leq).}$ Every sequence in ${displaystyle X,}$ which by definition is just a function of the form ${displaystyle mathbb {N} to X,}$ is also a net. As with sequences, the value of a net ${displaystyle x_{bullet }}$ at an index ${displaystyle iin I}$ is denoted by ${displaystyle x_{i}}$ ; however, for this proof, this value ${displaystyle x_{i}}$ may also be denoted by the usual function parentheses notation ${displaystyle x_{bullet }(i).}$ Similarly for function composition, if ${displaystyle F:Xto Y}$ is any function then the net (or sequence) that results from "plugging ${displaystyle x_{bullet }}$ into ${displaystyle F}$ " is just the function ${displaystyle Fcirc x_{bullet }:Ito Y,}$ although this is typically denoted by ${displaystyle left(Fleft(x_{i}right)right)_{iin I}}$ (or by ${displaystyle left(Fleft(x_{i}right)right)_{i=1}^{infty }}$ if ${displaystyle x_{bullet }}$ is a sequence). In the proofs below, this resulting net may be denoted by any of the following notations ${displaystyle Fleft(x_{bullet }right)=left(Fleft(x_{i}right)right)_{iin I}~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~Fcirc x_{bullet },}$ depending on whichever notation is cleanest or most clearly communicates the intended information. In particular, if ${displaystyle F:Xto Y}$ is continuous and ${displaystyle x_{bullet }to x}$ in ${displaystyle X,}$ then the conclusion commonly written as ${displaystyle left(Fleft(x_{i}right)right)_{iin I}to F(x)}$ may instead be written as ${displaystyle Fleft(x_{bullet }right)to F(x)}$ or ${displaystyle Fcirc x_{bullet }to F(x).}$ Topology The set ${textstyle mathbb {K} ^{X}=prod _{xin X}mathbb {K} }$ is assumed to be endowed with the product topology. It is well known that the product topology is identical to the topology of pointwise convergence. This is because given ${displaystyle f}$ and a net ${displaystyle left(f_{i}right)_{iin I},}$ where ${displaystyle f}$ and every ${displaystyle f_{i}}$ is an element of ${textstyle mathbb {K} ^{X}=prod _{xin X}mathbb {K}}$ then the net ${displaystyle left(f_{i}right)_{iin I}to f}$ converges in the product topology if and only if for every ${displaystyle zin X,}$ the net ${displaystyle Pr {}_{z}left(left(f_{i}right)_{iin I}right)to Pr {}_{z}(f)}$ converges in ${displaystyle mathbb {K}}$ where because ${displaystyle ;Pr {}_{z}(f)=f(z);}$ and ${textstyle Pr {}_{z}left(left(f_{i}right)_{iin I}right)~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~left(Pr {}_{z}left(f_{i}right)right)_{iin I}=left(f_{i}(z)right)_{iin I},}$ this happens if and only if for every ${displaystyle zin X,}$ the net ${displaystyle left(f_{i}(z)right)_{iin I}to f(z)}$ converges in ${displaystyle mathbb {K}}$ Thus ${displaystyle left(f_{i}right)_{iin I}}$ converges to ${displaystyle f}$ in the product topology if and only if it converges to ${displaystyle f}$ pointwise on ${displaystyle X.}$ This proof will also use the fact that the topology of pointwise convergence is preserved when passing to topological subspaces. This means, for example, that if for every ${displaystyle xin X,}$ ${displaystyle S_{x}subseteq mathbb {K} }$ is some (topological) subspace of ${displaystyle mathbb {K} }$ then the topology of pointwise convergence (or equivalently, the product topology) on ${textstyle prod _{xin X}S_{x}}$ is equal to the subspace topology that the set ${textstyle prod _{xin X}S_{x}}$ inherits from ${textstyle prod _{xin X}mathbb {K}.}$ And if ${displaystyle S_{x}}$ is closed in ${displaystyle mathbb {K} }$ for every ${displaystyle xin X,}$ then ${textstyle prod _{xin X}S_{x}}$ is a closed subset of ${textstyle prod _{xin X}mathbb {K}.}$ Characterization of ${displaystyle sup _{uin U}\|f(u)\|leq r}$ An important fact used by the proof is that for any real ${displaystyle r,}$ ${displaystyle sup _{uin U}\|f(u)\|leq rqquad {text{ if and only if }}qquad f(U)subseteq B_{r}}$ where ${displaystyle ,sup ,}$ denotes the supremum and ${displaystyle f(U)~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~{f(u):uin U}.}$ As a side note, this characterization does not hold if the closed ball ${displaystyle B_{r}}$ is replaced with the open ball ${displaystyle {cin mathbb {K}:\|c\|<r}}$ (and replacing ${displaystyle ;sup _{uin U}\|f(u)\|leq r;}$ with the strict inequality ${displaystyle ;sup _{uin U}\|f(u)\|<r;}$ will not change this; for counter-examples, consider ${displaystyle X~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~mathbb {K} }$ and the identity map ${displaystyle f~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~operatorname {Id} }$ on ${displaystyle X}$ ).

Premiere on product/function spaces, nets, and pointwise convergence

For every real ${displaystyle r,}$ ${displaystyle B_{r}~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~{cin mathbb {K}:|c|leq r}}$ will denote the closed ball of radius ${displaystyle r}$ centered at ${displaystyle 0}$ and ${displaystyle rU~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~{ru:uin U}}$ for any ${displaystyle Usubseteq X,}$

Identification of functions with tuples

The Cartesian product ${textstyle prod _{xin X}mathbb {K} }$ is usually thought of as the set of all ${displaystyle X}$ -indexed tuples ${displaystyle s_{bullet }=left(s_{x}right)_{xin X}}$ but, since tuples are technically just functions from an indexing set, it can also be identified with the space ${displaystyle mathbb {K} ^{X}}$ of all functions having prototype ${displaystyle Xto mathbb {K}}$ as is now described:

Function ${displaystyle to }$ Tuple: A function ${displaystyle s:Xto mathbb {K} }$ belonging to ${displaystyle mathbb {K} ^{X}}$ is identified with its ( ${displaystyle X}$ -indexed) "tuple of values" ${displaystyle s_{bullet }~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~(s(x))_{xin X}.}$
Tuple ${displaystyle to }$ Function: A tuple ${displaystyle s_{bullet }=left(s_{x}right)_{xin X}}$ in ${textstyle prod _{xin X}mathbb {K} }$ is identified with the function ${displaystyle s:Xto mathbb {K} }$ defined by ${displaystyle s(x)~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~s_{x}}$ ; this function's "tuple of values" is the original tuple ${displaystyle left(s_{x}right)_{xin X}.}$

This is the reason why many authors write, often without comment, the equality

{displaystyle mathbb {K} ^{X}=prod _{xin X}mathbb {K} }

and why the Cartesian product

{textstyle prod _{xin X}mathbb {K} }

is sometimes taken as the definition of the set of maps

{displaystyle mathbb {K} ^{X}}

(or conversely). However, the Cartesian product, being the (categorical) product in the category of sets (which is a type of inverse limit), also comes equipped with associated maps that are known as its (coordinate) projections.

The canonical projection of the Cartesian product at a given point ${displaystyle zin X}$ is the function

{displaystyle Pr {}_{z}:prod _{xin X}mathbb {K} to mathbb {K} quad {text{ defined by }}quad s_{bullet }=left(s_{x}right)_{xin X}mapsto s_{z}}

where under the above identification,

{displaystyle Pr {}_{z}}

sends a function

{displaystyle s:Xto mathbb {K} }

{displaystyle Pr {}_{z}(s)~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~s(z).}

Stated in words, for a point

{displaystyle z}

and function

{displaystyle s,}

"plugging

{displaystyle z}

into

{displaystyle s}

" is the same as "plugging

{displaystyle s}

into

{displaystyle Pr {}_{z}}

In particular, suppose that ${displaystyle left(r_{x}right)_{xin X}}$ are non-negative real numbers. Then ${displaystyle prod _{xin X}B_{r_{x}}subseteq prod _{xin X}mathbb {K} =mathbb {K} ^{X},}$ where under the above identification of tuples with functions, ${displaystyle prod _{xin X}B_{r_{x}}}$ is the set of all functions ${displaystyle sin mathbb {K} ^{X}}$ such that ${displaystyle s(x)in B_{r_{x}}}$ for every ${displaystyle xin X.}$

If a subset ${displaystyle Usubseteq X}$ partitions ${displaystyle X}$ into ${displaystyle X=U,cup ,(Xsetminus U)}$ then the linear bijection

{displaystyle {begin{alignedat}{4}H:;&&prod _{xin X}mathbb {K} &&;to ;&left(prod _{uin U}mathbb {K} right)times prod _{xin Xsetminus U}mathbb {K} \[0.3ex]&&left(f_{x}right)_{xin X}&&;mapsto ;&left(left(f_{u}right)_{uin U},;left(f_{x}right)_{xin Xsetminus U}right)\end{alignedat}}}

canonically identifies these two Cartesian products; moreover, this map is a homeomorphism when these products are endowed with their product topologies. In terms of function spaces, this bijection could be expressed as

{displaystyle {begin{alignedat}{4}H:;&&mathbb {K} ^{X}&&;to ;&mathbb {K} ^{U}times mathbb {K} ^{Xsetminus U}\[0.3ex]&&f&&;mapsto ;&left(f{big vert }_{U},;f{big vert }_{Xsetminus U}right)\end{alignedat}}.}

Notation for nets and function composition with nets

A net ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{i}right)_{iin I}}$ in ${displaystyle X}$ is by definition a function ${displaystyle x_{bullet }:Ito X}$ from a non-empty directed set ${displaystyle (I,leq).}$ Every sequence in ${displaystyle X,}$ which by definition is just a function of the form ${displaystyle mathbb {N} to X,}$ is also a net. As with sequences, the value of a net ${displaystyle x_{bullet }}$ at an index ${displaystyle iin I}$ is denoted by ${displaystyle x_{i}}$ ; however, for this proof, this value ${displaystyle x_{i}}$ may also be denoted by the usual function parentheses notation ${displaystyle x_{bullet }(i).}$ Similarly for function composition, if ${displaystyle F:Xto Y}$ is any function then the net (or sequence) that results from "plugging ${displaystyle x_{bullet }}$ into ${displaystyle F}$ " is just the function ${displaystyle Fcirc x_{bullet }:Ito Y,}$ although this is typically denoted by ${displaystyle left(Fleft(x_{i}right)right)_{iin I}}$ (or by ${displaystyle left(Fleft(x_{i}right)right)_{i=1}^{infty }}$ if ${displaystyle x_{bullet }}$ is a sequence). In the proofs below, this resulting net may be denoted by any of the following notations

{displaystyle Fleft(x_{bullet }right)=left(Fleft(x_{i}right)right)_{iin I}~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~Fcirc x_{bullet },}

depending on whichever notation is cleanest or most clearly communicates the intended information. In particular, if

{displaystyle F:Xto Y}

is continuous and

{displaystyle x_{bullet }to x}

{displaystyle X,}

then the conclusion commonly written as

{displaystyle left(Fleft(x_{i}right)right)_{iin I}to F(x)}

may instead be written as

{displaystyle Fleft(x_{bullet }right)to F(x)}

{displaystyle Fcirc x_{bullet }to F(x).}

Topology

The set ${textstyle mathbb {K} ^{X}=prod _{xin X}mathbb {K} }$ is assumed to be endowed with the product topology. It is well known that the product topology is identical to the topology of pointwise convergence. This is because given ${displaystyle f}$ and a net ${displaystyle left(f_{i}right)_{iin I},}$ where ${displaystyle f}$ and every ${displaystyle f_{i}}$ is an element of ${textstyle mathbb {K} ^{X}=prod _{xin X}mathbb {K}}$ then the net ${displaystyle left(f_{i}right)_{iin I}to f}$ converges in the product topology if and only if

for every

{displaystyle zin X,}

the net

{displaystyle Pr {}_{z}left(left(f_{i}right)_{iin I}right)to Pr {}_{z}(f)}

converges in

{displaystyle mathbb {K}}

where because ${displaystyle ;Pr {}_{z}(f)=f(z);}$ and ${textstyle Pr {}_{z}left(left(f_{i}right)_{iin I}right)~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~left(Pr {}_{z}left(f_{i}right)right)_{iin I}=left(f_{i}(z)right)_{iin I},}$ this happens if and only if

for every

{displaystyle zin X,}

the net

{displaystyle left(f_{i}(z)right)_{iin I}to f(z)}

converges in

{displaystyle mathbb {K}}

Thus ${displaystyle left(f_{i}right)_{iin I}}$ converges to ${displaystyle f}$ in the product topology if and only if it converges to ${displaystyle f}$ pointwise on ${displaystyle X.}$

This proof will also use the fact that the topology of pointwise convergence is preserved when passing to topological subspaces. This means, for example, that if for every ${displaystyle xin X,}$ ${displaystyle S_{x}subseteq mathbb {K} }$ is some (topological) subspace of ${displaystyle mathbb {K} }$ then the topology of pointwise convergence (or equivalently, the product topology) on ${textstyle prod _{xin X}S_{x}}$ is equal to the subspace topology that the set ${textstyle prod _{xin X}S_{x}}$ inherits from ${textstyle prod _{xin X}mathbb {K}.}$ And if ${displaystyle S_{x}}$ is closed in ${displaystyle mathbb {K} }$ for every ${displaystyle xin X,}$ then ${textstyle prod _{xin X}S_{x}}$ is a closed subset of ${textstyle prod _{xin X}mathbb {K}.}$

Characterization of ${displaystyle sup _{uin U}|f(u)|leq r}$

An important fact used by the proof is that for any real ${displaystyle r,}$

{displaystyle sup _{uin U}|f(u)|leq rqquad {text{ if and only if }}qquad f(U)subseteq B_{r}}

where

{displaystyle ,sup ,}

denotes the supremum and

{displaystyle f(U)~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~{f(u):uin U}.}

As a side note, this characterization does not hold if the closed ball

{displaystyle B_{r}}

is replaced with the open ball

{displaystyle {cin mathbb {K}:|c|<r}}

(and replacing

{displaystyle ;sup _{uin U}|f(u)|leq r;}

with the strict inequality

{displaystyle ;sup _{uin U}|f(u)|<r;}

will not change this; for counter-examples, consider

{displaystyle X~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~mathbb {K} }

and the identity map

{displaystyle f~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}}{=}}~operatorname {Id} }

{displaystyle X}

La esencia del teorema de Banach-Alaoglu se puede encontrar en la siguiente proposición, de la que sigue el teorema de Banach-Alaoglu. A diferencia del teorema Banach-Alaoglu, esta propuesta hace no requieren el espacio vectorial ${displaystyle X}$ para dotar con cualquier topología.

Proposición—Vamos ${displaystyle U}$ ser un subconjunto de un espacio vectorial ${displaystyle X}$ sobre el terreno ${displaystyle mathbb {K}$ (donde) ${displaystyle mathbb {K} =mathbb # Mathbb # {K} = 'Mathbb {C}$ ) y para cada número real ${displaystyle r,}$ dotar de la bola cerrada ${textstyle B_{r}~{si} {f} {f} {f}} {fnssssss}} {fn}}}}}\\\ssssssssssssssssssssssshnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnsssssshnshnhnhnhnhnhnhnsssss\\ss\\\\\\\\shnhnhnhnhn\\\\\shnh}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\ "Mathbb [K]: "Las vidas eternas"$ con su topología habitual ( ${displaystyle X}$ no necesita ser dotado con ninguna topología, pero ${displaystyle mathbb {K}$ tiene su topología Euclideana habitual). Define

{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {\f}}}}}}}} {\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Big X^{#}~sup _{uin U} arrestf(u) detainedleq 1{Big}}}

Si por cada ${displaystyle xin X,}$ ${displaystyle r_{x}0}$ es un número real tal que ${displaystyle xin r_{x}U,}$ entonces ${displaystyle U^{#}$ es un subespacio cerrado y compacto del espacio del producto ${displaystyle prod _{xin X}B_{r_{x}}}$ (donde debido a que esta topología de producto es idéntica a la topología de la convergencia puntual, que también se llama la topología débil-* en el análisis funcional, esto significa que ${displaystyle U^{#}$ es compacto en la topología débil-* o "paquete-*" para corto).

Antes de probar la proposición anterior, se muestra primero cómo el teorema Banach-Alaoglu sigue de él (a diferencia de la proposición, Banach-Alaoglu asume que ${displaystyle X}$ es un espacio vectorial topológico (TVS) y que ${displaystyle U}$ es un barrio del origen).

Prueba de que Banach-Alaoglu sigue de la proposición anterior

Supongamos que ${displaystyle X}$ es un espacio vectorial topológico con espacio dual continuo ${displaystyle X^{prime }$ y eso ${displaystyle U}$ es un barrio de origen. Porque... ${displaystyle U}$ es un barrio del origen en ${displaystyle X.$ es también un subconjunto absorbente de ${displaystyle X.$ así que para todos ${displaystyle xin X,}$ existe un número real ${displaystyle r_{x}0}$ tales que ${displaystyle xin r_{x}U.}$ Así las hipótesis de la propuesta anterior están satisfechas, y así el conjunto ${displaystyle U^{#}$ por lo tanto, es compacto en la topología débil-*. La prueba del teorema de Banach-Alaoglu será completa una vez que se demuestre que ${displaystyle ¿Qué?$ donde recuerda que ${displaystyle U^{circ }$ se define como

{displaystyle U^{circ }~{stackrel {scriptstyle {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {\f}}}}}}}} {\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Big X^{prime }~:~sup _{uin U} ♪♪♪♪♪♪♪♪ X^{prime }

Prueba de eso ${displaystyle U^{fnMicrosoft Sans Serif} - Sí.$ Porque... ${displaystyle U^{circ }=U^{#}cap X^{prime }$ la conclusión es equivalente a ${displaystyle U^{#}subseteq X^{prime }$ Si ${displaystyle fin U^{#}$ entonces ${displaystyle ;sup _{uin U}$ que declara exactamente que el funcionamiento lineal ${displaystyle f}$ está atado en el vecindario ${displaystyle U;}$ por lo tanto ${displaystyle f}$ es un funcional lineal continuo (es decir, ${displaystyle fin X^{prime }$ ), como se desee. ${displaystyle blacksquare }$

Prueba de la Proposición

El espacio del producto ${textstyle prod _{xin X}B_{r_{x}}}$ es compacto por el teorema de Tychonoff (desde cada bola cerrada ${displaystyle B_{r_{x}~ {scriptstyle {text{def}{=}~{sin mathbb {K}: ¿Qué?$ es un espacio compacto Hausdorff). Debido a que un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto, la prueba de la proposición será completa una vez que se muestra que

{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {\f}}}}}}}} {\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Big X^{#}~sup _{uin U} arrestf(u) detainedleq 1{Big {cHFF}}~=~left{fin X^{#}~f(U)subseteq B_{1}right}

es un subconjunto cerrado

{textstyle prod _{xin X}B_{r_{x}}}

Las siguientes declaraciones garantizan esta conclusión:

${displaystyle Subseteq prod _{xin X}B_{r_{x}}$
${displaystyle U^{#}$ es un subconjunto cerrado del espacio del producto ${displaystyle prod _{xin X}mathbb {K} =mathbb {K} } {X}$

Prueba de (1):

Para cualquier ${displaystyle zin X,}$ Deja ${textstyle Pr {}_{z}:prod _{xin X}mathbb {K} to mathbb {K}$ denota la proyección a la ${displaystyle z}$ ^T coordine (según se define más arriba). Para demostrarlo ${textstyle Subseteq prod _{xin X}B_{r_{x}}$ es suficiente (y necesario) para demostrar que ${displaystyle Pr {}_{x}left(U^{#}right)subseteq B_{r_{x}}$ para todos ${displaystyle xin X.}$ Así que... ${displaystyle xin X}$ y dejar ${displaystyle fin U^{#}$ Porque... ${fnMicrosoft Sans Serif}$ Queda por demostrar que ${displaystyle f(x)in B_{r_{x}}$ Recordad que ${displaystyle r_{x}0}$ se definió en la declaración de la proposición como cualquier número real positivo que satisfies ${displaystyle xin r_{x}U}$ (por ejemplo, ${displaystyle R_{u}:=1}$ sería una opción válida para cada uno ${displaystyle uin U}$ ), lo que implica ${displaystyle ,u_{x}~{stackrel {scriptstyle {fnMicroc} {fnMicroc} {1}{x},xin U.$ Porque... ${displaystyle f}$ es una función homogénea positiva que satisface ${displaystyle ;sup _{uin U}$

[displaystyle {frac {1}{x} {f(x) {1}{r_{x}}f(x)right sobre la vida=left foreverfleft({frac) {1}{r_{x}}xright)right sobre la vida=left hyperfleft(u_{x}right)right sobre la vida sup _{uin U} imperf(u) 1.}

Así ${displaystyle Silenciof(x)$ que muestra ${displaystyle f(x)in B_{r_{x}}}$ como se desee.

Prueba de (2):

El espacio dual algebraico ${displaystyle X^{#}$ es siempre un subconjunto cerrado de ${textstyle mathbb {K} {X}=prod _{xin X}mathbb {K}$ (esto se demuestra en la lema de abajo para los lectores que no están familiarizados con este resultado). El set

{displaystyle {begin{alignedat} {9}U_{B_{1} {fnMicrosoft Sans Serif} {scriptsstyle {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft {fnMicrosoft}} {f}} {f}} {fnMicrosoft}}}}}}ffnMientras, {f} Grande ################################################################################################################################################################################################################################################################ in mathbb {K} ^{X}~;~~ _{uin U}Silenciof(u) 1{Big}\\\\bign}\\\\\\\\cH3}\\\\\\cH3}\\\\\\\\\cH3}\\\cH3\\\\\\\\fn}}}}}\\\\\\\\\cH3\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\]}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\ ##############;~f,in mathbb {K} ^{X}~;~~~f(u)in B_{1}{text{ for all }uin U{big}\\\Big={}left(f_{x}right)_={s}s}s}s}s}s}s}s}s0}s}s0}s0}s0}s0s0s0s0s0}s0s0s00}s0s00}s0}s0s0s0}s0s0s00s00ccccH00s0ccccccH00ccccccH00cccccccc X}in prod _{xin X}mathbb {K} {f} {f} {f}f} {f}f}f}f}f}f} {f} {f}f} {f}}}f}f} {f} {f}f} {f}f}f}f}f}f} {f}f}f}}f}f}}}}}}f}}\\\f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {\\\\\\\\\\\\\\\\\f}f}c}f}\\f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}\\\\\\\\c}} U{Big}\\cH00cH00}cH00}quad {text{ Where }quad ¿Qué? {K} {text{ if }xnot in U\end{cases}\end{alignedat}}}

está cerrado en la topología del producto en

{displaystyle prod _{xin X}mathbb {K} =mathbb {K} {X}

ya que es un producto de subconjuntos cerrados de

{displaystyle mathbb {K}

Así

{displaystyle U_{B_{1}cap ¿Qué?

es una intersección de dos subconjuntos cerrados de

{displaystyle mathbb {K} ^{X}

que prueba (2).

{displaystyle blacksquare }

La conclusión de que el conjunto ${displaystyle U_{B_{1}=left{fin "Mathbb {K} ^{X}:f(U)subseteq B_{1}right}$ es cerrado también se puede alcanzar aplicando el siguiente resultado más general, esta vez probado utilizando redes, al caso especial ${displaystyle Y: {K}$ y ${displaystyle B:=B_{1}.}$

ObservaciónSi

{displaystyle Usubseteq X}

es cualquier conjunto y si

{displaystyle Bsubseteq Y}

es un subconjunto cerrado de un espacio topológico

{displaystyle Sí.

entonces

{displaystyle ¿Qué? Y^{X}:f(U)subseteq Bright}

es un subconjunto cerrado

{displaystyle Y^{X}

en la topología de la convergencia puntual.

Prueba de la observación#

{displaystyle fin Y^{X}

y suponer que

{displaystyle left(f_{i}right)_{iin I}

es una red

{displaystyle U_{B}

que converge a punto

{displaystyle f.}

Queda por demostrar que

{displaystyle fin U_{B}

por definición

{displaystyle f(U)subseteq B.}

Para cualquier

{displaystyle uin U,}

porque

{displaystyle left(f_{i}(u)right)_{iin I}to f(u)}

dentro

{displaystyle Sí.

y cada valor

{displaystyle f_{i}(u)in f_{i}(U)subseteq B}

pertenece al cerrado (en

{displaystyle Sí.

Subconjunto

{displaystyle B,}

así también debe el límite de esta red pertenecer a este conjunto cerrado; así

{displaystyle f(u)in B,}

que completa la prueba.

{displaystyle blacksquare }

Lemma ${displaystyle X^{#}$ está cerrado ${displaystyle mathbb {K} {X}}$ )—El espacio dual algebraico ${displaystyle X^{#}$ de cualquier espacio vectorial ${displaystyle X}$ sobre un terreno ${displaystyle mathbb {K}$ (donde) ${displaystyle mathbb {K}$ es ${displaystyle mathbb {R}$ o ${displaystyle mathbb {C}$ ) es un subconjunto cerrado de ${textstyle mathbb {K} {X}=prod _{xin X}mathbb {K}$ en la topología de la convergencia puntual. (El espacio vectorial ${displaystyle X}$ no necesita ser dotado con ninguna topología).

Prueba de la lema
Vamos ${displaystyle fin mathbb {K}$ y suponer que ${displaystyle f_{bullet }=left(f_{i}right)_{iin I}$ es una red ${displaystyle X^{#}$ las convergencias a ${displaystyle f}$ dentro ${displaystyle mathbb {K} ^{X}$ Para concluir, ${displaystyle fin X^{#},}$ debe demostrarse que ${displaystyle f}$ es un funcional lineal. Así que... ${displaystyle s}$ ser un scalar y dejar ${displaystyle x,yin X.}$ Para cualquier ${displaystyle zin X,}$ Deja ${displaystyle f_{bullet }(z):Ito mathbb {K}$ denota ${displaystyle f_{bullet}}$ 's red de valores en ${displaystyle z}$ ${displaystyle f_{bullet }(z)~{stackrel {scriptstyle {text{def}}{=}~left(f_{i}(z)right)_{iin Yo.$ Porque... ${displaystyle f_{bullet }to f}$ dentro ${displaystyle mathbb {K} ^{X}$ que tiene la topología de la convergencia puntual, ${displaystyle f_{bullet }(z)to f(z)}$ dentro ${displaystyle mathbb {K}$ para todos ${displaystyle zin X.}$ Usando ${displaystyle x,y,sx,{text{ and }x+y,}$ en lugar de ${displaystyle z,}$ sigue que cada una de las siguientes redes de escalares convergen en ${displaystyle mathbb {K}$ ${displaystyle f_{bullet }(x)to f(x),quad f_{bullet }(y)to f(y),quad f_{bullet }(x+y)to f(x+y),quad {text{ and }quad f_{bullet }(sx)to f(sx). }$ Prueba de eso ${displaystyle f(sx)=sf(x):}$ Vamos ${displaystyle M:mathbb {K} to mathbb {K}$ ser la "multiplicación por ${displaystyle s}$ " mapa definido por ${displaystyle M(c)~{scriptstyle {text{def}{=}}~sc.}$ Porque... ${displaystyle M}$ es continuo y ${displaystyle f_{bullet }(x)to f(x)}$ dentro ${displaystyle mathbb {K}$ sigue que ${displaystyle Mleft(f_{bullet }(x)right)to M(f(x)}$ donde está el lado derecho ${displaystyle M(f(x)=sf(x)}$ y el lado izquierdo es ${displaystyle {begin{alignedat}{4}Mleft(f_{bullet }(x)right){stackrel {scriptstyle {text{def}}{=}} {fnMicrosoft Sans Serif}(x) ####= âTMaleft(f_{i}(x)right)_{iin I}~~~{text{ because }f_{bullet }(x)=left(f_{i}(x)right)_{iin I 'to mathbb {K} \= golpe~left(sf_{i}(x)right)_{iin I} âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âscriptstyle {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} I} {text{ by linearity of {fnMicrosoft Sans Serif}$ que demuestra que ${displaystyle f_{bullet }(sx)to sf(x). }$ Porque también ${displaystyle f_{bullet }(sx)to f(sx)}$ y límites en ${displaystyle mathbb {K}$ son únicos, sigue que ${displaystyle sf(x)=f(sx),}$ como se desee. Prueba de eso ${displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y):}$ Define una red ${displaystyle z_{bullet }=left(z_{i}right)_{iin I}:Ito mathbb {K} times mathbb {K}$ por dejar ${displaystyle z_{i}~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}{=}~left(f_{i}(x),f_{i}(y)right)}$ para todos ${displaystyle iin I.}$ Porque... ${displaystyle f_{bullet }(x)=left(f_{i}(x)right)_{iin I}to f(x)}$ y ${displaystyle f_{bullet }(y)=left(f_{i}(y)right)_{iin I}to f(y),}$ sigue que ${displaystyle z_{bullet }to (f(x),f(y)}$ dentro ${displaystyle mathbb {K} times mathbb {K}$ Vamos ${displaystyle A:mathbb {K} times mathbb {K} to mathbb {K}$ ser el mapa de adición definido por ${displaystyle A(x,y)~{stackrel {scriptscriptstyle Sí.$ La continuidad de ${displaystyle A}$ implica que ${displaystyle Aleft(z_{bullet }right)to A(f(x),f(y)}$ dentro ${displaystyle mathbb {K}$ donde está el lado derecho ${displaystyle A(f(x),f(y))=f(x)+f(y)}$ y el lado izquierdo es ${displaystyle Aleft(z_{bullet }right)~{stackrel {scriptstyle {text{def}}}{=}}}}~Acirc z_{bullet }=left(Aleft(z_{i}right)right)_{iin] I}=left(Aleft(f_{i}(x),f_{i}(y)right)_{iin) I}=left(f_{i}(x)+f_{i}(y)right)_{iin I}=left(f_{i}(x+y)right)_{iin I}=f_{bullet }(x+y)}$ que demuestra que ${displaystyle f_{bullet }(x+y)to f(x)+f(y). }$ Porque también ${displaystyle f_{bullet }(x+y)to f(x+y),}$ sigue que ${displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$ como se desee. ${displaystyle blacksquare }$

Prueba de la lema

Vamos ${displaystyle fin mathbb {K}$ y suponer que ${displaystyle f_{bullet }=left(f_{i}right)_{iin I}$ es una red ${displaystyle X^{#}$ las convergencias a ${displaystyle f}$ dentro ${displaystyle mathbb {K} ^{X}$ Para concluir, ${displaystyle fin X^{#},}$ debe demostrarse que ${displaystyle f}$ es un funcional lineal. Así que... ${displaystyle s}$ ser un scalar y dejar ${displaystyle x,yin X.}$

Para cualquier ${displaystyle zin X,}$ Deja ${displaystyle f_{bullet }(z):Ito mathbb {K}$ denota ${displaystyle f_{bullet}}$ 's red de valores en ${displaystyle z}$

{displaystyle f_{bullet }(z)~{stackrel {scriptstyle {text{def}}{=}~left(f_{i}(z)right)_{iin Yo.

Porque...

{displaystyle f_{bullet }to f}

dentro

{displaystyle mathbb {K} ^{X}

que tiene la topología de la convergencia puntual,

{displaystyle f_{bullet }(z)to f(z)}

dentro

{displaystyle mathbb {K}

para todos

{displaystyle zin X.}

Usando

{displaystyle x,y,sx,{text{ and }x+y,}

en lugar de

{displaystyle z,}

sigue que cada una de las siguientes redes de escalares convergen en

{displaystyle mathbb {K}

{displaystyle f_{bullet }(x)to f(x),quad f_{bullet }(y)to f(y),quad f_{bullet }(x+y)to f(x+y),quad {text{ and }quad f_{bullet }(sx)to f(sx). }

Prueba de eso ${displaystyle f(sx)=sf(x):}$ Vamos ${displaystyle M:mathbb {K} to mathbb {K}$ ser la "multiplicación por ${displaystyle s}$ " mapa definido por ${displaystyle M(c)~{scriptstyle {text{def}{=}}~sc.}$ Porque... ${displaystyle M}$ es continuo y ${displaystyle f_{bullet }(x)to f(x)}$ dentro ${displaystyle mathbb {K}$ sigue que ${displaystyle Mleft(f_{bullet }(x)right)to M(f(x)}$ donde está el lado derecho ${displaystyle M(f(x)=sf(x)}$ y el lado izquierdo es

{displaystyle {begin{alignedat}{4}Mleft(f_{bullet }(x)right){stackrel {scriptstyle {text{def}}{=}} {fnMicrosoft Sans Serif}(x) ####= âTMaleft(f_{i}(x)right)_{iin I}~~~{text{ because }f_{bullet }(x)=left(f_{i}(x)right)_{iin I 'to mathbb {K} \= golpe~left(sf_{i}(x)right)_{iin I} âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âscriptstyle {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} I} {text{ by linearity of {fnMicrosoft Sans Serif}

que demuestra que

{displaystyle f_{bullet }(sx)to sf(x). }

Porque también

{displaystyle f_{bullet }(sx)to f(sx)}

y límites en

{displaystyle mathbb {K}

son únicos, sigue que

{displaystyle sf(x)=f(sx),}

como se desee.

Prueba de eso ${displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y):}$ Define una red ${displaystyle z_{bullet }=left(z_{i}right)_{iin I}:Ito mathbb {K} times mathbb {K}$ por dejar ${displaystyle z_{i}~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}}{=}~left(f_{i}(x),f_{i}(y)right)}$ para todos ${displaystyle iin I.}$ Porque... ${displaystyle f_{bullet }(x)=left(f_{i}(x)right)_{iin I}to f(x)}$ y ${displaystyle f_{bullet }(y)=left(f_{i}(y)right)_{iin I}to f(y),}$ sigue que ${displaystyle z_{bullet }to (f(x),f(y)}$ dentro ${displaystyle mathbb {K} times mathbb {K}$ Vamos ${displaystyle A:mathbb {K} times mathbb {K} to mathbb {K}$ ser el mapa de adición definido por ${displaystyle A(x,y)~{stackrel {scriptscriptstyle Sí.$ La continuidad de ${displaystyle A}$ implica que ${displaystyle Aleft(z_{bullet }right)to A(f(x),f(y)}$ dentro ${displaystyle mathbb {K}$ donde está el lado derecho ${displaystyle A(f(x),f(y))=f(x)+f(y)}$ y el lado izquierdo es

{displaystyle Aleft(z_{bullet }right)~{stackrel {scriptstyle {text{def}}}{=}}}}~Acirc z_{bullet }=left(Aleft(z_{i}right)right)_{iin] I}=left(Aleft(f_{i}(x),f_{i}(y)right)_{iin) I}=left(f_{i}(x)+f_{i}(y)right)_{iin I}=left(f_{i}(x+y)right)_{iin I}=f_{bullet }(x+y)}

que demuestra que

{displaystyle f_{bullet }(x+y)to f(x)+f(y). }

Porque también

{displaystyle f_{bullet }(x+y)to f(x+y),}

sigue que

{displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}

como se desee.

{displaystyle blacksquare }

El lema anterior también se deriva de su corolario a continuación desde ${displaystyle prod _{xin X}mathbb {K}$ es un espacio uniforme completo Hausdorff y cualquier subconjunto de dicho espacio (en particular ${displaystyle X^{#}$ ) está cerrado si y sólo si está completo.

Corollario a lemma ${displaystyle X^{#}$ es débil* completo)—Cuando el espacio dual algebraico ${displaystyle X^{#}$ de un espacio vectorial ${displaystyle X}$ está equipado con la topología ${displaystyle sigma left(X^{#},Xright)}$ de la convergencia puntual (también conocida como la topología débil-*) entonces el espacio topológico resultante ${displaystyle left(X^{#},sigma left(X^{#},Xright)right)}$ es un completo espacio vectorial localmente convexo Hausdorff.

Proof of corollary to lemma
Porque el campo subyacente ${displaystyle mathbb {K}$ es un completo Hausdorff localmente convex espacio vectorial topológico, lo mismo es cierto del espacio del producto ${textstyle mathbb {K} {X}=prod _{xin X}mathbb {K}.}$ Un subconjunto cerrado de un espacio completo está completo, por lo que por la lema, el espacio ${displaystyle left(X^{#},sigma left(X^{#},Xright)right)}$ está completo. ${displaystyle blacksquare }$

Proof of corollary to lemma

Porque el campo subyacente ${displaystyle mathbb {K}$ es un completo Hausdorff localmente convex espacio vectorial topológico, lo mismo es cierto del espacio del producto ${textstyle mathbb {K} {X}=prod _{xin X}mathbb {K}.}$ Un subconjunto cerrado de un espacio completo está completo, por lo que por la lema, el espacio ${displaystyle left(X^{#},sigma left(X^{#},Xright)right)}$ está completo. ${displaystyle blacksquare }$

La prueba elemental anterior del teorema de Banach-Alaoglu muestra realmente que si ${displaystyle Usubseteq X}$ es cualquier subconjunto que satisfice ${displaystyle X=(0,infty)U~{stackrel {scriptstyle {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}}} {f}}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft}}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { { {\\\\\\ru:r}Rru: U}$ (como cualquier subconjunto absorbente de ${displaystyle X}$ ), entonces ${displaystyle ¿Qué? X^{#}:f(U)subseteq B_{1}right}$ es un subconjunto compacto débil* ${displaystyle X^{#}$

Como nota lateral, con la ayuda de la prueba elemental anterior, puede ser mostrada (ver esta nota de pie de página) que existen ${displaystyle X}$ - Números reales no negativos indexados ${displaystyle m_{bullet }=left(m_{x}right)_{xin X}$ tales que

{displaystyle {begin{alignedat}{4}U^{circ} - ¿Por qué? X}B_{m_{x}\=X^{prime } Condenadocap prod _{xin ¿Qué?

{displaystyle #

{displaystyle P~{stackrel {scriptscriptstyle {text{def}{=}~U^{circ} }

{displaystyle P=U^{#}}

{displaystyle prod B_{R_{bullet {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {f}}}}prod ¿Por qué?

{displaystyle R_{bullet }=left(R_{x}right)_{xin En mathbb {R}

{displaystyle T_{P}~{stackrel {scriptstyle {text{def}{=}~left{R_{bulet }in mathbb [R] ^{X}~:~Psubseteq prod B_{R_{bullet }right}

{displaystyle M_{bullet }in T_{P}

{displaystyle xin X,}

{displaystyle m_{x}=inf left{R_{x}:R_{bullet }in T_{P}right}

{displaystyle #

De hecho, si ${displaystyle operatorname {Box} _{P}$ denota el conjunto de todos estos productos de bolas cerradas que contienen el conjunto polar ${displaystyle P,}$

{displaystyle operatorname {Box} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {f}} {fnMicrosoft}} {f}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}}fnMicrosoft} B_{R_{bullet }~R_{bullet }in T_{P}right}~=~left{prod B_{R_{bullet }~Psubseteq prod Bien.

{textstyle prod B_{m_{bullet #=cap operatorname {Box} _{P}in operatorname {Box}

{textstyle bigcap operatorname {Box}

{displaystyle operatorname {Box} _{P}

Esto implica (entre otras cosas) que ${textstyle prod B_{m_{bullet }=prod _{xin X}B_{m_{x}}$ el elemento mínimo único ${displaystyle operatorname {Box} _{P}$ con respecto a ${displaystyle ,subseteq;}$ esto se puede utilizar como una definición alternativa de este conjunto (necesariamente convexo y equilibrado). La función ${displaystyle m_{bullet ##{stackrel {scriptscriptstyle - ¿Qué?$ es un seminorm y no cambia si ${displaystyle U}$ es reemplazado por el casco equilibrado de convex ${displaystyle U}$ (porque ${displaystyle U^{#}=[nombre del operador ¿Qué?$ ). Del mismo modo, porque ${displaystyle U^{circ }=left[nombre de operador {cl} ¿Qué?$ ${displaystyle #$ también es invariable si ${displaystyle U}$ se sustituye por su cierre ${displaystyle X.}$

Teorema secuencial de Banach-Alaoglu

Un caso especial del teorema de Banach-Alaoglu es la versión secuencial del teorema, que afirma que la bola unitaria cerrada del espacio dual de un espacio vectorial normado separable es secuencialmente compacta en la topología débil-*. De hecho, la topología débil* en la bola unitaria cerrada del dual de un espacio separable es metrizable y, por tanto, la compacidad y la compacidad secuencial son equivalentes.

Específicamente, ${displaystyle X}$ ser un espacio separado ${displaystyle B}$ la bola de unidad cerrada en ${displaystyle X^{prime }$ Desde ${displaystyle X}$ es separable, ${displaystyle x_{bullet }=left(x_{n}right)_{n=1}{infty }}$ ser un subconjunto denso contable. Entonces el siguiente define una métrica, donde para cualquier ${displaystyle x,yin B}$

{displaystyle rho (x,y)=sum _{n=1}{infty },2^{-n},{frac {left WordPresslangle x-y,x_{n}rangle right WordPress}{1+left WordPresslangle x-y,x_{n}}}}}

{displaystyle langle cdotcdot rangle }

{displaystyle X^{prime }

{displaystyle X.}

{displaystyle B}

Debido a la naturaleza constructiva de su prueba (a diferencia del caso general, que se basa en el axioma de la elección), el teorema secuencial Banach-Alaoglu se utiliza a menudo en el campo de ecuaciones diferenciales parciales para construir soluciones a PDE o problemas de variación. Por ejemplo, si uno quiere minimizar un funcional ${displaystyle F:X^{prime }to mathbb {R}$ en el doble de un espacio vectorial separado ${displaystyle X.$ una estrategia común es construir primero una secuencia de minimización ${displaystyle x_{1},x_{2},ldots in X^{prime }$ que se acerca al infimum de ${displaystyle F,}$ utilizar el teorema secuencial de Banach–Alaoglu para extraer una subsequencia que converge en la débil* topología a un límite ${displaystyle x,}$ y luego establecer que ${displaystyle x}$ es un minimizador de ${displaystyle F.}$ El último paso a menudo requiere ${displaystyle F}$ para obedecer una propiedad semi-continuidad inferior (sequencial) en la topología débil*.

Cuando ${displaystyle X^{prime }$ es el espacio de medidas finitas de Radon en la línea real (para que ${displaystyle X=C_{0}(mathbb {R})}$ es el espacio de funciones continuas que desaparecen en el infinito, por el teorema de representación Riesz), el teorema secuencial Banach–Alaoglu es equivalente al teorema de selección Helly.

Prueba

Por todos ${displaystyle xin X,}$ Deja

{displaystyle D_{x}={cin mathbb {C}:

y dejar

{displaystyle D=prod _{xin X}D_{x}

estar dotado con la topología del producto. Porque todos

{displaystyle D_{x}

es un subconjunto compacto del plano complejo, el teorema de Tychonoff garantiza que su producto

{displaystyle D}

es compacto.

La bola de unidad cerrada en ${displaystyle X^{prime }$ denotado por ${displaystyle B.$ puede ser identificado como un subconjunto de ${displaystyle D}$ de manera natural:

{displaystyle {begin{alignedat}{4}F:; creciendo ligeramenteB_{1}^{\,prime } lentamente;to;to; Pulsando[0.3ex] Podrían ser un éxito. X}

Este mapa es inyectable y es continuo cuando ${displaystyle B.$ tiene la topología débil. Este mapa es inverso, definido en su imagen, también es continuo.

Ahora se mostrará que la imagen del mapa anterior está cerrada, que completará la prueba del teorema. Dado un punto ${displaystyle lambda _{bullet }=left(lambda) ¿Por qué? X}in D}$ y una red ${displaystyle left(f_{i}(x)right)_{xin X}$ en la imagen de ${displaystyle F}$ indexado por ${displaystyle iin I}$ tales que

{displaystyle lim _{i}left(f_{i}(x)right)_{xin X}to lambda _{bullet }quad {text{ in }D,}

el funcional

{displaystyle g: Xto mathbb {C}

definidas por

{displaystyle g(x)=lambda ¿Por qué? X.

mentiras

{displaystyle B.

{displaystyle F(g)=lambda _{bullet }

{displaystyle blacksquare }

Consecuencias

Consecuencias para los espacios normados

Supongamos que ${displaystyle X}$ es un espacio normal y dotar de su espacio dual continuo ${displaystyle X^{prime }$ con la norma dual habitual.

La bola de unidad cerrada en ${displaystyle X^{prime }$ es débil* compacto. Así que si ${displaystyle X^{prime }$ es infinita dimensional entonces su bola de unidad cerrada es necesariamente no compacto en la topología de la norma por el teorema de F. Riesz (a pesar de ser débil-* compacto).
Un espacio de Banach es reflexivo si y sólo si su bola de unidad cerrada es ${displaystyle sigma left(X,X^{prime }right)}$ Esto se conoce como teorema de James.
Si ${displaystyle X}$ es un espacio de Banach reflexivo, luego cada secuencia atada en ${displaystyle X}$ tiene una subsequencia débilmente convergente. (Esto sigue aplicando el teorema de Banach-Alaoglu a un subespacio débilmente metrodisoluble ${displaystyle X}$ ; o, más sucintamente, aplicando el teorema Eberlein-Šmulian.) Por ejemplo, supongamos que ${displaystyle X}$ es el espacio Lp espacio ${displaystyle L^{p}(mu)}$ Donde ${displaystyle 1 seccionó]$ y dejar ${displaystyle q}$ satisfacer satisfacción ${displaystyle {frac {}{}}+{frac} {1}{q}=1.}$ Vamos ${displaystyle F_{1},f_{2},ldots }$ ser una secuencia atada de funciones en ${displaystyle X.}$ Entonces existe una subsequencia ${displaystyle left(f_{n_{k}right)_{k=1}{infty }$ y un ${displaystyle fin X}$ tales que ${displaystyle int f_{n_{k}}g,dmutoint fg,dmu qquad {text{ for all }gin L^{q}(mu)=X^{prime }$ El resultado correspondiente ${displaystyle p=1}$ no es verdad, como ${displaystyle L^{1}(mu)}$ no es reflexivo.

Consecuencias para los espacios de Hilbert

En un espacio Hilbert, cada conjunto atado y cerrado es débilmente relativamente compacto, por lo tanto cada red atada tiene una subred débilmente convergente (los espacios de Hilbert son reflexivos).
Como los conjuntos de convex cerrados por norma están débilmente cerrados (Teorema de Hahn-Banach), nim-closures de conjuntos convexos atados en los espacios de Hilbert o los espacios de Banach reflexivos son débilmente compactos.
Conjuntos cerrados y atados ${displaystyle B(H)}$ son precompactados con respecto a la topología débil del operador (la topología débil del operador es más débil que la topología ultraweak que a su vez es la topología débil-* con respecto al predual de ${displaystyle B(H),}$ los operadores de traza). Por lo tanto, secuencias limitadas de operadores tienen un punto de acumulación débil. En consecuencia, ${displaystyle B(H)}$ tiene la propiedad Heine-Borel, si está equipada con el operador débil o la topología ultraweak.

Relación con el axioma de elección y otros enunciados

El Banach-Alaoglu puede demostrarse utilizando el teorema de Tychonoff, que según el marco axiomático de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) es equivalente al axioma de elección. La mayoría de los análisis funcionales convencionales se basan en ZF + el axioma de elección, que a menudo se denota por ZFC. Sin embargo, el teorema no se basa en el axioma de elección en el caso separable (ver arriba): en este caso realmente existe una prueba constructiva. En el caso general de un espacio normado arbitrario, el lema del ultrafiltro, que es estrictamente más débil que el axioma de elección y equivalente al teorema de Tychonoff para espacios compactos de Hausdorff, es suficiente para demostrar la Teorema de Banach-Alaoglu y, de hecho, es equivalente a él.

El teorema de Banach-Alaoglu es equivalente al lema del ultrafiltro, que implica el teorema de Hahn-Banach para espacios vectoriales reales (HB ) pero no es equivalente (dicho de otra manera, Banach–Alaoglu también es estrictamente más fuerte que HB). Sin embargo, el teorema de Hahn-Banach es equivalente a la siguiente versión débil del teorema de Banach-Alaoglu para el espacio normado en el que la conclusión de compacidad (en la topología débil-* de la bola unitaria cerrada del espacio dual) se reemplaza por la conclusión de cuasicompacidad (también llamada a veces compacidad convexa);

Versión débil de Alaoglu theorem—Vamos ${displaystyle X}$ ser un espacio normal y dejar ${displaystyle B}$ denota la bola de unidad cerrada de su espacio dual continuo ${displaystyle X^{prime }$ Entonces... ${displaystyle B}$ tiene la siguiente propiedad, que se llama (depósito*) cuasicompactitud o convex compactnessSiempre ${displaystyle {fnMithcal}}$ es una cubierta de ${displaystyle B}$ por convex débiles* subconjuntos cerrados de ${displaystyle X^{prime }$ tales que ${displaystyle {cHFF}$ tiene la propiedad de intersección finita, entonces ${displaystyle Bcap bigcap ¿Por qué? {C}}C}$ no está vacío.

La compacidad implica compacidad convexa porque un espacio topológico es compacto si y sólo si cada familia de subconjuntos cerrados que tienen la propiedad de intersección finita (FIP) tiene una intersección no vacía. La definición de compacidad convexa es similar a esta caracterización de espacios compactos en términos del FIP, excepto que solo involucra aquellos subconjuntos cerrados que también son convexos (en lugar de todos los subconjuntos cerrados).

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