Subgrupo conmutador

En matemáticas, más concretamente en álgebra abstracta, el subgrupo conmutador o subgrupo derivado de un grupo es el subgrupo generado por todos los conmutadores del grupo.

El subgrupo de conmutador es importante porque es el subgrupo normal más pequeño como el grupo de cociente del grupo original por este subgrupo es abeliano. En otras palabras, G/N{displaystyle G/N} es abeliano si y sólo si N{displaystyle N} contiene el subgrupo de conmutadores G{displaystyle G.. Así que en algún sentido proporciona una medida de lo lejos que el grupo es de ser abeliano; cuanto más grande es el subgrupo de conmutador, el "sin abeliano" que es el grupo.

Conmutadores

Para elementos g{displaystyle g} y h{displaystyle h} de un grupo G, el conmutador de g{displaystyle g} y h{displaystyle h} es [g,h]=g− − 1h− − 1gh{displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}. El conmutador [g,h]{displaystyle [g,h]} es igual al elemento de identidad e si gh=hg{displaystyle gh=hg} es, si y sólo si g{displaystyle g} y h{displaystyle h} Comute. En general, gh=hg[g,h]{displaystyle gh=hg[g,h].

Sin embargo, la notación es algo arbitraria y hay una definición de variante no equivalente para el conmutador que tiene los inversos en el lado derecho de la ecuación: [g,h]=ghg− − 1h− − 1{displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1} en qué caso ghل ل hg[g,h]{displaystyle ghneq hg[g,h] pero en cambio gh=[g,h]hg{displaystyle gh=[g,hg]hg}.

Un elemento G de la forma [g,h]{displaystyle [g,h]} para algunos g y h se llama conmutador. El elemento de identidad e =e,e] es siempre un conmutador, y es el único conmutador si y sólo si G es abeliano.

Aquí hay algunas identidades de conmutador simples pero útiles, verdaderas para cualquier elemento s, g, h de un grupo G:

• [g,h]− − 1=[h,g],{displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g],}
• [g,h]s=[gs,hs],{displaystyle [g,h]^{s}=[g^{s},h^{s} Donde gs=s− − 1gs{displaystyle g^{s}=s^{-1}gs} (o, respectivamente, gs=sgs− − 1{displaystyle G^{s}=sgs^{-1}) es el conjugado de g{displaystyle g} por s,{displaystyle s,}
• para cualquier homomorfismo f:G→ → H{displaystyle f:Gto H}, f()[g,h])=[f()g),f()h)].{displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].}

Las identidades primera y segunda implican que el conjunto de conmutadores en G está cerrado bajo inversión y conjugación. Si en la tercera identidad tomamos H = G, tenemos que el conjunto de conmutadores es estable bajo cualquier endomorfismo de G. Esto es de hecho una generalización de la segunda identidad, ya que podemos tomar f para ser el automorfismo de conjugación en G, x↦ ↦ xs{displaystyle xmapsto x^{s}Para obtener la segunda identidad.

Sin embargo, el producto de dos o más conmutadores no tiene por qué ser un conmutador. Un ejemplo genérico es [a,b][c,d] en el grupo libre en a,b,c,d. Se sabe que el orden mínimo de un grupo finito para el cual existen dos conmutadores cuyo producto no es un conmutador es 96; de hecho hay dos grupos no isomorfos de orden 96 con esta propiedad.

Definición

Esto motiva la definición de la commutator subgroup [G,G]{displaystyle [G,G]} (también llamado el subgrupos derivados, y denotado G.{displaystyle G. o G()1){displaystyle G^{(1)}) de G: es el subgrupo generado por todos los conmutadores.

De esta definición se desprende que cualquier elemento [G,G]{displaystyle [G,G]} es de la forma

[g1,h1]⋯ ⋯ [gn,hn]{displaystyle [g_{1},h_{1}]cdots [g_{n},h_{n}

para algún número natural n{displaystyle n}, donde el g_i y h_i son elementos de G. Además, desde entonces ()[g1,h1]⋯ ⋯ [gn,hn])s=[g1s,h1s]⋯ ⋯ [gns,hns]{displaystyle ([g_{1},h_{1}]cdots [g_{n},h_{n}] [g_{n}{s},h_{n}}, el subgrupo de conmutador es normal en G. Para cualquier homomorfismo f: G → H,

f()[g1,h1]⋯ ⋯ [gn,hn])=[f()g1),f()h1)]⋯ ⋯ [f()gn),f()hn)]{displaystyle f([g_{1},h_{1}]cdots [g_{n},h_{n})=[f(g_{1}),f(h_{1})]cdots [f(g_{n}),f(h_{n}]},

así f()[G,G])⊆ ⊆ [H,H]{displaystyle f([G,G])subseteq [H,H]}.

Esto muestra que el subgrupo conmutador puede verse como un funtor en la categoría de grupos, algunas de las implicaciones de las cuales se exploran a continuación. Además, tomando G = H se muestra que el subgrupo conmutador es estable bajo todo endomorfismo de G: es decir, [G,G] es un subgrupo totalmente característico de G, una propiedad considerablemente más fuerte que la normalidad.

El subgrupo conmutador también se puede definir como el conjunto de elementos g del grupo que tienen como producto una expresión g = g ₁ g₂... g_k que se puede reorganizar para dar la identidad.

Serie derivada

Esta construcción se puede iterar:

G()0):=G{displaystyle G^{(0)}:=G}

G()n):=[G()n− − 1),G()n− − 1)]n▪ ▪ N{displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]quad nin mathbf {N}

Los grupos G()2),G()3),...... {displaystyle G^{(2)},G^{(3)},ldots } son llamados segundo subgrupo derivado, tercer subgrupo derivado, y así sucesivamente, y la serie normal descendente

⋯ ⋯ ◃ ◃ G()2)◃ ◃ G()1)◃ ◃ G()0)=G{displaystyle cdots triangleleft G^{(2)}triangleleft G^{(1)}triangleleft G^{(0)}=G}

se llama serie derivada. Esto no debe confundirse con el Serie central inferior, cuyos términos son Gn:=[Gn− − 1,G]{displaystyle G_{n}:= [G_{n-1},G].

Para un grupo finito, la serie derivada termina en un grupo perfecto, que puede o no ser trivial. Para un grupo infinito, la serie derivada no necesita terminar en una etapa finita, y uno puede continuarla hasta infinitos números ordinales a través de la recursividad transfinita, obteniendo así la serie derivada transfinita, que finalmente termina en el núcleo perfecto del grupo.

Abelianización

Dado un grupo G{displaystyle G., un grupo de cocientes G/N{displaystyle G/N} es abeliano si y sólo si [G,G]⊆ ⊆ N{displaystyle [G,G]subseteq N}.

El cociente G/[G,G]{displaystyle G/[G,G]} es un grupo abeliano llamado abelianización de G{displaystyle G. o G{displaystyle G. hecho abelian. Por lo general es denotado Gab{displaystyle G^{operatorname {ab} o Gab{displaystyle G_{operatorname {ab}.

Hay una interpretación categórica útil del mapa φ φ :G→ → Gab{displaystyle varphi:Grightarrow G^{operatorname {ab}. Nombre φ φ {displaystyle varphi } es universal para los homomorfismos de G{displaystyle G. a un grupo abeliano H{displaystyle H.: para cualquier grupo abeliano H{displaystyle H. y homomorfismo de grupos f:G→ → H{displaystyle f:Gto H} existe un homomorfismo único F:Gab→ → H{displaystyle F:G^{operatorname {ab}to H. tales que f=F∘ ∘ φ φ {displaystyle f=Fcirc varphi }. Como es habitual para objetos definidos por propiedades cartográficas universales, esto muestra la singularidad de la abelianización Gab{displaystyle G^{operatorname {ab} hasta el isomorfismo canónico, mientras que la construcción explícita G→ → G/[G,G]{displaystyle Gto G/[G,G]} muestra la existencia.

El funtor de abelianización es el adjunto izquierdo del funtor de inclusión de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos. La existencia del funtor de abelianización Grp → Ab convierte a la categoría Ab en una subcategoría reflexiva de la categoría de grupos, definida como una subcategoría completa cuya inclusión functor tiene un adjunto izquierdo.

Otra interpretación importante Gab{displaystyle G^{operatorname {ab} es como H1()G,Z){displaystyle H_{1}(G,mathbb {Z})}, el primer grupo de homología G{displaystyle G. con coeficientes integrales.

Clases de grupos

Un grupo G{displaystyle G. es un abelian group si y sólo si el grupo derivado es trivial: [G,G♪ = {e}. Equivalentemente, si y sólo si el grupo iguala su abelianización. Véase más arriba para la definición de la abelianización de un grupo.

Un grupo G{displaystyle G. es un grupo perfecto si y sólo si el grupo derivado es igual al grupo mismo: [G,G= G. Equivalentemente, si y sólo si la abelianización del grupo es trivial. Esto es "opposita" para el abeliano.

Un grupo con G()n)={}e}{displaystyle G^{(n)}= {e} para algunos n dentro N se llama grupo solvable; esto es más débil que el abeliano, que es el caso n = 1.

Un grupo con G()n)ل ل {}e}{displaystyle G^{(n)}neq{e} para todos n dentro N se llama grupo no resuelto.

Un grupo con G()α α )={}e}{displaystyle G^{(alpha)}={e} para algún número ordinal, posiblemente infinito, se llama un grupo hipoabeliano; esto es más débil que solvable, que es el caso α es finito (número natural).

Grupo perfecto

Cada vez que un grupo G{displaystyle G. ha derivado subgrupo igual a sí mismo, G()1)=G{displaystyle G^{(1)}=G}, se llama un grupo perfecto. Esto incluye grupos simples no abelianos y grupos lineales especiales SLn⁡ ⁡ ()k){displaystyle operatorname {SL} _{n}(k)} para un campo fijo k{displaystyle k}.

Ejemplos

• El subgrupo conmutador de cualquier grupo abeliano es trivial.
• El subgrupo conmutador del grupo lineal general GLn⁡ ⁡ ()k){displaystyle operatorname {GL} _{n}(k)} sobre un campo o un anillo de división k igual al grupo lineal especial SLn⁡ ⁡ ()k){displaystyle operatorname {SL} _{n}(k)} siempre que nل ل 2{displaystyle nneq 2} o k no es el campo con dos elementos.
• El subgrupo conmutador del grupo alternante A₄ es el grupo Klein 4.
• El subgrupo de conmutador del grupo simétrico S_n es el grupo alternante A_n.
• El subgrupo conmutador del grupo de cuaternión Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k.Q,Q= {1, −1}.
• El subgrupo del grupo fundamental π₁()X) de un espacio topológico conectado con el camino X es el núcleo del homomorfismo natural sobre el primer grupo singular de homología H₁()X).

Mapa desde afuera

Dado que el subgrupo derivado es característico, cualquier automorfismo de G induce un automorfismo de la abelianización. Dado que la abelianización es abeliana, los automorfismos internos actúan de manera trivial, por lo tanto, esto produce un mapa

Fuera⁡ ⁡ ()G)→ → Aut⁡ ⁡ ()Gab){displaystyle operatorname {Out} (G)to operatorname {Aut} (G^{mbox{ab}})}