Superelipse

Ejemplos de superellipses para ${displaystyle a=1, b=0.75}$

Una superelipse, también conocida como curva de Lamé en honor a Gabriel Lamé, es una curva cerrada que se asemeja a la elipse, conservando las características geométricas de semieje mayor y semieje. eje menor y simetría sobre ellos, pero una forma general diferente.

En el sistema de coordenadas cartesianas, el conjunto de todos los puntos ${displaystyle (x,y)}$ en la curva satisfacer la ecuación

${displaystyle lefttención{frac {x} {fn}fn}fn}fn}fnMicroc {y} {y} {y} {y} {y} {y} {y}} {y}}}derech}derech}$

Donde ${displaystyle n,a}$ y ${displaystyle b}$ son números positivos, y las barras verticales alrededor de un número indican el valor absoluto del número. La generalización tridimensional se llama superellipsoide (algunos literaturas también lo llaman superquadrics).

Casos específicos

Esta fórmula define una curva cerrada contenida en el rectángulo −a ≤ x ≤ +a y −b ≤ y ≤ +b. Los parámetros a y b se denominan semidiámetros de la curva. La forma general de la curva está determinada por el valor del exponente n, como se muestra en la siguiente tabla:

${displaystyle 0 won1}$	La superellipse se parece a una estrella de cuatro brazos con los lados del cóncavo (dentro-curvado). Para n= 1/2, en particular, cada uno de los cuatro arcos es un segmento de una parabola. Un astroide es el caso especial a=b, n= 2/3.	La superellipse con n=1.2, a=b= 1
${displaystyle n=1}$	La curva es un rombo con esquinas (±a, 0) y (0, ±b).
${displaystyle 1 se hizo realidad2}$	La curva parece un rhombus con las mismas esquinas pero con los lados convexos (de afuera curvados). La curvatura aumenta sin límite a medida que uno se aproxima a sus puntos extremos.	La superellipse con n=3.2, a=b= 1
${displaystyle n=2}$	La curva es un elipse ordinario (en particular, un círculo si a=b).
${displaystyle n confiado2}$	La curva se ve superficialmente como un rectángulo con esquinas redondeadas. La curvatura es cero en los puntos (±a, 0) y (0, ±b).	Squircle, el superellipse con n= 4, a=b= 1

Si n < 2, la figura también se denomina hipoelipse; si n > 2, una hiperelipse.

Cuando n ≥ 1 y a = b, la superelipse es el límite de una bola de R ² en la norma n.

Los puntos extremos de la superellipsa son (±a, 0) y (0, ±b), y sus cuatro "carniceros" son (±sa, ±sb), donde ${displaystyle s=2^{-1/n}$ (A veces se llama "superness").

Propiedades matemáticas

Cuando n es un número racional positivo p/q (en términos mínimos), entonces cada cuadrante de la superelipse es un plano algebraico curva de orden pq. En particular, cuando a = b = 1 y n es un número entero par, entonces es una curva de Fermat de grado n. En ese caso es no singular, pero en general será singular. Si el numerador no es par, entonces la curva se compone de porciones de la misma curva algebraica en diferentes orientaciones.

La curva es dada por las ecuaciones paramétricas (con parámetro ${displaystyle t}$ no tener interpretación geométrica elemental)

${displaystyle left.{begin{aligned}xleft(tright) limit=pm acos ^{frac {2}{n}}tyleft(tright) Pulse=pmbsin ^{frac {2} {n}tend{aligned}rightqquad 0leq tleq {frac # } {2}}$

donde cada ± puede ser elegido por separado para que cada valor ${displaystyle t}$ da cuatro puntos en la curva. Equivalentemente, dejando ${displaystyle t}$ rango ${displaystyle 0leq t won2pi}$

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}cdot acdot aoperatorname {sgn} {cos t)yyleft(tright) âTMa} {cdot}cdotcdot}cdotname$

donde está la función de signo

${displaystyle operatorname {sgn}(w)={begin{cases}-1, reducidaw won0$