Tabla matematica

Enfrentando páginas de un libro de 1619 de tablas matemáticas de Matthias Bernegger, mostrando valores para las funciones trigonométricas sine, tangente y secant. Los ángulos inferiores a 45° se encuentran en la página izquierda, ángulos superiores a 45° a la derecha. Cosine, cotangent y cosecant se encuentran utilizando la entrada en la página opuesta.

Tablas matemáticas son listas de números que muestran los resultados de un cálculo con diferentes argumentos. Las tablas trigonométricas se utilizaron en la antigua Grecia y la India para aplicaciones de astronomía y navegación celeste, y continuaron utilizándose ampliamente hasta que las calculadoras electrónicas se volvieron baratas y abundantes, para simplificar y acelerar drásticamente los cálculos. Las tablas de logaritmos y funciones trigonométricas eran comunes en los libros de texto de matemáticas y ciencias, y se publicaron tablas especializadas para numerosas aplicaciones.

Historia y uso

Las primeras tablas de funciones trigonométricas que se sabe que se hicieron fueron las de Hiparco (c. 190 - c. 120 a. C.) y Menelao (c. 70-140 d. C.), pero ambas se han perdido. Junto con la tabla sobreviviente de Ptolomeo (c. 90 - c.168 EC), todas eran tablas de cuerdas y no de medias cuerdas, es decir, la función seno. La tabla producida por el matemático indio Āryabhaṭa (476–550 EC) se considera la primera tabla de senos jamás construida. La tabla de Āryabhaṭa siguió siendo la tabla de senos estándar de la antigua India. Hubo continuos intentos de mejorar la precisión de esta tabla, que culminaron con el descubrimiento de las expansiones en serie de potencias de las funciones de seno y coseno por Madhava de Sangamagrama (c.1350 - c.1425), y la tabulación de una tabla de senos por Madhava con valores con una precisión de siete u ocho decimales.

Estas tablas matemáticas de 1925 fueron distribuidas por la Junta de Exámenes de Entrada de Colegio a los estudiantes tomando las porciones matemáticas de las pruebas

Las tablas de logaritmos comunes se usaban hasta la invención de las computadoras y las calculadoras electrónicas para hacer multiplicaciones, divisiones y exponenciaciones rápidas, incluida la extracción de raíces nésimas.

En el siglo XIX se propusieron computadoras mecánicas especiales conocidas como motores diferenciales para tabular aproximaciones polinómicas de funciones logarítmicas, es decir, para calcular tablas logarítmicas grandes. Esto estuvo motivado principalmente por errores en las tablas logarítmicas realizadas por las computadoras humanas de la época. Las primeras computadoras digitales se desarrollaron durante la Segunda Guerra Mundial en parte para producir tablas matemáticas especializadas para apuntar la artillería. A partir de 1972, con el lanzamiento y el uso creciente de las calculadoras científicas, la mayoría de las tablas matemáticas quedaron en desuso.

Uno de los últimos esfuerzos importantes para construir tales tablas fue el Proyecto de Tablas Matemáticas que se inició en los Estados Unidos en 1938 como un proyecto de la Works Progress Administration (WPA), empleando a 450 empleados sin trabajo para tabular tablas más altas. funciones matematicas Duró hasta la Segunda Guerra Mundial.

Todavía se utilizan tablas de funciones especiales. Por ejemplo, el uso de tablas de valores de la función de distribución acumulada de la distribución normal, las llamadas tablas normales estándar, sigue siendo un lugar común hoy en día, especialmente en las escuelas, aunque el uso de calculadoras científicas y gráficas está haciendo que tales tablas sean redundantes.

La creación de tablas almacenadas en la memoria de acceso aleatorio es una técnica de optimización de código común en la programación de computadoras, donde el uso de dichas tablas acelera los cálculos en aquellos casos en los que una búsqueda en la tabla es más rápida que los cálculos correspondientes (particularmente si la computadora en cuestión no tiene una implementación de hardware de los cálculos). En esencia, uno cambia la velocidad de computación por el espacio de memoria de la computadora requerido para almacenar las tablas.

Tablas de logaritmos

Una página del 1617 de Henry Briggs Logarithmorum Chilias Prima mostrando el logaritmo base-10 (común) de los enteros 0 a 67 a catorce lugares decimales.

Parte de una mesa del siglo XX de logaritmos comunes en el libro de referencia Abramowitz y Stegun.

Una página de una tabla de logaritmos de funciones trigonométricas del navegante práctico americano 2002. Se incluyen columnas de diferencias para ayudar a la interpolación.

Las tablas que contienen logaritmos comunes (base 10) se usaban mucho en los cálculos antes de la llegada de las calculadoras electrónicas y las computadoras porque los logaritmos convierten los problemas de multiplicación y división en problemas de suma y resta mucho más fáciles. Los logaritmos en base 10 tienen una propiedad adicional que es única y útil: el logaritmo común de números mayores que uno que difieren solo en un factor de una potencia de diez tienen la misma parte fraccionaria, conocida como mantisa. Las tablas de logaritmos comunes normalmente incluían solo las mantisas; la parte entera del logaritmo, conocida como característica, podría determinarse fácilmente contando los dígitos del número original. Un principio similar permite el cálculo rápido de logaritmos de números positivos menores que 1. Por lo tanto, se puede usar una sola tabla de logaritmos comunes para todo el rango de números decimales positivos. Consulte logaritmo común para obtener detalles sobre el uso de características y mantisas.

Historia

En 1544, Michael Stifel publicó Arithmetica integra, que contiene una tabla de números enteros y potencias de 2 que se ha considerado una versión temprana de una tabla logarítmica.

El método de los logaritmos fue propuesto públicamente por John Napier en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos). El libro contenía cincuenta y siete páginas de material explicativo y noventa páginas de tablas relacionadas con logaritmos naturales. El matemático inglés Henry Briggs visitó Napier en 1615 y propuso una nueva escala de los logaritmos de Napier para formar lo que ahora se conoce como logaritmos comunes o de base 10. Napier delegó en Briggs el cálculo de una tabla revisada. En 1617, publicaron Logarithmorum Chilias Prima ("Los primeros mil logaritmos"), que ofrecía una breve descripción de los logaritmos y una tabla para los primeros 1000 números enteros calculados hasta el decimocuarto lugar decimal..

El avance computacional disponible a través de logaritmos comunes, lo contrario de los números potenciados o la notación exponencial, fue tal que hizo los cálculos a mano mucho más rápido.

Tablas trigonométricas

Los cálculos trigonométricos desempeñaron un papel importante en los primeros estudios de la astronomía. Las primeras tablas se construyeron aplicando repetidamente identidades trigonométricas (como las identidades de medio ángulo y suma de ángulos) para calcular nuevos valores a partir de los antiguos.

Un ejemplo sencillo

Para calcular la función seno de 75 grados, 9 minutos, 50 segundos utilizando una tabla de funciones trigonométricas como la tabla de Bernegger de 1619 que se ilustra arriba, simplemente se puede redondear a 75 grados, 10 minutos y luego encontrar el valor de 10 minutos entrada en la página de 75 grados, que se muestra arriba a la derecha, que es 0.9666746.

Sin embargo, esta respuesta solo tiene una precisión de cuatro decimales. Si uno quisiera una mayor precisión, podría interpolar linealmente de la siguiente manera:

De la tabla de Bernegger:

pecado (75° 10′) = 0.9666746

pecado (75° 9′) = 0.9666001

La diferencia entre estos valores es 0,0000745.

Como hay 60 segundos en un minuto de arco, multiplicamos la diferencia por 50/60 para obtener una corrección de (50/60)*0.0000745 ≈ 0.0000621; y luego agregue esa corrección a sin (75 ° 9 ′) para obtener:

sin (75° 9′ 50′′) ♥ el pecado (75° 9′) + 0,0000621 = 0.9666001 + 0,0000621 = 0.96622

Una calculadora moderna da sin(75° 9′ 50″) = 0,96666219991, por lo que nuestra respuesta interpolada es precisa con la precisión de 7 dígitos de la tabla de Bernegger.

Para tablas con mayor precisión (más dígitos por valor), es posible que se necesite una interpolación de mayor orden para obtener una precisión total. En la era anterior a las computadoras electrónicas, la interpolación de datos de tablas de esta manera era la única forma práctica de obtener valores de alta precisión de las funciones matemáticas necesarias para aplicaciones como la navegación, la astronomía y la topografía.

Para comprender la importancia de la precisión en aplicaciones como la navegación, tenga en cuenta que, a nivel del mar, un minuto de arco a lo largo del ecuador de la Tierra o un meridiano (de hecho, cualquier gran círculo) equivale a una milla náutica (aproximadamente 1,852 km o 1,151 mi).