Subproducto

En la teoría de categorías y sus aplicaciones a las matemáticas, un biproducto de una colección finita de objetos, en una categoría con cero objetos, es tanto un producto como un coproducto. En una categoría preaditiva coinciden las nociones de producto y coproducto para colecciones finitas de objetos. El biproducto es una generalización de sumas directas finitas de módulos.

Definición

Vamos C ser una categoría con morfismos cero. Dada una colección finita (posiblemente vacía) de objetos A₁,... A_n dentro C, sus biproducto es un objeto A1⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ An{textstyle A_{1}oplus dots oplus A_{n} dentro C junto con morfismos

• pk:A1⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ An→ → Ak{textstyle p_{k}:A_{1}oplus dots oplus A_{n}to A_{k} dentro C (morfismos de proyección)
• ik:Ak→ → A1⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ An{textstyle i_{k}!:A_{k}to A_{1}oplus dots oplus A_{n} (morfismos incrustantes)

satisfactorio

• pk∘ ∘ ik=1Ak{textstyle p_{k}circ - Sí., el morfismo de identidad Ak,{displaystyle A_{k},} y
• pl∘ ∘ ik=0{textstyle p_{l}circ i_{k}=0}, el morfismo cero Ak→ → Al,{displaystyle A_{k}to A_{l} para kل ل l,{displaystyle kneq l,}

y tal que

• ()A1⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ An,pk){textstyle left(A_{1}oplus dots oplus A_{n},p_{k}right)} es un producto para el Ak,{textstyle A_{k},} y
• ()A1⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ An,ik){textstyle left(A_{1}oplus dots oplus A_{n},i_{k}right)} es un coproducto para el Ak.{textstyle A_{k}

Si C es preaditivo y las dos primeras condiciones sostienen, entonces cada una de las dos últimas condiciones es equivalente a i1∘ ∘ p1+⋯ ⋯ +in∘ ∘ pn=1A1⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ An{textstyle i_{1}circ p_{1}+dots ################################################################################################################################################################################################################################################################ p_{n}=1_{A_{1}oplus dots oplus A_{n}} cuando n ■ 0. Un producto vacío, o nulo, es siempre un objeto terminal en la categoría, y el coproducto vacío es siempre un objeto inicial en la categoría. Así, un biproducto vacío o nulo, siempre es un objeto cero.

Ejemplos

En la categoría de grupos abelianos siempre existen subproductos y vienen dados por la suma directa. El objeto cero es el grupo trivial.

Del mismo modo, existen subproductos en la categoría de espacios vectoriales sobre un campo. El biproducto es nuevamente la suma directa y el objeto cero es el espacio vectorial trivial.

Más generalmente, los subproductos existen en la categoría de módulos sobre un anillo.

Por otro lado, los subproductos no existen en la categoría de grupos. Aquí, el producto es el producto directo, pero el coproducto es el producto gratuito.

Además, los biproductos no existen en la categoría de conjuntos. Porque el producto viene dado por el producto cartesiano, mientras que el coproducto viene dado por la unión disjunta. Esta categoría no tiene un objeto cero.

El álgebra de matriz de bloques se basa en subproductos en categorías de matrices.

Propiedades

Si el biproducto A⊕ ⊕ B{textstyle Aoplus B} existe para todos los pares de objetos A y B en la categoría C, y C tiene un objeto cero, entonces todos los biproductos finitos existen, haciendo C tanto una categoría monoidal cartesiana como una categoría monoidal co-cartesiana.

Si el producto A1× × A2{textstyle A_{1}times A_{2} and coproduct A1∐ ∐ A2{textstyle A_{1}coprod A_{2} ambos existen para un par de objetos A₁, A₂ entonces hay un morfismo único f:A1∐ ∐ A2→ → A1× × A2{textstyle f:A_{1}coprod A_{2}to A_{1}times A_{2} tales que

• pk∘ ∘ f∘ ∘ ik=1Ak,()k=1,2){displaystyle P_{k}circ fcirc i_{k}=1_{A_{k}, (k=1,2)}
• pl∘ ∘ f∘ ∘ ik=0{displaystyle p_{l}circ fcirc i_{k}=0} para kل ل l.{textstyle kneq l.}

Sigue que el biproducto A1⊕ ⊕ A2{textstyle A_{1}oplus A_{2} existe si f es un isomorfismo.

Si C es una categoría preadditiva, entonces cada producto finito es un biproducto, y cada coproducto finito es un biproducto. Por ejemplo, si A1× × A2{textstyle A_{1}times A_{2} existe, entonces hay morfismos únicos ik:Ak→ → A1× × A2{textstyle i_{k}:A_{k}to A_{1}times A_{2} tales que

• pk∘ ∘ ik=1Ak,()k=1,2){displaystyle P_{k}circo i_{k}=1_{A_{k}, (k=1,2)}
• pl∘ ∘ ik=0{displaystyle p_{l}circ i_{k}=0} para kل ل l.{textstyle kneq l.}

Para ver eso A1× × A2{textstyle A_{1}times A_{2} es ahora también un coproducto, y por lo tanto un biproducto, supone que tenemos morfismos fk:Ak→ → X,k=1,2{textstyle f_{k}:A_{k}to X, k=1,2} para algún objeto X{textstyle X}. Define f:=f1∘ ∘ p1+f2∘ ∘ p2.{textstyle f:=f_{1}circ P_{1}+f_{2}circ P_{2}. Entonces... f{textstyle f} es un morfismo de A1× × A2{textstyle A_{1}times A_{2} a X{textstyle X}, y f∘ ∘ ik=fk{textstyle fcirc i_{k}=f_{k} para k=1,2{textstyle k=1,2}.

En este caso siempre tenemos

• i1∘ ∘ p1+i2∘ ∘ p2=1A1× × A2.{textstyle i_{1}circ P_{1}+i_{2}circ p_{2}=1_{1}times A_{2}}

Una categoría aditiva es una categoría preaditiva en la que existen todos los subproductos finitos. En particular, los subproductos siempre existen en categorías abelianas.