Divisor cero

En álgebra abstracta, un elemento a de un anillo R es llamado un divisor cero a la izquierda si existe un x distinto de cero en R tal que ax = 0, o de manera equivalente si el mapa de R a R que envía x a ax no es inyectivo. De manera similar, un elemento a de un anillo se denomina divisor de cero a la derecha si existe un y en R tal que ya = 0. Este es un caso parcial de divisibilidad en anillos. Un elemento que es un divisor de cero por la izquierda o por la derecha se llama simplemente un divisor de cero. Un elemento a que es un divisor de cero a la izquierda y a la derecha se denomina divisor de cero de dos lados (el elemento distinto de cero x tal que ax = 0 puede ser diferente de cero y tal que ya = 0). Si el anillo es conmutativo, entonces los divisores de cero izquierdo y derecho son iguales.

Un elemento de un anillo que no es un divisor de cero a la izquierda se llama regular a la izquierda o cancelable a la izquierda. De manera similar, un elemento de un anillo que no es un divisor de cero por la derecha se llama regular por la derecha o cancelable por la derecha. Un elemento de un anillo que es cancelable por la izquierda y la derecha, y por lo tanto no es un divisor de cero, se llama regular o cancelable, o un divisor distinto de cero . Un divisor de cero que es distinto de cero se denomina divisor de cero distinto de cero o un divisor de cero no trivial. Un anillo distinto de cero sin divisores de cero no triviales se llama dominio.

Ejemplos

• En el anillo ${displaystyle mathbb {Z} {Z}$, la clase de residuos ${displaystyle {fnK}}$ es un divisor cero desde ${displaystyle {overline {2}times {overline {2}={overline {4}={overline {0}}$.
• El único divisor cero del anillo ${displaystyle mathbb {Z}$ de enteros es ${displaystyle 0}$.
• Un elemento nilpotente de un anillo no cero es siempre un divisor cero de dos caras.
• Un elemento idempotente ${displaystyle eneq 1}$ de un anillo es siempre un divisor cero de dos caras, ya ${displaystyle e(1-e)=0=(1-e)e}$.
• El anillo de ${displaystyle ntimes n}$ matrices sobre un campo tiene divisores no cero si ${displaystyle ngeq 2}$. Ejemplos de cero divisores en el anillo de ${displaystyle 2times 2}$ matrices (sobre cualquier anillo no cero) se muestran aquí:
  $${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {}} {begin} {begin} {pmatrix} {�} {fnMicrosoft}} {} {fnMicrosoft}}} {fnMicrox}}} {�} {�}0}0} {fnMicrox}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$$

  
  $${�} {�} {�} {�}�}=begin {pmatrix} {begin {pmatrix}0}0}�}�} {pmatrix}}=begin{0}�trix} {0} {�} {�trix} {�}0 {�trix}0} {�}0}0}=0}=0 {�}0}}}}m}0 {� {�}0 {� {m}0}=0}=0 {cH0 {cH0}=0}0}0}0}0}0}0}0}0}0}0 {cH0 {cH0 {cH0 {cH00}cH00}cH0}cH0}cH0}cH0}cH0}cH0}cH0}cH0}cH00}}}}}}}}$$

  
• Un producto directo de dos o más anillos no cero siempre tiene divisores no cero. Por ejemplo, en ${displaystyle R_{1}times R_{2}$ con cada ${displaystyle R_{i}$ No cero, ${displaystyle (1,0)(0,1)=(0,0)}$Así que ${displaystyle (1,0)}$ es un divisor cero.
• Vamos ${displaystyle K}$ ser un campo y ${displaystyle G.$ Sé un grupo. Supongamos que ${displaystyle G.$ tiene un elemento ${displaystyle g}$ de orden finito ${displaystyle n confía1}$. Luego en el anillo de grupo ${displaystyle K[G]}$ uno tiene ${displaystyle (1-g)(1+g+cdots ¿Qué?$, con ninguno factor siendo cero, así ${displaystyle 1-g}$ es un divisor no cero en ${displaystyle K[G]}$.

Divisor cero unilateral

• Considere el anillo de matrices (formales) ${displaystyle {begin{pmatrix}x limitada� recurzend{pmatrix}}$ con ${displaystyle x,zin mathbb {Z}$ y ${displaystyle yin mathbb {Z} {Z}$. Entonces... ${begin{begin{pmatrix}x limite\0 limite {pmatrix}{begin{pmatrix}a {�}pmatrix} {�}}=begin{pmatrix}xa limitx}xb+yc�}$ y ${displaystyle {begin{pmatrix}a ventajab� limitadacend{pmatrix}{begin{pmatrix}x limity\0 limitzend{pmatrix}=begin{pmatrix}xa limitya+zb� limitzcend{pmatrix}}}} {�}}}}}}$. Si ${displaystyle xneq 0neq z}$, entonces ${displaystyle {begin{pmatrix}x limitada� recurzend{pmatrix}}$ es un divisor cero izquierdo si y sólo si ${displaystyle x}$ es incluso, desde ${�}}=begin{pmatrix}0} {�}=begin{pmatrix}0 {��}}}}=begin{pmatrix}0 {�}�}�}}}}}}} {m}}}}}}}$, y es un divisor cero derecho si y sólo si ${displaystyle z}$ es incluso por razones similares. Si alguno de ${displaystyle x,z}$ es ${displaystyle 0}$, entonces es un dos-sided cero-divisor.
• Aquí está otro ejemplo de un anillo con un elemento que es un divisor cero en un lado solamente. Vamos ${displaystyle S.$ ser el conjunto de todas las secuencias de enteros ${displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},}}$. Tome para el anillo todos los mapas aditivos de ${displaystyle S.$ a ${displaystyle S.$, con la adición de punto y la composición como las operaciones del anillo. (Eso es, nuestro anillo es ${displaystyle mathrm {End} (S)}$, el anillo de endomorfismo del grupo aditivo ${displaystyle S.$.) Tres ejemplos de elementos de este anillo son los turno derecho ${displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3}...)=(0,a_{1},a_{2},...)}$, el turno izquierdo ${displaystyle L(a_{1},a_{2},a_{3}...)=(a_{2},a_{3},a_{4},)}$, y el mapa de la proyección sobre el primer factor ${displaystyle P(a_{1},a_{2},a_{3}=(a_{1},0,0,...)}$. Los tres mapas aditivos no son cero, y los compuestos ${displaystyle LP}$ y ${displaystyle PR.$ ambos son cero, así que ${displaystyle L.$ es un divisor cero izquierdo y ${displaystyle R.$ es un divisor cero derecho en el anillo de mapas aditivos de ${displaystyle S.$ a ${displaystyle S.$. Sin embargo, ${displaystyle L.$ no es un divisor cero derecho y ${displaystyle R.$ no es un divisor cero izquierdo: el compuesto ${displaystyle LR.$ es la identidad. ${displaystyle RL.$ es un dos-sided cero-divisor desde ${displaystyle RLP=0=PRL}$, mientras ${displaystyle LR=1}$ no está en ninguna dirección.

No-ejemplos

• El anillo de enteros modulo un número primo no tiene divisores no cero. Puesto que cada elemento no cero es una unidad, este anillo es un campo finito.
• Más generalmente, un anillo de división no tiene divisores no cero.
• Un anillo conmutativo no cero cuyo único divisor cero es 0 se llama un dominio integral.

Propiedades

• En el anillo n-por-n matrices sobre un campo, los divisores cero izquierdo y derecho coinciden; son precisamente las matrices singulares. En el anillo n-por-n matrices sobre un dominio integral, los divisores cero son precisamente las matrices con cero determinante.
• Los divisores izquierdo o derecho cero nunca pueden ser unidades, porque si a es invertible y ax = 0 para algunos no cero x, entonces 0 = a⁻¹0 = a⁻¹ax = xUna contradicción.
• Un elemento es cancelable en el lado en el que es regular. Eso es, si a es un regular izquierdo, ax = ay implica que x = Sí., y de forma similar para regular derecho.

Cero como divisor de cero

No hay necesidad de una convención separada para el caso a = 0, porque la definición también se aplica en este caso:

• Si R es un anillo aparte del anillo cero, entonces 0 es un divisor cero (dos lados), porque cualquier elemento no cero x satisfizo 0x = 0 = x0.
• Si R es el anillo cero, en el cual 0 = 1, entonces 0 no es un divisor cero, porque no hay nonzero elemento que se multiplica por 0 rendimientos 0.

Algunas referencias incluyen o excluyen 0 como un divisor de cero en todos los anillos por convención, pero luego tienen que introducir excepciones en declaraciones como como el seguiente:

• En un anillo conmutativo R, el conjunto de no-cero-divisores es un conjunto multiplicativo R. (Esto, a su vez, es importante para la definición del anillo de cociente total.) Lo mismo ocurre con el conjunto de no-left-zero-divisores y el conjunto de no-right-cero-divisores en un anillo arbitrario, conmutativo o no.
• En un anillo noetheriano conmutativo R, el conjunto de cero divisores es la unión de los ideales principales asociados de R.

Divisor de cero en un módulo

Vamos R ser un anillo conmutativo, M ser un R- ¿Qué? a ser un elemento de R. Uno dice que a es M-regular si la "multiplicación por a" mapa" ${displaystyle M,{stackrel {a}},M}$ es inyectable, y eso a es un cero divisor M De lo contrario. El conjunto de M-elementos regulares es un conjunto multiplicativo R.

Especializando las definiciones de "M-regular" y "divisor cero en M" al caso M = R recupera las definiciones de "regular" y "divisor cero" dado anteriormente en este artículo.