Suspensión (topología)

En topología, una rama de las matemáticas, la suspensión de un espacio topológico X se obtiene intuitivamente estirando X formando un cilindro y luego colapsando ambas caras de los extremos en puntos. Uno ve a X como "suspendido" entre estos puntos finales. La suspensión de X se denota por SX o susp(X).

Existe una variación de la suspensión para espacios puntiagudos, que se llama suspensión reducida y se denota por ΣX. El "habitual" La suspensión SX a veces se denomina suspensión no reducida, suspensión sin base o suspensión gratuita de X, para distinguirlo de ΣX.

Suspensión libre

La suspensión (gratuita) SX{displaystyle SX} de un espacio topológico X{displaystyle X} se puede definir de varias maneras.

1. SX{displaystyle SX} es el espacio conveniente ()X× × [0,1])/()X× × {}0},X× × {}1}){displaystyle (Xtimes [0,1])/(Xtimes {0},Xtimes {1})}. En otras palabras, se puede construir de la siguiente manera:

• Construir el cilindro X× × [0,1]{displaystyle Xtimes [0,1]}.
• Considere todo el conjunto X× × {}0}{displaystyle Xtimes {0} como un solo punto ("glutinar" todos sus puntos juntos).
• Considere todo el conjunto X× × {}1}{displaystyle Xtimes {1} como un solo punto ("glutinar" todos sus puntos juntos).

2. Otra forma de escribir esto es:

SX:=v0∪ ∪ p0()X× × [0,1])∪ ∪ p1v1=lim→ → i▪ ▪ {}0,1}⁡ ⁡ ()()X× × [0,1]),, ()X× × {}i})→pivi),{displaystyle SX:=v_{0}cup [0,1] ¿Por qué? (Xtimes {i})xrightarrow [p_{i} v_{i} {bigr]}

Donde v0,v1{displaystyle ¿Qué? son dos puntos, y para cada i en {0,1}, pi{displaystyle P_{i} es la proyección al punto vi{displaystyle V_{i} (una función que mapea todo a vi{displaystyle V_{i}). Eso significa que la suspensión SX{displaystyle SX} es el resultado de la construcción del cilindro X× × [0,1]{displaystyle Xtimes [0,1]}, y luego sujetarla por sus caras, X× × {}0}{displaystyle Xtimes {0} y X× × {}1}{displaystyle Xtimes {1}, a los puntos v0,v1{displaystyle ¿Qué? en las proyecciones pi:()X× × {}i})→ → vi{displaystyle p_{i}:{bigl (}Xtimes {i}{bigr)}to V_{i}.

3. Uno puede ver SX{displaystyle SX} como dos conos X, pegados juntos en su base.

4. SX{displaystyle SX} también se puede definir como la unión X⋆ ⋆ S0,{displaystyle Xstar S^{0} Donde S0{displaystyle S^{0} es un espacio discreto con dos puntos.

Propiedades

En términos generales, S aumenta la dimensión de un espacio en uno: por ejemplo, lleva una n-esfera a una (n > + 1)-esfera para n ≥ 0.

Dado un mapa continuo f:X→ → Y,{displaystyle f:Xrightarrow Sí. hay un mapa continuo Sf:SX→ → SY{displaystyle Sf:SXrightarrow Sí. definidas por Sf()[x,t]):=[f()x),t],{displaystyle Sf([x,t]:=[f(x),t],} donde los corchetes denotan clases de equivalencia. Esto hace S{displaystyle S. en un functor de la categoría de espacios topológicos a sí mismo.

Suspensión reducida

Si X es un espacio puntiagudo con punto base x₀, existe una variación de la suspensión que a veces es más útil. La suspensión reducida o suspensión basada ΣX de X es el espacio cociente:

.. X=()X× × I)/()X× × {}0}∪ ∪ X× × {}1}∪ ∪ {}x0}× × I){displaystyle Sigma X=(Xtimes I)/(Xtimes {0}cup Xtimes {1}cup Horas I)}.

Esto es equivalente a tomar SX y colapsar la línea (x₀ × I ) uniendo los dos extremos en un solo punto. El punto base del espacio puntiagudo ΣX se considera la clase de equivalencia de (x₀, 0).

Se puede demostrar que la suspensión reducida de X es homeomorfa al producto aplastante de X con el círculo unitario S¹ .

.. X.. S1∧ ∧ X{displaystyle Sigma Xcong S^{1}wedge X}

Para espacios de buen comportamiento, como los complejos CW, la suspensión reducida de X es homotópicamente equivalente a la suspensión no basada.

Adjunción de funtores de espacio de bucle y suspensión reducida

La OPS da lugar a un funerario de la categoría de espacios apuntados a sí mismo. Una propiedad importante de este functor es que se deja junto al functor Ω Ω {displaystyle Omega } tomando un espacio apuntado X{displaystyle X} a su espacio de bucle Ω Ω X{displaystyle Omega X}. En otras palabras, tenemos un isomorfismo natural

MapasAlternativa Alternativa ⁡ ⁡ ().. X,Y).. MapasAlternativa Alternativa ⁡ ⁡ ()X,Ω Ω Y){displaystyle operatorname {Maps} _{*}left(Sigma X,Yright)cong operatorname {Maps} _{*}left(X,Omega Yright)}

Donde X{displaystyle X} y Y{displaystyle Sí. son espacios y MapasAlternativa Alternativa {displaystyle operatorname {Maps} _{*} representa mapas continuos que conservan puntos base. Esta adjunción puede entenderse geométricamente, como sigue: .. X{displaystyle Sigma X} surge de X{displaystyle X} si se une un círculo apuntado a todos los puntos no básicos X{displaystyle X}, y los puntos base de todos estos círculos se identifican y pegan al punto base de X{displaystyle X}. Ahora, para especificar un mapa apuntado de .. X{displaystyle Sigma X} a Y{displaystyle Sí., necesitamos dar mapas apuntados de cada uno de estos círculos apuntados a Y{displaystyle Sí.. Esto es decir que necesitamos asociarnos a cada elemento X{displaystyle X} un bucle en Y{displaystyle Sí. (un elemento del espacio del bucle Ω Ω Y{displaystyle "Omega Y".), y el bucle trivial debe estar asociado al punto base de X{displaystyle X}: este es un mapa apuntado X{displaystyle X} a Ω Ω Y{displaystyle "Omega Y".. (Es necesario comprobar la continuidad de todos los mapas involucrados.)

La adjunción es, por lo tanto, similar al curry, llevando mapas de productos cartesianos a su forma curry, y es un ejemplo de la dualidad Eckmann-Hilton.

Este complemento es un caso especial del complemento explicado en el artículo sobre productos smash.

Aplicaciones

La suspensión reducida se puede utilizar para construir un homomorfismo de grupos de homotopía, al que se aplica el teorema de suspensión de Freudenthal. En la teoría de la homotopía, los fenómenos que se conservan en suspensión, en un sentido adecuado, constituyen la teoría de la homotopía estable.

Ejemplos

Algunos ejemplos de suspensiones son:

• La suspensión de una bola n es homeomorfa a la bola (n+1).

Dessuspensión

La desuspensión es una operación parcialmente inversa a la suspensión.