Suma directa de módulos

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Operación en álgebra abstracta

En álgebra abstracta, la suma directa es una construcción que combina varios módulos en un nuevo módulo más grande. La suma directa de módulos es el módulo más pequeño que contiene los módulos dados como submódulos sin elementos "innecesarios" restricciones, por lo que es un ejemplo de un coproducto. Contraste con el producto directo, que es la noción dual.

Los ejemplos más familiares de esta construcción ocurren cuando se consideran espacios vectoriales (módulos sobre un campo) y grupos abelianos (módulos sobre el anillo Z de números enteros). La construcción también puede extenderse para cubrir espacios de Banach y espacios de Hilbert.

Consulte el artículo Descomposición de un módulo para conocer una forma de escribir un módulo como una suma directa de submódulos.

Construcción de espacios vectoriales y grupos abelianos

Primero damos la construcción en estos dos casos, bajo el supuesto de que solo tenemos dos objetos. Luego generalizamos a una familia arbitraria de módulos arbitrarios. Los elementos clave de la construcción general se identifican más claramente al considerar estos dos casos en profundidad.

Construcción para dos espacios vectoriales

Suponga que V y W son espacios vectoriales sobre el campo K. Al producto cartesiano V × W se le puede dar la estructura de un espacio vectorial sobre K (Halmos 1974, §18) definiendo las operaciones por componentes:

()v₁, w₁) + (v₂, w₂) =v₁ + v₂, w₁ + w₂)
α ()v, w) =α v, α w)

para v, v₁, v₂ ∈ V, w, w₁, w₂ ∈ W, y α ∈ K.

El espacio vectorial resultante se denomina suma directa de V y W y generalmente se indica con un símbolo más dentro de un círculo:

{displaystyle Voplus W}

Es costumbre escribir los elementos de una suma ordenada no como pares ordenados (v, w), sino como una suma v + w.

El subespacio V × {0} de V ⊕ W es isomorfo a V y a menudo se identifica con V; de manera similar para {0} × W y W. (Ver suma directa interna a continuación). Con esta identificación, cada elemento de V ⊕ W se puede escribir de una y solo una manera como el suma de un elemento de V y un elemento de W. La dimensión de V ⊕ W es igual a la suma de las dimensiones de V y W. Un uso elemental es la reconstrucción de un espacio vectorial finito de cualquier subespacio W y su complemento ortogonal:

{displaystyle mathbb {R} ^{n}=Woplus W^{perp }}

Esta construcción se generaliza fácilmente a cualquier número finito de espacios vectoriales.

Construcción para dos grupos abelianos

Para los grupos abelianos G y H que se escriben de forma aditiva, el producto directo de G y H es también llamada suma directa (Mac Lane & Birkhoff 1999, §V.6). Así, el producto cartesiano G × H se dota de la estructura de un grupo abeliano definiendo las operaciones por componentes:

()g₁, h₁) + (g₂, h₂) =g₁ + g₂, h₁ + h₂)

para g₁, g₂ en G y h₁, h₂ en H.

Los múltiplos integrales se definen de manera similar por componentes mediante

n()g, h) =ng, nh)

para g en G, h en H y n an entero. Esto es paralelo a la extensión del producto escalar de espacios vectoriales a la suma directa anterior.

El grupo abeliano resultante se denomina suma directa de G y H y normalmente se indica con un símbolo más dentro de un círculo:

{displaystyle Goplus H}

Es costumbre escribir los elementos de una suma ordenada no como pares ordenados (g, h), sino como una suma g + h.

El subgrupo G × {0} de G ⊕ H es isomorfo a G y a menudo se identifica con G; de manera similar para {0} × H y H. (Consulte la suma directa interna a continuación). Con esta identificación, es cierto que cada elemento de G ⊕ H se puede escribir de una y solo una manera como la suma de un elemento de G y un elemento de H. El rango de G ⊕ H es igual a la suma de los rangos de G y H.

Esta construcción se generaliza fácilmente a cualquier número finito de grupos abelianos.

Construcción para una familia arbitraria de módulos

Debe notarse una clara similitud entre las definiciones de la suma directa de dos espacios vectoriales y de dos grupos abelianos. De hecho, cada uno es un caso especial de la construcción de la suma directa de dos módulos. Además, modificando la definición se puede acomodar la suma directa de una familia infinita de módulos. La definición precisa es la siguiente (Bourbaki 1989, §II.1.6).

Vamos R ser un anillo, y {M_i:i▪IUna familia de izquierda R-módulos indexados por el conjunto I. El suma directa of {M_i} entonces se define como el conjunto de todas las secuencias $(alpha_i)$ Donde $alpha_i in M_i$ y $alpha_i = 0$ por cofinitamente muchos índices i. (El producto directo es análogo, pero los índices no necesitan desaparecer cofinitamente.)

También se puede definir como funciones α de I a la unión descomunal de los módulos M_i tal que α(i)M_i para todos i ▪ I y α(i) = 0 para cofinitamente muchos índices i. Estas funciones pueden considerarse equivalentemente como secciones finitas del paquete de fibra sobre el conjunto del índice I, con la fibra sobre $iin I$ estar $M_{i}$ .

Este conjunto hereda la estructura del módulo a través de la adición de componentes y la multiplicación del escalar. Explícitamente, dos secuencias (o funciones) α y β se pueden añadir por escrito $(alpha + beta)_i = alpha_i + beta_i$ para todos i (nota que esto es otra vez cero para todos pero finitamente muchos índices), y tal función se puede multiplicar con un elemento r desde R definiendo $r(alpha)_i = (ralpha)_i$ para todos i. De esta manera, la suma directa se convierte en una izquierda R-Modelo, y está denotado

{displaystyle bigoplus _{iin I}M_{i}.}

Es costumbre escribir la secuencia $(alpha_i)$ como suma ${displaystyle sum alpha _{i}}$ . A veces una summación mejorada ${displaystyle sum 'alpha _{i}}$ se utiliza para indicar que cofinitamente muchos de los términos son cero.

Propiedades

La suma directa es un submodulo del producto directo de los módulos M_i (Bourbaki 1989, §II.1.7). El producto directo es el conjunto de todas las funciones α desde I a la unión descomunal de los módulos M_i con α()i)M_i, pero no necesariamente desaparecer para todos pero finitamente muchos i. Si el índice se establece I es finito, entonces la suma directa y el producto directo son iguales.
Cada uno de los módulos M_i se puede identificar con el submodulo de la suma directa consistente en las funciones que desaparecen en todos los índices distintos de i. Con estas identificaciones, cada elemento x de la suma directa se puede escribir de una sola manera como una suma de finitos muchos elementos de los módulos M_i.
Si M_i son en realidad espacios vectoriales, entonces la dimensión de la suma directa es igual a la suma de las dimensiones de la M_i. Lo mismo es cierto para el rango de grupos abelianos y la longitud de los módulos.
Cada espacio vectorial sobre el campo K es isomorfo a una suma directa de suficiente cantidad de copias K, así que en un sentido sólo estas sumas directas tienen que ser consideradas. Esto no es cierto para los módulos sobre anillos arbitrarios.
El producto tensor distribuye sobre sumas directas en el siguiente sentido: si N Es cierto. R-módulo, luego la suma directa de los productos de tensor N con M_i (que son grupos abelianos) es naturalmente isomorfo al producto tensor de N con la suma directa M_i.
Las sumas directas son comunicativas y asociativas (hasta el isomorfismo), lo que significa que no importa en qué orden uno forma la suma directa.
El grupo abeliano R- Homomorfismos lineales de la suma directa a algunas izquierdas R- Mobiliario L es naturalmente isomorfo al producto directo de los grupos abelianos R- Homomorfismos lineales de M_i a L: ${displaystyle operatorname {Hom} _{R}{biggl (}bigoplus _{iin I}M_{i},L{biggr)}cong prod _{iin I}operatorname {Hom} _{R}left(M_{i},Lright).}$ De hecho, hay claramente un homomorfismo τ desde el lado izquierdo hasta el lado derecho, donde τ()Silencio)i) es el R- Homomorfismo lineal x▪M_i a Silencio()x) (utilizando la inclusión natural de M_i en la suma directa). El inverso del homomorfismo τ se define por ${displaystyle tau ^{-1}(beta)(alpha)=sum _{iin I}beta (i)(alpha (i))}$ para cualquier α en la suma directa de los módulos M_i. El punto clave es que la definición de τ⁻¹ tiene sentido porque α()i) es cero para todos pero finitamente muchos i, y así la suma es finita.
En particular, el espacio vectorial dual de una suma directa de espacios vectoriales es isomorfo al producto directo de las dualidades de esos espacios.
El finito la suma directa de los módulos es un biproducto: Si ${displaystyle p_{k}:A_{1}oplus cdots oplus A_{n}to A_{k}}$ son las cartografías de proyección canónica y ${displaystyle i_{k}:A_{k}mapsto A_{1}oplus cdots oplus A_{n}}$ son las asignaciones de inclusión, entonces ${displaystyle i_{1}circ p_{1}+cdots +i_{n}circ p_{n}}$ iguala el morfismo de identidad A₁ ⊕ ⋯ A_n, y ${displaystyle p_{k}circ i_{l}}$ es el morfismo de identidad A_k en el caso l = k, y es el mapa cero de lo contrario.

Suma directa interna

Supongamos que M es un módulo R y M_i es un submódulo de M para cada i en I. Si cada x en M se puede escribir de una y solo una manera como una suma de un número finito de elementos de la M_i, entonces decimos que M es la suma directa interna de los submódulos M_i (Halmos 1974, §18). En este caso, M es naturalmente isomorfo a la suma directa (externa) de M_i como se definió anteriormente (Adamson 1972, p. 61).

Un submódulo N de M es un sumando directo de M si existe algún otro submódulo N′ de M tal que M es la suma directa interna de N y N′. En este caso, N y N′ son submódulos complementarios.

Propiedad universal

En el lenguaje de la teoría de categorías, la suma directa es un coproducto y, por lo tanto, un colímite en la categoría de módulos R izquierdos, lo que significa que se caracteriza por la siguiente propiedad universal. Para cada i en I, considere la incrustación natural

{displaystyle j_{i}:M_{i}rightarrow bigoplus _{iin I}M_{i}}

que envía los elementos de M_i a aquellas funciones que son cero para todos los argumentos excepto i. Ahora sea M un módulo R arbitrario y f_i: M_i → M ser R-mapas lineales arbitrarios para cada i, entonces existe exactamente un mapa lineal R

f: bigoplus_{i in I} M_i rightarrow M

tal que f o j_i = f_i para todos los i.

Grupo de Grothendieck

La suma directa le da a una colección de objetos la estructura de un monoide conmutativo, en el que se define la suma de objetos, pero no la resta. De hecho, la resta se puede definir y cada monoide conmutativo se puede extender a un grupo abeliano. Esta extensión se conoce como el grupo de Grothendieck. La extensión se realiza definiendo clases de equivalencia de pares de objetos, lo que permite tratar ciertos pares como inversos. La construcción, detallada en el artículo sobre el grupo de Grothendieck, es "universal", ya que tiene la propiedad universal de ser único y homomórfico a cualquier otra incrustación de un monoide conmutativo en un grupo abeliano.

Suma directa de módulos con estructura adicional

Si los módulos que estamos considerando llevan alguna estructura adicional (por ejemplo, una norma o un producto interno), entonces la suma directa de los módulos a menudo también puede llevar esta estructura adicional. En este caso, obtenemos el coproducto en la categoría adecuada de todos los objetos que llevan la estructura adicional. Se producen dos ejemplos destacados para los espacios de Banach y los espacios de Hilbert.

En algunos textos clásicos, la frase "suma directa de álgebras sobre un campo" también se introduce para denotar la estructura algebraica que actualmente se denomina más comúnmente producto directo de álgebras; es decir, el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes con las operaciones por componentes. Esta construcción, sin embargo, no proporciona un coproducto en la categoría de álgebras, sino un producto directo (ver nota a continuación y la observación sobre sumas directas de anillos).

Suma directa de álgebras

Una suma directa de álgebras $X$ y $Y$ es la suma directa como espacios vectoriales, con producto

{displaystyle (x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}).}

Considere estos ejemplos clásicos:

mathbf{R} oplus mathbf{R}

es isomorfo anillo a números de complejo dividido, también utilizado en análisis de intervalos.

mathbf{C} oplus mathbf{C}

es el álgebra de tesarinas introducida por James Cockle en 1848.

{displaystyle mathbf {H} oplus mathbf {H}}

llamado biquaternions, fue presentado por William Kingdon Clifford en 1873.

Joseph Wedderburn explotó el concepto de una suma directa de álgebras en su clasificación de números hipercomplex. Ver su Conferencias sobre Matrices (1934), página 151. Wedderburn aclara la distinción entre una suma directa y un producto directo de álgebras: Para la suma directa el campo de los escalares actúa conjuntamente en ambas partes: $lambda (x oplus y) = lambda x oplus lambda y$ mientras que para el producto directo se puede recoger un factor de escalar alternativamente con las partes, pero no ambas: ${displaystyle lambda (x,y)=(lambda x,y)=(x,lambda y).!}$ Ian R. Porteous utiliza las tres sumas directas anteriores, denotandolas ${displaystyle ^{2}R, ^{2}C, ^{2}H,}$ como anillos de escalares en su análisis de Álgebras Clifford y los Grupos Clásicos (1995).

La construcción descrita anteriormente, así como el uso que hace Wedderburn de los términos suma directa y producto directo siguen una convención diferente a la de la teoría de categorías. En términos categóricos, la suma directa de Wedderburn es un producto categórico, mientras que el producto directo de Wedderburn es un coproducto (o suma categórica), que (por álgebras conmutativas) en realidad corresponde al producto tensorial de las álgebras.

Suma directa de espacios de Banach

La suma directa de dos espacios de Banach $X$ y $Y$ es la suma directa $X$ y $Y$ considerado como espacios vectoriales, con la norma ${displaystyle |(x,y)|=|x|_{X}+|y|_{Y}}$ para todos $xin X$ y ${displaystyle yin Y.}$

Generalmente, si $X_{i}$ es una colección de espacios de Banach, donde $i$ atraviesa el conjunto índice $I,$ entonces la suma directa ${displaystyle bigoplus _{iin I}X_{i}}$ es un módulo que consiste en todas las funciones $x$ definidas $I$ tales que ${displaystyle x(i)in X_{i}}$ para todos $iin I$ y

<math alttext="{displaystyle sum _{iin I}|x(i)|_{X_{i}}.. i▪ ▪ I.. x()i).. Xi.JUEGO JUEGO .{displaystyle sum _{iin I}fnciónx(i)fnción_{X_{i}] seleccionóinfty.}<img alt="{displaystyle sum _{iin I}|x(i)|_{X_{i}}

La norma viene dada por la suma anterior. La suma directa con esta norma es nuevamente un espacio de Banach.

Por ejemplo, si tomamos el conjunto de índices ${displaystyle I=mathbb {N} }$ y ${displaystyle X_{i}=mathbb {R}}$ entonces la suma directa ${displaystyle bigoplus _{iin mathbb {N} }X_{i}}$ es el espacio ${displaystyle ell _{1},}$ que consiste en todas las secuencias $left(a_{i}right)$ de los reinos con norma finita ${textstyle |a|=sum _{i}left|a_{i}right|.}$

Un subespacio cerrado $A$ de un espacio de Banach $X$ es complementadas si hay otro subespacial cerrado $B$ de $X$ tales que $X$ es igual a la suma directa interna $Aoplus B.$ Tenga en cuenta que no todos los subespacios cerrados se complementan; por ejemplo. $c_{0}$ no se complementa ${displaystyle ell ^{infty }.}$

Suma directa de módulos con formas bilineales

Vamos ${displaystyle left{left(M_{i},b_{i}right):iin Iright}}$ ser una familia indexada por $I$ de módulos equipados con formas bilineales. El suma directa ortogonal es la suma directa del módulo con forma bilineal $B$ definidas por

{displaystyle Bleft({left({x_{i}}right),left({y_{i}}right)}right)=sum _{iin I}b_{i}left({x_{i},y_{i}}right)}

I

Suma directa de espacios de Hilbert

Si finitamente muchos espacios de Hilbert ${displaystyle H_{1},ldotsH_{n}}$ se dan, se puede construir su suma directa ortogonal como arriba (ya que son espacios vectoriales), definiendo el producto interno como:

{displaystyle leftlangle left(x_{1},ldotsx_{n}right),left(y_{1},ldotsy_{n}right)rightrangle =langle x_{1},y_{1}rangle +cdots +langle x_{n},y_{n}rangle.}

La suma directa resultante es un espacio de Hilbert que contiene los espacios de Hilbert dados como subespacios mutuamente ortogonales.

Si infinitamente muchos espacios de Hilbert $H_{i}$ para $iin I$ se dan, podemos llevar a cabo la misma construcción; note que al definir el producto interno, sólo finitamente muchos summands serán no cero. Sin embargo, el resultado sólo será un espacio interior de producto y no necesariamente será completo. Definimos entonces la suma directa de los espacios de Hilbert $H_{i}$ ser la terminación de este espacio interior del producto.

Alternativamente y equivalentemente, se puede definir la suma directa de los espacios de Hilbert $H_{i}$ como el espacio de todas las funciones α con dominio $I,$ tales que $alpha(i)$ es un elemento $H_{i}$ para todos $iin I$ y:

<math alttext="{displaystyle sum _{i}left|alpha _{(i)}right|^{2}.. i.α α ()i).2.JUEGO JUEGO .{displaystyle sum _{i}left alpha _{(i)}right viven^{2} seleccionóinfty.}<img alt="{displaystyle sum _{i}left|alpha _{(i)}right|^{2}

El producto interno de dos de estas funciones α y β se define como:

{displaystyle langle alphabeta rangle =sum _{i}langle alpha _{i},beta _{i}rangle.}

Este espacio está completo y obtenemos un espacio de Hilbert.

Por ejemplo, si tomamos el conjunto de índices ${displaystyle I=mathbb {N} }$ y ${displaystyle X_{i}=mathbb {R}}$ entonces la suma directa ${displaystyle oplus _{iin mathbb {N} }X_{i}}$ es el espacio ${displaystyle ell _{2},}$ que consiste en todas las secuencias $left(a_{i}right)$ de los reinos con norma finita ${textstyle |a|={sqrt {sum _{i}left|a_{i}right|^{2}}}.}$ Comparando esto con el ejemplo para los espacios de Banach, vemos que la suma directa del espacio Banach y la suma directa del espacio Hilbert no son necesariamente iguales. Pero si sólo hay finitamente muchos summands, entonces la suma directa del espacio de Banach es isomorfa a la suma directa del espacio Hilbert, aunque la norma será diferente.

Cada espacio de Hilbert es isomorfo a una suma directa de suficiente cantidad de copias del campo base, que es o ${displaystyle mathbb {R} {text{ or }}mathbb {C}.}$ Esto equivale a la afirmación de que cada espacio Hilbert tiene una base ortonormal. Más generalmente, cada subespacio cerrado de un espacio de Hilbert se complementa porque admite un complemento ortogonal. Por el contrario, el teorema Lindenstrauss-Tzafriri afirma que si cada subespacio cerrado de un espacio de Banach se complementa, entonces el espacio de Banach es isomorfo (topológicamente) a un espacio de Hilbert.

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