Tensor de tensión de Maxwell

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Descripción matemática en electromagnetismo

El tensor de tensión de Maxwell (llamado así en honor a James Clerk Maxwell) es un tensor simétrico de segundo orden utilizado en el electromagnetismo clásico para representar la interacción entre las fuerzas electromagnéticas y el momento mecánico. En situaciones simples, como una carga puntual que se mueve libremente en un campo magnético homogéneo, es fácil calcular las fuerzas sobre la carga a partir de la ley de fuerzas de Lorentz. Cuando la situación se vuelve más complicada, este procedimiento ordinario puede volverse imprácticamente difícil, con ecuaciones que abarcan varias líneas. Por tanto, es conveniente reunir muchos de estos términos en el tensor de tensión de Maxwell y utilizar la aritmética de tensor para encontrar la respuesta al problema que nos ocupa.

En la formulación relativista del electromagnetismo, el tensor de Maxwell aparece como parte del tensor electromagnético-energético que es el componente electromagnético del tensor total del estrés-energía. Este último describe la densidad y el flujo de energía y el impulso en tiempo espacial.

Motivación

Como se indica a continuación, la fuerza electromagnética está escrita en términos de ${displaystyle mathbf {E} }$ y ${displaystyle mathbf {B} }$ . Utilizando cálculos vectoriales y ecuaciones de Maxwell, la simetría se busca en los términos que contienen ${displaystyle mathbf {E} }$ y ${displaystyle mathbf {B} }$ , e introduciendo el tensor de estrés Maxwell simplifica el resultado.

Ecuaciones de Maxwell en unidades SI en *vacío*
(para referencia)
Nombre	Forma diferencial
Ley de Gauss (en vacío)	${displaystyle {boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {E} ={frac {rho }{varepsilon _{0}}}}$
Ley de Gauss para el magnetismo	${displaystyle {boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {B} =0}$
Ecuación de Maxwell-Faraday (La ley de inducción de Faraday)	${displaystyle {boldsymbol {nabla }}times mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}}$
Ampère's circuital law (en vacío) (con la corrección de Maxwell)	${displaystyle {boldsymbol {nabla }}times mathbf {B} =mu _{0}mathbf {J} +mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}} }$

Empezando con la ley de la fuerza
Lorentz
${displaystyle {begin{aligned}mathbf {F} &=q(mathbf {E} +mathbf {v} times mathbf {B})\[3pt]&=int (mathbf {E} +mathbf {v} times mathbf {B})rho mathrm {d} tau end{aligned}}}$ el volumen de fuerza por
unidad
${displaystyle mathbf {f} =rho mathbf {E} +mathbf {J} times mathbf {B} }$
Siguiente, ${displaystyle rho }$ y ${displaystyle mathbf {J} }$ puede ser reemplazado por los campos ${displaystyle mathbf {E} }$ y ${displaystyle mathbf {B} }$ , usando la ley de Gauss y la ley de Ampère: ${displaystyle mathbf {f} =varepsilon _{0}left({boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {E} right)mathbf {E} +{frac {1}{mu _{0}}}left({boldsymbol {nabla }}times mathbf {B} right)times mathbf {B} -varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}times mathbf {B} }$
El derivado del tiempo puede ser reescrito a algo que se puede interpretar físicamente, a saber, el vector Poynting. Usando la regla del producto y la ley de inducción de Faraday da ${displaystyle {frac {partial }{partial t}}(mathbf {E} times mathbf {B})={frac {partial mathbf {E} }{partial t}}times mathbf {B} +mathbf {E} times {frac {partial mathbf {B} }{partial t}}={frac {partial mathbf {E} }{partial t}}times mathbf {B} -mathbf {E} times ({boldsymbol {nabla }}times mathbf {E})}$ y ahora podemos reescribir ${displaystyle mathbf {f} }$ como ${displaystyle mathbf {f} =varepsilon _{0}left({boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {E} right)mathbf {E} +{frac {1}{mu _{0}}}left({boldsymbol {nabla }}times mathbf {B} right)times mathbf {B} -varepsilon _{0}{frac {partial }{partial t}}left(mathbf {E} times mathbf {B} right)-varepsilon _{0}mathbf {E} times ({boldsymbol {nabla }}times mathbf {E}),}$ entonces coleccionar términos con ${displaystyle mathbf {E} }$ y ${displaystyle mathbf {B} }$ da ${displaystyle mathbf {f} =varepsilon _{0}left[({boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {E})mathbf {E} -mathbf {E} times ({boldsymbol {nabla }}times mathbf {E})right]+{frac {1}{mu _{0}}}left[-mathbf {B} times left({boldsymbol {nabla }}times mathbf {B} right)right]-varepsilon _{0}{frac {partial }{partial t}}left(mathbf {E} times mathbf {B} right).}$
Un término parece estar "perdiendo" de la simetría en ${displaystyle mathbf {E} }$ y ${displaystyle mathbf {B} }$ , que se puede lograr mediante la inserción ${displaystyle left({boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {B} right)mathbf {B} }$ por la ley de Gauss para el magnetismo: ${displaystyle mathbf {f} =varepsilon _{0}left[({boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {E})mathbf {E} -mathbf {E} times ({boldsymbol {nabla }}times mathbf {E})right]+{frac {1}{mu _{0}}}left[({boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {B})mathbf {B} -mathbf {B} times left({boldsymbol {nabla }}times mathbf {B} right)right]-varepsilon _{0}{frac {partial }{partial t}}left(mathbf {E} times mathbf {B} right).}$ Eliminar los rizos (que son bastante complicados para calcular), utilizando la identidad del cálculo vectorial ${displaystyle {frac {1}{2}}{boldsymbol {nabla }}(mathbf {A} cdot mathbf {A})=mathbf {A} times ({boldsymbol {nabla }}times mathbf {A})+(mathbf {A} cdot {boldsymbol {nabla }})mathbf {A}}$ conduce a: ${displaystyle mathbf {f} =varepsilon _{0}left[({boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {E})mathbf {E} +(mathbf {E} cdot {boldsymbol {nabla }})mathbf {E} right]+{frac {1}{mu _{0}}}left[({boldsymbol {nabla }}cdot mathbf {B})mathbf {B} +(mathbf {B} cdot {boldsymbol {nabla }})mathbf {B} right]-{frac {1}{2}}{boldsymbol {nabla }}left(varepsilon _{0}E^{2}+{frac {1}{mu _{0}}}B^{2}right)-varepsilon _{0}{frac {partial }{partial t}}left(mathbf {E} times mathbf {B} right).}$
Esta expresión contiene todos los aspectos del electromagnetismo y el impulso y es relativamente fácil de calcular. Se puede escribir más compactamente introduciendo el Tensor de estrés Maxwell, ${displaystyle sigma _{ij}equiv varepsilon _{0}left(E_{i}E_{j}-{frac {1}{2}}delta _{ij}E^{2}right)+{frac {1}{mu _{0}}}left(B_{i}B_{j}-{frac {1}{2}}delta _{ij}B^{2}right).}$ Todo menos el último mandato ${displaystyle mathbf {f} }$ se puede escribir como la divergencia tensora del tensor de estrés Maxwell, dando: ${displaystyle {boldsymbol {nabla }}cdot {boldsymbol {sigma }}=mathbf {f} +varepsilon _{0}mu _{0}{frac {partial mathbf {S} }{partial t}},,}$ Como en el teorema de Poynting, el segundo término en el lado derecho de la ecuación anterior se puede interpretar como el derivado del tiempo de la densidad de impulso del campo EM, mientras que el primer término es el derivado del tiempo de la densidad de impulso para las partículas masivas. De esta manera, la ecuación anterior será la ley de conservación del impulso en la electrodinámica clásica; donde se ha introducido el vector Poynting ${displaystyle mathbf {S} ={frac {1}{mu _{0}}}mathbf {E} times mathbf {B}.}$

en la relación anterior para la conservación del impulso, ${displaystyle {boldsymbol {nabla }}cdot {boldsymbol {sigma }}}$ es densidad de flujo y juega un papel similar a ${displaystyle mathbf {S} }$ en el teorema de Poynting.

La derivación anterior asume conocimiento completo de ambos ${displaystyle rho }$ y ${displaystyle mathbf {J} }$ (ambos cargos y corrientes libres y obligados). Para el caso de materiales no lineales (como el hierro magnético con una curva BH), el tensor de tensión Maxwell no lineal debe ser utilizado.

Ecuación

En física, el tensor de tensión de Maxwell es el tensor de tensión de un campo electromagnético. Como se derivó anteriormente en unidades SI, viene dado por:

{displaystyle sigma _{ij}=epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{frac {1}{mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{frac {1}{2}}left(epsilon _{0}E^{2}+{frac {1}{mu _{0}}}B^{2}right)delta _{ij}}

Donde ${displaystyle epsilon _{0}}$ es la constante eléctrica y ${displaystyle mu _{0}}$ es la constante magnética, ${displaystyle mathbf {E} }$ es el campo eléctrico, ${displaystyle mathbf {B} }$ es el campo magnético y ${displaystyle delta _{ij}}$ Es el delta de Kronecker. En Gaussian cgs unit, se da por:

{displaystyle sigma _{ij}={frac {1}{4pi }}left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{frac {1}{2}}left(E^{2}+H^{2}right)delta _{ij}right)}

Donde ${displaystyle mathbf {H} }$ es el campo de magnetización.

Una forma alternativa de expresar este tensor es:

{displaystyle {overset {leftrightarrow }{boldsymbol {sigma }}}={frac {1}{4pi }}left[mathbf {E} otimes mathbf {E} +mathbf {H} otimes mathbf {H} -{frac {E^{2}+H^{2}}{2}}mathbb {I} right]}

Donde ${displaystyle otimes }$ es el producto dyadic, y el último tensor es el dyad unidad:

{displaystyle mathbb {I} equiv {begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{pmatrix}}=left(mathbf {hat {x}} otimes mathbf {hat {x}} +mathbf {hat {y}} otimes mathbf {hat {y}} +mathbf {hat {z}} otimes mathbf {hat {z}} right)}

El elemento ${displaystyle ij}$ del tensor de estrés Maxwell tiene unidades de impulso por unidad de tiempo de área por unidad y da el flujo de impulso paralelo al ${displaystyle i}$ eje cruzando una superficie normal al ${displaystyle j}$ eje (en la dirección negativa) por unidad de tiempo.

Estas unidades también se pueden ver como unidades de fuerza por unidad de área (presión negativa) y la ${displaystyle ij}$ elemento del tensor también se puede interpretar como la fuerza paralela al ${displaystyle i}$ el eje sufrido por una superficie normal al ${displaystyle j}$ eje por unidad de área. De hecho, los elementos diagonales dan la tensión (pulido) actuando en un elemento de área diferencial normal al eje correspondiente. A diferencia de las fuerzas debido a la presión de un gas ideal, un elemento de área en el campo electromagnético también siente una fuerza en una dirección que no es normal para el elemento. Este tirón es dado por los elementos fuera de la diagonal del tensor de estrés.

En magnetostática

Si el campo es sólo magnético (lo que es cierto en gran medida en los motores, por ejemplo), algunos de los términos desaparecen y la ecuación en unidades SI se convierte en:

{displaystyle sigma _{ij}={frac {1}{mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{frac {1}{2mu _{0}}}B^{2}delta _{ij},.}

Para objetos cilíndricos, como el rotor de un motor, esto se simplifica aún más a:

{displaystyle sigma _{rt}={frac {1}{mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{frac {1}{2mu _{0}}}B^{2}delta _{rt},.}

Donde ${displaystyle r}$ es el cobertizo en la dirección radial (hacia fuera del cilindro) y ${displaystyle t}$ es el cobertizo en la dirección tangencial (alrededor del cilindro). Es la fuerza tangencial que gira el motor. ${displaystyle B_{r}}$ es la densidad del flujo en la dirección radial, y ${displaystyle B_{t}}$ es la densidad del flujo en la dirección tangencial.

En electrostática

En electrostáticos los efectos del magnetismo no están presentes. En este caso el campo magnético desaparece, es decir, ${displaystyle mathbf {B} =mathbf {0} }$ , y obtenemos electrostática Tensor de estrés Maxwell. Se da en forma de componente por

{displaystyle sigma _{ij}=varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{frac {1}{2}}varepsilon _{0}E^{2}delta _{ij}}

y en forma simbólica por

{displaystyle {boldsymbol {sigma }}=varepsilon _{0}mathbf {E} otimes mathbf {E} -{frac {1}{2}}varepsilon _{0}(mathbf {E} cdot mathbf {E})mathbf {I} }

Donde ${displaystyle mathbf {I} }$ es el tensor de identidad adecuado ${displaystyle {big (}}$ generalmente ${displaystyle 3times 3{big)}}$ .

Valor propio

Los valores propios del tensor de tensión de Maxwell vienen dados por:

{displaystyle {lambda }=left{-left({frac {epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{frac {1}{2mu _{0}}}B^{2}right),~pm {sqrt {left({frac {epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{frac {1}{2mu _{0}}}B^{2}right)^{2}+{frac {epsilon _{0}}{mu _{0}}}left({boldsymbol {E}}cdot {boldsymbol {B}}right)^{2}}}right}}

Estos valores propios se obtienen aplicando iterativamente el lema del determinante matricial, junto con la fórmula de Sherman-Morrison.

Observando que la matriz de ecuación característica, ${displaystyle {overleftrightarrow {boldsymbol {sigma }}}-lambda mathbf {mathbb {I} } }$ , puede ser escrito como