Casi todos

En matemáticas, el término "casi todo" significa "todo menos una cantidad insignificante". Más precisamente, si X{displaystyle X} es un conjunto, "casi todos los elementos de X{displaystyle X}" significa "todos los elementos X{displaystyle X} pero aquellos en un subconjunto insignificante X{displaystyle X}". El significado de "negligible" depende del contexto matemático; por ejemplo, puede significar finito, contable o nulo.

En contraste, "casi no" significa "una cantidad insignificante"; es decir, "casi no hay elementos de X{displaystyle X}" significa "una cantidad insignificante de elementos X{displaystyle X}".

Significados en diferentes áreas de las matemáticas

Significado predominante

En las matemáticas, "casi todas" se usa a veces para significar "todos (elementos de un conjunto infinito) pero finitamente muchos". Este uso se da también en filosofía. Del mismo modo, "casi todos" puede significar "todos (elementos de un conjunto incontable) pero contablemente muchos".

Ejemplos:

• Casi todos los enteros positivos son mayores de 10¹².
• Casi todos los números primos son raros (2 es la única excepción).
• Casi todos los polihedra son irregulares (como sólo hay nueve excepciones: los cinco sólidos platónicos y los cuatro polihedra Kepler-Poinsot).
• Si P es un polinomio no cero, entonces P(x) ل 0 para casi todo x (si no todos) x).

Significado en la teoría de la medida

La función Cantor como función que tiene cero derivado casi por todas partes

Al hablar de los reales, a veces "casi todos" puede significar "todos los reales excepto un conjunto nulo". De manera similar, si S es un conjunto de reales, "casi todos los números en S" puede significar "todos los números en S excepto aquellos en un conjunto nulo". La línea real se puede considerar como un espacio euclidiano unidimensional. En el caso más general de un espacio de n-dimensional (donde n es un número entero positivo), estas definiciones se pueden generalizar a "todos los puntos excepto aquellos en un conjunto nulo" o "todos los puntos en S pero aquellos en un conjunto nulo" (esta vez, S es un conjunto de puntos en el espacio). Aún más generalmente, "casi todos" a veces se usa en el sentido de "casi en todas partes" en la teoría de la medida, o en el sentido estrechamente relacionado de "casi seguro" en la teoría de la probabilidad.

Ejemplos:

• En un espacio de medida, como la línea real, los conjuntos contables son nulos. El conjunto de números racionales es contable, por lo que casi todos los números reales son irracionales.
• El primer artículo de la teoría del conjunto de Georg Cantor demostró que el conjunto de números algebraicos también es contable, por lo que casi todos los reales son trascendental.
• Casi todos los reales son normales.
• El set Cantor también está nulo. Así, casi todos los reales no están en él, aunque es incontable.
• El derivado de la función Cantor es 0 para casi todos los números en el intervalo de unidad. Se sigue del ejemplo anterior porque la función Cantor es localmente constante, y por lo tanto tiene derivado 0 fuera del conjunto Cantor.

Significado en teoría de números

En teoría de números, "casi todos los números enteros positivos" puede significar "los números enteros positivos en un conjunto cuya densidad natural es 1". Es decir, si A es un conjunto de enteros positivos, y si la proporción de enteros positivos en A por debajo de n (de todos los enteros positivos debajo de n) tiende a 1 mientras que n tiende a infinito, entonces casi todos los enteros positivos están en A.

Más generalmente, sea S un conjunto infinito de enteros positivos, como el conjunto de números pares positivos o el conjunto de primos, si A es un subconjunto de S, y si la proporción de elementos de S debajo de n que están en A (de todos los elementos de S debajo de n) tiende a 1 como n tiende a infinito, entonces se puede decir que casi todos los elementos de S están en A.

Ejemplos:

• La densidad natural de conjuntos cofinitos de enteros positivos es 1, por lo que cada uno de ellos contiene casi todos los enteros positivos.
• Casi todos los enteros positivos son compuestos.
• Casi todos los números positivos se pueden expresar como la suma de dos primos.
• Casi todos los primos están aislados. Además, por cada entero positivo g, casi todos los primos tienen grandes brechas de más que g tanto a su izquierda como a su derecha; es decir, no hay otro primo entre p − g y p + g.

Significado en teoría de grafos

En la teoría de grafos, si A es un conjunto de grafos (con etiquetas finitas), se puede decir que contiene casi todos los grafos, si la proporción de grafos con n vértices que están en A tiende a 1 como n tiende a infinito. Sin embargo, a veces es más fácil trabajar con probabilidades, por lo que la definición se reformula de la siguiente manera. La proporción de grafos con n vértices que están en A es igual a la probabilidad de que un grafo aleatorio con n vértices (elegido con la distribución uniforme) sea en A, y elegir un gráfico de esta forma tiene el mismo resultado que generar un gráfico lanzando una moneda al aire por cada par de vértices para decidir si conectarlos. Por lo tanto, de manera equivalente a la definición anterior, el conjunto A contiene casi todos los gráficos si la probabilidad de que un gráfico generado por el lanzamiento de una moneda tenga n vértices es en A tiende a 1 mientras que n tiende a infinito. A veces, esta última definición se modifica para que el grafo se elija aleatoriamente de alguna otra manera, donde no todos los grafos con n vértices tienen la misma probabilidad, y esas definiciones modificadas no siempre son equivalentes a la principal..

El uso del término "casi todos" en teoría de grafos no es estándar; el término "asintóticamente casi seguro" se usa más comúnmente para este concepto.

Ejemplo:

• Casi todos los gráficos son asimétricos.
• Casi todos los gráficos tienen diámetro 2.

Significado en topología

En topología y especialmente en teoría de sistemas dinámicos (incluidas las aplicaciones en economía), "casi todos" de los puntos de un espacio topológico puede significar 'todos los puntos del espacio excepto aquellos en un conjunto exiguo'. Algunos usan una definición más limitada, donde un subconjunto solo contiene casi todos los puntos del espacio si contiene algún conjunto denso abierto.

Ejemplo:

• Dada una variedad algebraica irreducible, las propiedades que sostienen para casi todos los puntos en la variedad son exactamente las propiedades genéricas. Esto se debe al hecho de que en una variedad algebraica irreducible equipada con la topología Zariski, todos los conjuntos abiertos no vacíos son densos.

Significado en álgebra

En álgebra abstracta y lógica matemática, si U es un ultrafiltro en un conjunto X, "casi todos los elementos de X " a veces significa "los elementos de algún elemento de U". Para cualquier partición de X en dos conjuntos disjuntos, uno de ellos contendrá necesariamente casi todos los elementos de X. Es posible pensar en los elementos de un filtro en X contiene casi todos los elementos de X, incluso si no es un ultrafiltro.

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