Tensor métrico

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Estructura que define la distancia en un múltiple

En el campo matemático de la geometría diferencial, un tensor métrico (o simplemente métrico) es una estructura adicional en una variedad $M$ (como una superficie) que permite definir distancias y ángulos, al igual que el producto interior en un espacio euclidiano permite definir allí distancias y ángulos. Más precisamente, un tensor métrico en un punto $p$ de $M$ es una forma bilineal definida en el espacio tangente en $p$ (es decir, una función bilineal que asigna pares de vectores tangentes a números reales), y un tensor métrico en $M$ consta de un tensor métrico en cada punto $p$ de $M$ que varía suavemente con $p$ .

Un tensor métrico $g$ es positivo-definido si $g (v, v) > 0$ para cada vector distinto de cero $v$ . Una variedad equipada con un tensor métrico definido positivo se conoce como variedad de Riemann. Tal tensor métrico puede considerarse como una distancia infinitesimal especificada en la variedad. En una variedad de Riemann $M$ , la longitud de una curva suave entre dos puntos $p$ y $q$ se pueden definir por integración, y la distancia entre $p$ y $q$ se pueden definir como el mínimo de las longitudes de todas esas curvas; esto hace que $M$ sea un espacio métrico. Por el contrario, el propio tensor métrico es la derivada de la función de distancia (tomada de manera adecuada).

Si bien la noción de un tensor métrico era conocida en cierto sentido por matemáticos como Gauss desde principios del siglo XIX, no fue hasta principios del siglo XX que sus propiedades como tensor fueron comprendidas, en particular, por Gregorio Ricci- Curbastro y Tullio Levi-Civita, quienes fueron los primeros en codificar la noción de tensor. El tensor métrico es un ejemplo de campo tensor.

Los componentes de un tensor métrico en una base de coordenadas toman la forma de una matriz simétrica cuyas entradas se transforman covariablemente bajo cambios en el sistema de coordenadas. Así, un tensor métrico es un tensor simétrico covariante. Desde el punto de vista independiente de las coordenadas, un campo tensorial métrico se define como una forma bilineal simétrica no degenerada en cada espacio tangente que varía suavemente de un punto a otro.

Introducción

Carl Friedrich Gauss en sus Disquisitiones generales circa superficies curvas de 1827 (Investigaciones generales de superficies curvas) consideró una superficie paramétricamente, con las coordenadas cartesianas $x$ , $y$ y $z$ de puntos en la superficie en función de dos variables auxiliares $u$ y $v$ . Por lo tanto, una superficie paramétrica es (en los términos actuales) una función con valores vectoriales

{displaystyle {vec {r}}(u,,v)={bigl (}x(u,,v),,y(u,,v),,z(u,,v){bigr)}}

dependiendo de un par ordenado de variables reales $(u, v)$ , y definidas en un conjunto abierto $D$ en $uv$ - avión. Uno de los principales objetivos de las investigaciones de Gauss fue deducir aquellas características de la superficie que podrían ser descritas por una función que permanecería sin cambios si la superficie sufriera una transformación en el espacio (como doblar la superficie sin estirarla), o un cambio en la forma paramétrica particular de la misma superficie geométrica.

Una de esas cantidades invariantes naturales es la longitud de una curva dibujada a lo largo de la superficie. Otro es el ángulo entre un par de curvas trazadas a lo largo de la superficie y que se encuentran en un punto común. Una tercera cantidad de este tipo es el área de una parte de la superficie. El estudio de estas invariantes de una superficie llevó a Gauss a introducir el antecesor de la noción moderna del tensor métrico.

El tensor métrico es ${textstyle {begin{bmatrix}E&F\F&Gend{bmatrix}}}$ en la descripción a continuación; E, F, y G en la matriz puede contener cualquier número mientras la matriz sea positiva definida.

Longitud de arco

Si las variables $u$ y $v$ se toman como dependientes de una tercera variable, $t$ , tomando valores en un intervalo $[a, b]$ , luego $r \to (u (t), v (t))$ trazará una curva paramétrica en la superficie paramétrica $M$ . La longitud del arco de esa curva viene dada por la integral

{displaystyle {begin{aligned}s&=int _{a}^{b}left|{frac {d}{dt}}{vec {r}}(u(t),v(t))right|,dt\[5pt]&=int _{a}^{b}{sqrt {u'(t)^{2},{vec {r}}_{u}cdot {vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t),{vec {r}}_{u}cdot {vec {r}}_{v}+v'(t)^{2},{vec {r}}_{v}cdot {vec {r}}_{v}}},dt,,end{aligned}}}

Donde $left| cdot right|$ representa la norma Euclideana. Aquí se ha aplicado la regla de cadena, y los subscriptos denotan derivados parciales:

{displaystyle {vec {r}}_{u}={frac {partial {vec {r}}}{partial u}},,quad {vec {r}}_{v}={frac {partial {vec {r}}}{partial v}},.}

El integrando es la restricción a la curva de la raíz cuadrada del diferencial (cuadrático)

{displaystyle (ds)^{2}=E,(du)^{2}+2F,du,dv+G,(dv)^{2},}

()1)

dónde

{displaystyle E={vec {r}}_{u}cdot {vec {r}}_{u},quad F={vec {r}}_{u}cdot {vec {r}}_{v},quad G={vec {r}}_{v}cdot {vec {r}}_{v}.}

()2)

La cantidad $ds$ en (1) se denomina elemento de línea, mientras que $ds 2$ se llama la primera forma fundamental de $M$ . Intuitivamente, representa la parte principal del cuadrado del desplazamiento sufrido por $r \to (u, v)$ cuando $u$ se incrementa en $du$ unidades, y $v$ se incrementa en $dv unidades.$

Usando la notación matricial, la primera forma fundamental se convierte en

{displaystyle ds^{2}={begin{bmatrix}du&dvend{bmatrix}}{begin{bmatrix}E&F\F&Gend{bmatrix}}{begin{bmatrix}du\dvend{bmatrix}}}

Transformaciones de coordenadas

Suponga ahora que se selecciona una parametrización diferente, permitiendo $u$ y $v$ para depender de otro par de variables $u'$ y $v'$ . Entonces el análogo de (2) para las nuevas variables es

{displaystyle E'={vec {r}}_{u'}cdot {vec {r}}_{u'},quad F'={vec {r}}_{u'}cdot {vec {r}}_{v'},quad G'={vec {r}}_{v'}cdot {vec {r}}_{v'}.}

()2 ')

La regla de la cadena relaciona $E'$ , $F'$ y $G'$ a $E$ , $F$ , y $G$ vía la ecuación matricial

{displaystyle {begin{bmatrix}E'&F'\F'&G'end{bmatrix}}={begin{bmatrix}{frac {partial u}{partial u'}}&{frac {partial u}{partial v'}}\{frac {partial v}{partial u'}}&{frac {partial v}{partial v'}}end{bmatrix}}^{mathsf {T}}{begin{bmatrix}E&F\F&Gend{bmatrix}}{begin{bmatrix}{frac {partial u}{partial u'}}&{frac {partial u}{partial v'}}\{frac {partial v}{partial u'}}&{frac {partial v}{partial v'}}end{bmatrix}}}

()3)

donde el superíndice T denota la matriz transpuesta. La matriz con los coeficientes $E$ , $F$ , y $G$ dispuestas de esta manera, por lo tanto, se transforma por la matriz jacobiana del cambio de coordenadas

{displaystyle J={begin{bmatrix}{frac {partial u}{partial u'}}&{frac {partial u}{partial v'}}\{frac {partial v}{partial u'}}&{frac {partial v}{partial v'}}end{bmatrix}},.}

Una matriz que se transforma de esta manera es un tipo de lo que se llama un tensor. La matriz

{displaystyle {begin{bmatrix}E&F\F&Gend{bmatrix}}}

con la ley de transformación (3) se conoce como el tensor métrico de la superficie.

Invariancia de la longitud del arco bajo transformaciones de coordenadas

Ricci-Curbastro & Levi-Civita (1900) observó por primera vez la importancia de un sistema de coeficientes $E$ , $F$ , y $G$ , que se transformaban así al pasar de una sistema de coordenadas a otro. El resultado es que la primera forma fundamental (1) es invariante bajo cambios en el sistema de coordenadas, y que esto se sigue exclusivamente de las propiedades de transformación de $E$ , $F$ y $G$ . En efecto, por la regla de la cadena,

{displaystyle {begin{bmatrix}du\dvend{bmatrix}}={begin{bmatrix}{dfrac {partial u}{partial u'}}&{dfrac {partial u}{partial v'}}\{dfrac {partial v}{partial u'}}&{dfrac {partial v}{partial v'}}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}du'\dv'end{bmatrix}}}

para que

{displaystyle {begin{aligned}ds^{2}&={begin{bmatrix}du&dvend{bmatrix}}{begin{bmatrix}E&F\F&Gend{bmatrix}}{begin{bmatrix}du\dvend{bmatrix}}\[6pt]&={begin{bmatrix}du'&dv'end{bmatrix}}{begin{bmatrix}{dfrac {partial u}{partial u'}}&{dfrac {partial u}{partial v'}}\[6pt]{dfrac {partial v}{partial u'}}&{dfrac {partial v}{partial v'}}end{bmatrix}}^{mathsf {T}}{begin{bmatrix}E&F\F&Gend{bmatrix}}{begin{bmatrix}{dfrac {partial u}{partial u'}}&{dfrac {partial u}{partial v'}}\[6pt]{dfrac {partial v}{partial u'}}&{dfrac {partial v}{partial v'}}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}du'\dv'end{bmatrix}}\[6pt]&={begin{bmatrix}du'&dv'end{bmatrix}}{begin{bmatrix}E'&F'\F'&G'end{bmatrix}}{begin{bmatrix}du'\dv'end{bmatrix}}\[6pt]&=(ds')^{2},.end{aligned}}}

Longitud y ángulo

Otra interpretación del tensor métrico, también considerada por Gauss, es que proporciona una forma de calcular la longitud de los vectores tangentes a la superficie, así como el ángulo entre dos vectores tangentes. En términos contemporáneos, el tensor métrico permite calcular el producto escalar (geometría no euclidiana) de vectores tangentes de una manera independiente de la descripción paramétrica de la superficie. Cualquier vector tangente en un punto de la superficie paramétrica $M$ se puede escribir en la forma

{displaystyle mathbf {p} =p_{1}{vec {r}}_{u}+p_{2}{vec {r}}_{v}}

para números reales adecuados $p 1$ y $p 2$ . Si se dan dos vectores tangentes:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {a} &=a_{1}{vec {r}}_{u}+a_{2}{vec {r}}_{v}\mathbf {b} &=b_{1}{vec {r}}_{u}+b_{2}{vec {r}}_{v}end{aligned}}}

luego, usando la bilinealidad del producto escalar,

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {a} cdot mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{vec {r}}_{u}cdot {vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{vec {r}}_{u}cdot {vec {r}}_{v}+a_{2}b_{1}{vec {r}}_{v}cdot {vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{vec {r}}_{v}cdot {vec {r}}_{v}\[8pt]&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G.\[8pt]&={begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}E&F\F&Gend{bmatrix}}{begin{bmatrix}b_{1}\b_{2}end{bmatrix}},.end{aligned}}}

Esto es simplemente una función de las cuatro variables $a 1$ , $b 1$ , $a 2$ , y $b 2$ . Sin embargo, es más rentable verlo como una función que toma un par de argumentos $a = [a 1 a 2]$ y $b = [b 1 b 2]$ que son vectores en el $uv$ -plano. es decir, poner

{displaystyle g(mathbf {a}mathbf {b})=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G,.}

Esta es una función simétrica en $a$ y $b$ , significa que

{displaystyle g(mathbf {a}mathbf {b})=g(mathbf {b}mathbf {a}),.}

También es bilineal, lo que significa que es lineal en cada variable $a$ y $b$ por separado. Eso es,

{displaystyle {begin{aligned}gleft(lambda mathbf {a} +mu mathbf {a} ',mathbf {b} right)&=lambda g(mathbf {a}mathbf {b})+mu gleft(mathbf {a} ',mathbf {b} right),quad {text{and}}\gleft(mathbf {a}lambda mathbf {b} +mu mathbf {b} 'right)&=lambda g(mathbf {a}mathbf {b})+mu gleft(mathbf {a}mathbf {b} 'right)end{aligned}}}

para cualquier vector $a$ , $a'$ , b, y $b'$ en el $uv$ plano y cualquier número real $μ$ y $λ$ .

En particular, la longitud de un vector tangente $a$ viene dada por

{displaystyle left|mathbf {a} right|={sqrt {g(mathbf {a}mathbf {a})}}}

y el ángulo $θ$ entre dos vectores $a$ y $b$ se calcula mediante

{displaystyle cos(theta)={frac {g(mathbf {a}mathbf {b})}{left|mathbf {a} right|left|mathbf {b} right|}},.}

Área

El área de la superficie es otra cantidad numérica que debe depender solo de la superficie en sí, y no de cómo se parametriza. Si la superficie $M$ está parametrizada por la función $r \to (u, v)$ sobre el dominio $D$ en el $uv$ -plane, luego se proporciona el área de superficie de $M$ por la integral

{displaystyle iint _{D}left|{vec {r}}_{u}times {vec {r}}_{v}right|,du,dv}

donde $\times$ indica el producto vectorial y el valor absoluto indica la longitud de un vector en el espacio euclidiano. Por la identidad de Lagrange para el producto cruz, la integral se puede escribir

{displaystyle {begin{aligned}&iint _{D}{sqrt {left({vec {r}}_{u}cdot {vec {r}}_{u}right)left({vec {r}}_{v}cdot {vec {r}}_{v}right)-left({vec {r}}_{u}cdot {vec {r}}_{v}right)^{2}}},du,dv\[5pt]={}&iint _{D}{sqrt {EG-F^{2}}},du,dv\[5pt]={}&iint _{D}{sqrt {det {begin{bmatrix}E&F\F&Gend{bmatrix}}}},du,dvend{aligned}}}

donde $det$ es el determinante.

Definición

Vamos $M$ ser un conjunto suave de la dimensión $n$ ; por ejemplo una superficie (en el caso $n = 2$ ) o hipersuperficie en el espacio cartesiano ${displaystyle mathbb {R} ^{n+1}}$ . En cada punto $p ▪ M$ hay un espacio vectorial $T p M$ , llamado el espacio tangente, que consiste de todos los vectores tangentes al múltiple en el punto $p$ . Un tensor métrico $p$ es una función $g p () X p, Y p)$ que toma como entrada un par de vectores tangentes $X p$ y $Y p$ a $p$ , y produce como salida un número real (scalar), para que las siguientes condiciones estén satisfechas:

$g p$ es bilinear. Una función de dos argumentos vectoriales es bilineal si es lineal por separado en cada argumento. Así si $U p$ , $V p$ , $Y p$ son tres vectores tangentes en $p$ y $a$ y $b$ son números reales, entonces ${displaystyle {begin{aligned}g_{p}(aU_{p}+bV_{p},Y_{p})&=ag_{p}(U_{p},Y_{p})+bg_{p}(V_{p},Y_{p}),,quad {text{and}}\g_{p}(Y_{p},aU_{p}+bV_{p})&=ag_{p}(Y_{p},U_{p})+bg_{p}(Y_{p},V_{p}),.end{aligned}}}$
$g p$ es simétrico. Una función de dos argumentos vectoriales es simétrica siempre que para todos los vectores $X p$ y $Y p$ , ${displaystyle g_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(Y_{p},X_{p}),.}$
$g p$ no es degenerado. Una función bilineal es nondegenerada siempre que, por cada vector tangente $X p ل 0$ , la función ${displaystyle Y_{p}mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})}$ obtenido mediante tenencia $X p$ constante y permitiendo $Y p$ variar no es idéntico cero. Eso es, para todos $X p ل 0$ existe $Y p$ tales que $g p () X p, Y p)$ .

Un campo tensor métrico $g$ en $M$ asigna a cada punto $p$ de $M$ un tensor métrico $g p$ en la tangente espacio en $p$ de forma que varíe suavemente con $p$ . Más precisamente, dado cualquier subconjunto abierto $U$ de múltiples $M$ y cualquier campo vectorial (suave) $X$ y $Y$ en $U$ , la función real

{displaystyle g(X,Y)(p)=g_{p}(X_{p},Y_{p})}

p

Componentes de la métrica

Los componentes de la métrica en cualquier base de campos vectoriales, o marco, $f = (X 1,..., X n)$ están dadas por

{displaystyle g_{ij}[mathbf {f} ]=gleft(X_{i},X_{j}right).}

()4)

Las funciones $n 2$ $g ij [f]$ forman las entradas de un $n \times n$ matriz simétrica, $G [f]$ . Si

{displaystyle v=sum _{i=1}^{n}v^{i}X_{i},,quad w=sum _{i=1}^{n}w^{i}X_{i}}

son dos vectores en $p \in U$ , luego el valor de la métrica aplicada a $v$ y $w$ está determinada por los coeficientes (4) por bilinealidad:

{displaystyle g(v,w)=sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}gleft(X_{i},X_{j}right)=sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g_{ij}[mathbf {f} ]}

Denotando la matriz $(g ij [f])$ por $G [f]$ y ordenando los componentes de los vectores al estilo $v$ y $w$ en vectores de columna $v [f]$ y $w [f]$ ,

{displaystyle g(v,w)=mathbf {v} [mathbf {f} ]^{mathsf {T}}G[mathbf {f} ]mathbf {w} [mathbf {f} ]=mathbf {w} [mathbf {f} ]^{mathsf {T}}G[mathbf {f} ]mathbf {v} [mathbf {f} ]}

donde $v [f]$ ^T y $w [f]$ ^T indican la transposición de los vectores $v [f]$ y $w [f]$ , respectivamente. Bajo un cambio de base de la forma

mathbf{f}mapsto mathbf{f}' = left(sum_k X_ka_{k1},dots,sum_k X_ka_{kn}right) = mathbf{f}A

para alguna matriz invertible $n \times n$ $A = (a ij)$ , la matriz de componentes de la métrica cambia por $A$ también. Eso es,

{displaystyle G[mathbf {f} A]=A^{mathsf {T}}G[mathbf {f} ]A}

o, en términos de las entradas de esta matriz,

{displaystyle g_{ij}[mathbf {f} A]=sum _{k,l=1}^{n}a_{ki}g_{kl}[mathbf {f} ]a_{lj},.}

Por esta razón, el sistema de cantidades $g ij [f]$ se dice que se transforma covariantemente con respecto a los cambios en el marco $f$ .

Métrica en coordenadas

Un sistema de $n$ funciones con valores reales $(x 1,..., x n)$ , dando un sistema de coordenadas local en un conjunto abierto $U$ en $M$ , determina una base de campos vectoriales en $U$

{displaystyle mathbf {f} =left(X_{1}={frac {partial }{partial x^{1}}},dotsX_{n}={frac {partial }{partial x^{n}}}right),.}

La métrica $g$ tiene componentes relativos a este marco dados por

{displaystyle g_{ij}left[mathbf {f} right]=gleft({frac {partial }{partial x^{i}}},{frac {partial }{partial x^{j}}}right),.}

En relación con un nuevo sistema de coordenadas locales, digamos

{displaystyle y^{i}=y^{i}(x^{1},x^{2},dotsx^{n}),quad i=1,2,dotsn}

el tensor métrico determinará una matriz diferente de coeficientes,

{displaystyle g_{ij}left[mathbf {f} 'right]=gleft({frac {partial }{partial y^{i}}},{frac {partial }{partial y^{j}}}right).}

Este nuevo sistema de funciones está relacionado con el original $g ij (f)$ mediante la regla de la cadena

{displaystyle {frac {partial }{partial y^{i}}}=sum _{k=1}^{n}{frac {partial x^{k}}{partial y^{i}}}{frac {partial }{partial x^{k}}}}

para que

{displaystyle g_{ij}left[mathbf {f} 'right]=sum _{k,l=1}^{n}{frac {partial x^{k}}{partial y^{i}}}g_{kl}left[mathbf {f} right]{frac {partial x^{l}}{partial y^{j}}}.}

O, en términos de las matrices $G [f] = (g ij [f])$ y $G [f'] = (g ij [f'])$ ,

{displaystyle Gleft[mathbf {f} 'right]=left((Dy)^{-1}right)^{mathsf {T}}Gleft[mathbf {f} right](Dy)^{-1}}

donde $Dy$ denota la matriz jacobiana del cambio de coordenadas.

Firma de una métrica

Asociada a cualquier tensor métrico está la forma cuadrática definida en cada espacio tangente por

{displaystyle q_{m}(X_{m})=g_{m}(X_{m},X_{m}),,quad X_{m}in T_{m}M.}

Si $q m$ es positivo para todo X_m, entonces la métrica es positiva definida en $m$ . Si la métrica es positiva definida en cada $m \in M$ , entonces $g$ se denomina métrica riemanniana. Más generalmente, si las formas cuadráticas $q m$ tienen una firma constante independiente de $m$ , luego la firma de $g$ es esta firma, y $g$ se denomina métrica pseudo-riemanniana. Si $M$ está conectado, entonces la firma de $q m$ no depende de $m$ .

Por la ley de inercia de Sylvester, una base de vectores tangentes $X i$ se puede elegir localmente para que la forma cuadrática se diagonalice de la siguiente manera

{displaystyle q_{m}left(sum _{i}xi ^{i}X_{i}right)=left(xi ^{1}right)^{2}+left(xi ^{2}right)^{2}+cdots +left(xi ^{p}right)^{2}-left(xi ^{p+1}right)^{2}-cdots -left(xi ^{n}right)^{2}}

para algunos $p$ entre 1 y $n$ . Cualquiera de estas dos expresiones de $q$ (en el mismo punto $m$ de $M$ ) tendrá el mismo número $p$ de signos positivos. La firma de $g$ es el par de enteros $(p, n - p)$ , lo que significa que hay $p$ signos positivos y $n - p$ signos negativos en cualquier expresión. De manera equivalente, la métrica tiene la firma $(p, n - p)$ si la matriz $g ij$ de la métrica tiene $p$ valores propios positivos y $n - p$ negativos.

Ciertas firmas métricas que surgen con frecuencia en las aplicaciones son:

Si $g$ tiene firma $() n, 0)$ , entonces $g$ es una métrica Riemanniana, y $M$ se llama un manifold Riemanniano. De lo contrario, $g$ es una métrica pseudo-Riemanniana, y $M$ se llama un manifold pseudo-riemanniano (también se utiliza el término semi-Riemanniano).
Si $M$ es de cuatro dimensiones con firma $(1, 3)$ o $(3, 1)$ Entonces la métrica se llama Lorentzian. Más generalmente, un tensor métrico en dimensión $n$ con excepción de 4 firmas $(1, n -1)$ o $() n - 1, 1)$ a veces también se llama Lorentzian.
Si $M$ es $2 n$ -dimensional y $g$ tiene firma $() n, n)$ , entonces la métrica se llama ultrahiperbólica.

Métrica inversa

Sea $f = (X 1,..., X n)$ sea una base de campos vectoriales y, como arriba, sea $G [f]$ sea la matriz de coeficientes

{displaystyle g_{ij}[mathbf {f} ]=gleft(X_{i},X_{j}right),.}

Se puede considerar la matriz inversa $G [f] -1$ , que se identifica con la métrica inversa (o conjugada o métrica dual). La métrica inversa satisface una ley de transformación cuando el marco $f$ se cambia por una matriz $A$ vía

{displaystyle G[mathbf {f} A]^{-1}=A^{-1}G[mathbf {f} ]^{-1}left(A^{-1}right)^{mathsf {T}}.}

()5)

La métrica inversa transforma contravariante, o con respecto a la inversa de la matriz de cambio de base $A. Mientras que la métrica en sí proporciona una forma de medir la longitud de (o el ángulo entre) campos vectoriales, la métrica inversa proporciona un medio para medir la longitud de (o el ángulo entre) campos covectoriales; es decir, campos de funcionales lineales.$

Para ver esto, suponga que $α$ es un campo covector. A saber, para cada punto $p$ , $α$ determina una función $α p$ definida en vectores tangentes en $p$ para que la siguiente condición de linealidad se cumpla para todos los vectores tangentes $X p$ y $Y p$ , y todos los números reales $a$ y $b$ :

{displaystyle alpha _{p}left(aX_{p}+bY_{p}right)=aalpha _{p}left(X_{p}right)+balpha _{p}left(Y_{p}right),.}

Como $p$ varía, $α$ se supone que es una función suave en el sentido de que

{displaystyle pmapsto alpha _{p}left(X_{p}right)}

es una función suave de $p$ para cualquier campo vectorial suave $X$ .

Cualquier campo covector $α$ tiene componentes en la base de campos vectoriales $f$ . Estos están determinados por

{displaystyle alpha _{i}=alpha left(X_{i}right),,quad i=1,2,dotsn,.}

Denote el vector fila de estos componentes por

{displaystyle alpha [mathbf {f} ]={big lbrack }{begin{array}{cccc}alpha _{1}&alpha _{2}&dots &alpha _{n}end{array}}{big rbrack },.}

Bajo un cambio de $f$ por una matriz $A$ , $α [f]$ cambia por la regla

{displaystyle alpha [mathbf {f} A]=alpha [mathbf {f} ]A,.}

Es decir, el vector fila de los componentes $α [f]$ se transforma como una covariante vector.

Para un par $α$ y $β$ de campos de covectores, defina la métrica inversa aplicada a estos dos covectores por

{displaystyle {tilde {g}}(alphabeta)=alpha [mathbf {f} ]G[mathbf {f} ]^{-1}beta [mathbf {f} ]^{mathsf {T}}.}

()6)

La definición resultante, aunque involucra la elección de la base $f$ , en realidad no depende de $f$ de manera esencial. De hecho, cambiar la base a $f A$ da

{displaystyle {begin{aligned}&alpha [mathbf {f} A]G[mathbf {f} A]^{-1}beta [mathbf {f} A]^{mathsf {T}}\={}&left(alpha [mathbf {f} ]Aright)left(A^{-1}G[mathbf {f} ]^{-1}left(A^{-1}right)^{mathsf {T}}right)left(A^{mathsf {T}}beta [mathbf {f} ]^{mathsf {T}}right)\={}&alpha [mathbf {f} ]G[mathbf {f} ]^{-1}beta [mathbf {f} ]^{mathsf {T}}.end{aligned}}}

Para que el lado derecho de la ecuación (6) no se vea afectado al cambiar la base $f$ a cualquier cualquier otra base $f A$ . En consecuencia, a la ecuación se le puede asignar un significado independientemente de la elección de la base. Las entradas de la matriz $G [f]$ se denotan por $g ij$ , donde los índices $i$ y $j$ se han elevado para indicar la ley de transformación (5).

Indices al alza y a la baja

En base a campos vectoriales $f = (X 1,..., X n)$ , cualquier campo vectorial tangente suave $X$ se puede escribir en la forma

{displaystyle X=v^{1}[mathbf {f} ]X_{1}+v^{2}[mathbf {f} ]X_{2}+dots +v^{n}[mathbf {f} ]X_{n}=mathbf {f} {begin{bmatrix}v^{1}[mathbf {f} ]\v^{2}[mathbf {f} ]\vdots \v^{n}[mathbf {f} ]end{bmatrix}}=mathbf {f} v[mathbf {f} ]}

()7)

para algunas funciones suaves determinadas de forma única $v 1,..., v n$ . Al cambiar la base $f$ por una matriz no singular $A$ , los coeficientes $v i$ cambian de tal manera que la ecuación (7) sigue siendo cierto. Eso es,

{displaystyle X=mathbf {fA} v[mathbf {fA} ]=mathbf {f} v[mathbf {f} ],.}

En consecuencia, $v [f A] = A -1 v [f]$ . En otras palabras, las componentes de un vector se transforman contravariantemente (es decir, inversamente o en sentido contrario) bajo un cambio de base por la matriz no singular $A$ . La contravarianza de los componentes de $v [f]$ se designa notacionalmente colocando los índices de $v i [f]$ en la posición superior.

Un marco también permite que los covectores se expresen en términos de sus componentes. Para la base de campos vectoriales $f = (X 1,..., X n)$ define la base dual como los funcionales lineales $(θ 1 [f],..., θ n [f])$ tal que

theta^i[mathbf{f}](X_j) = begin{cases} 1 & mathrm{if} i=j\ 0&mathrm{if} inot=j.end{cases}

Es decir, $θ i [f](X j) = δ j i$ , el delta de Kronecker. Dejar

{displaystyle theta [mathbf {f} ]={begin{bmatrix}theta ^{1}[mathbf {f} ]\theta ^{2}[mathbf {f} ]\vdots \theta ^{n}[mathbf {f} ]end{bmatrix}}.}

Bajo un cambio de base $f \mapsto f A$ para una matriz no singular A, θ[f] se transforma a través de

theta[mathbf{f}A] = A^{-1}theta[mathbf{f}].

Cualquier funcional lineal $α$ en vectores tangentes se puede expandir en términos de la base dual $θ$

{displaystyle {begin{aligned}alpha &=a_{1}[mathbf {f} ]theta ^{1}[mathbf {f} ]+a_{2}[mathbf {f} ]theta ^{2}[mathbf {f} ]+cdots +a_{n}[mathbf {f} ]theta ^{n}[mathbf {f} ]\[8pt]&={big lbrack }{begin{array}{cccc}a_{1}[mathbf {f} ]&a_{2}[mathbf {f} ]&dots &a_{n}[mathbf {f} ]end{array}}{big rbrack }theta [mathbf {f} ]\[8pt]&=a[mathbf {f} ]theta [mathbf {f} ]end{aligned}}}

()8)

donde $a [f]$ indica el vector fila $[a 1 [f]... a n [f] ]$ . Los componentes $a i$ se transforman cuando la base $f$ se reemplaza por $f A$ de tal manera que la ecuación (8) continúa en espera. Eso es,

alpha = a[mathbf{f}A]theta[mathbf{f}A] = a[mathbf{f}]theta[mathbf{f}]

de donde, porque $θ [f A] = A -1 θ [f]$ , se sigue que $a [f A] = a [f] A$ . Es decir, los componentes $a$ se transforman covariantemente (por la matriz $A$ en lugar de su inversa). La covarianza de los componentes de $a [f]$ se designa notacionalmente colocando los índices de $a i [f]$ en la posición inferior.

Ahora, el tensor métrico brinda un medio para identificar vectores y covectores de la siguiente manera. Manteniendo $X p$ fija, la función

{displaystyle g_{p}(X_{p},-):Y_{p}mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})}

del vector tangente $Y p$ define un funcional lineal en el espacio tangente en $p$ . Esta operación toma un vector $X p$ en un punto $p$ y produce un covector $g p (X p, -)$ . En una base de campos vectoriales $f$ , si un campo vectorial $X$ tiene componentes $v [f]$ , luego los componentes del campo covector $g (X, -)$ en la base dual están dadas por las entradas del vector fila

{displaystyle a[mathbf {f} ]=v[mathbf {f} ]^{mathsf {T}}G[mathbf {f} ].}

Bajo un cambio de base $f \mapsto f A$ , la mano derecha lado de esta ecuación se transforma a través de

{displaystyle v[mathbf {f} A]^{mathsf {T}}G[mathbf {f} A]=v[mathbf {f} ]^{mathsf {T}}left(A^{-1}right)^{mathsf {T}}A^{mathsf {T}}G[mathbf {f} ]A=v[mathbf {f} ]^{mathsf {T}}G[mathbf {f} ]A}

de modo que $a [f A] = a [f] A$ : $a$ transforma covariantemente. La operación de asociar a las componentes (contravariantes) de un campo vectorial $v [f] = [v 1 [f] v 2 [f]... v n [f] ]$ ^T los componentes (covariantes) del campo covector $a [f] = [a 1 [f] a 2 [f] \dots a n [f] ]$ , donde

a_i[mathbf{f}] = sum_{k=1}^n v^k[mathbf{f}]g_{ki}[mathbf{f}]

se llama bajar el índice.

Para subir el índice, se aplica la misma construcción pero con la métrica inversa en lugar de la métrica. Si $a [f] = [a 1 [f] a 2 [f]... a n [f] ]$ son los componentes de un covector en la base dual $θ [f]$ , luego el vector columna

{displaystyle v[mathbf {f} ]=G^{-1}[mathbf {f} ]a[mathbf {f} ]^{mathsf {T}}}

()9)

tiene componentes que se transforman contravariantemente:

v[mathbf{f}A] = A^{-1}v[mathbf{f}].

En consecuencia, la cantidad $X = f v [f]$ no depende de la elección de la base $f$ de manera esencial y, por lo tanto, define un campo vectorial en $M$ . La operación (9) que se asocia a las componentes (covariantes) de un covector $a [f]$ las componentes (contravariantes) de un vector $v [f]$ dado se llama elevar el índice. En componentes, (9) es

{displaystyle v^{i}[mathbf {f} ]=sum _{k=1}^{n}g^{ik}[mathbf {f} ]a_{k}[mathbf {f} ].}

Métrica inducida

Sea $U$ un conjunto abierto en $ℝ n$ , y sea $φ$ una función continuamente diferenciable de $U$ al espacio euclidiano $ℝ m$ , donde $m > n$ . El mapeo $φ$ se llama inmersión si su diferencial es inyectivo en cada punto de $U$ . La imagen de $φ$ se denomina subvariedad sumergida. Más específicamente, para $m = 3$ , lo que significa que el espacio euclidiano ambiental es $ℝ 3$ , el tensor métrico inducido se denomina primera forma fundamental.

Supongamos que $φ$ es una inmersión en la subvariedad $M \subset R m$ . El producto escalar euclidiano habitual en $ℝ m$ es una métrica que, cuando se restringe a vectores tangente a $M$ , proporciona un medio para obtener el producto escalar de estos vectores tangentes. Esto se llama la métrica inducida.

Suponga que $v$ es un vector tangente en un punto de $U$ , digamos

{displaystyle v=v^{1}mathbf {e} _{1}+dots +v^{n}mathbf {e} _{n}}

donde $e i$ son los vectores de coordenadas estándar en $ℝ n$ . Cuando $φ$ se aplica a $U$ , el vector $v$ pasa al vector tangente a $M$ dado por

{displaystyle varphi _{*}(v)=sum _{i=1}^{n}sum _{a=1}^{m}v^{i}{frac {partial varphi ^{a}}{partial x^{i}}}mathbf {e} _{a},.}

(Esto se llama avance de $v$ a lo largo de $φ$ .) Dados dos de estos vectores, $v$ y $w$ , la métrica inducida está definida por

g(v,w) = varphi_*(v)cdot varphi_*(w).

Se deduce de un cálculo sencillo que la matriz de la métrica inducida en base a los campos de vectores de coordenadas $e$ viene dada por

{displaystyle G(mathbf {e})=(Dvarphi)^{mathsf {T}}(Dvarphi)}

donde $Dφ$ es la matriz jacobiana:

{displaystyle Dvarphi ={begin{bmatrix}{frac {partial varphi ^{1}}{partial x^{1}}}&{frac {partial varphi ^{1}}{partial x^{2}}}&dots &{frac {partial varphi ^{1}}{partial x^{n}}}\[1ex]{frac {partial varphi ^{2}}{partial x^{1}}}&{frac {partial varphi ^{2}}{partial x^{2}}}&dots &{frac {partial varphi ^{2}}{partial x^{n}}}\vdots &vdots &ddots &vdots \{frac {partial varphi ^{m}}{partial x^{1}}}&{frac {partial varphi ^{m}}{partial x^{2}}}&dots &{frac {partial varphi ^{m}}{partial x^{n}}}end{bmatrix}}.}

Definiciones intrínsecas de una métrica

La noción de métrica se puede definir intrínsecamente utilizando el lenguaje de haces de fibras y haces de vectores. En estos términos, un tensor métrico es una función

{displaystyle g:mathrm {T} Mtimes _{M}mathrm {T} Mto mathbf {R} }

()10)

del producto de fibras del haz tangente de $M$ consigo mismo a $R$ tal que la restricción de $g$ a cada fibra es un mapeo bilineal no degenerado

{displaystyle g_{p}:mathrm {T} _{p}Mtimes mathrm {T} _{p}Mto mathbf {R}.}

Se requiere que el mapeo (10) sea continuo y, a menudo, continuamente diferenciable, fluido o analítico real, según el caso de interés y si el estilo $M$ puede soportar tal estructura.

Métrica como una sección de un paquete

Por la propiedad universal del producto tensorial, cualquier aplicación bilineal (10) da lugar naturalmente a una sección $g \otimes$ del dual del paquete producto tensorial de $T M$ consigo mismo

{displaystyle g_{otimes }in Gamma left((mathrm {T} Motimes mathrm {T} M)^{*}right).}

La sección $g \otimes$ se define sobre elementos simples de $T M \otimes T M$ por

{displaystyle g_{otimes }(votimes w)=g(v,w)}

y se define en elementos arbitrarios de $T M \otimes T M$ al extenderse linealmente a combinaciones lineales de elementos simples. La forma bilineal original $g$ es simétrica si y solo si

{displaystyle g_{otimes }circ tau =g_{otimes }}

dónde

{displaystyle tau:mathrm {T} Motimes mathrm {T} M{stackrel {cong }{to }}TMotimes TM}

es el mapa de trenzado.

Dado que $M$ es de dimensión finita, existe un isomorfismo natural

{displaystyle (mathrm {T} Motimes mathrm {T} M)^{*}cong mathrm {T} ^{*}Motimes mathrm {T} ^{*}M,}

para que $g \otimes$ se considere también como una sección del paquete $T* M \otimes T* M$ del paquete cotangente $T* M$ consigo mismo. Dado que $g$ es simétrico como un mapeo bilineal, se deduce que $g \otimes$ es un tensor simétrico.

Métrica en un conjunto de vectores

De manera más general, se puede hablar de una métrica en un conjunto de vectores. Si $E$ es un conjunto de vectores sobre una variedad $M$ , entonces una métrica es una asignación

g: Etimes_M Eto mathbf{R}

del producto de fibra de $E$ a $R$ que es bilineal en cada fibra:

g_p: E_p times E_pto mathbf{R}.

Usando la dualidad como se indicó anteriormente, una métrica a menudo se identifica con una sección del paquete de productos tensoriales $E * \otimes E *. (Ver métrica (paquete de vectores).)$

Isomorfismo tangente-cotangente

El tensor métrico da un isomorfismo natural del paquete tangente al paquete cotangente, a veces llamado isomorfismo musical. Este isomorfismo se obtiene estableciendo, para cada vector tangente, $X p \in T p M$ ,

{displaystyle S_{g}X_{p},{stackrel {text{def}}{=}},g(X_{p},-),}

el funcional lineal en $T p M$ que envía un vector tangente $Y p$ en $p$ a $g p (X p, Y p)$ . Es decir, en términos del emparejamiento $[-, -]$ entre $T p M$ y su espacio dual $T * p M,$

{displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=g_{p}(X_{p},Y_{p})}

para todos los vectores tangentes $X p$ y $S p$ . El mapeo $S g$ es una transformación lineal de $T p M$ a $T * p M$ . De la definición de no degeneración se deduce que el kernel de $S g$ se reduce a cero, y así por el teorema de rango-nulidad, $S g$ es un lineal isomorfismo Además, $S g$ es una transformación lineal simétrica en el sentido de que

{displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=[S_{g}Y_{p},X_{p}]}

para todos los vectores tangentes $X p$ y $S p$ .

Por el contrario, cualquier isomorfismo lineal $S : T p M \to T * p M$ define una forma bilineal no degenerada en $T p M$ por medio de

{displaystyle g_{S}(X_{p},Y_{p})=[SX_{p},Y_{p}],.}

Esta forma bilineal es simétrica si y solo si $S$ es simétrica. Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno natural entre formas bilineales simétricas en $T p M$ e isomorfismos lineales simétricos de $T p M$ al doble T^∗
_pM.

Como $p$ varía sobre $M$ , $S g$ define una sección del paquete $Hom(T M, T* M)$ de isomorfismos de paquetes vectoriales del paquete tangente al paquete cotangente. Esta sección tiene la misma suavidad que $g$ : es continua, diferenciable, suave o analítica real según g. El mapeo $S g$ , que se asocia a cada campo vectorial en $M$ un campo covector en $M$ da un resumen formulación de "bajar el índice" en un campo vectorial. El inverso de $S g$ es un mapeo $T * M \to T M$ que, de manera análoga, da una formulación abstracta de "elevar el índice" en un campo covector.

La inversa $S -1 g$ define una línea cartografía

{displaystyle S_{g}^{-1}:mathrm {T} ^{*}Mto mathrm {T} M}

que es no singular y simétrico en el sentido de que

{displaystyle left[S_{g}^{-1}alphabeta right]=left[S_{g}^{-1}betaalpha right]}

para todos los covectores $α$ , $β$ . Tal aplicación simétrica no singular da lugar (por la adjunción de tensor-hom) a una aplicación

{displaystyle mathrm {T} ^{*}Motimes mathrm {T} ^{*}Mto mathbf {R} }

o por el doble isomorfismo dual a una sección del producto tensorial

{displaystyle mathrm {T} Motimes mathrm {T} M.}

Longitud de arco y elemento de línea

Supongamos que $g$ es una métrica riemanniana en $M$ . En un sistema de coordenadas local $x i$ , $i = 1, 2, \dots, n$ , el tensor métrico aparece como una matriz, denotada aquí por $G$ , cuyas entradas son los componentes $g ij$ de el tensor métrico relativo a los campos de vectores de coordenadas.

Sea $γ (t)$ una curva paramétrica diferenciable por partes en $M$ , para $a \leq t \leq b$ . La longitud de arco de la curva está definida por

{displaystyle L=int _{a}^{b}{sqrt {sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(gamma (t))left({frac {d}{dt}}x^{i}circ gamma (t)right)left({frac {d}{dt}}x^{j}circ gamma (t)right)}},dt,.}

En conexión con esta aplicación geométrica, la forma diferencial cuadrática

{displaystyle ds^{2}=sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(p)dx^{i}dx^{j}}

se llama la primera forma fundamental asociada a la métrica, mientras que $ds$ es el elemento de línea. Cuando $ds 2$ vuelve a la imagen de una curva en $M$ , representa el cuadrado del diferencial con respecto a la longitud del arco.

Para una métrica pseudo-riemanniana, la fórmula de longitud anterior no siempre está definida, porque el término debajo de la raíz cuadrada puede volverse negativo. Por lo general, solo definimos la longitud de una curva cuando la cantidad debajo de la raíz cuadrada siempre tiene un signo u otro. En este caso, defina

{displaystyle L=int _{a}^{b}{sqrt {left|sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(gamma (t))left({frac {d}{dt}}x^{i}circ gamma (t)right)left({frac {d}{dt}}x^{j}circ gamma (t)right)right|}},dt,.}

Tenga en cuenta que, si bien estas fórmulas usan expresiones de coordenadas, en realidad son independientes de las coordenadas elegidas; dependen solo de la métrica y de la curva a lo largo de la cual se integra la fórmula.

La energía, principios variacionales y geodésicas

Dado un segmento de una curva, otra cantidad frecuentemente definida es la energía cinética de la curva:

{displaystyle E={frac {1}{2}}int _{a}^{b}sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(gamma (t))left({frac {d}{dt}}x^{i}circ gamma (t)right)left({frac {d}{dt}}x^{j}circ gamma (t)right),dt,.}

Este uso proviene de la física, específicamente, de la mecánica clásica, donde se puede ver que la integral $E$ corresponde directamente a la cinética energía de una partícula puntual que se mueve sobre la superficie de una variedad. Así, por ejemplo, en la formulación de Jacobi de Maupertuis; En principio, se puede ver que el tensor métrico corresponde al tensor de masa de una partícula en movimiento.

En muchos casos, siempre que un cálculo requiera el uso de la longitud, también se puede realizar un cálculo similar utilizando la energía. Esto a menudo conduce a fórmulas más simples al evitar la necesidad de la raíz cuadrada. Así, por ejemplo, las ecuaciones geodésicas pueden obtenerse aplicando principios variacionales a la longitud oa la energía. En el último caso, se ve que las ecuaciones geodésicas surgen del principio de acción mínima: describen el movimiento de una "partícula libre" (una partícula que no siente fuerzas) que se limita a moverse en la variedad, pero que por lo demás se mueve libremente, con un impulso constante, dentro de la variedad.

Forma canónica de medida y volumen

En analogía con el caso de las superficies, un tensor métrico en una variedad paracompacta $n$ -dimensional $M$ da lugar a una forma natural de medir el $n$ -dimensional de subconjuntos de la variedad. La medida de Borel positiva natural resultante permite desarrollar una teoría de funciones integradoras en la variedad por medio de la integral de Lebesgue asociada.

Se puede definir una medida, mediante el teorema de representación de Riesz, dando un funcional lineal positivo $Λ$ en el espacio $C 0 (M)$ de funciones continuas compatibles de forma compacta en $M$ . Más precisamente, si $M$ es una variedad con un tensor métrico (pseudo-)riemanniano $g$ , entonces hay una única medida positiva de Borel $μ g$ tal que para cualquier gráfico de coordenadas $(U, φ)$ ,

{displaystyle Lambda f=int _{U}f,dmu _{g}=int _{varphi (U)}fcirc varphi ^{-1}(x){sqrt {left|det gright|}},dx}

f

U

Det g

▪

C 0 () M)

Si $M$ también está orientado, entonces es posible definir una forma de volumen natural a partir del tensor métrico. En un sistema de coordenadas orientado positivamente $(x 1,..., x n)$ la forma de volumen se representa como

{displaystyle omega ={sqrt {left|det gright|}},dx^{1}wedge cdots wedge dx^{n}}

dx i

\land

Ejemplos

Métrica euclidiana

El ejemplo más conocido es el de la geometría euclidiana elemental: el tensor métrico euclidiano bidimensional. En las coordenadas cartesianas habituales $(x, y)$ , podemos escribir

{displaystyle g={begin{bmatrix}1&0\0&1end{bmatrix}},.}

La longitud de una curva se reduce a la fórmula:

{displaystyle L=int _{a}^{b}{sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}},.}

La métrica euclidiana en algunos otros sistemas de coordenadas comunes se puede escribir de la siguiente manera.

Coordenadas polares $(r, θ)$ :

{displaystyle {begin{aligned}x&=rcos theta \y&=rsin theta \J&={begin{bmatrix}cos theta &-rsin theta \sin theta &rcos theta end{bmatrix}},.end{aligned}}}

Entonces

{displaystyle g=J^{mathsf {T}}J={begin{bmatrix}cos ^{2}theta +sin ^{2}theta &-rsin theta cos theta +rsin theta cos theta \-rcos theta sin theta +rcos theta sin theta &r^{2}sin ^{2}theta +r^{2}cos ^{2}theta end{bmatrix}}={begin{bmatrix}1&0\0&r^{2}end{bmatrix}}}

por identidades trigonométricas.

En general, en un sistema de coordenadas cartesianas $x i$ en un espacio euclidiano, las derivadas parciales $\partial / \partial x i$ son ortonormales con respecto a la métrica euclidiana. Así, el tensor métrico es el delta de Kronecker δ_ij en este sistema de coordenadas. El tensor métrico con respecto a coordenadas arbitrarias (posiblemente curvilíneas) $q i$ viene dado por

{displaystyle g_{ij}=sum _{kl}delta _{kl}{frac {partial x^{k}}{partial q^{i}}}{frac {partial x^{l}}{partial q^{j}}}=sum _{k}{frac {partial x^{k}}{partial q^{i}}}{frac {partial x^{k}}{partial q^{j}}}.}

La métrica redonda en una esfera

La esfera unitaria en $ℝ 3$ viene equipada con una métrica natural inducida a partir de la métrica euclidiana ambiental, a través de la proceso explicado en la sección métrica inducida. En coordenadas esféricas estándar $(θ, φ)$ , con $θ$ la colatitud, el ángulo medido desde el eje $z$ y $φ$ el ángulo desde el eje $x$ en el $xy$ -plane, la métrica toma la forma

{displaystyle g={begin{bmatrix}1&0\0&sin ^{2}theta end{bmatrix}},.}

Esto generalmente se escribe en la forma

{displaystyle ds^{2}=dtheta ^{2}+sin ^{2}theta ,dvarphi ^{2},.}

Métricas lorentzianas de la relatividad

En espacio plano de Minkowski (relatividad especial), con coordenadas

{displaystyle r^{mu }rightarrow left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}right)=(ct,x,y,z),,}

la métrica es, según la elección de la firma de la métrica,

{displaystyle g={begin{bmatrix}1&0&0&0\0&-1&0&0\0&0&-1&0\0&0&0&-1end{bmatrix}}quad {text{or}}quad g={begin{bmatrix}-1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{bmatrix}},.}

Para una curva con, por ejemplo, una coordenada de tiempo constante, la fórmula de longitud con esta métrica se reduce a la fórmula de longitud habitual. Para una curva temporal, la fórmula de la longitud da el tiempo adecuado a lo largo de la curva.

En este caso, el intervalo de espacio-tiempo se escribe como

{displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=dr^{mu }dr_{mu }=g_{mu nu }dr^{mu }dr^{nu },.}

La métrica de Schwarzschild describe el espacio-tiempo alrededor de un cuerpo con simetría esférica, como un planeta o un agujero negro. con coordenadas

{displaystyle left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}right)=(ct,r,thetavarphi),,}

podemos escribir la métrica como

{displaystyle g_{mu nu }={begin{bmatrix}left(1-{frac {2GM}{rc^{2}}}right)&0&0&0\0&-left(1-{frac {2GM}{rc^{2}}}right)^{-1}&0&0\0&0&-r^{2}&0\0&0&0&-r^{2}sin ^{2}theta end{bmatrix}},,}

donde $G$ (dentro de la matriz) es la constante gravitatoria y $M$ representa el contenido total de masa y energía del objeto central.

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