Discriminante

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Función de los coeficientes de un polinomio que da información sobre sus raíces

En matemáticas, el discriminante de un polinomio es una cantidad que depende de los coeficientes y permite deducir algunas propiedades de las raíces sin calcularlas. Más precisamente, es una función polinómica de los coeficientes del polinomio original. El discriminante se usa ampliamente en factorización de polinomios, teoría de números y geometría algebraica.

El discriminante del polinomio cuadrático $ax^{2}+bx+c$ es

{displaystyle b^{2}-4ac,}

la cantidad que aparece bajo la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática. Si ${displaystyle aneq 0,}$ este discriminante es cero si y sólo si el polinomio tiene una raíz doble. En el caso de coeficientes reales, es positivo si el polinomio tiene dos raíces reales distintas, y negativo si tiene dos raíces conjugadas complejas distintas. Del mismo modo, el discriminante de un polinomio cúbico es cero si y sólo si el polinomio tiene una raíz múltiple. En el caso de un cúbico con coeficientes reales, el discriminante es positivo si el polinomio tiene tres raíces reales distintas, y negativo si tiene una raíz real y dos raíces conjugadas complejas distintas.

Más generalmente, el discriminante de un polinomio univariado de grado positivo es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple. Para coeficientes reales y sin raíces múltiples, el discriminante es positivo si el número de raíces no reales es un múltiplo de 4 (incluyendo ninguna) y negativo en caso contrario.

Varias generalizaciones también se denominan discriminante: el discriminante de un cuerpo numérico algebraico; el discriminante de una forma cuadrática; y más generalmente, el discriminante de una forma, de un polinomio homogéneo, o de una hipersuperficie proyectiva (estos tres conceptos son esencialmente equivalentes).

Origen

El término "discriminante" fue acuñado en 1851 por el matemático británico James Joseph Sylvester.

Definición

Dejar

{displaystyle A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{1}x+a_{0}}

ser un polinomio de grado $n$ (Esto significa ${displaystyle a_{n}neq 0}$ ), tal que los coeficientes $a_{0},ldotsa_{n}$ pertenecen a un campo, o, más generalmente, a un anillo conmutativo. El resultado de $A$ y su derivados,

{displaystyle A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+cdots +a_{1},}

es un polinomio en $a_{0},ldotsa_{n}$ con coeficientes enteros, que es el determinante de la matriz Sylvester $A$ y $A .$ . Las entradas no cero de la primera columna de la matriz Sylvester son $a_{n}$ y ${displaystyle na_{n},}$ y el resultado es por lo tanto un múltiplo ${displaystyle a_{n}.}$ Por lo tanto, el discriminante —hasta su signo— se define como el cociente del resultado $A$ y $A '$ por $a_{n}$ :

{displaystyle operatorname {Disc} _{x}(A)={frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}operatorname {Res} _{x}(A,A')}

Históricamente, este signo ha sido elegido de tal manera que, sobre los reales, el discriminante será positivo cuando todas las raíces del polinomio sean reales. La división por $a_{n}$ puede no estar bien definido si el anillo de los coeficientes contiene cero divisores. Tal problema puede evitarse reemplazando $a_{n}$ por 1 en la primera columna de la matriz Sylvesterantes computar el determinante. En cualquier caso, el discriminante es un polinomio en $a_{0},ldotsa_{n}$ con coeficientes enteros.

Expresión en términos de las raíces

Cuando el polinomio se define sobre un campo, tiene $n$ raíces, ${displaystyle r_{1},r_{2},dotsr_{n}}$ , no necesariamente todo distinto, en cualquier extensión algebraicamente cerrada del campo. (Si los coeficientes son números reales, las raíces se pueden tomar en el campo de números complejos, donde se aplica el teorema fundamental del álgebra).

En términos de las raíces, el discriminante es igual a

<math alttext="{displaystyle operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}prod _{iDiscox⁡ ⁡ ()A)=an2n− − 2∏ ∏ i.j()ri− − rj)2=()− − 1)n()n− − 1)/2an2n− − 2∏ ∏ iل ل j()ri− − rj).{displaystyle operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}{2n-2}prod _{i didj}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}{2n-2}prod _{ineq j}(r_{i}-r_{j}}}).<img alt="{displaystyle operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}prod _{i

Es así el cuadrado de los tiempos polinomios de Vandermonde ${displaystyle a_{n}^{2n-2}}$ .

Esta expresión para el discriminante a menudo se toma como una definición. Aclara que si el polinomio tiene una raíz múltiple, entonces su discriminante es cero, y que si todas las raíces son reales y simples, entonces el discriminante es positivo. A diferencia de la definición anterior, esta expresión no es obviamente un polinomio en los coeficientes, pero esto se sigue del teorema fundamental de la teoría de Galois, o del teorema fundamental de los polinomios simétricos al notar que esta expresión es un polinomio simétrico en las raíces de A.

Grados bajos

Rara vez se considera el discriminante de un polinomio lineal (grado 1). Si es necesario, comúnmente se define como igual a 1 (utilizando las convenciones habituales para el producto vacío y considerando que uno de los dos bloques de la matriz de Sylvester está vacío). No existe una convención común para el discriminante de un polinomio constante (es decir, polinomio de grado 0).

Para grados pequeños, el discriminante es bastante simple (ver más abajo), pero para grados más altos, puede volverse difícil de manejar. Por ejemplo, el discriminante de una cuarta general tiene 16 términos, el de una quinta tiene 59 términos y el de una sexta tiene 246 términos. Esta es la secuencia OEIS A007878.

Grado 2

El polinomio cuadrático ${displaystyle ax^{2}+bx+c,}$ ha discriminado

{displaystyle b^{2}-4ac,.}

La raíz cuadrada del discriminante aparece en la fórmula cuadrática para las raíces del polinomio cuadrático:

{displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

donde el discriminante es cero si y solo si las dos raíces son iguales. Si $a, b, c$ son números reales, el polinomio tiene dos raíces reales distintas si el discriminante es positivo, y dos raíces complejas conjugadas si es negativo.

El discriminante es el producto de $a 2$ y el cuadrado de la diferencia de raíces.

Si $a, b, c$ son números racionales, entonces el discriminante es el cuadrado de un número racional si y sólo si las dos raíces son números racionales.

Grado 3

El conjunto cero de discriminación del cúbico

x 3 + bx 2 + cx + d

, es decir, puntos satisfactorios

b 2 c 2 - 4 c 3 - 4 b 3 d - 27 d 2 + 18 bcd = 0

El polinomio cúbico ${displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$ ha discriminado

{displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd,.}

En el caso especial de un polinomio cúbico deprimido ${displaystyle x^{3}+px+q}$ , el discriminante simplifica

{displaystyle -4p^{3}-27q^{2},.}

El discriminante es cero si y solo si al menos dos raíces son iguales. Si los coeficientes son números reales y el discriminante no es cero, el discriminante es positivo si las raíces son tres números reales distintos y negativo si hay una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.

La raíz cuadrada de una cantidad fuertemente relacionada con el discriminante aparece en las fórmulas para las raíces de un polinomio cúbico. Específicamente, esta cantidad puede ser $-3$ veces el discriminante, o su producto con el cuadrado de un número racional; por ejemplo, el cuadrado de $1/18$ en el caso de la fórmula de Cardano.

Si el polinomio es irreducible y sus coeficientes son números racionales (o pertenecen a un cuerpo numérico), entonces el discriminante es un cuadrado de un número racional (o un número del cuerpo numérico) si y solo si el grupo de Galois de la ecuación cúbica es el grupo cíclico de orden tres.

Grado 4

El discriminante del polinomio cuartico

x 4 + cx 2 + dx + e

. La superficie representa puntos (

c, d, e

) donde el polinomio tiene una raíz repetida. El borde cuspidal corresponde a los polinomios con una raíz triple, y la autointersección corresponde a los polinomios con dos diferentes raíces repetidas.

El polinomio cuártico $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e,$ ha discriminado

{displaystyle {begin{aligned}{}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\[4pt]&{}-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\[4pt]&{}+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\[4pt]&{}-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2},.end{aligned}}}

El discriminante es cero si y solo si al menos dos raíces son iguales. Si los coeficientes son números reales y el discriminante es negativo, entonces hay dos raíces reales y dos raíces complejas conjugadas. Por el contrario, si el discriminante es positivo, entonces las raíces son todas reales o todas irreales.

Propiedades

Discriminación cero

El discriminante de un polinomio sobre un cuerpo es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple en alguna extensión de cuerpo.

El discriminante de un polinomio sobre un dominio integral es cero si y solo si el polinomio y su derivada tienen un divisor común no constante.

En la característica 0, esto equivale a decir que el polinomio no es libre de cuadrados (es decir, divisible por el cuadrado de un polinomio no constante).

En la característica no cero $p$ , el discriminante es cero si y sólo si el polinomio no es libre de cuadrado o tiene un factor irreducible que no es separable (es decir, el factor irreducible es un factor polinomio en $x^{p}$ ).

Invarianza bajo cambio de variable

El discriminante de un polinomio es, hasta un escalado, invariante bajo cualquier transformación proyectiva de la variable. Como una transformación proyectiva puede ser descompuesta en un producto de traducciones, homotheties e inversiones, esto resulta en las siguientes fórmulas para transformaciones más simples, donde $P () x)$ denota un polinomio de grado $n$ , con $a_{n}$ como coeficiente líder.

Invariancia por traducción:

{displaystyle operatorname {Disc} _{x}(P(x+alpha))=operatorname {Disc} _{x}(P(x))}

Esto resulta de la expresión del discriminante en términos de las raíces

Invariancia por homothety:

{displaystyle operatorname {Disc} _{x}(P(alpha x))=alpha ^{n(n-1)}operatorname {Disc} _{x}(P(x))}

Esto resulta de la expresión en términos de las raíces, o de la cuasi-homogeneidad del discriminante.

Invariancia por inversión:

{displaystyle operatorname {Disc} _{x}(P^{mathrm {r} }!!;(x))=operatorname {Disc} _{x}(P(x))}

cuando

{displaystyle P(0)neq 0.}

Aquí,

{displaystyle P^{mathrm {r} }!!;}

denota el polinomio recíproco de

P

; es decir, si

{displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+cdots +a_{0},}

{displaystyle a_{0}neq 0,}

entonces

{displaystyle P^{mathrm {r} }!!;(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+cdots +a_{n}.}

Invariancia bajo homomorfismos de anillos

Vamos ${displaystyle varphi colon Rto S}$ ser un homomorfismo de anillos comunicativos. Dado un polinomio

{displaystyle A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{0}}

dentro $R [x]$ , el homomorfismo $varphi$ actos $A$ para producir el polinomio

{displaystyle A^{varphi }=varphi (a_{n})x^{n}+varphi (a_{n-1})x^{n-1}+cdots +varphi (a_{0})}

en $S [x]$ .

El discriminante es invariante $varphi$ en el siguiente sentido. Si ${displaystyle varphi (a_{n})neq 0,}$ entonces

{displaystyle operatorname {Disc} _{x}(A^{varphi })=varphi (operatorname {Disc} _{x}(A)).}

Como el discriminante se define en términos de un determinante, esta propiedad resulta inmediatamente de la propiedad similar de los determinantes.

Si ${displaystyle varphi (a_{n})=0,}$ entonces ${displaystyle varphi (operatorname {Disc} _{x}(A))}$ puede ser cero o no. Uno tiene, cuando ${displaystyle varphi (a_{n})=0,}$

{displaystyle varphi (operatorname {Disc} _{x}(A))=varphi (a_{n-1})^{2}operatorname {Disc} _{x}(A^{varphi }).}

Cuando uno solo está interesado en saber si un discriminante es cero (como suele ser el caso en la geometría algebraica), estas propiedades pueden resumirse como:

{displaystyle varphi (operatorname {Disc} _{x}(A))=0}

si y sólo si

{displaystyle operatorname {Disc} _{x}(A^{varphi })=0}

{displaystyle deg(A)-deg(A^{varphi })geq 2.}

Esto a menudo se interpreta como decir que ${displaystyle varphi (operatorname {Disc} _{x}(A))=0}$ si ${displaystyle A^{varphi }}$ tiene una raíz múltiple (posiblemente en infinito).

Producto de polinomios

Si $R = PQ$ es un producto de polinomios en $x$ , entonces

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {disc} _{x}(R)&=operatorname {disc} _{x}(P)operatorname {Res} _{x}(P,Q)^{2}operatorname {disc} _{x}(Q)\[5pt]{}&=(-1)^{pq}operatorname {disc} _{x}(P)operatorname {Res} _{x}(P,Q)operatorname {Res} _{x}(Q,P)operatorname {disc} _{x}(Q),end{aligned}}}

Donde ${displaystyle operatorname {Res} _{x}}$ denota el resultado con respecto a la variable $x$ , y $p$ y $q$ son los grados respectivos $P$ y $Q$ .

Esta propiedad se sigue inmediatamente sustituyendo la expresión por la resultante y el discriminante en términos de las raíces de los respectivos polinomios.

Homogeneidad

El discriminante es un polinomio homogéneo en los coeficientes; también es un polinomio homogéneo en las raíces y, por lo tanto, casi homogéneo en los coeficientes.

El discriminante de un polinomio de grado $n$ es homogéneo de grado $2 n - 2$ en los coeficientes. Esto se puede ver de dos maneras. En términos de la fórmula de raíces y términos principales, multiplicar todos los coeficientes por $λ$ no cambia las raíces, pero multiplica el término principal por $λ$ . En términos de su expresión como determinante de una matriz $(2 n - 1) \times (2 n - 1)$ (la matriz de Sylvester) dividida por $a n$ , el determinante es homogéneo de grado $2 n - 1$ en las entradas, y dividiendo por $a n$ hace el grado $2 n - 2$ .

El discriminante de un polinomio de grado $n$ es homogénea de grado $n () n -1)$ en las raíces. Esto se deriva de la expresión del discriminante en términos de las raíces, que es el producto de una constante y ${displaystyle {binom {n}{2}}={frac {n(n-1)}{2}}}$ diferencias cuadradas de raíces.

El discriminante de un polinomio de grado $n$ es cuasi-homogéneo de grado $n () n -1)$ en los coeficientes, si, por cada $i$ , el coeficiente de $x^{i}$ se da el peso $n - i$ . Es también cuasi-homogéneo del mismo grado, si, por cada $i$ , el coeficiente de $x^{i}$ se da el peso $i$ . Esto es consecuencia del hecho general de que cada polinomio homogéneo y simétrico en las raíces puede expresarse como un polinomio cuasi homogéneo en las funciones simétricas elementales de las raíces.

Considere el polinomio

{displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{0}.}

De lo que precede a los exponentes en cada monomial ${displaystyle a_{0}^{i_{0}},dotsa_{n}^{i_{n}}}$ aparecer en el discriminante satisfacer las dos ecuaciones

i_0+i_1+cdots+i_n=2n-2

{displaystyle i_{1}+2i_{2}+cdots +ni_{n}=n(n-1),}

y también la ecuación

{displaystyle ni_{0}+(n-1)i_{1}+cdots +i_{n-1}=n(n-1),}

que se obtiene restando la segunda ecuación de la primera multiplicada por $n$ .

Esto restringe los términos posibles en el discriminante. Para el polinomio general cuadrático solo hay dos posibilidades y dos términos en el discriminante, mientras que el polinomio general homogéneo de grado dos en tres variables tiene 6 términos. Para el polinomio cúbico general hay cinco posibilidades y cinco términos en el discriminante, mientras que el polinomio general homogéneo de grado 4 en 5 variables tiene 70 términos.

Para grados más altos, puede haber monomiales que satisfacen sobre ecuaciones y no aparecen en el discriminante. El primer ejemplo es para el polinomio cuartico ${displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$ , en cuyo caso el monomial $bc^4d$ satisface las ecuaciones sin aparecer en el discriminante.

Raíces reales

En esta sección, todos los polinomios tienen coeficientes reales.

Se ha visto en § Grados bajos que el signo del discriminante proporciona una información completa sobre la naturaleza de las raíces para polinomios de grado 2 y 3. Para grados superiores, la información proporcionada por el discriminante es menos completa, pero sigue siendo útil. Más precisamente, para un polinomio de grado $n$ , se tiene:

El polinomio tiene una raíz múltiple si y sólo si su discriminante es cero.
Si el discriminante es positivo, el número de raíces no reales es un múltiple de 4. Es decir, hay un entero no negativo $k \leq n /4$ tal que haya $2 k$ pares de complejas raíces conjugadas y $n - 4 k$ raíces reales.
Si el discriminante es negativo, el número de raíces no reales no es un múltiple de 4. Es decir, hay un entero no negativo $k \leq n - 2)/4$ tal que haya $2 k + 1$ pares de complejas raíces conjugadas y $n - 4 k + 2$ raíces reales.

Polinomio bivariado homogéneo

Dejar

{displaystyle A(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+cdots +a_{n}y^{n}=sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}}

sea un polinomio homogéneo de grado $n$ en dos indeterminados.

Suponiendo, por el momento, que $a_{0}$ y $a_{n}$ ambos no cero, uno tiene

{displaystyle operatorname {Disc} _{x}(A(x,1))=operatorname {Disc} _{y}(A(1,y)).}

Denotar esta cantidad por ${displaystyle operatorname {Disc} ^{h}(A),}$ uno tiene

{displaystyle operatorname {Disc} _{x}(A)=y^{n(n-1)}operatorname {Disc} ^{h}(A),}

{displaystyle operatorname {Disc} _{y}(A)=x^{n(n-1)}operatorname {Disc} ^{h}(A).}

Debido a estas propiedades, la cantidad ${displaystyle operatorname {Disc} ^{h}(A)}$ se llama discriminación o el discriminación homogénea de $A$ .

Si $a_{0}$ y $a_{n}$ se permite ser cero, los polinomios $A () x, 1)$ y $A (1, Sí.)$ puede tener un grado menor que $n$ . En este caso, sobre fórmulas y definición siguen siendo válidas, si los discriminantes se computan como si todos los polinomios tuvieran el grado $n$ . Esto significa que los discriminantes deben ser computados con $a_{0}$ y $a_{n}$ indeterminado, la sustitución por ellos de sus valores reales que se están haciendo después este cálculo. Equivalentemente, las fórmulas de la invariancia bajo los homomorfismos del anillo deben ser usadas.

Uso en geometría algebraica

El uso típico de los discriminantes en geometría algebraica es para estudiar curvas algebraicas planas y, de manera más general, hipersuperficies algebraicas. Sea $V$ tal curva o hipersuperficie; $V$ se define como el conjunto cero de un polinomio multivariable. Este polinomio puede considerarse como un polinomio univariado en uno de los indeterminados, con polinomios en los otros indeterminados como coeficientes. El discriminante con respecto al indeterminado seleccionado define una hipersuperficie $W$ en el espacio de los otros indeterminados. Los puntos de $W$ son exactamente la proyección de los puntos de $V$ (incluidos los puntos en el infinito), que son singulares o tienen un hiperplano tangente paralelo al eje del indeterminado seleccionado.

Por ejemplo, sea $f$ un polinomio bivariado en $X$ y $Y$ con coeficientes reales, de modo que $f = 0$ es la ecuación implícita de una curva algebraica del plano real. Ver $f$ como un polinomio univariante en $Y$ con coeficientes que dependen de $X$ , entonces el discriminante es un polinomio en $X$ cuyas raíces son las $X$ -coordenadas de los puntos singulares, de los puntos con una tangente paralela al eje $Y$ y de algunas de las asíntotas paralelas al $Y$ -eje. En otras palabras, el cálculo de las raíces del discriminante $Y$ y el $X$ -discriminante permite calcular todos los puntos notables de la curva, excepto los puntos de inflexión.

Generalizaciones

Hay dos clases del concepto de discriminante. La primera clase es el discriminante de un cuerpo numérico algebraico, que, en algunos casos incluyendo campos cuadráticos, es el discriminante de un polinomio que define el cuerpo.

Los discriminantes de la segunda clase surgen para problemas que dependen de coeficientes, cuando las instancias degeneradas o las singularidades del problema se caracterizan por la desaparición de un solo polinomio en los coeficientes. Este es el caso del discriminante de un polinomio, que es cero cuando colapsan dos raíces. La mayoría de los casos, donde se define tal discriminante generalizado, son instancias de lo siguiente.

Sea $A$ un polinomio homogéneo en $n$ indeterminados sobre un campo de característica 0, o de una característica prima que no divide el grado del polinomio. El polinomio $A$ define una hipersuperficie proyectiva, que tiene puntos singulares si y solo $n$ las derivadas parciales de $A$ tienen un cero común no trivial. Este es el caso si y solo si la resultante multivariante de estas derivadas parciales es cero, y esta resultante puede considerarse como el discriminante de $A$ . Sin embargo, debido a los coeficientes enteros resultantes de la derivación, esta resultante multivariante puede ser divisible por una potencia de $n$ , y es mejor tomar, como discriminante, la parte primitiva de la resultante, calculada con coeficientes genéricos. La restricción de la característica es necesaria porque, de lo contrario, un cero común de la derivada parcial no es necesariamente un cero del polinomio (consulte la identidad de Euler para polinomios homogéneos).

En el caso de un polinomio bivariado homogéneo de grado $d$ , este discriminante general es ${displaystyle d^{d-2}}$ tiempos el discriminante definido en el polinomio bivario Homogeneous. Varios otros tipos clásicos de discriminantes, que son casos de la definición general se describen en las siguientes secciones.

Formas cuadráticas

Una forma cuadrática es una función sobre un espacio vectorial, que se define sobre alguna base por un polinomio homogéneo de grado 2:

<math alttext="{displaystyle Q(x_{1},ldotsx_{n}) = sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+sum _{1leq iQ()x1,...... ,xn)=.. i=1naiixi2+.. 1≤ ≤ i.j≤ ≤ naijxixj,{displaystyle Q(x_{1},ldotsx_{n} =sum ##{i=1} {n}a_{ii}x_{i}{2}+sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ No.<img alt="{displaystyle Q(x_{1},ldotsx_{n}) = sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+sum _{1leq i

o, en forma matricial,

{displaystyle Q(X)=XAX^{mathrm {T} },}

para el $ntimes n$ matriz simétrica $A=(a_{ij})$ , el ${displaystyle 1times n}$ vector ${displaystyle X=(x_{1},ldotsx_{n})}$ , y el ${displaystyle ntimes 1}$ vector ${displaystyle X^{mathrm {T} }}$ . En característica diferente de 2, el discriminación o determinante de $Q$ es el determinante $A$ .

El determinante hesiano de $Q$ es $2^{n}$ veces su discriminante. El resultado multivariable de los derivados parciales de $Q$ es igual a su determinante hesiano. Por lo tanto, el discriminante de una forma cuadrática es un caso especial de la definición general anterior de un discriminante.

El discriminante de una forma cuadrática es invariante bajo cambios lineales de variables (es decir, un cambio de base del espacio vectorial en el que se define la forma cuadrática) en el siguiente sentido: un cambio lineal de variables se define por una matriz no lineal $S$ , cambia la matriz $A$ en ${displaystyle S^{mathrm {T} }A,S,}$ y así multiplica el discriminante por el cuadrado del determinante $S$ . Así el discriminante está bien definido sólo hasta la multiplicación por un cuadrado. En otras palabras, el discriminante de una forma cuadrática sobre un campo $K$ es un elemento $K /(K \times) 2$ , el cociente del monoide multiplicativo $K$ por el subgrupo de los cuadrados no cero (es decir, dos elementos de $K$ están en la misma clase de equivalencia si uno es el producto del otro por un cuadrado no cero). De ahí que sobre los números complejos, un discriminante equivale a 0 o 1. Sobre los números reales, un discriminante equivale a −1, 0, o 1. Sobre los números racionales, un discriminante equivale a un entero único sin cuadrado.

Por un teorema de Jacobi, una forma cuadrática sobre un campo de característica diferente de 2 se puede expresar, después de un cambio lineal de variables, en forma diagonal como

a_1x_1^2 + cdots + a_nx_n^2.

Más precisamente, una forma cuadrática en puede expresarse como una suma

sum_{i=1}^n a_i L_i^2

Donde $L i$ son formas lineales independientes y $n$ es el número de las variables (algunos del $a i$ puede ser cero). Equivalentemente, para cualquier matriz simétrica $A$ , hay una matriz elemental $S$ tales que ${displaystyle S^{mathrm {T} }A,S}$ es una matriz diagonal. Entonces el discriminante es el producto del $a i$ , que está bien definido como una clase en $K /(K \times) 2$ .

Geométricamente, el discriminante de una forma cuadrática en tres variables es la ecuación de una curva proyectiva cuadrática. El discriminante es cero si y solo si la curva se descompone en líneas (posiblemente sobre una extensión algebraicamente cerrada del campo).

Una forma cuadrática en cuatro variables es la ecuación de una superficie proyectiva. La superficie tiene un punto singular si y solo su discriminante es cero. En este caso, o la superficie puede estar descompuesta en planos, o tiene un único punto singular, y es un cono o un cilindro. Sobre los reales, si el discriminante es positivo, entonces la superficie no tiene un punto real o tiene en todas partes una curvatura gaussiana negativa. Si el discriminante es negativo, la superficie tiene puntos reales y tiene una curvatura gaussiana negativa.

Secciones cónicas

Una sección cónica es una curva plana definida por una ecuación implícita de la forma

{displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,}

donde $a, b, c, d, e, f$ son números reales.

Dos formas cuadráticas y, por lo tanto, dos discriminantes pueden asociarse a una sección cónica.

La primera forma cuadrática es

{displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0.}

Su discriminante es el determinante

{displaystyle {begin{vmatrix}a&b&d\b&c&e\d&e&fend{vmatrix}}.}

Es cero si la sección cónica degenera en dos líneas, una doble línea o un solo punto.

El segundo discriminante, que es el único que se considera en muchos libros de texto elementales, es el discriminante de la parte homogénea de grado dos de la ecuación. es igual a

{displaystyle b^{2}-ac,}

y determina la forma de la sección cónica. Si este discriminante es negativo, la curva no tiene puntos reales, o es una elipse o un círculo, o, si degenera, se reduce a un solo punto. Si el discriminante es cero, la curva es una parábola o, si está degenerada, una línea doble o dos líneas paralelas. Si el discriminante es positivo, la curva es una hipérbola o, si está degenerada, un par de líneas que se cruzan.

Superficies cuádricas reales

Una superficie cuádrica real en el espacio euclidiano de dimensión tres es una superficie que puede definirse como los ceros de un polinomio de grado dos en tres variables. En cuanto a las secciones cónicas, hay dos discriminantes que se pueden definir naturalmente. Ambos son útiles para obtener información sobre la naturaleza de una superficie cuádrica.

Vamos $P(x,y,z)$ ser un polinomio de grado dos en tres variables que define una superficie cuádrica real. La primera forma cuadratica asociada, ${displaystyle Q_{4},}$ depende de cuatro variables, y se obtiene homogeneizando $P$ ; eso es

{displaystyle Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t).}

Denotamos su discriminación por ${displaystyle Delta _{4}.}$

La segunda forma cuadrática, ${displaystyle Q_{3},}$ depende de tres variables, y consta de los términos del grado dos de $P$ ; eso es

{displaystyle Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0).}

Denotamos su discriminación por ${displaystyle Delta _{3}.}$

Si $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Δ Δ 4■0,{displaystyle Delta ¿Qué?0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629a56ae087a8ac6c05fc14d1a716e0bdb6cc65f" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.898ex; height:2.509ex;"/>$ y la superficie tiene puntos reales, es un paraboloide hiperbólico o un hiperboloide de una hoja. En ambos casos, se trata de una superficie gobernada que tiene una curvatura gaisiana negativa en cada punto.

Si $<math alttext="{displaystyle Delta _{4}Δ Δ 4.0,{displaystyle Delta _{4}traducido0,}<img alt="{displaystyle Delta _{4}$ la superficie es un elipsoide o un hiperboloide de dos hojas o un paraboloide elíptico. En todos los casos, tiene una curvatura Gaussiana positiva en cada punto.

Si ${displaystyle Delta _{4}=0,}$ la superficie tiene un punto singular, posiblemente en el infinito. Si sólo hay un punto singular, la superficie es un cilindro o un cono. Si hay varios puntos singulares la superficie consta de dos planos, un plano doble o una sola línea.

Cuando ${displaystyle Delta _{4}neq 0,}$ el signo de ${displaystyle Delta _{3},}$ si no 0, no proporciona ninguna información útil, como cambio $P$ en $- P$ no cambia la superficie, pero cambia el signo ${displaystyle Delta _{3}.}$ Sin embargo, si ${displaystyle Delta _{4}neq 0}$ y ${displaystyle Delta _{3}=0,}$ la superficie es un paraboloide, que es elíptico o hiperbólico, dependiendo del signo de ${displaystyle Delta _{4}.}$