Tangente

Tangente a una curva. La línea roja es tangencial a la curva en el punto marcado por un punto rojo.

Plano tangente a una esfera

En geometría, la línea tangente (o simplemente tangente) a una curva plana en un punto dado es la línea recta que "toca" la curva en ese punto. Leibniz lo definió como la línea que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos en la curva. Más precisamente, se dice que una línea recta es tangente a una curva y = f(x) en un punto x = c si la recta pasa por el punto (c, f(c)) en la curva y tiene pendiente f'(c), donde f' es la derivada de f. Se aplica una definición similar a las curvas espaciales y las curvas en el espacio euclidiano n-dimensional.

Al pasar por el punto donde se unen la recta tangente y la curva, llamado punto de tangencia, la recta tangente "va en la misma dirección" como la curva y, por lo tanto, es la mejor aproximación en línea recta a la curva en ese punto.

La línea tangente a un punto en una curva derivable también se puede considerar como una aproximación de la línea tangente, la gráfica de la función afín que mejor se aproxima a la función original en el punto dado.

Del mismo modo, el plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que "toca" la superficie en ese punto. El concepto de tangente es una de las nociones más fundamentales en geometría diferencial y ha sido ampliamente generalizado; ver Espacio tangente.

La palabra "tangente" proviene del latín tangere, "tocar".

Historia

Euclides hace varias referencias a la tangente (ἐφαπτομένη ephaptoménē) a un círculo en el libro III de los Elementos (c. 300 a. C.). En Apolonio' obra Cónicas (c. 225 a. C.) define una tangente como una línea tal que ninguna otra línea recta podría caer entre ella y la curva.

Arquímedes (c.  287 – c.  212 a. C.) encontró la tangente a una espiral de Arquímedes considerando la trayectoria de un punto que se mueve a lo largo de la curva.

En el 1630s Fermat desarrolló la técnica de la calidad para calcular tangentes y otros problemas en análisis y lo usó para calcular tangentes a la parabola. La técnica de la calidad es similar a tomar la diferencia entre f()x+h){displaystyle f(x+h)} y f()x){displaystyle f(x)} y dividiendo por un poder de h{displaystyle h}. Independiente Descartes usó su método de normalidad basado en la observación de que el radio de un círculo es siempre normal para el círculo mismo.

Estos métodos llevaron al desarrollo del cálculo diferencial en el siglo XVII. Muchas personas contribuyeron. Roberval descubrió un método general para trazar tangentes, considerando una curva descrita por un punto móvil cuyo movimiento es la resultante de varios movimientos más simples. René-François de Sluse y Johannes Hudde encontraron algoritmos algebraicos para encontrar tangentes. Otros desarrollos incluyeron los de John Wallis e Isaac Barrow, que llevaron a la teoría de Isaac Newton y Gottfried Leibniz.

Una definición de tangente de 1828 era "una línea recta que toca una curva, pero que cuando se produce, no la corta". Esta antigua definición evita que los puntos de inflexión tengan tangentes. Se ha descartado y las definiciones modernas son equivalentes a las de Leibniz, quien definió la recta tangente como la recta que pasa por un par de puntos infinitamente próximos de la curva.

Línea tangente a una curva plana

Un tangente, un acorde, y un secant a un círculo

La noción intuitiva de que una línea tangente "toca" una curva se puede hacer más explícita considerando la secuencia de líneas rectas (líneas secantes) que pasan por dos puntos, A y B, aquellos que se encuentran en la función curva. La tangente en A es el límite cuando el punto B se aproxima o tiende a A. La existencia y singularidad de la recta tangente depende de cierto tipo de suavidad matemática, conocida como "diferenciabilidad". Por ejemplo, si dos arcos circulares se encuentran en un punto agudo (un vértice), entonces no hay una tangente definida de manera única en el vértice porque el límite de la progresión de las líneas secantes depende de la dirección en la que el punto B " se acerca al vértice.

En la mayoría de los puntos, la tangente toca la curva sin cruzarla (aunque, al continuar, puede cruzar la curva en otros lugares alejados del punto de la tangente). Un punto donde la tangente (en este punto) cruza la curva se llama punto de inflexión. Los círculos, parábolas, hipérbolas y elipses no tienen ningún punto de inflexión, pero sí curvas más complicadas, como la gráfica de una función cúbica, que tiene exactamente un punto de inflexión, o una sinusoide, que tiene dos puntos de inflexión por cada periodo del seno.

Por el contrario, puede suceder que la curva se encuentre completamente en un lado de una línea recta que pasa por un punto de ella y, sin embargo, esta línea recta no es una línea tangente. Este es el caso, por ejemplo, de una línea que pasa por el vértice de un triángulo y no lo interseca de otra manera, donde la línea tangente no existe por las razones explicadas anteriormente. En geometría convexa, estas líneas se denominan líneas de apoyo.

En cada punto, la línea de movimiento siempre es tangente a la curva. Su pendiente es el derivado; marcas verdes positivas derivativas, marcas rojas negativas derivativas y negras cero derivativo. El punto (x,y) = (0,1) donde el tangente interseca la curva, no es un max, o un min, pero es un punto de inflexión.

Enfoque analítico

La idea geométrica de la línea tangente como el límite de las líneas secantes sirve como motivación para los métodos analíticos que se utilizan para encontrar líneas tangentes explícitamente. La cuestión de encontrar la recta tangente a un gráfico, o el problema de la recta tangente, fue una de las cuestiones centrales que llevaron al desarrollo del cálculo en el siglo XVII. En el segundo libro de su Geometría, René Descartes dijo sobre el problema de construir la tangente a una curva, "Y me atrevo a decir que este no es solo el problema más útil y más general en geometría que conozco, pero incluso que alguna vez he deseado saber".

Descripción intuitiva

Supongamos que se da una curva como la gráfica de una función, y = f(x). Para encontrar la recta tangente en el punto p = (a, f(a)), considera otra cercana punto q = (a + h, f(a + h)) en la curva. La pendiente de la recta secante que pasa por p y q es igual al cociente de diferencias

f()a+h)− − f()a)h.{displaystyle {frac {f(a+h)-f(a)}}}

A medida que el punto q se acerca a p, lo que corresponde a hacer que h sea cada vez más pequeño, el cociente de la diferencia debería acercarse a un cierto valor límite k, que es la pendiente de la recta tangente en el punto p. Si se conoce k, la ecuación de la recta tangente se puede encontrar en la forma punto-pendiente:

Sí.− − f()a)=k()x− − a).{displaystyle y-f(a)=k(x-a).,}

Descripción más rigurosa

Para hacer riguroso el razonamiento anterior, hay que explicar qué significa el cociente de diferencias que se aproxima a un cierto valor límite k. La formulación matemática precisa la dio Cauchy en el siglo XIX y se basa en la noción de límite. Suponga que el gráfico no tiene un corte o un borde afilado en p y no está a plomo ni demasiado ondulado cerca de p. Entonces hay un valor único de k tal que, a medida que h se aproxima a 0, el cociente de la diferencia se acerca cada vez más a k, y la distancia entre ellos se vuelve insignificante en comparación con el tamaño de h, si h es lo suficientemente pequeño. Esto lleva a la definición de la pendiente de la recta tangente a la gráfica como el límite de los cocientes de diferencia para la función f. Este límite es la derivada de la función f en x = a, denotada f ′(a ). Usando derivadas, la ecuación de la recta tangente se puede expresar de la siguiente manera:

Sí.=f()a)+f.()a)()x− − a).{displaystyle y=f(a)+f'(a)(x-a).,}

El cálculo proporciona reglas para calcular las derivadas de funciones dadas por fórmulas, como la función de potencia, funciones trigonométricas, función exponencial, logaritmo y sus diversas combinaciones. Así, las ecuaciones de las tangentes a las gráficas de todas estas funciones, así como muchas otras, se pueden encontrar mediante los métodos de cálculo.

Cómo puede fallar el método

El cálculo también demuestra que hay funciones y puntos en sus gráficos para los que no existe el límite que determina la pendiente de la recta tangente. Para estos puntos la función f es no diferenciable. Hay dos posibles razones para que falle el método de hallar las tangentes a partir de los límites y las derivadas: o bien existe la tangente geométrica, pero es una recta vertical, que no se puede dar en forma punto-pendiente ya que no tiene pendiente, o el gráfico muestra uno de los tres comportamientos que excluye una tangente geométrica.

La gráfica y = x^1/3 ilustra la primera posibilidad: aquí el cociente de diferencias en a = 0 es igual a h^1/3/h = h^−2/3, que se vuelve muy grande cuando h se acerca a 0. Esta curva tiene una línea tangente en el origen que es vertical.

El gráfico y = x^2/3 ilustra otra posibilidad: este gráfico tiene una cúspide en el origen. Esto significa que, cuando h tiende a 0, el cociente de diferencias en a = 0 tiende a más o menos infinito dependiendo del signo de x. Así, ambas ramas de la curva están cerca de la mitad de la línea vertical para la cual y=0, pero ninguna está cerca de la parte negativa de esta línea. Básicamente, no hay tangente en el origen en este caso, pero en algún contexto se puede considerar esta línea como una tangente, e incluso, en geometría algebraica, como una doble tangente.

La gráfica y = |x| de la función de valor absoluto consiste en dos rectas con diferentes pendientes unidas en el origen. Como un punto q se acerca al origen por la derecha, la secante siempre tiene pendiente 1. Como un punto q se acerca al origen por la izquierda, la secante siempre tiene pendiente −1. Por lo tanto, no existe una única tangente a la gráfica en el origen. Tener dos pendientes diferentes (pero finitas) se llama esquina.

Finalmente, dado que diferenciabilidad implica continuidad, los estados contrapositivos discontinuidad implican no diferenciabilidad. Cualquier salto o discontinuidad de punto no tendrá línea tangente. Esto incluye casos en los que una pendiente se acerca al infinito positivo mientras que la otra se acerca al infinito negativo, lo que lleva a una discontinuidad de salto infinito.

Ecuaciones

Cuando la curva es dada por Sí. = f()x) entonces la pendiente del tangente es dSí.dx,{displaystyle {frac {}{dx}}}por lo que por la fórmula de punto pendiente la ecuación de la línea tangente en (X,Y) es

Sí.− − Y=dSí.dx()X)⋅ ⋅ ()x− − X){displaystyle y-Y={}(X)cdot (x-X)}

Dondex,Sí.) son las coordenadas de cualquier punto en la línea tangente, y donde se evalúa el derivado en x=X{displaystyle x=X}.

Cuando la curva es dada por Sí. = f()x), la ecuación de la línea tangente también se puede encontrar utilizando división polinomio para dividir f()x){displaystyle f,(x)} por ()x− − X)2{displaystyle (x-X)^{2}; si el resto es denotado por g()x){displaystyle g(x)}, entonces la ecuación de la línea tangente es dada por

Sí.=g()x).{displaystyle y=g(x).}

Cuando la ecuación de la curva se da en la forma f(x, y) = 0, entonces el valor de la pendiente puede ser encontrado por diferenciación implícita, dando

dSí.dx=− − ∂ ∂ f∂ ∂ x∂ ∂ f∂ ∂ Sí..{displaystyle {frac {f} {fnMicroc {f}{f} {f} {f} {f} {f}f}f}f}} {f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}\f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}\f}f}f}fn Sí.

La ecuación de la recta tangente en un punto (X,Y) tal que f(X,Y) = 0 es entonces

∂ ∂ f∂ ∂ x()X,Y)⋅ ⋅ ()x− − X)+∂ ∂ f∂ ∂ Sí.()X,Y)⋅ ⋅ ()Sí.− − Y)=0.{displaystyle {frac {partial f} {partial x}}(X,Y)cdot (x-X)+{frac {partial f}{partial y}}(X,Y)cdot (y-Y)=0.}

Esta ecuación sigue siendo verdadera ∂ ∂ f∂ ∂ Sí.()X,Y)=0{displaystyle {frac {partial f}{partial y}(X,Y)=0} pero ∂ ∂ f∂ ∂ x()X,Y)ل ل 0{displaystyle {frac {partial f}{partial x}(X,Y)neq 0} (en este caso la pendiente del tangente es infinita). Si ∂ ∂ f∂ ∂ Sí.()X,Y)=∂ ∂ f∂ ∂ x()X,Y)=0,{displaystyle {frac {partial f}{partial y}}(X,Y)={frac {partial f}{partial x}}(X,Y)=0,} la línea tangente no se define y el punto (X,YSe dice que es singular.

Para las curvas algebraicas, los cálculos se pueden simplificar un poco al convertir a coordenadas homogéneas. Específicamente, sea la ecuación homogénea de la curva g(x, y, z) = 0 donde g es una función homogénea de grado n. Entonces, si (X, Y, Z) se encuentra en la curva, el teorema de Euler implica

∂ ∂ g∂ ∂ x⋅ ⋅ X+∂ ∂ g∂ ∂ Sí.⋅ ⋅ Y+∂ ∂ g∂ ∂ z⋅ ⋅ Z=ng()X,Y,Z)=0.{displaystyle {frac {partial g}{partial x}cdot X+{frac {partial g} {cdot}cdot Y+{frac {partial g}cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.}

∂ ∂ g∂ ∂ x()X,Y,Z)⋅ ⋅ x+∂ ∂ g∂ ∂ Sí.()X,Y,Z)⋅ ⋅ Sí.+∂ ∂ g∂ ∂ z()X,Y,Z)⋅ ⋅ z=0.{displaystyle {frac {partial g}{partial x}}(X,Y,Z)cdot x+{frac {partial g}{partial y}}}(X,Y,Z)cdot y+{frac {partial g}{partial z}}} {cdot z=0}}}

La ecuación de la recta tangente en coordenadas cartesianas se puede encontrar estableciendo z=1 en esta ecuación.

Para aplicar esto a curvas algebraicas, escribe f(x, y) como

f=un+un− − 1+⋯ ⋯ +u1+u0{displaystyle f=u_{n}+u_{n-1}+dots ¿Qué?

donde cada u_r es la suma de todos los términos de grado r. La ecuación homogénea de la curva es entonces

g=un+un− − 1z+⋯ ⋯ +u1zn− − 1+u0zn=0.{displaystyle g=u_{n}+u_{n-1}z+dots ¿Qué?

Aplicando la ecuación anterior y configurando z=1 produce

∂ ∂ f∂ ∂ x()X,Y)⋅ ⋅ x+∂ ∂ f∂ ∂ Sí.()X,Y)⋅ ⋅ Sí.+∂ ∂ g∂ ∂ z()X,Y,1)=0{displaystyle {frac {partial f}{partial x}}(X,Y)cdot x+{frac {partial f}{partial y}}(X,Y)cdot y+{frac {partial g}{partial z} {c,Y,1)=0}

como la ecuación de la recta tangente. La ecuación en esta forma a menudo es más simple de usar en la práctica, ya que no se necesita más simplificación después de su aplicación.

Si la curva está dada paramétricamente por

x=x()t),Sí.=Sí.()t){displaystyle x=x(t),quad y=y(t)}

entonces la pendiente de la tangente es

dSí.dx=dSí.dtdxdt{displaystyle {frac {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fn}}} {fnMicrosoft}}}}} {fnMicroc}}}} {fnMicroc} {fnMicroc {} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc}} {f}} {fnMicroc}}}} {fnMicroc}}} {fnMicroc}} {f}}} {f}}}}} {fnMicroc} {dx} {dt}}}

dar la ecuación para la línea tangente t=T,X=x()T),Y=Sí.()T){displaystyle ,t=T,,X=x(T),,Y=y(T)} como

dxdt()T)⋅ ⋅ ()Sí.− − Y)=dSí.dt()T)⋅ ⋅ ()x− − X).{displaystyle {frac {dx} {dt}(T)cdot (y-Y)={frac {y}{dt}}(T)cdot (x-X). }

Si dxdt()T)=dSí.dt()T)=0,{displaystyle {frac {dx} {fnMicroc {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}=0} la línea tangente no está definida. Sin embargo, puede ocurrir que la línea tangente existe y puede ser computada de una ecuación implícita de la curva.

Línea normal a una curva

La recta perpendicular a la recta tangente a una curva en el punto de tangencia se denomina recta normal a la curva en ese punto. Las pendientes de las rectas perpendiculares tienen producto −1, por lo que si la ecuación de la curva es y = f(x) entonces la pendiente de la normal la línea es

− − 1dSí.dx{displaystyle - ¿Qué?

y se deduce que la ecuación de la línea normal en (X, Y) es

()x− − X)+dSí.dx()Sí.− − Y)=0.{displaystyle (x-X)+{y}(y-Y)=0.}

Del mismo modo, si la ecuación de la curva tiene la forma f(x, y) = 0, entonces la ecuación de la recta normal es dado por

∂ ∂ f∂ ∂ Sí.()x− − X)− − ∂ ∂ f∂ ∂ x()Sí.− − Y)=0.{displaystyle {frac {partial f} {partial y}}(x-X)-{frac {partial f}{partial x} {y-Y)=0}

Si la curva está dada paramétricamente por

x=x()t),Sí.=Sí.()t){displaystyle x=x(t),quad y=y(t)}

entonces la ecuación de la recta normal es

dxdt()x− − X)+dSí.dt()Sí.− − Y)=0.{displaystyle {frac {dx} {x-X)+{frac {y} {y-Y)=0}

Ángulo entre curvas

El ángulo entre dos curvas en un punto donde se cruzan se define como el ángulo entre sus líneas tangentes en ese punto. Más específicamente, se dice que dos curvas son tangentes en un punto si tienen la misma tangente en un punto, y ortogonales si sus líneas tangentes son ortogonales.

Múltiples tangentes en un punto

El trisectrix limaçon: una curva con dos tangentes en el origen.

Las fórmulas anteriores fallan cuando el punto es un punto singular. En este caso puede haber dos o más ramas de la curva que pasen por el punto, teniendo cada rama su propia tangente. Cuando el punto es el origen, las ecuaciones de estas líneas se pueden encontrar para curvas algebraicas al factorizar la ecuación formada al eliminar todos los términos de la ecuación original excepto los de menor grado. Dado que cualquier punto puede convertirse en el origen mediante un cambio de variables (o mediante la traducción de la curva), esto brinda un método para encontrar las líneas tangentes en cualquier punto singular.

Por ejemplo, la ecuación de la trisectriz de limaçon que se muestra a la derecha es

()x2+Sí.2− − 2ax)2=a2()x2+Sí.2).{displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).,}

Ampliar esto y eliminar todos menos los términos del grado 2 da

a2()3x2− − Sí.2)=0{displaystyle a^{2}(3x^{2}-y^{2}=0,}

que, cuando se factoriza, se convierte en

Sí.=± ± 3x.{displaystyle y=pm {}x}

Así que estas son las ecuaciones de las dos rectas tangentes que pasan por el origen.

Cuando la curva no se cruza a sí misma, es posible que la tangente en un punto de referencia aún no esté definida de manera única porque la curva no es diferenciable en ese punto, aunque sí lo es en otros lugares. En este caso, las derivadas izquierda y derecha se definen como los límites de la derivada cuando el punto en el que se evalúa se aproxima al punto de referencia desde la izquierda (valores más bajos) o la derecha (valores más altos) respectivamente. Por ejemplo, la curva y = |x | no es diferenciable en x = 0: sus derivadas izquierda y derecha tienen pendientes respectivas −1 y 1; las tangentes en ese punto con esas pendientes se llaman tangentes izquierda y derecha.

A veces, las pendientes de las rectas tangentes izquierda y derecha son iguales, por lo que las rectas tangentes coinciden. Esto es cierto, por ejemplo, para la curva y = x ^2/3, para la cual las derivadas izquierda y derecha en x = 0 son infinitos; las rectas tangentes izquierda y derecha tienen ecuación x = 0.

Línea tangente a una curva espacial

En matemáticas, un vector tangente es un vector que es tangente a una curva o superficie en un punto dado. Los vectores tangentes se describen en la geometría diferencial de curvas en el contexto de curvas en Rⁿ. Más generalmente, vectores tangentes son elementos de un espacio tangente de un manifold diferente. Los vectores tangentes también se pueden describir en términos de gérmenes. Formally, un vector tangente en el punto x{displaystyle x} es una derivación lineal del álgebra definida por el conjunto de gérmenes en x{displaystyle x}.

Círculos tangentes

Dos pares de círculos tangentes. Sobre el interior y debajo del tangente externo

Se dice que dos círculos de distinto radio, ambos en el mismo plano, son tangentes entre sí si se encuentran en un solo punto. De manera equivalente, dos círculos, con radios de r_i y centros en (x_i, y_i), para i = 1, 2 se dice que son tangentes entre sí si

()x1− − x2)2+()Sí.1− − Sí.2)2=()r1± ± r2)2.{displaystyle left(x_{1}-x_{2}right)^{2}+left(y_{1}-y_{2}right)^{2}=left(r_{1}pm r_{2}right)^{2}.}

• Dos círculos son externamente tangente si la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios.

()x1− − x2)2+()Sí.1− − Sí.2)2=()r1+r2)2.{displaystyle left(x_{1}-x_{2}right)^{2}+left(y_{1}-y_{2}right)^{2}=left(r_{1}+r_{2}right)^{2}.,}

• Dos círculos son tangente interna si la distancia entre sus centros es igual a la diferencia entre sus radios.

()x1− − x2)2+()Sí.1− − Sí.2)2=()r1− − r2)2.{displaystyle left(x_{1}-x_{2}right)^{2}+left(y_{1}-y_{2}right)^{2}=left (r_{1}-r_{2}right)^{2}

Plano tangente a una superficie

El plano tangente a una superficie en un punto dado p se define de forma análoga a la recta tangente en el caso de las curvas. Es la mejor aproximación de la superficie por un plano en p, y se puede obtener como la posición límite de los planos que pasan por 3 puntos distintos de la superficie cercanos a p ya que estos puntos convergen a p.

Variedades de dimensiones superiores

Más generalmente, hay un espacio tangente de k-dimensional en cada punto de una variedad k-dimensional en la euclidiana n-dimensional espacio.